Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino Vol. 57, 3 1999
C. Borelli - C. Invernizzi SULLA STABILIT `
A DELL’EQUAZIONE FUNZIONALE DEI POLINOMI
†
Sommario.
In this paper we obtain some stability results generalizing those well known due to Hyers concerning the Fr´echet equation.
1. Introduzione
Lo scopo di questo lavoro `e quello di ottenere dei risultati di stabilit`a secondo Hyers-Ulam che generalizzino i ben noti risultati di Hyers per le equazioni alle differenze con incrementi variabili
presentati in [3]. Hyers, rifacendosi alla definizione di polinomio astratto introdotta da Fr´echet in [2], prova
un teorema di stabilit`a senza richiedere alcuna condizione di regolarit`a sulla funzione. Sia X uno spazio vettoriale su Q a sia Y uno spazio vettoriale; sia inoltre T un cono convesso
in X con vertice nell’origine. Un monomio astratto di grado k su X `e la restrizione alla diagonale di una trasformazione
da X in Y k-additiva, cio`e V
k
x = V x, · · · , x |
{z }
k volte
, dove V `e una trasformazione k-additiva.
Una trasformazione V : T → Y `e un polinomio astratto al pi`u di grado m se `e decomponibile nella forma
V x = V x + V
1
x + · · · + V
m
x, dove ogni V
k
`e un monomio astratto di grado k oppure `e identicamente nullo in T , e V `e una
costante. Se con 1
k h
1
, ··· ,h
k
indichiamo l’operatore differenza k-esima rispetto agli incrementi h
1
, · · · , h
k
e con 1
k h
l’operatore differenza k-esima con incrementi tutti uguali a h, `e ben nota la caratterizzazione seguente: una trasformazione V : T → Y `e un polinomio astratto di grado
al pi`u m se e solo se 1
m+1 h
V x = 0 per ogni
x, h ∈ T. Inoltre se V
k
`e un monomio astratto di grado k, esiste un’unica trasformazione k-additiva sim- metrica V x
1
, · · · , x
k
tale che V
k
x = V x, · · · , x e
V x
1
, · · · , x
k
= 1
k 1
k x
1
, ··· ,x
k
V
k
x. Nel prossimo paragrafo dimostreremo un teorema che generalizza il risultato di Hyers in [3]
nella direzione di vari risultati di stabilit`a per l’equazione funzionale di Cauchy si veda [1].
†
Lavoro finanziato dal M.U.R.S.T. Fondi di Ricerca 60.
199
200 C. Borelli - C. Invernizzi
2. Dimostrazione dei risultati principali
In questo paragrafo daremo la dimostrazione del seguente T
EOREMA
4.1. Sia S uno spazio vettoriale normato e sia B uno spazio di Banach. Consid- eriamo una funzione f : S → B soddisfacente la disuguaglianza
1 k1
m h
1
, ··· ,h
m
f xk ≤ 8
m+1
kxk, kh
1
k, · · · , kh
m
k + β, per ogni x ∈ S, h
i
∈ S 1 ≤ i ≤ m, β ∈ R
+
e dove 8
m+1
: R
m+1 +
→ R
+
`e una funzione simmetrica, monotona non decrescente in ciascuna variabile e omogenea di grado p ∈ [0, 1.
Allora esiste un polinomio astratto P
m−1
definito su S a valori in B di grado al pi`u m − 1, tale che per ogni x ∈ S `e
k f x − P
m−1
xk ≤ M
m
kxk
p
+ β, dove
M
m
= 1
2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+1
0, 1, · · · , 1. Inoltre P
m−1
x = f 0 + H
1
x + · · · + H
m−1
x dove ogni H
k
`e il monomio astratto di grado k ottenuto nel modo seguente
H
m−1
x = lim
n→+∞
1 m − 1n
m−1
1
m−1 nx
f 0 H
k
x = lim
n→+∞
1 kn
k
h 1
k nx
f 0 −
m−1
X
j =k+1
1
k nx
H
j
i ,
1 ≤ k ≤ m − 2. Premettiamo, seguendo le idee di Hyers, i seguenti lemmi.
L
EMMA
4.1. Sia S uno spazio vettoriale normato e sia B uno spazio di Banach. Se f : S → B soddisfa per ogni x, y ∈ S la disuguaglianza
k f x + y − f x − f y + f 0k ≤ 8kxk, kyk, dove 8 : R
+
× R
+
→ R
+
`e simmetrica e omogenea di grado p ∈ [0, 1, allora esiste una funzione ν : S → B additiva e tale che
2 k f x − f 0 − νxk ≤ kxk
p
8 1, 1
2 − 2
p
,
3 ν
x = lim
n→+∞
1 n
1
nx
f 0 = lim
n→+∞
f nx n
. Dimostrazione. Poniamo f x − f 0 = gx, cos`ı che g0 = 0; allora
4 kgx + y − gx − gyk ≤ 8kxk, kyk.
Sulla stabilit`a 201
Ponendo x = y nella precedente relazione si ottiene kg2x − 2gxk ≤ kxk
p
8 1, 1
e quindi k
g2x 2
− gxk ≤ kxk
p
2 8
1, 1. Per induzione si prova che
5 k
g2
n
x 2
n
− gxk ≤ kxk
p
8 1, 1
2
− p
2
n1− p n−1
X
i=0
2
i1− p
. Da questo segue che la successione T
n
x =
g2
n
x 2
n
`e di Cauchy per ogni x ∈ S e quindi, per la completezza di B, converge a νx = lim
n→+∞
T
n
x. Sostituendo in 4 x e y rispettivamente con 2
n
x e 2
n
y e dividendo per 2
n
, otteniamo k
g2
n
x + y 2
n
− g2
n
x 2
n
− g2
n
y 2
n
k ≤ 1
2
n1− p
8 kxk, kyk,
e passando al limite per n → +∞ si prova l’additivit`a di ν. Se ora si passa al limite in 5 si ottiene la 2.
Sostituendo in 2 x con nx e dividendo per n, si ha k
ν nx − f nx + f 0
n k = kνx −
f nx − f 0 n
k ≤ kxk
p
8 1, 1
2 − 2
p
n
1− p
e passando al limite per n → +∞ otteniamo la 3. Si osservi che il precedente Lemma continua a valere anche nell’ipotesi
k f x + y − f x − f y + f 0k ≤ 8kxk, kyk + β, β
∈ R
+
; in tal caso si include il risultato di Hyers e si ottiene
k f x − f 0 − νxk ≤ kxk
p
8 1, 1
2 − 2
p
+ β. L
EMMA
4.2. Sia f : S → B tale che per ogni x, y ∈ S valga la relazione 6
k f x + y − f x − f y + f 0 − Qx, y − H x, yk ≤ 8kxk, kyk, dove H x, y o `e identicamente nulla o `e un monomio astratto di grado k − 1 in x, Qx, y `e
un polinomio astratto di grado k − 2 in x tale che Q0, y = 0 e la funzione 8 verifica le ipotesi del Lemma 4.1 ed inoltre `e non decrescente in ciascuna variabile.
Allora H x, x = k ˆ H x e ˆ
H x o `e identicamente nulla oppure `e un monomio astratto di grado k dato da
ˆ H x =
lim
n→+∞
1 kn
k
1
k nx
f 0 e
H x, y = 1
k − 1 lim
n→+∞
1 n
k−1
1
k−1 nx
g0, y, dove gx, y = f x + y − f x.
202 C. Borelli - C. Invernizzi
Dimostrazione. Per ipotesi esiste una funzione νx
1
, · · · , x
k−1
, y additiva e simmetrica nelle
prime k − 1 variabili tale che 7
H x, y = 1
k − 1 ν
x, · · · , x, y. Facendo la differenza k − 1-esima con incrementi x
1
, · · · , x
k−1
nel primo membro della 6 e ricordando che 1
k−1 x
1
, ··· ,x
k−1
Qx, y = 0, otteniamo k1
k x
1
, ··· ,x
k−1
, y
f x − 1
k−1 x
1
, ··· ,x
k−1
H x, yk ≤ 2
k−1
8
k−1
X
i=1
kx
i
k + kxk, kyk e, per la 7,
8 k1
k x
1
, ··· ,x
k−1
, y
f x − νx
1
, · · · , x
k−1
, yk ≤ 2
k−1
8
k−1
X
i=1
kx
i
k + kxk, kyk. Se scambiamo in 8 y con x
j
, 1 ≤ j ≤ k −1, grazie alla simmetria dell’operatore differenza otteniamo
k1
k x
1
, ··· ,x
k−1
, y
f x − νx
1
, · · · , x
j −1
, y, x
j +1
, · · · , x
k−1
, x
j
k 9
≤ 2
k−1
8
k−1
X
i6= j
kx
i
k + kxk + kyk, kx
j
k. Da queste due ultime espressioni abbiamo
kνx
1
, · · · , x
k−1
, y − νx
1
, · · · , x
j −1
, y, x
j +1
, · · · , x
k−1
, x
j
k 10
≤ 2
k−1
8
k−1
X
i=1
kx
i
k + kxk, kyk + 2
k−1
8
k−1
X
i6= j
kx
i
k + kxk + kyk, kx
j
k. Mostriamo ora che ν, additiva e simmetrica nelle prime k −1 variabili, lo `e pure nell’ultima
variabile. Sia k = 2; la precedente relazione si riduce a
kνx
1
, y − νy, x
1
k ≤ 28kx
1
k + kxk, kyk + 28kyk + kxk, kx
1
k, da cui sostituendo x
1
con nx
1
e passando al limite dopo aver diviso per n, otteniamo lim
n→+∞
ν y, nx
1
n = νx
1
, y,
da cui, sfruttando l’additivit`a di ν rispetto alla prima variabile, otteniamo l’additivit`a rispetto alla seconda e la simmetria.
Se k 2, sostituiamo in 10 x
i
con nx
i
1 ≤ i ≤ k − 1, i 6= j e passando al limite dopo aver diviso per n, si ottiene
lim
n→+∞
ν nx
1
, · · · , y, · · · , nx
k−1
, x
j
n = νx
1
, · · · , x
k−1
, y
Sulla stabilit`a 203
e l’additivit`a di ν rispetto alla j -esima variabile porta a quella sulla k-esima ed alla simmetria. Posto gx, y = f x + y − f x, scrivendo la 9 in termini di g, dopo aver sostituito x
j
con x per ogni j e diviso per k − 1n
k−1
, otteniamo k1
k−1 nx
g0, y − νnx, · · · , nx, yk k − 1n
k−1
≤ 2
k−1
8 P
n 1
knxk + kxk, kyk k − 1n
k−1
, da cui
1 k − 1
lim
n→+∞
1 n
k−1
1
k−1 nx
g0, y = 1
k − 1 ν
x, · · · , x, y = H x, y. Definiamo ora ˆ
H x =
1 k
H x, x =
1 k
ν x, · · · , x e sostituiamo y con nx nella precedente
relazione; passando al limite si ha ˆ
H x = lim
n→+∞
1 kn
k
1
k nx
f 0.
L
EMMA
4.3. Sia f soddisfacente le ipotesi del Lemma4.2 e poniamo ˆ f x = f x − ˆ
H x. Allora ˆ
f soddisfa le ipotesi del Lemma 4.2 con k − 1 al posto di k k ≥ 3, cio`e esistono un monomio astratto H
′
x, y di grado k − 2 in x e un polinomio astratto Q
′
x, y di grado k − 3 in x con Q
′
0, y = 0, tali che k ˆ
f x + y − ˆ f x − ˆ
f y + ˆ f 0 − Q
′
x, y − H
′
x, yk ≤ 8kxk, kyk. Dimostrazione. Sostituendo f x = ˆ
f x + ˆ H x in 6 otteniamo
k ˆ f x + y − ˆ
f x − ˆ f y + ˆ
f 0 − Qx, y − H x, y + ˆ H x + y − ˆ
H x − ˆ H yk
≤ 8kxk, kyk. 11
Poich´e ˆ
H x + y − ˆ H x − ˆ
H y = 1
k ν
x + y, · · · , x + y − νx, · · · , x − νy, · · · , y e
ν x + y, · · · , x + y =
k
X
i=0
k i
ν x, · · · , x
| {z
}
k−i volte
, y, · · · , y
| {z
}
i volte
, otteniamo
ˆ H x + y − ˆ
H x − ˆ H y =
1 k
k−1
X
i=1
k i
ν x, · · · , x
| {z
}
k−i volte
, y, · · · , y
| {z
}
i volte
= H x , y + qx , y dove qx, y `e un polinomio astratto di grado al pi`u k − 2 in x che si annulla per x = 0. Quindi
sostituendo nella disuguaglianza 11 abbiamo k ˆ
f x + y − ˆ f x − ˆ
f y + ˆ f 0 − Qx, y + qx, yk ≤ 8kxk, kyk,
204 C. Borelli - C. Invernizzi
dove sia Q che q sono di grado al pi`u k − 2 e si annullano in x = 0. La loro differenza si pu`o quindi scrivere nella forma
Qx, y − qx, y = Q
′
x, y + H
′
x, y, dove H
′
`e un monomio astratto di grado k − 2 e Q
′
x, y `e un polinomio astratto di grado al pi`u k − 3 in x che si annulla per x = 0.
Osserviamo che analogamente al Lemma 4.1, anche i Lemmi 4.2 e 4.3 rimangono validi nel caso in cui si sostituisca la 6 con
k f x + y − f x − f y + f 0 − Qx, y − H x, yk ≤ 8kxk, kyk + β, β
∈ R
+
. Dimostrazione. Dimostrazione del Teorema4.1
Procediamo per induzione. Posto gx = f x − f 0, si ha che 1
2 h
1
, h
2
f x = 1
2 h
1
, h
2
gx, quindi per la 1 otteniamo kgx + h
1
+ h
2
− gx + h
1
− gx + h
2
+ gxk ≤ 8
3
kxk, kh
1
k, kh
2
k + β; ponendo nella relazione precedente x = 0, h
1
= x e h
2
= y, si ha kgx + y − gx − gyk ≤ 8
3
0, kxk, kyk + β. Per il Lemma 4.1 possiamo costruire una funzione additiva H x =
lim
n→+∞
2
−n
g2
n
x tale che kgx − H xk ≤
8
3
0, 1, 1 2 − 2
p
kxk
p
+ β. Se poniamo Px = H x + f 0, otteniamo
k f x − Pxk ≤ 8
3
0, 1, 1 2 − 2
p
kxk
p
+ β e sostituendo x con nx, dividendo per n e passando al limite abbiamo
H x = lim
n→+∞
1 n
[ f nx − f 0]. Supponiamo ora il teorema vero per m. Poniamo Gx, y = f x + y − f x e da
k1
m+1 h
1
, ··· ,h
m
, y
f xk ≤ 8
m+2
kxk, kh
1
k, · · · , kh
m
k, kyk + β otteniamo
k1
m h
1
, ··· ,h
m
Gx, yk ≤ 8
m+2
kxk, kh
1
k, · · · , kh
m
k, kyk + β, da cui, se pensiamo y fissato, per l’ipotesi di induzione possiamo garantire l’esistenza di un
polinomio P
m−1
x, y di grado m − 1 in x tale che kGx, y − P
m−1
x, yk ≤ 1
2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+2
0, kxk, · · · , kxk, kyk + β
Sulla stabilit`a 205
e P
m−1
x, y = G0, y + Qx, y + H x, y, dove H `e un monomio astratto di grado al pi`u m − 1 in x e Q `e un polinomio astratto di grado m − 2 tale che Q0, y = 0. Ricordando
l’espressione di G, ci`o significa k f x + y − f x − f y + f 0 − Qx, y − H x, yk
≤ 1
2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+2
0, kxk, · · · , kxk, kyk + β, quindi f soddisfa le ipotesi del Lemma 4.2 con k = m, da cui
H
m
x = H x, x
m =
1 m
lim
n→+∞
1 n
m
1
m nx
f 0 `e un monomio astratto di grado m.
Applichiamo ora il Lemma 4.3 alla funzione f
1
x = f x − H
m
x. Otteniamo k f
1
x + y − f
1
x − f
1
y + f
1
0 − R
m−3
x, y − R
m−2
x, yk ≤
1 2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+2
0, kxk, · · · , kxk, kyk + β, dove R
m−2
`e un monomio astratto di grado m − 2 in x e R
m−3
`e un polinomio astratto di grado al pi`u m − 3 in x tale che R
m−3
0, y = 0. La funzione f
1
verifica quindi le ipotesi del Lemma 4.2 con k = m − 1, quindi H
m−1
x = R
m−2
x, x m − 1
= 1
m − 1 lim
n→+∞
1 n
m−1
1
m−1 nx
f
1
= 1
m − 1 lim
n→+∞
1 n
m−1
[1
m−1 nx
f 0 − 1
m−1 nx
H
m
0] `e un monomio astratto di grado m − 1 in x.
Riapplicando di nuovo il Lemma 4.3 alla funzione f
2
x = f
1
x − H
m−1
x = f x − H
m−1
x − H
m
x, vediamo che sono verificate le ipotesi del Lemma 4.2 con k = m − 2 che assicurano che
H
m−2
x = 1
m − 2 lim
n→+∞
1 n
m−2
1
m−2 nx
f
2
`e un monomio astratto di grado m − 2 in x. Continuando in questo modo si giunge ad una funzione f
m−2
x = f x − H
3
x − · · · − H
m
x tale che k f
m−2
x + y − f
m−2
x − f
m−2
y + f
m−2
0 − hx, y k ≤
1 2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+2
0, kxk, · · · , kxk, kyk + β, con h monomio astratto di primo grado in x. Per il Lemma 4.2
H
2
x = hx, x
2 =
1 2
lim
n→+∞
1 n
2
1
2 nx
f
m−2
`e un monomio astratto di grado 2 e quindi la funzione f
m−1
x = f x − H
2
x − · · · − H
m
x per il Lemma 4.3 `e tale che
k f
m−1
x + y − f
m−1
x − f
m−1
y + f
m−1
0k ≤
1 2
m−1
1 1 − 2
p−1 m−1
8
m+2
0, kxk, · · · , kxk, kyk + β.
206 C. Borelli - C. Invernizzi
Poich´e f
m−1
verifica le ipotesi del Lemma 4.1, possiamo assicurare l’esistenza di una funzione additiva
H
1
x = lim
n→+∞
1 n
1
nx
f
m−1
tale che k f
m−1
x − f
m−1
0 − H
1
xk ≤ 1
2
m
1 1 − 2
p−1 m
8
m+2
0, 1, · · · , 1kxk
p
+ β, quindi
k f x − P
m
xk ≤ kxk
p
M
m+1
+ β dove P
m
x = f 0 + H
1
x + H
2
x + · · · + H
m
x.
3. Ulteriori risultati
