21
Definisi 2.3.1 Perko, 2001: 71 Diberikan
dengan himpunan
terbuka. disebut solusi sistem 2.3.2 pada interval jika diferensiabel
pada dan memenuhi ̇ untuk setiap .
D. Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Berikut akan didefinisikan mengenai titik ekuilibrium dari sistem 2.3.2.
Definisi 2.4.1 Perko, 2001: 102 Titik
̅ disebut titik ekuilibrium dari
sistem 2.3.2 jika ̅ .
Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi 2.4.1.
Contoh 2.4.2
Diberikan sistem persamaan differensial yaitu .
Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial diatas. Penyelesaian. Titik ekuilibrium dari sistem persamaan diatas dapat diperoleh jika
̅ , sehingga sistem tersebut menjadi
atau dapat ditulis menjadi .
Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh ̅̅̅ dan
̅̅̅ . Jika
̅̅̅ dan menurut persamaan ,
maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium
. Jika
̅̅̅ dan menurut persamaan
22
maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium
. E.
Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear
Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Linearisasi dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku
sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik. Proses
linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret Taylor untuk sistem
di sekitar titik ekuilibrium ̅ ̅
̅ ̅
̅ dengan
̅ sebagai berikut ̇
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
‖ ̅‖
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ‖ ̅‖
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ‖ ̅‖
Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh
23
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ Selanjutnya didefinisikan
̅ ̅
̅ Didapat derivatifnya yaitu
̇ ̇
̇ ̇
̇ ̇
sehingga ̇ ̇ dan diperoleh
̇ ̅
̅ ̅
̇ ̅
̅ ̅
̇ ̅
̅ ̅
Jika bentuk 2.5.1 dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh 2.5.1
24
̇ ̇
̇ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅
atau ditulis menjadi ̇ ̅
dengan
̅ merupakan matriks Jacobian dan fungsi di titik ekuilibrium ̅.
Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian.
Definisi 2.5.1 Perko, 2001 Diberikan fungsi dengan
dan himpunan terbuka. Matriks
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅
dinamakan matriks Jacobian dari dari ̅.
Selanjutnya diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan nonlinear.
Definisi 2.5.2 Perko, 2001: 102 Diberikan matriks Jacobian
pada 2.5.1. Sistem linear
̇ ̅
disebut linearisasi dari sistem ̇ disekitar titik ̅.
25
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen