Diperoleh y + x ln Cx = 0 Dari 1 dan 2 diperoleh primitifnya
{y – Cx+1}{y + x Ln x} = 0
2. Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y = fx,p
Persamaan p
n
+ P
1
x,yp
1
n
+ P
2
x,yp
2
n
+ ... + P
1
n
x,yp + P
n
x,y = 0 diubah dalam bentuk y = fx,p.
Turunkan y = fx,p terhadap variabel x didapat
dx dy
=
x f
+
dx dp
p f
p =
x f
+
dx dp
p f
Fx,p,
dx dp
= 0 persaman differensial tingkat satu derajat satu Diperoleh primitif
x,p,C = 0 Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan
p diantara y = fx,p dan
x,p,C = 0, apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh Tentukan selesaian umum persamaan
1. 16x
2
+ 2p
2
y - p
3
x = 0 PD Linear tingkat satu derajat tiga Jawab
16x
2
+ 2p
2
y - p
3
x = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
92
2y =
2 2
3
16 p
x x
p
2y = px – 16
2 2
p x
Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh
2
dx dy
= p+x dx
dp – 16
4 2
2
2 2
p dx
dp p
x xp
2p = p + x dx
dp –
2
32 p
x
+
dx dp
p x
3 2
32
4
2 p
= p
4
+x
3
p
dx dp
– 32xp-32x
2
dx dp
pp
3
+32x – xp
3
+32x
dx dp
= 0
p
32
3
x
p-x
dx dp
= 0
Persamaan ini dipenuhi jika p
32
3
x
= 0 atau p-x
dx dp
= 0
Dari bentuk p-x
dx dp
= 0 diperoleh
p dp
=
x dx
dan p = Kx, K R
Substitusikan p = Kx ke persamaan 16x
2
+ 2p
2
y - p
3
x = 0 diperoleh
16x
2
+ 2Kx
2
y – Kx
3
x = 0 atau 2 +C
2
y - C
3
x
2
= 0 Dengan mengganti K = 2C.
Faktor p
32
3
x
= 0 tidak diperhatikan, karena tidak memuat
turunan
dx dp
. 2. y = 2px + p
4
x
2
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
93
Jawab Dengan menurunkan persamaan terhadap variabel x, diperoleh
dx dy
= 2p + x
dx dp
+ 2xp
4
+ 4x
2 3
p
dx dp
p = 2p + x
dx dp
+ 2xp
4
+ 4x
2 3
p
dx dp
p + 2x
dx dp
+ 2xp
4
+ 4x
2 3
p
dx dp
= 0
p + 2x
dx dp
1 + 2p
3
x = 0 Faktor1 + 2p
3
x = 0, diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari persamaan
p + 2x
dx dp
= 0 diperoleh selesaian xp
2
= C.
Pada bentuk parameter diperoleh
x
=
2
p C
, y =
p
C 2
C
2
.
Hubungan yang terakhir didapat setelah
x
=
2
p C
disubstitusi ke persamaan y = 2px + p
4
x
2
.
3. x = yp + p
2
Jawab x = yp + p
2
y =
p x
- p Dengan menurunkan terhadap peubah x, diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
94
dx dy
=
2
p dx
dp x
p
-
dx dp
p
3
- p + x + p
2
dx dp
= 0
dp dx
+
p p
x
3
= -
1
2
p
p
persamaan differensial linear Selesaiannya xe
dx x
P
=
x Q
e
dx x
P
dx Diperoleh
p p
x 1
2
=
1
2
p dp
= - lnp +
1
2
p
+ C
4. y = 2+px + p
2
Jawab Turunkan persamaan terhadap x diperoleh
dx dy
= 2 + p + x +2p
dx dp
dp dx
+ ½ x = -p persamaan differensial linear Selesaianya xe
dx x
P
=
x Q
e
dx x
P
dx
xe
2 p
= -
2
x pe
p
dp = -2pe
2 p
+ 4e
2 p
+ C Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh
x = 22-p + Ce
2
p
+ C, y = 8-p
2
+ 2+pCe
2
p
.
3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x = fy,p
Kategori