Dimensi suatu Besaran Pokok, Besaran Turunan dan Analisis Dimensi Perkalian Vektor

Konferensi Umum mengenai Berat dan Ukuran ke-14 1971, berdasarkan hasil-hasil pertemuan sebelumnya dan hasil-hasil panitia internasional, menetapkan tujuh besaran sebagai dasar. Ketujuh besaran ini merupakan dasar bagi Sistem Satuan Internasional, biasanya disingkat SI, dari bahasa Prancis “Le Systeme International d’Unites.” Banyak contoh-contoh satuan turunan SI, seperti kecepatan, gaya, hambatan listrik, dan sebagainya. Sebagai contoh, satuan SI untuk gaya disebut newton disingkat N, yang dalam satuan dasar SI didefinisikan sebagai 1 N = 1 m ∙ kgs 2 Hal ini akan dijelaskan lebih lanjut dalam pasal 5. Akibat adanya kesukaran yang ditimbulkan oleh penggunaan sistem satuan yang berbeda, maka muncul gagasan untuk menggunakan hanya satu jenis satuan saja untuk besaran-besaran dalam ilmu pengetahuan alam dan teknologi. Suatu perjanjian internasional telah menetapkan satuan internasional International System of Units disingkat satuan SI. Satuan SI ini diambil dari sistem metrik yang telah digunakan di Prancis setelah revolusi tahun 1789. Karena ada tujuh besaran pokok, maka juga ada tujuh satuan pokok dalam SI, yaitu: meter m, kilogram kg, sekon s, ampere A, kelvin K, candela cd, dan mol mol.

2.3 Dimensi suatu Besaran Pokok, Besaran Turunan dan Analisis Dimensi

Dimensi suatu besaran menujukkan cara besaran itu tersusun dari besaran- besaran pokok. Dimensi besaran pokok dinyatakan dengan lambang huruf tertentu ditulis huruf besar, dan atau diberi kurung persegi. Sebagai contoh, dimensi dari besaran massa ditulis M atau [M]. Dimensi suatu besaran turunan ditentukan oleh rumus besaran turunan tersebut jika dinyatakan dalam besaran-besaran pokok. Sebagai contoh, dimensi dari besaran percepatan yang didefinisikan sebagai hasil bagi dari kecepatan dan waktu adalah sebagai berikut : [ percepatan ] = [ kecepatan ] [ waktu ] = [ L ] [ T ] 2 = [L][T] -2 Adapun cara-cara menentukan dimensi besaran turunan dari dimensi besaran pokok yaitu : Besaran Turunan Definisi Simbol Dimensi 6 Volume V p∙ l ∙t [L][L][L] [L] 3 Massa jenis ρ Massa per volume m V [ M ] [ L] 3 [M][L] -3 Kecepatan v Perpindahan per waktu s t [ L] [ T ] [L][T] -1 Percepatan a Kecepatan per waktu v t [ L ] [ T ] 2 [L][T] -2 Tabel 1.4. Menentukan dimensi besaran turunan dari dimensi besaran pokok Analisis dimensi dalam fisika adalah alat konseptual yang sering diterapkan dalam fisika , dan teknik untuk memahami keadaan fisis yang melibatkan besaran fisis yang berbeda-beda. Adapun tiga manfaat dimensi dalam fisika, sebagai berikut. 1. Dapat digunakan untuk membuktikan dua besaran fisis setara atau tidak. Dua besaran fisis yang hanya setara jika keduanya memiliki dimensi yang sama dan keduanya termasuk besaran skalar atau keduanya termasuk besaran vektor. 2. Dapat digunakan untuk menetukan persamaan yang pasti atau mungkin benar. 3. Dapat digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan besaran fisis tersebut dengan besaran fisis lainnya diketahui.

2.4 Pengertian Skalar , Vektor dan Representasi Vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran ‐besaran seperti massa, jarak, waktu dan volume, termasuk besaran skalar, yakni besaran yang hanya memiliki besar atau nilai saja tetapi tidak memiliki arah. Sedangkan besaran seperti perpindahan, kecepatan, percepatan dan gaya termasuk besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki besar atau nilai dan juga memiliki arah. Dalam besaran vektor kita hanya mementingkan atau memfokuskan hanya pada nilai suatu besarannya tetapi kita juga akan memperhatikan arah dari besaran vektor tersebut. Beberapa contoh besaran vektor misalnya perpindahan, gaya dan lain-lain. Jika kita menyatakan perpindahan selalu disertai arah, cara menyatakan atau menggambarkan vektor ada 3 cara, yaitu dengan diagram vektor, notasi huruf dan notasi analitis. 1. Cara pertama yaitu dengan diagram vektor, vektor dapat digambarkan dengan anak panah. 7 1. Besar dan arah vektor dapat kita lihat atau dapat digambarkan melalui diagram vektor. Misalkan diagram vektor di atas, kita dapat melihat besar dan arah vektor A dan B, panjang dari anak panah dapat kita lihat sebagai besar atau nilai vektornya misalnya panjang anak panahnya 1 meter, sedangkan arah dari vektor tersebut dapat kita lihat dari arah kepala anak panah pada diagram vektor. 2. Cara yang kedua adalah dengan notasi huruf. Ada beberapa aturan dalam penulisan vektor menggunakan huruf. Vektor dapat ditulis dengan huruf kapital yang dicetak tebal, huruf kecil yang dicetak tebal, dan dalam penulisan sehari-hari biasanya ditulis dengan menambahkan anak panah di atas huruf yang menyatakan vektor. Sebagai contohnya vektor AB, dapat ditulis AB, ab, ataupun ´ AB dan ⃗ ab . Vector AB memiliki arti atau dapat diartikan bahwa arah vektornya dari vektor A ke vektor B. 3. Cara yang ketiga adalah dengan notasi analitis. Notasi ini digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar atau diagram. Contoh : vektor a dapat dinyatakan dalam komponen – komponen sebagai berikut : 8 Gambar 1.2 Menggambarkan vektor dengan cara notasi analitis Gambar 1.1 Vektor AB digambarkan dalam diagram vektor A B a a x a y x y x y z a y a z a x A B Gambar 1.3 Vektor yang sama Lebih mudah jika menyatakan vektor menggunakan vektor satuan dalam arah sepanjang sumbu – sumbu koordinat yang dipilih. Dalam koordinat siku – siku biasanya digunakan lambang khusus i, j dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y dan z positif berturut – turut. Ada beberapa catatan yang perlu diperhatikan, antara lain : 1. Dua vektor dikatakan sama jika arah dan besarnya sama Jika vektor dinyatakan seperti gambar di atas, maka dapat dikatakan A = B 2. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : a. Dua vektor besarnya sama tetapi arahnya berbeda b. Dua vektor yang besarnya tidak sama tetapi memiliki arah yang sama c. Dua vektor yang besar dan arahya berbeda 9 Gambar 1.4 vektor dengan arah yang berbeda Gambar 1.5 vektor dengan besar yang berbeda Gambar 1.6 vektor dengan arah dan besar yang berbeda B A A B A B 2.5 Operasi Vektor, Resultan Vektor dan Metodenya Dalam kehidupan sehari-hari, besaran – besaran baik besaran skalar maupun vektor juga sering dilibatkan dalam operasi hitung baik penjumlahan, pengurangan dan perkalian. Untuk besaran-besaran skalar dalam operasi hitung mengikuti kaidah berhitung biasa. Sedangkan untuk besaran vektor dalam operasi hitung mengikuti kaidah-kaidah berhitung yang berbeda dengan kaidah berhitung besaran scalar sehingga memerlukan pembahasan tersendiri yang biasanya terangkum dalam kajian analisis vektor. Dalam vektor, ada beberapa operasi-operasi atau cara-cara yang dapat digunakan dalam menentukan nilai dari sebuah vektor, diantaranya adalah sebagai berikut : 1. Operasi Penjumlahan dan pengurangan Diberikan 2 buah vektor seperti pada gambar. Tentukan hasil A + B = … ? Dalam penjumlahan vektor tanda “+” dalam penjumlahan vektor memilki arti dilanjutkan, jadi jika A + B berarti vektor A dilanjutkan oleh vektor B seperti pada gambar dibawah kita dapat lihat bahwa vector A diteruskan oleh vector B sehingga hasilnya adalah garis panjang yang berwarna merah. Untuk pengurangan vektor tanda “-“ berarti berlawanan arah misalnya vektor A-B, dapat kita kurangi atau hitung seperti pada gambar dibawah ini. 10 A B A + A B − A - B Gambar 1.8 Vektor A + B Gambar 1.9 Vektor A - B A B Gambar 1.7 Vektor A dan B Dalam operasi vektor ini berlaku beberapa hukum, antara lain : a. Hukum Komutatif A + B = B + A 1.1 b. Hukum Asosiatif Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan atau pengelompokan vektor dalam penjumlahan, hasilnya akan sama. A + B + C = A + B + C 1.2

2. Resultan vektor dan metode mencari resultan

Resultan merupakan hasil penjumlahan dari beberapa vektor. Dalam menentukan resultan dari suatu vector dapat menggunakan beberapa cara atau metode antara lain metode jajar genjang, metode segi banyak atau poligon dan metode analitik. a. Metode Jajar genjang Dalam metode jajar genjang resultan vektornya dinyatakan oleh diagonal jajar genjang yang dibentuk oleh dua vector tersebut. Misalkan diberikan dua vector A dan B seperti pada gambar di bawah, 11 A A B B A B C Gambar 1.10 Gambar 1.11 Gambar 1.12 Dalam menentukan resultan vector AB diatas dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu: 1. Titik pangkal vektor B diletakkan berhimpit dengan vektor A 2. Gambar jajar genjang dengan P dan Q sebagai sisinya, lalu tarik garis diagonalnya Besar R dapat ditentukan dengan cara : AB ¿ ¿ BC ¿ ¿ AC 2 = ¿ 1.3 AB ¿ ¿ BC ¿ ¿ ¿ ¿ 1.4 1.5 12 A B P Q R α α A B C D Gambar 1.13 Metode Jajargenjang AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 AB BCcos α Dimana diketahui : AB = P BC = AD = AC = R Sehingga persamaan 1.5 dapat ditulis menjadi R 2 = P 2 + Q 2 + 2 PQ cos α 1.6 1.7 Catatan : 1. Jika vektor P dan Q searah, maka α = 0 dan R = √ P 2 + Q 2 + 2 P Q 1.8 2. Jika vektor P dan Q berlawanan arah, maka α = 180 dan R= √ P 2 + Q 2 − 2 P Q 1.9 3. Jika vektor P dan Q saling tegak lurus, maka α = 90 dan R = √ P 2 + Q 2 1.10 b. Metode Segi Banyak Poligon Menghitung nilai resultan juga dapat dilakukan dengan metode polygon segi banyak. Metode poligon adalah cara meresultankan vektor dengan cara menggambar. Salah satu vektor sebagai acuan dan vektor lain disambungkan dengan pangkal tepat pada ujung vektor sebelumnya. Resultan vektornya dapat dibentuk dengan menggambar anak panah dari pangkal awal hingga ujung akhir. Sri Handayani : 42 Pada suatu keadaan tertentu metode polygon dapat mempermudah penyelesaian perhitungan resultan vektor. Gambar : 13 R= √ P 2 + Q 2 + 2 P Q cos α F H G E Gambar 1.14 Beberapa vektor Jika akan mencari resultannya maka digambar terlebih dahulu c. Metode Analitik Jika pada satu titik bekerja lebih dari 1 vektor, maka untuk mencari resultannya dapat digunakan metode analitik uraian. Dalam metode ini, vektor akan diproyeksikan ke dalam komponen-komponennya dalam suatu system kordinat tertentu. Vektor-vektor tersebut dapat doproyeksikan pada 2 arah sumbu x dan sumbu y. Vektor-vektor yang sejajar dapat dihitung resultannya dengan cara dijumlahkan atau dikurangkan. 2 resultan pada arah sejajar pasti saling tegak lurus, sehingga resultan akhirnya dapat ditentukan dengan dalil phytagoras bar : Resultan proyeksi-proyeksi gaya yang searah memenuhi persamaan berikut : 1.11 1.12 dimana : 14 F G E R H ⃗ F 1 y ⃗ F 1 ⃗ F 2 ⃗ F 2 y β α ⃗ F 2 x ⃗ F 1 x ∑ F X = F 1 X − F 2 X ∑ F Y = F 1 Y + F 2 Y Gambar 1.15 Metode Poligon Gambar 1.16 Metode Analitik 1 X= ¿ F ¿ F 1 cos θ 1.13 2 X= ¿ F ¿ F 2 cos θ 1.14 F 1y = F 1 sin θ 1.15 2 y= ¿ F ¿ F 2 sin θ 1.16 Resultan gaya – gaya tersebut dapat memenuhi persamaan berikut : 1.17 1.18 Dengan : R: besar resultan gaya θ : sudut F R terhadap sumbu x

2.6 Perkalian Vektor

Di atas telah dijelaskan mengenai operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, sekarang akan dijabarkan mengenai operasi perkalian vektor. Operasi perkalian vektor ada 2 jenis, yaitu perkalian skalar dengan vektor dan perkalian vektor dengan vektor. Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik dot product dan perkalian silang cross product. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Perkalian ini berarti mengalikan bilangan biasa skalar dengan vektor. Hasil perkalian ini adalah vektor baru. Notasi penulisan perkalian ini adalah : 1.19 Vektor B memiliki besar k kali vektor A. jika nilai k positif + maka vektor B akan memiliki arah yang sama dengan vektor A. namun jika k bernilai negative maka vektor B berlawanan arah dengan vektor A. 2. Perkalain Vektor dengan Vektor ada 2 jenis perkalain ini, yaitu a. Perkalain tititkdot • 15 R= √ F 1 X 2 + F 2 Y 2 tgθ= ∑ F Y ∑ F X B = kA Perkalian titik 2 buah vektor, A dan B dapat dituliskan A • B . 2 buah vektor yang dioperasikan dengan perkalian titik menghasilkan bilangan biasa skalar Gambar 1.17 1.20 Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam perkalian titik, antara lain :  Dalam perkalian titik berlaku hukum komutatif A•B = B•A 1.21 perklaian dot tidak memperhatikan urutan  Perkalian titik juga memenuhi hukum distributif A•B+C = A•B + A•C 1.22  Jika vektor A dan B saling tegak lurus θ = 90 maka A•B = 0 1.23  Jika kedua vektor memiliki arah yang sama searah θ = 0, maka A•B = AB 1.24 Jika A=B akan diperoleh A•A = A 2 atau B•B = B 2 1.25  Jika θ = 180 maka vektor A dan B akan berlawanan arah A•B = −AB 1.26 b. Perkalian silangcross × Dengan notasi A×B dibaca A cross B, perkalian silang 2 vektor ini menghasilkan sebuah vektor baru. Vektor hasil perkalian ini dapat digambarkan sebagai sebuah vektor yang tegak lurus terhadap masing-masing vektor tersebut. Hal – hal penting yang harus diingat dalam perkalian silang, antara lain : 16 A θ B A•B = AB cos θ  Perkalain silang bersifat anti komutatif A × B = −B × A 1.27  Sudut yang dibentuk vektor A dan B 90 tegak lurus maka │A × B│= AB 1.28  Jika vektor A dan B segaris dengan θ = 0 ataupun θ = 180 searah ataupun berlawanan maka │A × B│= 0 1.29

2.7 Penerapan Perkalian Vektor