dx dy
=
2
p dx
dp x
p
-
dx dp
p
3
- p + x + p
2
dx dp
= 0
dp dx
+
p p
x
3
= -
1
2
p
p
persamaan differensial linear Selesaiannya xe
dx x
P
=
x Q
e
dx x
P
dx Diperoleh
p p
x 1
2
=
1
2
p dp
= - lnp +
1
2
p
+ C
4. y = 2+px + p
2
Jawab Turunkan persamaan terhadap x diperoleh
dx dy
= 2 + p + x +2p
dx dp
dp dx
+ ½ x = -p persamaan differensial linear Selesaianya xe
dx x
P
=
x Q
e
dx x
P
dx
xe
2 p
= -
2
x pe
p
dp = -2pe
2 p
+ 4e
2 p
+ C Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh
x = 22-p + Ce
2
p
+ C, y = 8-p
2
+ 2+pCe
2
p
.
3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x = fy,p
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
95
Persamaan p
n
+ P
1
x,yp
1
n
+ P
2
x,yp
2
n
+ ... + P
1
n
x,yp + P
n
x,y = 0 diubah dalam bentuk x = fy,p. Turunkan x = fy,p terhadap variabel y
didapat
dy dx
=
y f
+
dy dp
p f
p 1
=
y f
+
dy dp
p f
Fy,p,
dy dp
= 0 persaman differensial tingkat satu derajat satu
selesaian
p 1
= Fy,p,
dy dp
untuk memperoleh primitif
y,p,C = 0 Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan
mengeliminasikan p diantara x = fy,p dan
y,p,C = 0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi
parameter p.
Contoh Tentukan selaian umum persamaan
1. p
3
- 2xyp + 4y
2
= 0 Jawab
Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = fy,p diperoleh 2x =
y p
2
+
p y
4
Dengan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
96
2
dy dx
=
y p
2 dy
dp
-
2 2
y p
+ 4
p 1
-
2
p y
dy dp
2 2
2
4 2
1 2
y p
p dy
dp p
y y
p p
p-2y
dy dp
2y
2
- p
3
= 0
Integrasikan
p-2y
dy dp
= 0 dan elimasikan di antara p
2
= Ky dan persamaan differensial asal, diperoleh 16y = KK-2x
3
dengan mengambil K = 2C.
2. 4x = pyp
2
-3 Jawab.
Turunkan persamaan terhadap y diperoleh 4
dy dx
= pp
2
-3 + 3yp
2
-1
dy dp
p 4
= pp
2
-3 + 3yp
2
-1
dy dp
y dy
+
1 4
1 3
2 2
2
p
p dp
p p
= 0 PD variabel terpisah Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh
Ln y +
10 9
ln p+2 +
10 9
Ln p-2 +
5 3
Ln p
2
+1 = Ln C
Maka y =
5 3
2 10
9 2
1 4
p p
C
Substitusikan ke persamaan semula didapat
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
97
x =
4 1
5 3
2 10
9 2
2
1 4
3
p p
p Cp
4. Persamaan Differensial Clairut
Metode persamaan differensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + fp. Bentuk ini
dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y = Cx + fC yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan
mengganti p dengan C pada persamaan yang diketahui. Contoh
Tentukan selesaikan persamaan Clairut 1.
y = px +
2
4 p
Jawab Selesaian umumnya adalah y = Cx +
2
4 C
2. y-px
2
= 1 + p
2
Jawab y-px
2
= 1 + p
2
y = px
2
1 p
Selesaian umumnya y – Cx -
2
1 C
y – Cx +
2
1 C
= 0
y-Cx
2
= 1 + C
2
3. y = 3px + 6y
2
p
2
Jawab
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
98
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut. Kalikan persamaan dengan y
2
diperoleh y
3
= 3y
2
px + 6y
4
p
2
Gunakan transformasi v =
3
y
maka
dx dv
= 3y
2
dx dy
, sehingga y
3
= 3y
2
px + 6y
4
p
2
v = x
dx dv
+
3 2
dx dv
2
Selesaian umumnya v = Kx +
3 2
K
2
y
3
= Kx +
3 2
K
2
y
3
= 3Cx + 6C
2
4.3 Soal-soal
