Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
70
5. BANYAKNYA FAKTOR POSITIF
Misalkan M = p
1 a1
⋅
p
2 a2
⋅
p
3 a3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n an
unt uk bil angan asl i M sert a p
1
, p
2
, p
3
,
⋅⋅⋅
, p
n
semuanya adal ah bilangan prima maka :
Banyaknya f akt or posit if dari M adal ah a
1
+ 1a
2
+ 1a
3
+ 1
⋅⋅⋅
a
n
+ 1 Cont oh 12 :
OSK 2004 SMP MTs Joko mengalikan t iga bilangan prima berbeda sekal igus. Ada berapa f akt or berbeda dari bil angan yang dihasil kan ?
A. 3
B. 4 C. 5
D. 6 E. 8
Sol usi : Misal kan t iga bil angan prima t ersebut adal ah a, b dan c dan N = a x b x c.
Maka sesuai t eori, banyaknya f akt or posit if dari N adal ah 1 + 11 + 11 + 1 = 8. Jawaban : E Kedel apan f akt or t ersebut adal ah 1, a, b, c, ab, ac, bc dan abc.
Jadi, banyaknya f akt or berbeda adal ah 8. Cont oh 13 :
OSK 2004 Bil angan 2004 memil iki f akt or selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : 2004 = 2
2
⋅
501 2004 = 2
2
⋅
3
⋅
167 dan 167 adal ah bil angan prima. Maka banyaknya f akt or posit if dari 2004 t ermasuk 1 dan 2004 = 2 +11 + 11 + 1 = 12
Banyaknya f akt or 2004 selain 1 dan 2004 adalah = 12
−
2 = 10 Fakt or dari 2004 selain 1 dan 2004 adalah : 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002.
Bilangan 2004 memiliki f akt or selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak 10
LAT IHAN 5 :
1. OSK 2008 Banyaknya f akt or posit if dari 5 adal ah
2. OSP 2007 Di ant ara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki f akt or prima
berbeda t erbanyak adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. MATNC 2001 Tent ukan bilangan asli t erkecil yang memiliki t epat 12 f akt or posit if .
4. MATNC 2001 Tent ukan bil angan asl i t erkecil yang memil iki t epat 12 f akt or posit if dan t idak habis
dibagi 3. 5.
OSP 2002 Misal kan M dan m bert urut -t urut menyat akan bil angan t erbesar dan bil angan t erkecil di ant ara semua bil angan 4-angka yang j uml ah keempat angkanya adal ah 9. Berapakah f akt or prima
t erbesar dari M
−
m ? 6.
OSP 2009 Misal kan n bil angan asl i t erkecil yang mempunyai t epat 2009 f akt or dan n merupakan kel ipat an 2009. Fakt or prima t erkeci dari n adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. AIME 1990 n adalah bil angan asl i t erkecil yang merupakan kelipat an 75 dan memil iki t epat 75 f akt or
posit if . Tent ukan nil ai dari
75 n
.
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
71
8. Misal kan n bil angan asl i. 2n mempunyai 28 f akt or posit if dan 3n punya 30 f akt or posit if maka
banyaknya f akt or posit if yang dimiliki 6n adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9. OSK 2011 Ada berapa f akt or posit if dari 2
7
3
5
5
3
7
2
yang merupakan kel ipat an 10 ? 10.
AIME 1994 Tent ukan f akt or prima t erbesar dari p1 + p2 +
⋅⋅⋅
+ p999 dimana pn adal ah hasil kal i semua angka-angka t aknol dari n.
11. MATNC 2001 Tent ukan penj umlahan semua f akt or posit if dari 84.
12. AIME 1995 Tent ukan banyaknya f akt or posit if dari n
2
yang kurang dari n t et api t idak membagi n j ika n = 2
31
3
19
. 13.
AIME 2000 Tent ukan bilangan asli t erkecil yang memiliki 12 f akt or posit if genap dan 6 f akt or posit if ganj il .
14. OSN 2004 Berapa banyaknya pembagi genap dan pembagi ganj il dari 5
6
−
1 ?
Pembinaan Olimpiade Matematika
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
72
6. KEKONGRUENAN
Kategori