Persamaan Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Datar

6. Persamaan Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Datar

Kita dapat menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan dua bidang datar .

Misalnya garis lurus tersebut adalah perpotongan bidang :

V = Ax + By + Cz + D = 0 dan bidang W = Px + Qy + Rz + S = 0 Maka persamaan garis lurus g dapat

Untuk menentukan vektor arah garis lurus perpotongan dua bidang tersebut , kita perhatikan gambar berikut ini :

n 1   A , B , C  , dan n 2   P , Q , R 

V=0

W=0

adalah vektor arah garis g, jadi :

a   a , b , c   A B C …….

Persamaan (1), sama dengan :

a=  ,

dimana untu memudahkan mengingatnya, kita tulis sebagai berikut :

A B C A B …………………………..(β) P

Untuk mengubah bentuk persamaan V = 0 = W menjadi bentuk :

, kita harus menentukan pula koordinat

( x 1 , y 1 , z 1 ) , sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu biasanya kita ambil titik potong dengan bidang koordinat, ( x 1 , y 1 , z 1 ) , sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu biasanya kita ambil titik potong dengan bidang koordinat,

Kedudukan Dua Garis Lurus dalam R 3

Dalam R 3 , dua garis lurus mengkin sejajar, berimpit, berpotongan, atau bersialangan.

Diketahui garis lurus:

g 1 :  x , y , z   x 1 , y 1 , z 1    a 1 , b 1 , c 1  dan

g 2 :  x , y , z   x 2 , y 2 , z 2    a 2 , b 2 , c 2 

Kemungkinan-kemungkinan :

a. 1 g sejajar 2 g jika vektor arah yang satu keliapatan yang lain :

 a 1 , b 1 , c 1    a 2 , b 2 , c 2 

Berarti : 

b. 1 g berpotongan di satu titik dengan 2 g , maka vektor arah tidak berkelipatan.

Misalkan titik potongnya  x o , y o , z o  , berarti ada  1 sehingga :

g 1 :  x 0 , y 0 , z 0   x 1 , y 1 , z 1    1  a 1 , b 1 , c 1  , ada  2 sehingga :

g 2 :  x 0 , y 0 , z 0   x 2 , y 2 , z 2    2  a 2 , b 2 , c 2 

Berarti

 x 1 , y 1 , z 1    1 a 1 , b 1 , c 1  =  x 2 , y 2 , z 2    2  a 2 , b 2 , c 2 

Atau :

Berdasarkan teori persamaan linier dua variabel, nilai  1 dan  2 ada jika determinan :

b 1 b 2 y 2  y 1 = 0, …………………………..(1)

merupakan syarat duat garis berpotongan

Sedangkan persamaan bidang yang memuat garis g 1 dan g 2 adalah :

b 1 b 2 y  y 1 = 0,

Dua garis bersilangan, jika :

b 1 b 2 y 2  y 1 ≠0

8. Sudut antara Garis g 1 dan garis g 2

Sudut antara garis g 1 dan g 2 adalah sudut antara vektor-vektor arah :  a 1 , b 1 , c 1  dan  a 2 , b 2 , c 2  yaitu :

a 1 a 2  b 1 b 2  c 1 c 2 Cos θ =

 a 1 , b 1 , c 1  . a 2 , b 2 , c 2 

a 1 , b 1 , c 1  . a 2 , b 2 , c 2 

1  b 1  c 1 )( a 2  b 2  c 1 Kedua garis g 1 dan g 2 tersebut saling tegak lurus bila dot product vektor arah mereka = 0, atau bila :

 a 1 , b 1 , c 1  . a 2 , b 2 , c 2   a 1 a 2  b 1 b 2  c 1 c 2 =0