BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial,
model predator prey lotka-voltera, model logistic, fungsi respon, titik ekuilibrium,
linearisasi sistem persamaan nonlinear, analisis kestabilan, bifurkasi, dan manifold
center yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III.
A. Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi
Aplikasi dari aljabar linear terhadap matriks dengan persamaan dan variabel didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.1: J.Hale, H.Kocak : 267
Nilai � disebut nilai eigen dari matriks yang berukuran × jika ada
vektor bukan nol sedemikian sehingga, =
� ...............................................2.1
Vektor � disebut vektor eigen dari ketika berkorespondensi dengan nilai eigen
�. Untuk mencari nilai eigen dari matriks
Persamaan 2.1 dapat ditulis kembali menjadi,
= ��
− �� = 0
− �� = 0………………….………2.2
Karena merupakan vektor bukan nol, maka − �� = 0. Dengan kata lain,
Persamaan 2.2 dapat dipenuhi jika dan hanya jika, − �� = 0
Berikut adalah definisi dari determinan matriks dengan ukuran × .
Definisi 2.2 : Anton, 1988: 63
Misalkan adalah sebuah matriks berukuran
× . Fungsi determinan dinyatakan dengan
dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari . Jumlah
dinamakan determinan .
Contoh 2.1 : nilai eigen real berbeda Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut :
= 5
−4 4
−5 Penyelesaian :
− �� = 5
−4 4
−5 − � 0
� − �� =
5 − �
−4 4
−5 − � Persamaan karakteristiknya adalah
det A − Iλ = 5 − � −5 − � − −4 4 = 0
�
2
− 25 + 16 = 0 �
2
= 9 �
1
= 3, �
2
= −3
Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah 3 dan -3 Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks
Misalkan vektor eigen dari adalah
=
1 2
untuk �
1
= −3
− �� = 5
− −3 −4
4 −5 − −3
1 2
= 8
−4 4
−2
1 2
= diperoleh,
8
1
− 4
2
= 0 4
1
− 2
2
= 0
2
= 2
1
sehingga diperoleh vektor eigen 1
2
1
untuk �
1
= 3 − �� =
5 − 3
−4 4
−5 − 3
1 2
= 2
−4 4
−8
1 2
=
diperoleh, 2
1
− 4
2
= 0 4
1
− 8
2
= 0
1
= 2
2
sehingga diperoleh vektor eigen 2
1
2
Contoh 2.2 : nilai eigen kompleks dan berbeda Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut :
= −4
1 Penyelesaian :
− �� = −4
1 0 −
� 0 �
− �� = −� − 4
1 −�
Persamaan karakteristiknya adalah det
A − I� = −� −� − −4 1 = 0
�
2
+ 4 = 0
�
2
= −4
�
1
= 2 atau �
2
= −2
Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah 2 dan
−2 .
Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks . Misalkan vektor eigen dari adalah
=
1 2
untuk �
1
= 2 − �� =
−2 −4
1 −2
1 2
= diperoleh,
−2
1
− 4
2
= 0
1
− 2
2
= 0
2
= −
1 2
1
sehingga diperoleh vektor eigen 1
− 1
2
1
untuk �
1
= −2
− �� = 2
−4 1
2
1 2
= diperoleh,
2
1
− 4
2
= 0
1
+ 2
2
= 0
1
= −2
2
sehingga diperoleh vektor eigen −
2 1
2
Contoh 2.3 : nilai eigen kembar Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut :
= 3
3 Penyelesaian :
− �� = 3
3 − � 0
� =
− �� = 3
− � 3
− � =
Persamaan karakteristiknya adalah det
− �� = 3 − � 3 − � = 0 3
− �
2
= 0
�
1,2
= 3 Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah 3.
Selanjutnya akan dicari vektor eigen dari matriks . Misalkan vektor eigen dari adalah
=
1 2
untuk � = 3
− �� = 3
− 3 3
− 3
1 2
= diperoleh,
3.0 + 0.
2
= 0 sehingga diperoleh vektor eigen
1
1
dan 1
2
Definisi 2.3: Anton,1991:281
Matriks A berukuran × dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang
dapat di-invers sedemikian sehingga �
−1
� adalah matriks diagonal. Sehingga dapat dikatakan bahwa matriks
� mendiagonalisasi mariks .
Teorema 2.1 : Anton, 1991:285
Jika adalah matriks × , maka kedua pernyataan berikut ini ekuivalen,
i dapat didiagonalisasi.
ii mempunyai vektor eigen bebas linear.
Bukti: i
⇒ ii Karena dapat didiagonalisasi maka terdapat matriks
� yang memiliki invers, misal,
� =
11 1
⋱
1
sehingga �
−1
� = adalah matriks diagonal, dimana =
�
1
⋱ �
maka,
��
−1
� = �
� = �
� =
11 1
⋱
1
�
1
⋱ �
= �
1 11
�
1
⋱ �
1 1
� ……….2.3
Jika dimisalkan
1
,
2
, … , menyatakan vektor-vektor kolom �, maka bentuk
2.3 kolom-kolom � yang berurutan merupakan �
1 1
, �
2 2
, … , �
. Kolom � yang berurutan adalah
1
,
2
, … ,
. Sehingga diperoleh
1
= �
1 1
,
2
= �
2 2
, … ,
= �
………………...2.4 Karena matriks
� memiliki invers, maka vektor-vektor kolomnya tidak bernilai nol semuanya, jadi berdasarkan Definisi 2.1,
�
1
, �
2
, … , � adalah nilai-nilai eigen
, dan
1
,
2
, … , adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena �
memiliki invers maka diperoleh bahwa
1
,
2
, … , bebas linear. Jadi memiliki
vektor eigen bebas linear. ii
⇒ i Karena mempunyai vektor eigen bebas linear, misalkan
1
,
2
, … , maka
terdapar nilai-nilai eigen yang bersesuaian yaitu �
1
, �
2
, … , � , dan misalkan
� =
11 1
⋱
1
adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah
1
,
2
, … , . Karena
1
,
2
, … , merupakan vektor eigen dari matriks dan kolom-kolom dari hasil
kali � adalah
1
,
2
, … ,
, maka
1
= �
1 1
,
2
= �
2 2
, … ,
= �
sehingga diperoleh, � =
�
1 11
�
1
⋱ �
1 1
� =
11 1
⋱
1
�
1
⋱ �
= � matriks D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen
�
1
, �
2
, … , �
pada diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom � bebas linear, maka
matriks � memiliki invers. Jadi dapat didiagonalisasi.∎
Contoh 2.4: Tunjukkan bahwa matriks pada Contoh 2.1 dapat didiagonalisasi.
Penyelesaian:
Berdasarkan Contoh 2.1 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu 1 =
1 2
dan 2 =
2 1
. Matriks � dapat dibentuk dari vektor-vektor eigen
yaitu � =
1 2
2 1
, dengan �
−1
= −
13 23
23 −13
Matriks D didefinisikan sebagai berikut. =
�
−1
� �
−1
� = − 13
23 23
−13 5
−4 4
−5 1
2 2
1 =
1 −2
2 −1
1 2
2 1
= −
3 3
= −
3 3
adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks pada
diagonal utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks dapat
didiagonalisasi oleh matriks �.∎
Contoh 2.5: Tunjukkan bahwa matriks pada Contoh 2.2 dapat didiagonalisasi.
Penyelesaian: Berdasarkan Contoh 2.2 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu
1 = 1
−0,5 dan
2 = −
2 1
. Matriks � dapat dibentuk dari vektor-vektor
eigen yaitu � =
1 −0,5
−2 1
, dengan �
−1
= 12
4 12
Matriks D didefinisikan sebagai berikut. =
�
−1
� �
−1
� = 12
4 12
−4 1
1 −0,5
−2 1
= −2
12 −
1 −0,5
−2 1
= 2
−2
= 2
−2 adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks
pada diagonal utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks
dapat didiagonalisasi oleh matriks
�.∎
Contoh 2.6: Tunjukkan bahwa matriks pada Contoh 2.3 dapat didiagonalisasi.
Penyelesaian: Berdasarkan Contoh 2.3 matriks A mempunyai 2 vektor eigen yaitu
1 = 1
dan 2 =
1 . Matriks
� dapat dibentuk dari vektor-vektor eigen yaitu
� = 1
1 , dengan
�
−1
= 1
1 matriks D didefinisikan sebagai berikut,
= �
−1
� �
−1
� = 1
1 3
3 1
1 =
3 3
= 3
3 adalah matriks diagonal dengan nilai eigen matriks pada diagonal
utamanya. Sehingga dapat ditunjukkan bahwa matriks dapat didiagonalisasi oleh matriks
�.∎
B. Sistem Persamaan Differensial
