Model Matematika Penyebaran Penyakit

9

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit, sistem persamaan linear, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan diferensial nonlinier, nilai eigen dan vektor eigen, kriteria kestabilan sistem persamaan diferensial, kriteria Routh-Hurwitz, dan bilangan reproduksi dasar. Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut di atas.

A. Model Matematika Penyebaran Penyakit

Model matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam pernyataan matematis Widowati Sutimin, 2007: 1. Suatu model matematika dikatakan baik jika model matematika yang terbentuk dapat merepresentasikan atau mewakili suatu permasalahan dalam kehidupan nyata. Berikut diberikan langkah-langkah dalam pemodelan matematika menurut Widowati Sutimin 2007: 3-5. 1. Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian matematika. Langkah ini membutuhkan pemahaman pada permasalahan yang akan dimodelkan sehingga p ada langkah ini dapat dilakukan identifikasi variabel- variabel dalam masalah dan membentuk beberapa hubungan antar variabel yang dihasilkan dari permasalahan tersebut. 10 2. Menentukan asumsi yang akan digunakan. Pada dasarnya asumsi mencerminkan bagaimana proses berpikir sehingga diperoleh suatu model. Asumsi yang diterapkan oleh setiap individu dapat berbeda dari individu lainnya dalam suatu permasalahan yang sama. Hal ini yang nantinya akan menyebabkan adanya perbedaan pada model yang dihasilkan. 3. Membentuk model matematika. Dengan pemahaman hubungan antar variabel dan asumsi, langkah selanjutnya yaitu memformulasikan persamaan atau sistem persamaan. Formulasi model merupakan langkah yang paling penting dan sulit sehingga suatu saat diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar dalam proses pembentukan formulasi dapat sesuai dan realistik. 4. Menentukan solusi atau menyelidiki sifat solusi. Tidak semua model matematika dapat dengan mudah ditentukan hasil atau solusinya sehingga pada langkah ini dapat dilakukan analisis atau menyelidiki mengenai sifat atau perilaku dari solusi model matematika tersebut. 5. Interpretasi solusi atau sifat solusi model matematika. Hal ini menghubungkan kembali formula matematika dengan permasalahan dalam kehidupan nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan selanjutnya diinterpretasikan sebagai solusi dalam dunia nyata. 11 Untuk lebih mudahnya, diberikan diagram alur langkah-langkah pemodelan matematika menurut Widowati Sutimin 2007: 3 pada Gambar 2.1. Gambar 2.1. Proses pemodelan matematika menurut Widowati Sutimin Beberapa model matematika yang sering digunakan dalam penyebaran penyakit memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi pembagian kelas yang menggambarkan penyebaran penyakit pada masing- masing kelas. Suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas yang masing- masing kelas mewakili tahapan berbeda. Beberapa istilah yang sering kita dengar dalam model epidemiologi di antaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik merupakan fenomena suatu penyakit tiba-tiba muncul dalam suatu populasi dan menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu, sedangkan endemik Menentukan Solusi atau Sifat dari Solusi Interpretasi Solusi atau Sifat Solusi Solusi Dunia Nyata Masalah Dunia Nyata Masalah Dalam Matematika Asumsi Formulasi Persamaan Pertidaksamaan 12 merupakan fenomena suatu penyakit yang muncul akan selalu dalam suatu populasi. Model penyebaran penyakit pertama kali dikemukakan oleh Kermark McKendrick pada tahun 1927 yang terdiri atas kelas susceptible S, infection I, dan recovered R sehingga dikenal sebagai model epidemik SIR. Kelas susceptible S merupakan kelas individu yang rentan terhadap suatu penyakit. Kelas infection I merupakan kelas individu yang terinfeksi suatu penyakit terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit ke individu pada populasi rentan. Kelas recovered R merupakan kelas individu yang telah sembuh dari suatu penyakit. Untuk pemodelan penyebaran suatu penyakit, penambahan atau pengurangan suatu kelas dapat terjadi sesuai dengan karakteristik penyebaran penyakit yang akan dibahas. Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten masa inkubasi seperti model SEIR dan MSEIR, terdapat kelas E exposed yang digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki periode laten, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit ke individu lain. Kelas M maternal antibody digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru lahir dan memiliki kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya berlangsung sementara dan kemudian individu pada kelas ini akan memasuki kelas rentan susceptible. Model matematika epidemik di antaranya SIR, SIRS, SEIR, MSEIR dan termasuk model SVID. 13 Berikut diberikan beberapa model matematika berdasarkan penelitian yang telah dilakukan sebelumnya dan akan dijadikan sebagai acuan dalam pembentukan model matematika pada skripsi ini. Penelitian mengenai model penyebaran penyakit tuberkulosis dilakukan oleh Fredlina, Oka, Dwipayana 2012 dalam jurnal matematika yang berjudul Model SIR Susceptible, Infectious, Recovery untuk Penyebaran Penyakit Tuberkulosis yang menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB dan menghasilkan persamaan model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible S, infectious I, dan recovered R. Jumlah populasi akan bertambah karena kelahiran sebesar , dengan adalah konstan dan berkurang karena kematian dengan laju , kontak langsung dengan individu yang terinfeksi menyebabkan individu pada populasi rentan akan ikut terinfeksi dan masuk menjadi populasi dengan laju penularan penyakit TB sebesar . Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alami dengan laju dan kematian karena penyakit TB dengan laju . Individu yang terinfeksi TB dapat sembuh dengan laju dan masuk dalam populasi . Hal ini juga menyebabkan berkurangnya populasi . Individu dalam kelas diasumsikan tidak akan kambuh kembali menjadi penderita TB. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian dengan laju . Berdasarkan pernyataan-pernyataan diatas diperoleh diagram alir sebagai berikut 14 Gambar 2.2. Diagram alir model matematika SIR menurut Fredlina, Oka, Dwipayana sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut dengan . Pada kenyataannya, dalam penyebaran penyakit TB terdapat individu yang terinfeksi TB namun tidak menunjukkan gejala dan belum bisa menularkan penyakit TB kepada individu lain yang disebut dengan penderita TB laten, sehingga penelitian yang dilakukan oleh Adetunde 2008 yang berjudul On the Control and Eradication Strategies of Mathematical Models of the Tuberculosis in A Community membahas model matematika SLIR yang membagi populasi menjadi empat kelas, yaitu kelas susceptible, kelas latent, kelas infectives, dan kelas recoveries. Populasi pada kelas rentan akan bertambah karena adanya kelahiran dan akan berkurang karena adanya kematian alami . Kontak langsung antara individu ini dengan individu yang terinfeksi mengakibatkan individu ikut terinfeksi sehingga populasi kelas ini berkurang dengan laju sebesar . 15 Kelas menyatakan individu yang telah terdeteksi TB tetapi belum menginfeksi. Populasi ini bertambah oleh masuknya individu dari kelas susceptible yang telah terinfeksi, sedangkan berkurangnya populasi disebabkan oleh kematian alami pengobatan hingga sembuh dan berkembangnya bakteri TB sehingga individu ini dapat menularkan ke individu lain Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB kepada individu lain. Bertambahnya populasi kelas ini dikarenakan masuknya individu dari kelas yang disebabkan bakteri TB telah menjadi aktif Berkurangnya kelas ini dikarenakan adanya kematian alami dan kematian akibat penyakit TB dan adanya pengobatan hingga sembuh Kelas menyatakan populasi individu yang telah sembuh dari penyakit TB dan diasumsikan dapat terjangkit TB lagi sehingga masuk kembali ke kelas sebesar Populasi kelas ini bertambah karena masuknya individu yang telah sembuh dari kelas dan kelas sebesar dan Populasi ini berkurang karena adanya kematian alami Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut menghasilkan model matematika yang diberikan dalam diagram alir sebagai berikut Gambar 2.3. Diagram alir model matematika SLIR menurut Adetunde 16 sehingga diperoleh model matemamatika sebagai berikut dengan menyatakan total area yang ditempati populasi dan menyatakan jumlah total populasi. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Rosadi 2014 dalam tesis yang berjudul Model Dua Strain Penyakit Tuberculosis menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible S, infectious I, dan susceptible S dengan kelas infectious yang terdiri dari dua strainjenis, yaitu strain kelas infeksi TB yang resisten terhadap obat anti TB dan strain kelas infeksi TB yang sensitif terhadap obat anti TB . Berikut diberikan diagram alir model penyebaran penyakit TB menurut Rosadi. Gambar 2.4. Diagram alir model matematika SIS menurut Rosadi sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut 17 dengan merupakan laju kelahiran dan kematian, merupakan laju penularan penyakit TB, merupakan laju kontak antara penderita TB antar strain, dan merupakan laju sembuh. Pada penelitian-penelitian tersebut, belum ada yang membahas mengenai adanya maternal antibody sehingga Wulandari 2013 dalam skripsinya yang berjudul Analisis Model Epidemik MSEIR pada Penyebaran Penyakit Difteri menggunakan model matematika dengan adanya kelas maternal antibody dan dalam skripsi ini model tersebut akan digunakan untuk penyebaran penyakit TB. Berikut diberikan diagram alir model matematika menurut Wulandari. Gambar 2.4. Diagram alir model matematika MSEIR menurut Wulandari Berdasarkan diagram alir tersebut diperoleh model matematika sebagai berikut M M 18 dengan adalah laju kelahiran populasi yang dilindungi oleh kekebalan tubuh, adalah laju transisi dari kelas maternal antibody ke susceptible, adalah laju transisi dari kelas susceptible ke expose, adalah laju transisi dari kelas exposed ke infected, adalah laju transisi dari kelas infected ke recovered. Laju kematian alami untuk tiap kelas dinyatakan dengan . B. Sistem Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan garis yang berbentuk . Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dengan dua variabel dan . Secara umum untuk variabel yang berhingga , persamaan linear dapat dinyatakan sebagai dengan dan adalah konstanta-konstanta real. Berikut akan diberikan definisi mengenai sistem persamaan linear homogen. Definisi 2.2.1 Anton, 1988: 19 Diberikan variabel dan persamaan. Sistem persamaan linear dikatakan homogen apabila semua suku konstanta sama dengan nol. 19 Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten sebab merupakan solusi. Solusi tersebut dinamakan sebagai solusi trivial. Jika solusi tidak sama dengan nol, maka solusi tersebut dinamakan solusi nontrivial. Oleh karena sistem persamaan linear homogen harus konsisten maka sistem tersebut akan memiliki satu solusi atau tak hingga banyak solusi. Selanjutnya sistem 2.2.1 dapat dibentuk sebagai persamaan matriks tunggal yaitu dengan serta adalah matriks dengan jumlah baris dan jumlah kolom . C. Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial memiliki peran penting tidak hanya di bidang matematika, namun di bidang lainnya seperti fisika, mesin, ekonomi, biologi, dan lain sebagainya. Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ ̇ ̇ dengan , ̇ , , dan . Diberikan pula kondisi awal . 2.2.1 2.2.2 2.3.1 20 Sistem 2.3.1 dapat ditulis menjadi ̇ dengan , , ̇ ̇ ̇ ̇ , dan syarat awal . Dalam hal ini sistem 2.3.2 disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena variabel waktu tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya, jika masing-masing linear dalam maka sistem 2.3.1 disebut sistem persamaan diferensial linear. Sistem 2.3.1 dapat ditulis dalam bentuk ̇ ̇ ̇ Sistem 2.3.3 dinyatakan dalam bentuk ̇ dengan dan . Jadi, sistem 2.3.4 disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem 2.3.1, tetapi jika sistem 2.3.1 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem 2.3.4 maka sistem 2.3.1 tersebut disebut sistem persamaan diferensial nonlinear. Selanjutnya simbol diferensiabel pada dan kontinu pada }. Berikut ini diberikan definisi dari solusi sistem 2.3.2. 2.3.2 2.3.3 2.3.4 21 Definisi 2.3.1 Perko, 2001: 71 Diberikan dengan himpunan terbuka. disebut solusi sistem 2.3.2 pada interval jika diferensiabel pada dan memenuhi ̇ untuk setiap .

D. Titik Ekuilibrium