Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
112
D. Luas Segit iga
a. Diket ahui alas dan t inggi segit iga.
Misal kan
∆
ABC memil iki panj ang alas = a dan t inggi = t maka Luas segit iga = [ ABC] =
2 1
at Dari persamaan di at as akan didapat
i Dua buah segit iga yang al as dan t ingginya sama panj ang akan memil iki l uas yang sama.
Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis
l
1
dan
l
2
adal ah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi
∆
ABC,
∆
ABD akan sama. Karena panj ang alasnya sama yait u AB maka
∆
ABC,
∆
ABD keduanya memil iki l uas yang sama. Sebagai t ambahan, misal kan perpot ongan kedua segit iga
di t it ik E, maka l uas
∆
ACE = Luas
∆
BDE. ii
Dua buah segit iga yang al as at au t ingginya sama maka perbandingan l uasnya bert urut -t urut dapat dinyat akan sebagai perbandingan t inggi at au al asnya.
Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis
l
1
dan
l
2
adal ah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi
∆
ABC,
∆
ADE akan sama. Maka perbandingan l uas
∆
ABC dan
∆
ADE dapat dinyat akan sebagai perbandingan al as. Luas
∆
ABC : Luas
∆
ADE = panj ang AB : AD. Cont oh 30 :
Hit ungl ah l uas daerah yang diarsir
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
113
Sol usi : Luas daerah yang diarsir
= Luas
∆
ABD + Luas
∆
ABE
−
2
⋅
Luas
∆
ABC =
2 1
⋅
4
⋅
6 +
2 1
⋅
4
⋅
9
−
2
⋅
2 1
⋅
4
⋅
3 =
12 +
18
−
12 cm
2
= 18
cm
2
Cont oh 31 : Pada t rapesium ABCD sisi AB sej aj ar DC. Tit ik E t erl et ak pada sisi AB sehingga AE : EB = 3 : 5. Jika
l uas segit iga AED = 6 maka l uas segit iga ABD sama dengan
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi :
Segit iga AED dan segit iga ABD memil iki t inggi yang sama, maka perbandingan l uas dapat dinyat akan sebagai perbandingan alas.
[ AED] : [ ABD] = AE : AB = 3 : 8 [ ABD] =
3 8
[ AED] =
3 8
⋅
6 = 16 Jadi, l uas segit iga ABD sama dengan 16.
b. Diket ahui dua sisi dan sat u sudut yang mengapit kedua sisi t ersebut .
Misal kan
∆
ABC memil iki sisi-sisi a, b dan c sert a t it ik sudut A, B dan C. Luas segit iga ABC = [ ABC] =
2 1
ab sin C =
2 1
ac sin B =
2 1
bc sin A Cont oh 32 :
OSP 2002 Segit iga ABC memiliki panj ang sisi AB = 10, BC = 7, dan CA = 12. Jika set iap sisi diperpanj ang menj adi t iga kal i panj ang semul a, maka segit iga yang t erbent uk memiliki l uas
berapa kal i luas
∆
ABC ? Sol usi :
Luas segit iga semula =
2 1
ab sin C Luas segit iga akhir =
2 1
3a3bsin C = 9
⋅
2 1
ab sin C Luas segit iga akhir = 9
⋅
Luas segit iga semul a Jadi, perbandingan l uas segit iga akhir dengan l uas segit iga semula adalah = 9
Berdasarkan cont oh 32 kit a akan dapat kan f akt a bahwa j ika dua buah segit iga yang sebangun memil iki perbandingan sisi sama dengan k maka perbandingan l uasnya akan sama dengan k
2
.
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
114
Cont oh 33 : Tit ik D dan E bert urut -t urut t erl et ak pada sisi AB dan AC dari suat u segit iga ABC dengan AD : DB =
1 : 2 dan AE : EC = 2 : 3. Jika l uas segit iga ABC sama dengan 15 maka l uas segit iga ADE adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : [ ADE] =
2 1
AD
⋅
AE sin
∠
BAC [ ADE] =
2 1
⋅
3 1
AB
⋅
5 2
AC sin
∠
BAC [ ADE] =
15 2
⋅
2 1
AB
⋅
AC sin
∠
BAC [ ADE] =
15 2
[ ABC] =
15 2
⋅
15 = 2 Jadi, l uas segit iga ADE adal ah 2.
c. Diket ahui ket iga sisi.
Misal kan
∆
ABC memil iki sisi-sisi a, b dan c Luas segit iga ABC dapat dihit ung dengan menggunakan rumus Heron yait u
Luas segit iga = [ ABC] =
c s
b s
a s
s −
− −
dengan s =
2 1
a + b + c Cont oh 34 :
Segit iga ABC memil iki sisi-sisi yang panj angnya 5, 6 dan 7. Luas segit iga ABC t ersebut adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : s =
2 1
a + b + c =
2 1
5 + 6 + 7 = 9 Luas segit iga = [ ABC] =
c s
b s
a s
s −
− −
=
7 9
6 9
5 9
9 −
− −
= 6
6
Jadi, l uas segit iga ABC sama dengan 6
6
LAT IHAN 3. D
1. Pada segit iga ABC diket ahui a = 2
√
2, b = 2
√
3 dan sudut A = 45
o
, maka l uas segit iga it u adal ah
⋅⋅⋅⋅
2. Al abama MC 2003 ABCD adal ah t rapesium dengan AB sej aj ar DC. Panj ang AB = 12 dan CD = 9.
Diagonal AC dan BD berpot ongan di t it ik X. Diket ahui bahwa l uas segit iga AXB = 64. Luas segit iga CXD adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
3. OSP 2004 Pada sisi-sisi SU, TS dan UT dari
∆
STU dipil ih t it ik-t it ik P, Q dan R bert urut -t urut sehingga SP =
4 1
SU, TQ =
2 1
TS dan UR =
3 1
UT. Jika luas segit iga STU adal ah 1, berapakah l uas segit iga PQR ?
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
115
4. Diket ahui koordinat t it ik A4, 7, B6, 13 dan C7, 9. Berapakah l uas segit iga ABC ?
5. OSP 2009 AIME 1988 Diberikan segit iga ABC dengan t an
∠
CAB =
7 22
. Mel al ui t it ik sudut A dit arik garis t inggi sedemikian rupa sehingga membagi si si BC menj adi segmen-segmen dengan panj ang 3
dan 17. Luas segit iga ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Canadian MO 1969 Misalkan ABC adalah sebuah segit iga dengan sisi-sisinya a, b dan c. Garis bagi
yang dit arik dari t it ik C memot ong AB di D. Bukt ikan bahwa panj ang CD =
b a
ab
C
+
2
cos 2
7. OSP 2008 Hongkong PSC Diberikan segit iga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nil ai a
2
+ b
2
+ c
2
sama dengan 16 kali l uas segit iga ABC. Besarnya nilai ct g A + ct g B + ct g C adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
8. Segi empat ABCD memil iki panj ang sisi-sisi AB = 9, BC = 12, CD = 13 dan DA = 14. Panj ang diagonal
AC adalah 15. Dari t it ik B dan D dibuat garis t egak l urus AC dan memot ong AC bert urut -t urut di t it ik P dan Q. Hit ungl ah panj ang PQ.
9. ABCD adal ah sebuah persegi panj ang dengan l uas 1. Diagonal AC dan BD berpot ongan di E. Tit ik F
t erl et ak pada pert engahan BC. Jika AF berpot ongan dengan diagonal BD di G, maka berapakah l uas segit iga AEG ?
10. OSP 2011 Pada gambar di bawah ini, panj ang AE = x, EC = y, dan DC = 2BD. Perbandingan
panj ang BF dan FE dinyat akan dal am x dan y adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11. OSN 2004 Bukt ikan bahwa suat u segit iga ABC siku-siku di C dengan a menyat akan sisi dihadapan
sudut A, b menyat akan sisi di hadapan sudut B, c menyat akan sisi di hadapan sudut C memil iki diamet er l ingkaran dalam = a + b
−
c. 12.
Pada persegi panj ang ABCE, t it ik F dan G t erl et ak pada sisi AB sehingga AF = FG = GB dan t it ik E merupakan pert engahan sisi DC. Diagonal AC memot ong sisi EF di H dan EG di J. Jika l uas persegi
panj ang ABCD sama dengan 70 maka l uas segit iga EHJ adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
13. OSN 2011 SMP MTs Bangun dat ar ABCD di samping adal ah
t rapesium dengan AB sej aj ar CD. Tit ik E dan F t erl et ak pada CD sehingga AD sej aj ar BE dan AF sej aj ar BC. Tit ik H
adal ah perpot ongan AF dengan BE dan t it ik G adalah perpot ongan AC dengan BE. Jika panj ang AB adalah 4 cm
dan panj ang CD adal ah 10 cm hit unglah perbandingan l uas segit iga AGH dengan l uas t rapesium ABCD.
14. OSN 2009 SMP MTs Diket ahui segit iga ABC dengan A sebagai puncak dan BC sebagai al as. Tit ik P
t erl et ak pada sisi CA. Dari t it ik A dit arik garis sej aj ar PB dan memot ong perpanj angan al as di t it ik D. Tit ik E t erl et ak pada al as sehingga CE : ED = 2 : 3. Jika F adal ah t engah-t engah ant ara E dan C,
dan l uas segit iga ABC sama dengan 35 cm
2
, berapakah l uas segit iga PEF ?
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
116
15. Alabama MC 2003 Pada segit iga ABC, t it ik E dan F bert urut -t urut adal ah pert engahan AC dan
pert engahan BC. Tit ik H dan I t erl et ak pada ruas AB sehingga AH = HI = IB. Garis IE dan HF berpot ongan di J. Jika l uas segit iga ABC = 120 maka l uas segit iga EFJ adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
16. AIME 1988 P adal ah t it ik di dal am segit iga ABC. Perpanj angan PA memot ong sisi BC di D,
perpanj angan PB memot ong sisi AC di E dan perpanj angan PC memot ong sisi AB di F. Jika panj ang PD = PE = PF = 3 dan PA + PB + PC = 43 t ent ukan nil ai dari PA
⋅
PB
⋅
PC. 17.
OSK 2006 Pada segi t iga ABC, t it ik F membagi sisi AC dal am perbandingan 1 : 2. Misal kan G t it ik t engah BF dan E t it ik perpot ongan ant ara sisi BC dengan AG. Maka t it ik E membagi sisi BC dal am
perbandingan
18. Pada persegi ABCD dengan panj ang sisi 1, t it ik E pada AB dan t it ik F pada BC sehingga segit iga
DEF adal ah segit iga sama sisi. Tent ukan l uas segit iga DEF. 19.
OSK 2006 Pada segit iga ABC yang t umpul di C, t it ik M adal ah t i t ik t engah AB. Mel al ui C dibuat garis t egak lurus pada BC yang memot ong AB di t it ik E. Dari M t arik garis memot ong BC t egak
l urus di D. Jika l uas segit iga ABC adal ah 54 sat uan luas, maka l uas segit iga BED adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
20. Diket ahui segit iga siku-siku ABC, sisi AB t egak l urus sisi AC. Panj ang AB = 3 dan panj ang AC = 4.
Tit ik P t erl et ak di dalam segit iga ABC. Tit ik D, E dan F masing-masing t erl et ak pada sisi BC, AC dan AB sehingga PD t egak l urus BC, PE t egak l urus AC dan PF t egak l urus AB. Jika
12 =
+ +
PD BC
PE AC
PF AB
, hit ungl ah panj ang PE, PF dan PD. 21.
Pada segit iga ABC diket ahui panj ang sisi-sisinya adal ah AB = 13, BC = 14 dan AC = 15. Tit ik P t erl et ak di dal am segit iga ABC sehingga
∠
PAC =
∠
PBA =
∠
PCB =
ϕ
. Nil ai dari t an
ϕ
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22. P adal ah sebuah t it ik di dal am segit iga ABC. Tiga buah garis dibuat mel al ui t iit k P yang sej aj ar
dengan ket iga sisi segit iga ABC. Perpot ongan garis-garis t ersebut dengan sisi-sisi segit iga membent uk segit iga kecil . Luas ket iga segit iga t ersebut adal ah p
2
, q
2
dan r
2
. Bukt ikan bahwa l uas segit iga ABC adal ah p + q + r
2
. 23.
S adal ah t it ik yang t erl et ak di dal am segit iga ABC sehingga luas
∆
SAB,
∆
SBC dan
∆
SCA sama. Tunj ukkan bahwa S adal ah t i t ik berat segit iga ABC.
24. Fl anders MO 2001 Final Round Pada segit iga ABC t i t ik D dan E bert urut -t urut t erl et ak pada sisi
AC dan BC. Garis BD dan AE berpot ongan di t it ik F. Misal kan [ XYZ] menyat akan l uas segit iga XYZ. Jika [ ADF] = 4, [ ABF] = 8 dan [ BEF] = 7 maka t ent ukan l uas daerah CDFE.
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
117
E. Hubungan ant ara luas segit iga dengan j ari-j ari lingkaran dalam dan j ari-j ari lingkaran luar segit iga
Ada hubungan ant ara l uas segit iga dengan j ari-j ar i l ingkaran dal am dan j ari-j ari l ingkaran luar. Luas segit iga ABC = [ ABC] =
2 1
ra + b + c = rs Luas segit iga ABC = [ ABC] =
R abc
4
Sebagai bahan pembel aj aran, sil akan Pembaca membukt ikan kedua rumus di at as dengan menggunakan rumus-rumus l uas yang ada dit ambah dengan rumus-rumus yang l ainnya.
Cont oh 35 : OSK 2004 Jika l uas segit iga ABC sama dengan kelil ingnya, maka j ari-j ari l ingkaran dal am segit iga
ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Misal j ari-j ari l ingkaran dalam sama dengan r dan ket iga sisinya adal ah a, b dan c, maka :
Luas segit iga =
2 1
r a + b + c Luas segit iga =
2 1
r
⋅
Kel il ing segit iga Karena l uas segit iga sama dengan kel il ing segit iga maka r = 2
Jadi, j ari-j ari l ingkaran dalam segit iga ABC adal ah 2. Cont oh 36 :
Al abama MC 1999 ABC adal ah segit iga samasisi dengan panj ang sisi 12. Jari-j ari l ingkaran dal am segit iga ABC t ersebut adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Misal kan sisi-sisi segit iga t ersebut adal ah a, b dan c dengan a = b = c = 12.
[ ABC] =
2 1
r a + b + c
2 1
⋅
12
⋅
12 sin 60
o
=
2 1
r
⋅
12 + 12 + 12 r = 2
√
3 Jadi, j ari-j ari l ingkaran dalam segit iga ABC t ersebut adal ah 2
√
3.
LAT IHAN 3. E
1. Jika r dan R menyat akan j ari-j ari lingkaran dal am dan l ingkaran l uar segit iga yang panj ang sisi-
sisinya adal ah 5, 6 dan 7 maka t ent ukan nil ai dari hasil kali rR. 2.
OSK 2008 Lingkaran T merupakan l ingkaran l uar bagi segi t iga ABC dan l ingkaran dal am bagi segit iga PQR. Jika ABC dan PQR keduanya segit iga samasisi, maka rasio kel iling
∆
ABC t erhadap kel il ing
∆
PQR adal ah 3.
OSP 2009 Diket ahui segit iga siku-siku ABC dengan panj ang sisi-sisinya a, b, dan c sert a a b c. Misal kan r dan R bert urut -t urut menyat akan panj ang j ari-j ari l ingkaran dal am dan l ingkaran
l uarnya. Jika
3
2
=
+ +
R c
b a
r
maka nilai dari
c b
a r
+ +
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Geometri
118
F. Ket aksamaan Segit iga
Kategori