25
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Aplikasi dari aljabar linear yang melibatkan sistem dengan persamaan dan
variabel disajikan dalam definisi berikut.
Definisi 2.6.1 Anton, 1988: 277 Jika
adalah matriks maka sebuah vektor yang tak nol
di dalam dinamakan vektor eigen dari
jika adalah kelipatan skalar dari
, yakni
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan
sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Nilai eigen suatu matriks yang berukuran diperoleh dari
atau dapat ditulis sebagai . Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat
ditulis kembali menjadi
dengan merupakan matriks identitas.
Persamaan 2.6.1 akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika . Berikut didefinisikan mengenai determinan suatu matriks .
Definisi 2.6.2 Anton, 1988: 63 Misalkan
adalah sebuah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh
dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari
. Jumlah det A kita namakan determinan A.
Matriks berukuran mempunyai hasil kali elementer. Hasil kali
elementer bertanda dari adalah hasil kali elementer
dikalikan dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika
adalah permutasi 2.6.1
26
genap dari himpunan dan tanda – jika
adalah permutasi ganjil.
Determinan dari matriks persegi dapat ditentukan sebagai berikut 1.
2. [
]
Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi di atas.
Contoh 2.6.3
Diberikan matriks . Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks .
Penyelesaian. Karena
maka deterninan dari persamaan di atas adalah .
Persamaan karakteristik dari adalah
sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah dan .
Menurut definisi,
adalah vektor eigen
yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah
pemecahan nontrivial dari persamaan 2.6.1, yakni, dari
27
. Jika
, maka persamaan 2.6.2 menjadi
Apabila persamaan di atas ditulis dalam bentuk sistem persamaan menjadi
Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan
, , maka sehingga
. Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah .
Jika , maka persamaan 2.6.2 menjadi
yang dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan
Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu . Misalkan
, , maka sehingga
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah
. Nilai determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan
metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom atau baris yang didefinisikan sebagai berikut.
2.6.2
28
Definisi 2.6.4 Anton, 1988: 77 Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri
dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang
tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan dinyatakan oleh
dan dinamakan kofaktor entri .
Misalkan matriks secara umum yaitu
[ ]
dengan determinan
dapat ditulis kembali sebagai
. Karena pernyataan-pernyataan di dalam kurung merupakan kofaktor-kofaktor
dan maka diperoleh
. Hal ini memperlihatkan bahwa determinan
dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama
dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya.
G. Kestabilan Titik Ekuilibrium