Buku Ajar Modul | Win Konadi – PROBABILITAS STATISTIK
16
= 0+
31 16
1 x ½ + 4 x ¼ + 9 x
8 1
+ 16 x
16 1
=
31 58
Maka, Var X =
2
= EX
2
– [EX]
2
=
31 58
-
31 26
=
961 1122
Distribusi diskrit yang telah dibahas tadi, dapat dikatakan sebagai distribusi umum tidak mempunyai nama teoritis yang populer. Berikut
ini akan dibahas beberapa distribusi diskrit teoritis.
1.1 Distribusi Binomial
Ciri-ciri percobaan Binomial adalah : Hanya menghasilkan diperhatikan dua peristiwa atau ketegori,
misal S sukses dam G gagal Dilakukan sebanyak n tertentu kali
Tiap percobaan saling bebas, artinya hasil yang muncul pada sebuah percobaan tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan sebelumnya dan
tidak mempengaruhi hasil percobaan berikutnya Peluang terjadinya salah satu peristiwa misal S diketahui sebesar
yang bernilai tetap untuk setiap percobaan 0
1 Misal X adalah sebuah variabel yang menyatakan frekuensi terjadi S
dalam n, maka nilai- nilai X yang mungkin adalah x = 0,1,2, … , n dan X
merupakan variabel diskrit berdistribusi binomial dengan fungsi peluang PX=x = px =
x n
x n
x
1-
n-x
untuk x = 0,1,2, … , n dan
n
x
x p
= 1 = 0
untuk x lainnya dengan rata-rata,
=n danvarians,
2
= n 1-
Buku Ajar Modul | Win Konadi – PROBABILITAS STATISTIK
17
Beberapa contoh percobaan dengan dua kategori antara lain adalah : mendapat nilai A dan bukan A dalam ujian, mendapat untung dan tidak
untung, dan lain-lain kejadian yang saling berkomplemen. Untuk keperluan perhitungan, telah tersedia Tabel Fungsi Distribusi
Binomial Tabel pada lampiran. Tabel ini terdiri dari kolom-kolom : n, x, dan p =
. Angka yang tercantum di dalam badan tabel menyatakan Fx = PX
x. Sebagai contoh, untuk n = 10, p = 0,50 pada baris x = 2 terdapat angka
0,0547. Maka, kita peroleh F2 = PX 2 = p0 + p1 + p2 = 0,0547.
Contoh 4
Hitung peluang dari 10 ibu yang melahirkan akan lahir bayi laki-laki sebanyak :
a Tepat 3 bayi
b Paling sedikit 3 bayi
c Paling banyak 3 bayi
d Kurang dari 3 bayi
e Lebih dari 3 bayi
f Antara 2 dan 5 bayi inklusif
g Antara 2 dan 5 bayi eksklusif
Penyelesaian
Diketahui : n = 10 jumlah percobaan, = peluang lahir pria = peluang
lahir wanita Misal, X : jumlah bayi laki-laki yang lahir. Maka, X berdistribusi binomial
dengan fungsi peluang :
px =
x x
x x
10 2
1 2
1
10 10
untuk x = 0,1,2, … , 10 dan
10
x
x p
= 1 = 0
untuk x lainnya
Buku Ajar Modul | Win Konadi – PROBABILITAS STATISTIK
18
Untuk menyelesaikan persoalan ini dapat dilakukan dengan menghitung langsung dari fungsi peluang di atas, atau dengan menggunakan angka-
angka yang sudah ada pada Tabel Dist. Binomial. Dengan n = 10 dan p = 0,5.
a Ditanya : PX=3 = p3 = PX
3 - PX 2 ? Jawab : Dari tabel 1: n = 10; p = 0,5 pada baris x = 3 didapat PX
3 = 0,1719 dan, pada baris x = 2 didapat PX
2 = 0,0547 sehingga p3 = 0,1172. Jadi peluang memperoleh 3 bayi laki-laki = 0,1172
b Ditanya : PX 3 ?
Jawab : PX 3 = 1 - PX 2 = 1 – 0,0547 = 0,9453
Jadi peluang memperoleh paling sedikit 3 bayi laki-laki = 0,9453. c Ditanya : PX
3 ? Jawab : PX
3 = 0,1719 Jadi, peluang memperoleh paling banyak 3 bayi laki-laki = 0,1719
d Ditanya : PX3 ? Jawab : PX 3 = PX
2 = 0,0547 Jadi, peluang memperoleh kurang dari 3 bayi laki-laki = 0,0547
e Ditanya : PX3 ? Jawab : PX3 = 1 - PX
3 = 1 – 0,1719 = 0,8281 Jadi, peluang memperoleh lebih dari 3 bayi laki-laki = 0,8281
f Ditanya : P2 X 5 ?
Jawab : P2 X 5 = PX 5 - PX 1. Dari Tabel : n =10; p = 0,5 pada
baris x = 5 didapat PX 5 = 0.6230 dan pada baris x = 1 didapat PX 1
= 0,0107 sehingga, P2 X 5 = 0,6123
Jadi, peluang memperoleh antara 2 dan 5 bayi laki-laki inklusif = 0,6123 g
Ditanya : P2 X 5 ? Jawab : P2 X 5 = PX
4 - PX 2. Dari Tabel : n =10; p = 0,5 pada baris x = 4 didapat PX
4 = 0,3770 sehingga, P2 X 5 = 0,3223
Buku Ajar Modul | Win Konadi – PROBABILITAS STATISTIK
19
Jadi, peluang memperoleh antara 2 dan 5 bayi laki-laki eksklusif = 0,3223
1.2 Distribusi Multinomial
Ciri-ciri percobaan Multinomial adalah : Dilakukan sebanyak n kali dan antar percobaan saling bebas, artinya
hasil yang muncul pada sebuah percobaan tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan sebelumnya dan tidak mempengaruhi hasil
percobaan sesudahnya Menghasilkan k buah peristiwa atau kategori, misalnya E
1
, E
2
, …, E
k
Peluang terjadinya tiap peristiwa diketahui sebesar
1
,
2
, …,
k
Misalkan X menyatakan peristiwa E
1
, E
2
, …, E
k
masing-masing sebanyak x
1
, x
2
, …, x
k
, maka X adalah variabel diskrit berdistribusi multinomial dengan fungsi peluang
PX=x
i
= px
1
, x
2
, …, x
k
=
k
x k
x x
k
x x
x n
2 1
2 1
2 1
dengan x
i
= n x
i
= 1 0 1
i = 1,2, …, k x
i
= 0,1, …, n i
Contoh 5 Diketahui peluang sejenis lampu proyektor akan hidup :
Kurang dari 40 jam = 0,30 : kategori 1 Antara 40
– 80 jam = 0,50 : kategori 2 Lebih dari 80 jam = 0,20 : kategori 3
Dari 8 lampu jenis ini berapa peluang terdapat : 2 dari kategori 1, 5 dari kategori 2, dan 1 dari kategori 3 ?
Buku Ajar Modul | Win Konadi – PROBABILITAS STATISTIK
20 Penyelesaian
Diketahui : n = 8;
1
= 0,30;
2
= 0,50;
3
= 0,20 Ditanya : p2,5,1 ?
Jawab : p2,5,1 =
1 5
2
20 ,
50 ,
30 ,
1 5
2 8
= 0,0945
1.3 Distribusi Hipergeometrik Ciri-ciri percobaan hipergeometrik adalah :
