Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
65
3. UJI HABIS DIBAGI
Sebuah bil angan memiliki sif at khusus j ika dibagi ol eh suat u bil angan t ert ent u. Beberapa sif at t ersebut adal ah :
a. Suat u bil angan habis dibagi 5 j ika dan hanya j ika digit t erakhir dari bil angan t ersebut adalah 0 at au 5.
Cont oh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bil angan yang habis dibagi 5. b.
Suat u bil angan habis dibagi 2
n
j ika dan hanya j ika n digit t erakhir dari bil angan t ersebut habis dibagi 2
n
. Cont oh :
134576 habis dibagi 8 = 2
3
sebab 576 habis dibagi 8 576 : 8 = 72 4971328 habis dibagi 16 = 2
4
sebab 1328 habis dibagi 16 c.
Suat u bil angan habis dibagi 3 j ika dan hanya j ika j uml ah digit bil angan t ersebut habis dibagi 3. Cont oh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.
d. Suat u bil angan habis dibagi 9 j ika dan hanya j ika j uml ah digit bil angan t ersebut habis dibagi 9.
Cont oh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9. e.
Suat u bil angan habis dibagi 11 j ika dan hanya j ika sel isih ant ara j uml ah digit dari bil angan t ersebut pada posisi ganj il dengan j uml ah digit dari bil angan t ersebut pada posisi genap habis dibagi 11.
Cont oh : 945351 habis dibagi 11 sebab 9 + 5 + 5
−
4 + 3 + 1 = 11 dan 11 habis dibagi 11. Cont oh bil angan l ain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.
Cont oh 7 : OSK 2003 Ada berapa banyak diant ara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang
habis dibagi 9 ? Sol usi :
Penj uml ahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 t idak habis dibagi 9
Penj uml ahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 t idak habis dibagi 9
Karena semua penj umlahan digit t idak ada yang habis dibagi 9 maka t idak ada bil angan-bilangan t ersebut yang habis dibagi 9.
Cont oh 8 : Canadian MO 1980 Jika a679b adal ah bil angan l ima angka yang habis dibagi 72, t ent ukan nil ai a dan b.
Sol usi : 72 = 9
⋅
8. Karena 9 dan 8 rel at if prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nil ai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bil angan t ersebut adalah 36792.
LAT IHAN 3 :
1. MATNC 2001 Di ant ara empat bilangan : 5256, 7018, 18623, 32571, yang habis dibagi 99 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
2. OSK 2010 Nil ai n t erkecil sehingga bil angan
4 4 3
4 4 2
1
2010 buah
n
2010 ...
20102010
habis dibagi 99 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
66
3. N adalah bil angan bul at t erbesar dengan semua di git nya berbeda dan N merupakan bil angan kel ipat an
8. Tent ukan t iga angka t erakhir dari N ? 4.
Jika dihit ung maka didapat 17 = 3a56874280b6000. Tent ukan digit a dan b t anpa menggunakan kal kul at or maupun al at hit ung l ainnya.
Tanda “ ” menyat akan f akt orial . n = 1
⋅
2
⋅
3
⋅ ⋅⋅⋅
n. Cont oh 3 = 1
⋅
2
⋅
3 = 6 ; 4 = 24; 5 = 120 5.
AIME 1983 Tent ukan bil angan asli t erkecil n sehi ngga angka-angka 15n hanya t erdiri dari 0 dan 8. 6.
Tent ukan bilangan asl i t erkecil yang merupakan kel ipat an 84 yang angka-angkanya hanya 6 at au 7. 7.
Fl anders MO 2000 Final Round Bilangan asli n t erdiri dari 7 angka berbeda dan n habis dibagi ol eh masing-masing angkanya. Tent ukan t iga angka yang bukan angka dari n.
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
67
4. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR FPB DAN PERSEKUTUAN TERKECIL KPK
Kategori