Titik Ekuilibrium LANDASAN TEORI

21 Definisi 2.3.1 Perko, 2001: 71 Diberikan dengan himpunan terbuka. disebut solusi sistem 2.3.2 pada interval jika diferensiabel pada dan memenuhi ̇ untuk setiap .

D. Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Berikut akan didefinisikan mengenai titik ekuilibrium dari sistem 2.3.2. Definisi 2.4.1 Perko, 2001: 102 Titik ̅ disebut titik ekuilibrium dari sistem 2.3.2 jika ̅ . Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi 2.4.1. Contoh 2.4.2 Diberikan sistem persamaan differensial yaitu . Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial diatas. Penyelesaian. Titik ekuilibrium dari sistem persamaan diatas dapat diperoleh jika ̅ , sehingga sistem tersebut menjadi atau dapat ditulis menjadi . Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh ̅̅̅ dan ̅̅̅ . Jika ̅̅̅ dan menurut persamaan , maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium . Jika ̅̅̅ dan menurut persamaan 22 maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium . E. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Linearisasi dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik. Proses linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret Taylor untuk sistem di sekitar titik ekuilibrium ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ dengan ̅ sebagai berikut ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ‖ ̅‖ ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ‖ ̅‖ ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ‖ ̅‖ Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh 23 ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Selanjutnya didefinisikan ̅ ̅ ̅ Didapat derivatifnya yaitu ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ sehingga ̇ ̇ dan diperoleh ̇ ̅ ̅ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ Jika bentuk 2.5.1 dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh 2.5.1 24 ̇ ̇ ̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ atau ditulis menjadi ̇ ̅ dengan ̅ merupakan matriks Jacobian dan fungsi di titik ekuilibrium ̅. Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian. Definisi 2.5.1 Perko, 2001 Diberikan fungsi dengan dan himpunan terbuka. Matriks ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ dinamakan matriks Jacobian dari dari ̅. Selanjutnya diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan nonlinear. Definisi 2.5.2 Perko, 2001: 102 Diberikan matriks Jacobian pada 2.5.1. Sistem linear ̇ ̅ disebut linearisasi dari sistem ̇ disekitar titik ̅. 25

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen