Nilai Eigen dan Vektor Eigen

25

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Aplikasi dari aljabar linear yang melibatkan sistem dengan persamaan dan variabel disajikan dalam definisi berikut. Definisi 2.6.1 Anton, 1988: 277 Jika adalah matriks maka sebuah vektor yang tak nol di dalam dinamakan vektor eigen dari jika adalah kelipatan skalar dari , yakni untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen suatu matriks yang berukuran diperoleh dari atau dapat ditulis sebagai . Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat ditulis kembali menjadi dengan merupakan matriks identitas. Persamaan 2.6.1 akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika . Berikut didefinisikan mengenai determinan suatu matriks . Definisi 2.6.2 Anton, 1988: 63 Misalkan adalah sebuah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari . Jumlah det A kita namakan determinan A. Matriks berukuran mempunyai hasil kali elementer. Hasil kali elementer bertanda dari adalah hasil kali elementer dikalikan dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika adalah permutasi 2.6.1 26 genap dari himpunan dan tanda – jika adalah permutasi ganjil. Determinan dari matriks persegi dapat ditentukan sebagai berikut 1. 2. [ ] Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi di atas. Contoh 2.6.3 Diberikan matriks . Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks . Penyelesaian. Karena maka deterninan dari persamaan di atas adalah . Persamaan karakteristik dari adalah sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah dan . Menurut definisi, adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah pemecahan nontrivial dari persamaan 2.6.1, yakni, dari 27 . Jika , maka persamaan 2.6.2 menjadi Apabila persamaan di atas ditulis dalam bentuk sistem persamaan menjadi Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan , , maka sehingga . Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah . Jika , maka persamaan 2.6.2 menjadi yang dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan , , maka sehingga Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah . Nilai determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom atau baris yang didefinisikan sebagai berikut. 2.6.2 28 Definisi 2.6.4 Anton, 1988: 77 Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor entri . Misalkan matriks secara umum yaitu [ ] dengan determinan dapat ditulis kembali sebagai . Karena pernyataan-pernyataan di dalam kurung merupakan kofaktor-kofaktor dan maka diperoleh . Hal ini memperlihatkan bahwa determinan dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya.

G. Kestabilan Titik Ekuilibrium