BAB XII Suku Banyak (1)

BAB XII. SUKU BANYAK

  _{n n} A = a A n – 1 = A n. h + a n – 1

  Pengertian: A n – 2 = A n–1 . h + a n – 2 . . _{n n 1 n 2 2} . .

    . . f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n 1 n 2 2 1}

    _{2 3. 2} A = A h + a A ^{1 = A 2. h + a 1}

  adalah suku banyak (polinom) dengan :

  A = A ^{1. h + a}

• a , a , a , ….,a , a , a adalah koefisien- _{n n 1 n}
_{2 2 1}

   

  koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a  0 _n x = h a a a - - - a a a _{n n 1 n 2 2 1}

   

• a adalah suku tetap yang merupakan konstanta real
• n merupakan pangkat tertinggi dari x

  A .h A . h A .h A .h A .h _{n n 1 3 2 1}

   Menghitung nilai suku banyak: _{n n – 1 n – 2 2 1} A A A A A A f(h)

  1. Metoda Substitusi :

  Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat

  Nilai suku banyak : _{n n 1 n 2 2} diselesaikan dengan cara Horner sbb:   _{3 2} f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n 1 n 2 2 1}

    f(x) = 4x + 2x + x - 3

  untuk x = -2 didapat : untuk x = h adalah : _{n n  1 n  2 2} f(h) = a h + a h + a h +…+ a h +a h + a _{n n 1 n 2 2 1}

    x = -2 4 2 1 -3

  contoh: (+) (+) (+) _{3 2} -8 12 -26 jika f(x) = 4x + 2x + x - 3 nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : _{3 2} 4 -6 13 -29 hasil dari f(-2) f(-2) = 4 . (-2) + 2 .(-2) + (-2) – 3

  = -32 + 8 - 2 - 3 = kalikan dengan x = -2

  = - 29

  2. Metoda Horner: didapat f(-2) = -29

  Nilai suku banyak : _{n n 1 n 2 2} Pembagian Suku Banyak:   f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n 1 n 2 2 1}

  1. Dengan Pembagian Biasa:  

  Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap

  untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner _{n n  1 n  2 2} diperlihatkan sbb: f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n 1 n 2 2 1}

    adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)

   Dimana : (x – h) = pembagi x = -2 4 2 1 -3

   b. Pembagian suku banyak dengan ax + b Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut :

  f(x) = 4x ³ + 2x ² + x - 3 dibagi dengan x+2

  H(h) = hasil bagi P(h) = sisa

  Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x ³ + 2x ² + x - 3 dengan x = -2 atau

  (x+2) (1) (2) (3) 4x ² - 6x +13 x +2 4x ³ + 2x ² + x - 3

• 8
• 26 (+) 4 -6 13 -29 Hasil bagi =: 4x
² - 6x + 13 dengan sisa = -29

  (4x ² . (x+2)) 4x ³ + 8 x ² -

  12 (+)

  (+)

• 6 x
² +x (-6x . (x+2)) - 6 x ²
• 13x – 3 (13 . (x+2)) 13x +26 -
• 29 Hasil bagi = H(h) = 4x
² - 6x +13

  2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner

  Sisa = P(h) = -29 Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x ³ dibagi dengan x+2 didapat 4x ² 2 : kalikan 4x ² dengan x+2 didapat 4x ³ +8 x ² 3 : kurangi 4x ³ + 2x ² dengan 4x ³ +8 x ² didapat - 6 x ² kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x ² +x 4 : bagi - 6 x ² dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x ² - 12x 6 : Kurangi - 6 x ² +x dengan - 6 x ² -12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29 didapat hasil bagi = 4x ² - 6x +13 dengan sisa = -29

  Diketahui, h = – a b maka bentuk (x – h) dapat dinyatakan sebagai : x – h = ( x – (- a b

  ) ) = ( x + a b

  ) Pembagian suku banyak f(x) oleh (x + a b

  ) memberikan hubungan berikut. f(x) = (x + a b

  ) H(h) + sisa = a

  1 (ax + b) H(h) + sisa = (ax + b) a H h ) (

• sisa Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x
³ + 4x ² - 27x – 9 dibagi (2x
• 18 21 9
• 12 -14 -6 0

  jawab: x = -

  2

  3

  12 4 -27 -9

a. Pembagian suku banyak dengan x - h

  2 12 x  x

  14 

  6 Jadi hasil baginya adalah

• Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan
₂

  2 f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c) = 6x - 7x - 3 dan sisanya adalah 0 ₂ - jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)

c. Pembagian suku banyak dengan ax + bx + c

• jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar Dengan cara pembagian biasa: dari f(x) contoh:
_{3 2 2}

  x - x + 4x – 4 dibagi oleh x - 1 Akar-akar Suku banyak

  (1) (2) x - 1 _{2 3 2}

  1. Jika x , x dan x adalah akar-akar persamaan _{3 1 2 2 3} ax + bx + cx +d = 0 maka

  x - 1 x - x + 4x – 4 _{2 3} x -1)) x - x -

  (x . (

  b ₂ x + x + x = - _{1 2 3} a

• x +5x
_{2 2}

  c x -1))

  (-1 . ( -x + 1 - x x + x x + x x = _{1 2 1 3 2 3}

  a

  5x – 5 ₂

  d x - 1, maka

  (berderajat lebih kecil dari x x x = - _{1 2 3}

  perhitungan selesai dan ini merupakan sisa) a

  Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5

  2. Jika x , x , x dan x adalah akar-akar persamaan _{4 1 3 2 3 2 4} ax + bx + cx + dx + e = 0 maka

  Teorema Sisa: b

  x + x + x + x = - Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa ^{1 2 3 4}

  a

  s(x) ditulis :

  c

  f(x) = g(x) h(x) + s(x) x x + x x + x x + x x + x x + x x = _{1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4}

  a f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi d

  x x x + x x x + x x x + x x x = - _{1 2 3 1 3 4 1 2 4 2 3 4}

  h(x) = hasil bagi a s(x) = sisa pembagian

  Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka e derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. x x x x = _{1 2 3 4} a

• derajat h(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)

  Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak:

• jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan
₂ Persamaan suku banyak
• jika g(x) = ax + bx +c maka s(x) = Ax + B _{n n 1 n}
_{2 2}

    a x + a x + a x +…+ a x +a x + a =0 _{n n 1 n 2 2 1} Apabila suku banyak f(x) :

   

• dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang

  b memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut

• dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f( ) dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak

  a tersebut.

• habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0

  Teorema Faktor: Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40  x= 2 bukan akar banyak f(x) = 0 . ambil nilai x = -2

  Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari

dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb: f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0  x = -2 adalah akar

  persamaan

  1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2

  m

  yaitu , kalikan dua nilai sbb:

  n ₂

  (x-1)(x+2) = x + x - 2 dimana: m = factor bulat positif dari a

  Bagi persamaan dengan nilai tsb : n = factor bulat dari a ₂

  x -x -12 m

  2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f ( ) = 0 _{2 4 2}

  n x +x- 2 x - 15x - 10x + 24 _{4 3 2} x + x -2x -

  Contoh: _{3 2 4 2}

• x -13x -10x f(x) = x - 15x - 10x + 24 = 0 maka
³ 2<
• x -x + 2 x - a = 1 dan a = 24 _n
2<
• 12x -12x + 24
2<
• 12x -12x + 24 - m = faktor bulat positif dari a = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 n = faktor bulat dari a yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8

  ( sisa 0 )

• 12, 12, -24,24 sehingga hasil akhirnya didapat :

  m ₂

  akar yang mungkin adalah( ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6

  x -x -12) = 0 atau

  f(x)= (x-1)(x+2)(

  n

  ,8,-8

  (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0

  substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan

  didapat akar-akar persamaan : m

  apakah f( ) = 0 ?

  n x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4

  Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu: ambil nilai x=1 : f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0  x = 1 adalah akar persamaan ambil nilai x = 2