21
Definisi 2.7: Yuri A. Kuznetsov, 1998: 93
Misalkan , dapat diturunkan hingga kali pada
, = , , maka , dapat dinyatakan sebagai deret kuasa,
, = , +
�
′
, �
+
�
′
�
+
�
′′
, � �
+ +
1 �
+
, � �
2.29
Persamaan 2.28 merupakan deret Taylor dengan satu variabel menggunakan pusat
= , sedangkan Persamaan 2.29 merupakan deret Taylor dengan dua variabel menggunakan pusat
, = , , jika pusat = 0 atau , = 0,0 disebut dengan deret Maclaurin.
Contoh 2.12: Akan dicari deret Taylor dari
, = − dengan pusat
, = 0,0 . Penyelesaian :
Dicari : 0,0 = 0,
�
′
0,0 �
= ,
�
′
0,0 �
= 0,
�
′′
0,0 � �
= − ……………2.30
Sehingga diperoleh deret Taylor dari , dengan mensubtitusikan 2.30 ke
2.28 yaitu , =
− +
F. Analisis Kestabilan
Definisi 2.8: Olsder:2003:53
Diberikan sebuah sistem persamaan differensial = , dengan kondisi awal
0 = , dan penyelesaian pada waktu dinotasikan dengan
, , maka
i Sebuah vektor
yang memenuhi = 0 disebut titik ekuilibrium. ii
Sebuah titik ekuilibrium disebut stabil jika untuk setiap 0 ada
0 sedemikian sehingga, jika − , maka ,
− untuk setiap
0. iii
Sebuah titik ekuilibrium disebut stabil asimtotik jika stabil dan ada sebuah
1
0 sedemikian sehingga lim
→∞
, − = 0 bila
−
1
.
22
iv Sebuah titik ekuilibrium x tidak stabil jika untuk setiap 0 ada
0 sedemikian sehingga, jika x
− x , maka x t, x − x
untuk setiap t
0.
Berikut gambar ilustrasi kestabilan titik ekuilibrium yang stabil, stabil asimtotik, dan tidak stabil.
Stabil Stabil Asimtotik
Tidak Stabil
Gambar 2. 4 Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa titik ekuilibrium stabil jika tiap solusi
pada waktu memiliki jarak yang dekat dengan titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium
stabil asimtotik jika tiap solusi pada waktu dan pada setiap diambil titik awal, solusi mendekati titik ekuilibrium. Sedangkan titik ekuilibrium
dikatakan tidak stabil apabila tiap solusi pada waktu dan pada setiap diambil titik awal, solusi menjauhi titik ekuilibrium.
Titik ekuilibrium dapat dicari kestabilannya menggunakan nilai eigen pada matriks Jacobiannya
, jika titik ekuilibrium tersebut hiperbolik. Berikut definisi dari titik ekuilibrium hiperbolik,
Definisi 2.9 Perko, 2001: 102
Titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen dari matriks
Jacobian mempunyai bagian real tak nol.
Berikut adalah teorema mengenai kestabilan titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigennya,
23
Teorema 2.2 : Olsder dan Woude, 2003:57
Diberikan sistem linear =
, dengan matriks berukuran × dan memiliki
k nilai eigen yang berbeda � untuk = 1,2, … dan
, maka i
Titik ekuilibrium = 0 dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk setiap
� 0. ii
Titik ekuilibrium = 0 dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika ada paling sedikit satu
� 0.
Bukti : i
Akan dibuktikan titik ekuilibrium = 0 stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk setiap
� 0 Penyelesaian :
Pembuktian ke kanan Berdasarkan Definisi 2.8 ii, sebuah titik ekuilibrium
disebut stabil asimtotik jika
lim
→∞
, − = 0. Artinya untuk t mendekati ∞, maka ,
akan medekati ke = 0. Karena ,
merupakan solusi dari sistem persamaan differensial, maka berdasarkan Persamaan 2.11,
, selalu
memuat
�
. Sehingga jika
�
menuju ke = 0, maka � haruslah
bernilai kurang dari nol negatif.
Pembuktian ke kiri Karena
, merupakan solusi dari sistem persamaan differensial, maka
, berdasarkan Persamaan 2.11 selalu memuat
�
. Jika � 0
maka untuk → ∞, ,
akan mendekati = 0, atau dapat ditulis lim
→∞
, − = 0. Berdasarkan Definisi 2.28 ii, titik ekuilibrium
= 0 stabil asimtotik. ∎
ii Akan dibuktikan titik ekuilibrium tidak stabil jika dan hanya jika untuk
setiap � 0.
Penyelesaian :
24
Pembuktian ke kanan Titik ekuilibrium
= 0 tidak stabil jika untuk mendekati ∞ maka ,
mendekati ∞. Karena , solusi dari sistem persamaan differensial
maka berdasarkan Persamaan 2.11 ,
selalu memuat
�
. Sehingga ,
mendekati ∞ akan terpenuhi jika � 0.
Pembuktian ke kiri Karena
, merupakan solusi dari sistem persamaan differensial, maka
, berdasarkan Persamaan 2.11 selalu memuat
�
. Jika � 0
mengakibatkan untuk → ∞ maka ,
mendekati ∞ atau dengan kata lain ,
menjauhi titik ekuilibrium = 0. Sehingga = 0 dikatakan tidak stabil. ∎
G. Bifurkasi
