bab 4 pd linear tingkat tinggi2
BAB IV
PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TINGGI
4.1 Bentuk Umum
Persamaan tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang ditulis dalam bentuk:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
) , (
) , (
y x N
y x M dx
dy
f(x,y) dx
dy
0 ) ,
(
f x y
dx dy
Sehingga dalam bentuk yang paling sederhana persamaan differensial
tingkat satu derajat satu secara eksplisit dinyatakan dengan f(x,y,
dx dy
) = 0. Secara lengkap telah dibahas pada bab II. Dengan memisalkan p =
dx dy
maka bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu dapat dinyatakan secara implisit f(x,y,p) = 0. Jika p berpangkat lebih dari satu maka persamaannya dinamakan persamaan differensial tingkat satu derajat tinggi atau persamaan tingkat satu derajat n.
Bentuk umum persamaan differensial tingkat satu derajat-n) dinyatakan dengan:
(2)
Po(x,y) ( dx dy
)n +P
1(x,y)(dx
dy
)n1+ P
2(x,y)(dx
dy
)n2 + ... + P
1
n (x,y)(dx
dy ) +
Pn (x,y) = 0
dengan memisalkan p =
dx dy
, maka bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
P0(x,y)pn + P1(x,y)pn1 + P2(x,y)pn2 + ... + P n1 (x,y)p + P
n (x,y) = 0
atau secara implisit dinyatakan
f(x,y,p1,p2 , ... ,pn ) = 0
Contoh:
1. (
dx dy
)4 - (x+2y+1)(
dx dy
)3 + (x+2y+2xy)(
dx dy
)2 - 2xy(
dx dy
) = 0 (1-4)
p4 - (x+2y+1)p3 + (x+2y+2xy)p2 - 2xyp = 0
2. (xy)(
dx dy
)2 + (x2 + xy + y2)(
dx dy
) +(x2 + xy) = 0 (1-2)
(xy)p2 + (x2 + xy + y2 )p + (x2+ xy) = 0 3. (x2 + x)(
dx dy
)2 + (x2 + x – 2xy –y)(
dx dy
) + (y2- xy) = 0 (1-2)
(x2 + x)p2 + (x2 + x – 2xy –y)p + (y2- xy) = 0
4. y = 2
dx dy
+ x2 (
dx dy
)4 (1-4)
(3)
Persamaan tingkat satu derajat tinggi pada contoh di atas dapat ditentukan derajatnya. Persamaan pada contoh 1 dan 4 berderajat empat sedangkan contoh 2 dan 3 berderajat 2. Setelah ditentukan derajatnya, akhirnya dapat ditentukan selesaian umum persamaan differensial tingkat satu derajat tinggi yang diketahui.
4.2 Selesaian Umum Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi
Persamaan differensial tingkat satu derajat tinggi yang dinyatakan
dalam bentuk f(x,y,p1,p2, ... ,pn ) = 0, selanjutnya dapat ditentukan
selesaian umumnya setelah bentuk umum di atas dinyatakan dalam pemfaktoran yang paling sederhana. Bentuk pemfaktoran tersebut
meliputi 1) Cara faktorisasi (persamaan diselesaikan ke bentuk p =
dx dy
), 2) persamaan diselesaikan ke bentuk y = f(x,p), 3) persamaan diselesaikan ke bentuk x = f(y,p) dan 4) metode persamaan differensial Clairut.
1. Persamaan yang dapat diselesaikan ke p =
dx dy
Metode ini dilakukan dengan memandang bentuk persamaan differensial linear tingkat derajat tinggi
pn + P
1 (x,y)p
1
n + P
2 (x,y)p
2
n + ... + P
1
n (x,y)p + Pn (x,y) = 0
ruas kiri sebagai polinomial dalam p. Karena polinomial maka dapat diselesaikan ke dalam n faktor real yaitu berbeda.
(4)
Po (x,y)pn + P1 (x,y)pn1 + P2(x,y)pn2 + ... + Pn1 (x,y)p + Pn (x,y) = 0
(p-F1)(p-F2 )(p-F3) ... (p-Fn ) = 0
dimana F adalah fungsi dengan variabel x dan y. Dari bentuk di atas diperoleh
(p-F1) = 0, (p-F2)= 0, (p-F3) = 0, ... (p- Fn ) = 0
p = F1(x,y) , p = F2 (x,y), p = F3(x,y) ... p = Fn (x,y)
dx dy = F
1(x,y) , dx dy = F
2 (x,y), dx dy = F
3(x,y) ... dx dy = F
n (x,y)
f1(x,y,C), f2 (x,y,C), f3(x,y,C), ....,fn (x,y,C) = 0
Sehingga selesaian umum persamaan differensial linear pn + P
1 (x,y)p
1
n + P
2 (x,y)p
2
n + ... + P
1
n (x,y)p + Pn (x,y) = 0
adalah
f1(x,y,C). f2 (x,y,C). f3(x,y,C). ....fn (x,y,C) = 0
Setiap selesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk yang bervariasi sebelum digabungkan dalam perkalian.
Perhatikan contoh-contoh dibawah ini
Selesaikan persamaan differensial dibawah ini 1. (
dx dy
)4 - (x+2y+1)(
dx dy
)3 + (x+2y+2xy)(
dx dy
)2 - 2xy(
dx dy
) = 0 Jawab
Nyatakan persamaan dalam bentuk polinomila p, didapat
p4 - (x+2y+1)p3 + (x+2y+2xy)p2 - 2xyp = 0
(5)
p = 0 atau p = 1, p = x atau p = 2y
dx dy
= 0 atau
dx dy
= 1 atau
dx dy
= x atau
dx dy
= 2y
Masing-masing adalah persamaan differensial tingkat satu variabel terpisah dan
Selesaiannya (y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x2 -C), (y-Ce2x ) = 0
Sehingga selesaian umumnya
(y-C) = 0, (y-x-C) = 0, (2y-x2-C), (y-Ce2x ) = 0
atau dapat dinyatakan dengan (y-C)(y-x-C)(2y-x2 -C)(y-Ce2x ) = 0
2. (xy)(
dx dy
)2 + (x2 + xy + y2)(
dx dy
) + (x2+ xy) = 0
(xy)p2 + (x2 + xy + y2)p + (x2 + xy) = 0
(xp + x +y)(yp+x) = 0
Persamaan di atas dapat diselesaikan, dengan cara 1) (xp+x+y) = 0
x
dx dy
+ x + y = 0 x
dx dy
+ y = - x
dx dy
+
x y
= -1 (persamaan differensial linear) Selesaiannya adalah yeP(x)dx =
Q(x)eP(x)dx dx yx = -½ x2 + C atau 2xy + x2 + C = 0(6)
2) (yp + x ) = 0
dx dy
y + x = 0 (persamaan variabel terpisah)
y dy + x dx = 0
Selesaiannya y2 + x2- C = 0
Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh primitifnya (2xy + x2 + C )( y2 + x2 - C ) = 0
3. (x2 + x)p2 + (x2 + x – 2xy –y)p +(y2 - xy) = 0
Jawab
Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial, dan diperoleh: {(x+1)p-y}{xp+x-y} = 0
(x+1)p – y = 0 atau (xp + x – y = 0)
Persamaan di atas, diselesaikan masing-masing 1) (x+1)p – y = 0
(x+1)
dx dy
- y = 0 (persamaan variabel terpisah) dyy -
1
x dx
= 0
Selesaiannya y – C(x+1) = 0 2) xp + x – y = 0
x
dx dy
- y = - x
dx dy
-
x y
= -1 (persamaan linear) Selesaiannya yeP(x)dx =
(7)
Diperoleh y + x ln Cx = 0
Dari 1) dan 2) diperoleh primitifnya {y – C(x+1)}{y + x Ln x} = 0
2. Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y = f(x,p)
Persamaan pn + P
1 (x,y)p
1
n + P
2(x,y)p
2
n + ... + P
1
n (x,y)p +
Pn (x,y) = 0
diubah dalam bentuk y = f(x,p).
Turunkan y = f(x,p) terhadap variabel x didapat
dx dy
=
x f
+ pf dpdx
p =
x f
+ pf dpdx
F(x,p,
dx dp
) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu)
Diperoleh primitif (x,p,C) = 0
Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan
p diantara y = f(x,p) dan (x,p,C) = 0, apabila mungkin, atau nyatakan
x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p. Contoh
Tentukan selesaian umum persamaan
1. 16x2 + 2p2y - p3x = 0 (PD Linear tingkat satu derajat tiga)
Jawab
(8)
2y = 2 2 3 16 p x x p
2y = px – 16 2 2
p x
Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh 2 dx dy = (p+x dx dp
) – 16 (
4 2 2 2 2 p dx dp p x xp )
2p = (p + x
dx dp
) – 2
32 p x + dx dp p x 3 2 32
2p4 = (p4 +x p3
dx dp
) – (32xp-32x2
dx dp
) p(p3+32x) – x(p3+32x)
dx dp
= 0 (p3 32x)
(p-x
dx dp
) = 0
Persamaan ini dipenuhi jika (p3 32 ) x
= 0 atau (p-x
dx dp
) = 0 Dari bentuk (p-x
dx dp
) = 0 diperoleh dpp =
x dx
dan p = Kx, K R
Substitusikan p = Kx ke persamaan 16x2 + 2p2 y - p3x = 0
diperoleh
16x2 + 2(Kx)2y – (Kx)3x = 0 atau 2 +C2y - C3x2 = 0
Dengan mengganti K = 2C. Faktor (p3 32x)
= 0 tidak diperhatikan, karena tidak memuat
turunan
dx dp
.
(9)
Jawab
Dengan menurunkan persamaan terhadap variabel x, diperoleh
dx dy
= 2(p + x
dx dp
) + (2xp4 + 4x3p2
dx dp
) p = 2(p + x
dx dp
) + (2xp4 + 4x3p2
dx dp
) (p + 2x
dx dp
) + (2xp4 + 4x3p2
dx dp
) = 0 (p + 2x
dx dp
)(1 + 2p3x) = 0
Faktor(1 + 2p3x) = 0, diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari
persamaan (p + 2x
dx dp
) = 0 diperoleh selesaian xp2 = C.
Pada bentuk parameter diperoleh
x
= p2C
, y =
p C
2
C2 .
Hubungan yang terakhir didapat setelah
x
= 2p C
disubstitusi ke
persamaan y = 2px + p4 x2 .
3. x = yp + p2
Jawab x = yp + p2
y = px - p
(10)
dx dy
=
2 p
dx dp x p
-
dx dp
p3- p + (x + p2 )
dx dp
= 0 dpdx + p3x p= -
1 2
p p
(persamaan differensial linear) Selesaiannya xeP(x)dx =
Q(x)eP(x)dx dxDiperoleh
p p x 2 1
=
1
2 p
dp
= - ln(p + p2 1) + C
4. y = (2+p)x + p2
Jawab
Turunkan persamaan terhadap x diperoleh
dx dy
= 2 + p + (x +2p)
dx dp
dpdx + ½ x = -p (persamaan differensial linear) Selesaianya xeP(x)dx =
Q(x)eP(x)dx dx xe 2
p
= -
pe2(x)p
dp = -2pe 2
p
+ 4e 2
p
+ C
Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh x = 2(2-p) + Ce
2
p
+ C, y = 8-p2 + (2+p)Ce
2
p
. 3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x = f(y,p)
(11)
Persamaan pn + P
1 (x,y)p
1
n + P
2(x,y)p
2
n + ... + P
1
n (x,y)p +
Pn (x,y) = 0
diubah dalam bentuk x = f(y,p). Turunkan x = f(y,p) terhadap variabel y didapat
dy dx
= yf + pf dydp
1p = fy +
dy dp p f
F(y,p,dpdy ) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu) selesaian 1p = F(y,p,dpdy ) untuk memperoleh primitif (y,p,C) = 0
Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara x = f(y,p) dan (y,p,C) = 0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh
Tentukan selaian umum persamaan 1. p3 - 2xyp + 4y2 = 0
Jawab
Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh 2x = py2 + 4py
(12)
2 dydx = 2yp dpdy - 2 2
y p
+ 4( 1p - p2
y dy dp ) 2 2 2 4 2 1 2 y p p dy dp p y y p p
(p-2y dydp)(2y2 - p3) = 0
Integrasikan (p-2y dydp) = 0 dan elimasikan di antara p2 = Ky dan
persamaan differensial asal, diperoleh 16y = K(K-2x)3 dengan
mengambil K = 2C.
2. 4x = py(p2 -3)
Jawab.
Turunkan persamaan terhadap y diperoleh 4dydx = p(p2 -3) + 3y(p2 -1)
dy dp
4p = p(p2 -3) + 3y(p2 -1) dy dp y dy + ) 1 )( 4 ( ) 1 ( 3 2 2 2 p p dp p p
= 0 (PD variabel terpisah)
Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh Ln y +
10 9
ln (p+2) +
10 9
Ln (p-2) +
5 3
Ln (p2 +1) = Ln C
Maka y =
5 3 2 10
9
2 4) ( 1)
(p p
C
(13)
x =
4 1
5 3 2 10
9 2
2
) 1 ( ) 4 (
) 3 (
p p
p Cp
4. Persamaan Differensial Clairut
Metode persamaan differensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + f(p). Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y = Cx + f(C) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan C pada persamaan yang diketahui.
Contoh
Tentukan selesaikan persamaan Clairut
1. y = px + 4p2
Jawab
Selesaian umumnya adalah y = Cx + 4C2
2. (y-px)2 = 1 + p2
Jawab
(y-px)2 = 1 + p2
y = px 1p2
Selesaian umumnya (y – Cx - 1C2 )(y – Cx + 1C2 ) = 0
(y-Cx)2 = 1 + C2
3. y = 3px + 6y2 p2
(14)
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut.
Kalikan persamaan dengan y2 diperoleh y3 = 3y2 px + 6y4 p2
Gunakan transformasi v = y3 maka
dx dv
= 3y2
dx dy
, sehingga y3 = 3y2px + 6y4 p2
v = x
dx dv
+
3 2
(
dx dv
)2
Selesaian umumnya v = Kx +
3 2
K2
y3 = Kx +
3 2
K2
y3 = 3Cx + 6C2
4.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini 1. x2 p2 + xyp – 6y2 = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
(xp + 3y)(xp – 2y) =0
xp + 3y = 0 atau xp – 2y = 0
0 3
y
dx dy
x atau x 2y 0
dx dy
0
3
x dx y dy
atau 2 0
x dx y
dy
C x dx y
dy
3
atau
Cx dx y
dy
2
ln y + ln x3C atau ln y – ln x2 = CC
yx
(15)
Primitif (y-cx 3)( 2) 0
cx y
2. xp2 + (y-1-x2)p – x(y-1) = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
(xp +(y-1))(p - x) = 0
xp + y = 1 atau p – x = 0
3. xp2 - 2yp + 4x = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
2y = xp2p4x
= xp + 4 px
Diturunkan secara total terhadap variabel x, diperoleh: 2
dx dy
= (p + x )
dx dp
+ 4 (
2
p dx dp x p
)
3
2p
= (p3+xp2 ) 4( )
dx dp x p dx
dp
0 ) 4
(
4 2
3
dx dp xp x p p
0 ) 4 ( ) 4
( 2 2
dx dp p x p
p
(x p)( dx dp
4-p2)= 0
Diperoleh p = Kx
Karena xp2 - 2yp + 4x = 0, maka
x(Kx)2 - 2y(Kx) + 4x = 0
4. 3xp4 - xp – y = 0 (PD tingkat-1 derajat-4)
(16)
2xpy8p2y
py
p y
x 8
2
6. y2 p2 + 3px – y = 0
7. p2 - xp + y = 0
8. 10y3p2- 4xp + y = 0
9. xp5 - yp4 + (x2 +1)p3 - 2xyp2 + (x + y2 )p – y = 0
10. xp2 - yp – y = 0
11. p2 - xp – y = 0
12. y = (1+p)x + p2
13. y = 2p + 1p2
(1)
Persamaan pn + P
1 (x,y)p 1
n + P
2(x,y)p 2
n + ... + P
1
n (x,y)p + Pn (x,y) = 0
diubah dalam bentuk x = f(y,p). Turunkan x = f(y,p) terhadap variabel y didapat
dy dx
= yf + pf dydp
1p = fy
+
dy dp p f
F(y,p,dpdy ) = 0 (persaman differensial tingkat satu derajat satu) selesaian 1p = F(y,p,dpdy ) untuk memperoleh primitif (y,p,C) = 0
Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara x = f(y,p) dan (y,p,C) = 0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh
Tentukan selaian umum persamaan 1. p3 - 2xyp + 4y2 = 0
Jawab
Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh 2x = py2 + 4py
(2)
2 dydx = 2yp dpdy - 2 2 y p
+ 4( 1p - p2 y dy dp ) 2 2 2 4 2 1 2 y p p dy dp p y y p p
(p-2y dydp)(2y2 - p3) = 0
Integrasikan (p-2y dydp) = 0 dan elimasikan di antara p2 = Ky dan persamaan differensial asal, diperoleh 16y = K(K-2x)3 dengan mengambil K = 2C.
2. 4x = py(p2 -3) Jawab.
Turunkan persamaan terhadap y diperoleh 4dydx = p(p2 -3) + 3y(p2 -1)
dy dp
4p = p(p2 -3) + 3y(p2 -1) dy dp y dy + ) 1 )( 4 ( ) 1 ( 3 2 2 2 p p dp p p
= 0 (PD variabel terpisah)
Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh Ln y +
10 9
ln (p+2) + 10
9
Ln (p-2) + 5 3
Ln (p2 +1) = Ln C
Maka y =
5 3 2 10
9
2 4) ( 1) (p p
C
(3)
x = 4 1
5 3 2 10
9 2
2
) 1 ( ) 4 (
) 3 (
p p
p Cp
4. Persamaan Differensial Clairut
Metode persamaan differensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + f(p). Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y = Cx + f(C) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan C pada persamaan yang diketahui.
Contoh
Tentukan selesaikan persamaan Clairut
1. y = px + 4p2
Jawab
Selesaian umumnya adalah y = Cx + 4C2
2. (y-px)2 = 1 + p2 Jawab
(y-px)2 = 1 + p2 y = px 1p2
Selesaian umumnya (y – Cx - 1C2 )(y – Cx + 1C2 ) = 0
(y-Cx)2 = 1 + C2
3. y = 3px + 6y2 p2 Jawab
(4)
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut. Kalikan persamaan dengan y2 diperoleh y3 = 3y2 px + 6y4 p2 Gunakan transformasi v = y3 maka
dx dv
= 3y2
dx dy
, sehingga y3 = 3y2px + 6y4 p2
v = x
dx dv
+ 3 2
(
dx dv
)2 Selesaian umumnya
v = Kx + 3 2
K2 y3 = Kx +
3 2
K2 y3 = 3Cx + 6C2
4.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini 1. x2 p2 + xyp – 6y2 = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
(xp + 3y)(xp – 2y) =0
xp + 3y = 0 atau xp – 2y = 0 0
3
y
dx dy
x atau x 2y 0
dx dy
0
3
x dx y dy
atau 2 0
x dx y
dy
C x dx y
dy
3
atau
Cx dx y
dy
2
(5)
Primitif (y-cx 3)( 2) 0
cx y
2. xp2 + (y-1-x2)p – x(y-1) = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
(xp +(y-1))(p - x) = 0
xp + y = 1 atau p – x = 0
3. xp2 - 2yp + 4x = 0 (PD tingkat-1 derajat-2)
2y = xp2p4x
= xp + 4 px
Diturunkan secara total terhadap variabel x, diperoleh:
2
dx dy
= (p + x )
dx dp
+ 4 ( 2
p dx dp x p
)
3
2p
= (p3+xp2 ) 4( )
dx dp x p dx
dp
0 ) 4
(
4 2
3
dx dp xp x p p
0 ) 4 ( ) 4
( 2 2
dx dp p x p
p
(x p)(
dx dp
4-p2)= 0 Diperoleh p = Kx
Karena xp2 - 2yp + 4x = 0, maka x(Kx)2 - 2y(Kx) + 4x = 0
4. 3xp4 - xp – y = 0 (PD tingkat-1 derajat-4) 5. 8yp2 - 2 xp + y = 0
(6)
2xpy8p2y
py
p y
x 8
2
6. y2 p2 + 3px – y = 0 7. p2 - xp + y = 0
8. 10y3p2- 4xp + y = 0
9. xp5 - yp4 + (x2 +1)p3 - 2xyp2 + (x + y2 )p – y = 0 10. xp2 - yp – y = 0
11. p2 - xp – y = 0 12. y = (1+p)x + p2 13. y = 2p + 1p2