Sehingga didapat matriks A 2 −6A + 11A −6I adalah:

3 Sehingga didapat matriks A 2 −6A + 11A −6I adalah:

Page 96 of 132

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ke-Orthogonalan Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan riil R. Hasil kali dalam riil (real inner product) juga dinamakan bilinier adalah

fungsi dari V × V ke R dinotasikan oleh hu, vi yang memenuhi • hr 1 u 1 +r 2 u 2 ,v i=r 1 hu 1 ,v i+r 2 hu 2 ,v i untuk semua u 1 ,u 2 ,v ∈V

Home Page

dan r 1 ,r 2 ∈ R (Linier).

Title Page

• hu, vi = hv, ui untuk semua u, v ∈ V (Simetri).

• hu, ui ≥ 0 untuk semua u ∈ V dan hu, ui = 0 bila dan hanya

bila u = 0 (semi definit positip).

Bila x = (x n

1 ,...,x n ), y = (y 1 ,...,y n ) ∈R maka hasil kali dalam

baku diberikan oleh hx, yi =

def P

x i y i (juga dinamakan dot

i=1

Page 97 of 132

product dalam geometri Euclide). Bila vektor-vektor x dan y disajikan dalam vektor kolom, maka

hx, yi = x ′ y.

Go Back

Suatu norm dari ruang vektor V ke lapangan riil R adalah

suatu fungsi dinotasikan oleh || || yang memenuhi

Full Screen

• ||v|| ≥ 0 untuk semua v ∈ V dan ||v|| = 0 bila dan hanya bila

u = 0 (Definit positip). • ||rv|| = |r| ||v|| untuk semua v ∈ V, r ∈ R

Close

Quit

• ||u + v|| ≤ ||u|| + |||v|| untuk semua u, v ∈ V (Pertaksamaan

segitiga).

Home Page

Untuk n setiap u ∈ R norm Euclide diberikan oleh

P ||u|| p

def

|u i |

dalam hal ini dinamakan norm-p. Khusus

Title Page

i=1

untuk p = 2 cukup ditulis 2 ||u|| = |u

i=1

Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan R.

1. Dua vektor u, v ∈ V dikatakan orthogonal bila hu, vi = 0.

2. Suatu himpunan dari vektor-vektor adalah orthogonal bila

Page 98 of 132

setiap dua pasang vektor orthogonal.

3. Suatu vektor u ∈ V adalah ternormalisir bila ||u|| = 1.

Go Back

4 Dua vektor u, v ∈ V dikatakan orthonormal bila ||u|| = ||v|| =

1 dan hu, vi = 0.

Full Screen

u Setiap vektor u ∈ V bisa dinormalisir kedalam bentuk

||u||

Close

Quit

Contoh

Home Page

Himpunan vektor-vektor {(1, 0), (0, 1)} adalah orthonormal, tetapi {(1, 1), (−1, 1)} adalah orthogonal.

Himpunan yang

terakhir ini dapat dijadikan orthonormal sebagai himpunan

Title Page

berikut ini

Suatu basis orthonormal dari suatu ruang vektor mempunyai

beberapa kemanfaatan dan basis baku dari ruang vektor R n adalah orthonormal, yaitu basis baku dari ruang vektor R 3

adalah himpunan {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Page 99 of 132

Diberikan matriks A berukuran n × n, matriks A dikatakan matriks simetri bila A = A ′ dan dikatakan anti-simetri (skew-

Go Back

symmetric) bila A =

−A ′ . Matriks simetri bermaanfaat dalam

Full Screen

bentuk kuadrat, misalnya

1,1 a 1,2

2 xy 2 =a 1,1 x + 2a 1,2 xy + a 2,2 y

Close

a 1,2 a 2,2

Quit

Home Page

Bila matriks A simetri dengan elemen-elemen riil dan berlaku

Ax = λx dengan x 6= 0, maka λ selalu merupakan bilangan riil.

Title Page

Bukti Digunakan tanda ∗ untuk menyatakan komplek sekawan (com-

plex conjugate). Kedua ruas dari Ax = λx kalikan dengan x

Page 100 of 132

Persamaan ( 3 ) kedua ruas ditranspose-konjuget didapat

x Ax = λ ( x x)

Go Back

Persamaan ( 4 ) dikurangi persamaan ( 3 ) didapat

⇒0=λ − λ (sebab x 6= 0). Jadi λ =λ , maka

Full Screen

dari itu λ merupakan bilangan riil.

Close

Quit

Home Page

Misalkan A matriks simetri berukuran n × n dengan elemen- elemen riil. Bila λ dan µ adalah sebarang dua eigenvalue dari

matriks A dengan masing-masing eigenvektor adalah x dan y dan λ 6= µ, maka hx, yi = 0.

Title Page

Bukti Kedua ruas persamaan Ax = λx kalikan dengan y ′ didapat

y ′ Ax = λ(y x).

Kedua ruas persamaan Ay = µy kalikan dengan x ′ didapat

Page 101 of 132

x ′ Ay = µ(x y).

Go Back

Kedua ruas persamaan ( 6 ) ditranspose didapat

y ′ Ax = µ(y x).

Full Screen

Persamaan ( 7 ) dikurangi persamaan ( 5 ) didapat

Close

′ x) − λ)(y ′ ⇒0=y x= hx, yi (sebab λ 6= µ).

Quit

Matriks A berukuran n × n dikatakan orthogonal bila

AA ′ =I=A ′ A yaitu A −1 =A ′ .

Home Page

Bila B i dan K j masing-masing menyatakan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks orthogonal A berukuran n × n,

Title Page

maka {B i , i = 1, . . . , n } dan {K j , j = 1, . . . , n } adalah himpunan dari vektor-vektor orthonormal.

Bukti

Dari elemen perkalian matriks (AA ) i,j = hB i ,B j i dan fakta AA =

I didapat hB i ,B j i=

, terlihat bahwa baris-

0 yang lainnya

baris dari A adalah orthonormal. Bila A orthogonal, maka A ′ juga orthogonal, jadi kolom-kolom dari A juga orthonormal.

Page 102 of 132

Go Back

Contoh Bila matriks A diberikan oleh

Full Screen

A= 

001 ′  , maka AA =  001   100  =  010  = I.

Close

001 Juga dapat dicek bahwa A ′ A = I. Jadi A adalah matriks or-

Quit

thogonal.

Home Page

Contoh

Bila matriks A diberikan oleh

Title Page

 A= 

maka matriks A adalah orthogonal, sebab

Page 103 of 132

Go Back

Full Screen

Juga dapat dicek bahwa A ′ A=I

Close

Quit

Suatu pemetaan linier yang direpresentasikan oleh suatu ma- triks orthogonal adalah mempertahankan jarak dari suatu vek- tor, yaitu bila A suatu matriks orthogonal, maka ||Ax|| = ||x||

Home Page

Title Page

untuk semua x n ∈R .

Bukti

Dari persamaan 2 ||x|| = phx, xi dan hx, xi = x x, didapat ||x|| =

x x. Oleh karena itu ||Ax|| = x A Ax = x x= ||x|| ⇒ ||Ax|| = ||x||.

Contoh

Page 104 of 132

Diberikan matriks orthogonal

Go Back

A= n  1 0 0  dan sebarang x =  x 2  ∈R ,

Full Screen

maka dapat ditunjukkan bahwa ||Ax|| = ||x|| sebagai mana berikut ini:

Close

Quit

Home Page

Title Page

2 2 ( 2 x + x ) +x +( x + x )

Page 105 of 132

Go Back

r1

x −x 2 x 3 + x +x + x +x x + x

Full Screen

2 2 x 2 +x +x =

1 2 3 ||x||.

Close

Quit

Home Page

Kesimpulan yang bisa diperoleh dari matriks simetri berkaitan dengan pendiagonalan matriks diberikan sebagaimana berikut

ini.

Title Page

Kesimpulan Bila matriks simetri A berukuran n ×n mempunyai eigenvalue- eigenvalue yang berbeda, maka A dapat didiagonalkan melalui

suatu matriks orthogonal. Komentar : Karena matriks A mempunyai eigenvalue-

eigenvalue yang berbeda, maka dapat didiagonalkan men- jadi matriks Q −1 AQ dimana matriks Q = [x 1 |x 2 | . . . |x n ] dengan x i , i = 1, . . . , n adalah eigenvektor-eigenvektor dari A yang sesuai

Page 106 of 132

Go Back

dengan eigenvaluenya. Berdasarkan hasil sebelumnya vektor- vektor x i , i = 1, . . . , n saling orthogonal. Bila vektor-vektor ini

dinormalkan maka didapat matriks orthogonal

Full Screen

P= ′ ... , sehingga matriks P AP juga meru-

||x 1 || ||x 2 ||

||x n ||

pakan matriks diagonal.

Close

Quit

Contoh Diberikan matriks simetri

Home Page

Title Page

Sehingga didapat polinomial kharakteristik dari matriks A adalah p(λ) = (λ 2 − 1)(λ − 2) − 2 = λ − 3λ = λ(λ − 3). Untuk

eigenvalue λ 1 =0 dan λ 2 =3 didapat masing-masing eigenvek-

tor yang sesuai adalah:

dan x 2 = √ .

Page 107 of 132

Sehingga diperoleh

Go Back

Full Screen

Close

Bila matriks P =

, maka pendiagonalan dari ma-

||x 1 || ||x 2 ||

triks A adalah P ′ AP dan hasilnya diberikan sebagai berikut

Quit

Home Page

Title Page

Page 108 of 132

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Berkaitan dengan matriks simetri dengan elemen-elemen riil. Sebagaimana telah diketahui matriks simetri pasti semua eigenvaluenya adalah riil, tetapi tidak menjamin bahwa se-

mua eigenvalue-eigenvalue ini berbeda satu dengan yang lain- nya, bila semuanya berbeda maka pasti matriks simetri tsb.

Home Page

bisa didiagonalkan. Bila ada yang rangkap, maka hal ini ada dua kasus. Yang pertama bila masing-masing multi- plisitas geometri = multiplisitas aljabar, maka pendiagonalan

Title Page

matriks bisa dilakukan. Kedua, bila masing-masing multi- plisitas geometri < multiplisitas aljabar, maka pendiagonalan

tidak dapat dilakukan. Pada khasus yang kedua tentunya hanya beberapa eigenvektor yang orthogonal satu dengan yang

lainnya, yaitu yang berkaitan dengan eigenvalue-eigenvalue yang saling berbeda satu dengan lainnya. Tetapi untuk eigenvalue yang rangkap walaupun memberikan eigenvektor-

Page 109 of 132

Go Back

eigenvektor yang saling bebas linier tetapi tidak menjamin bahwa eigenvektor-eigenvektor ini orthogonal. Oleh karena

itu matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor- eigenvektor bukan matriks orthogonal. Tetapi dengan be- berapa modifikasi matriks tsb. bisa dijadikan matriks or-

Full Screen

Close

thogonal, cara pengorthogonalan ini mengarah apa yang di- namakan proses Pengorthogonalan Gram-Schmidt. Contoh

Quit

berikut memberikan kejelasan mengenai pengorthogonalan su- atu matriks.

Contoh Diberikan suatu matriks simetri

Home Page

1  −1 −1 λ −1 1 1 A=  −1 1 −1  ⇒ λI − A =  1 λ −1 1  .

Title Page

Polinomial kharakteristik dari A diberikan oleh

p(λ) = det(λI 2 − A) = (λ − 2) (λ + 1) . Pasangan eigenvalue eigen- vektor diberikan oleh

 −1  −1 1 λ 1 = 2, x 1 =  0  ;λ 2 = 2, x 2 =  1  ;λ 3 = 1, x 3 =  1  .

1 0 1 Terlihat bahwa hx 1 ,x 3 i = hx 2 ,x 3 i = 0 tetapi hx 1 ,x 2 i = 1 6= 0.

Page 110 of 132

Go Back

Penormalan dari x 2 dan x 3 didapat :

Full Screen

=  1  dan p 3 =

||x 2 ||  √ 

||x 3 ||  3 

Close

Quit

Untuk memperoleh suatu vektor ¯ x 1 supaya h¯x 1 ,x 2 i = 0, adalah

sebagai berikut. Misalkan ¯ x 1 +a x 2 = x 1 , didapat x 2 x ¯ 1 +a x 2 x 2 = hx 1 ′ ,x 2 i

Home Page

x 2 x 1 atau h¯x 1 ,x 2 i + a hx 2 ,x 2 i = hx 1 ,x 2 i⇒a=

. Sehingga hx 2 ,x 2 i

Title Page

Page 111 of 132

Dengan menormalkan vektor ¯ x 1 didapat:

Go Back

Full Screen

=  − √  . ||¯x 1 || 

Close

Jadi matriks P = [p 1 |p 2 |p 3 ] diberikan oleh:

Quit

Home Page

Title Page

P= ′

 − √ √ √  ⇒P P=I=PP (P matriks orthogonal).

Sehingga didapat :

Page 112 of 132

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Proses orthogonalisasi Gram-Schmidt

Home Page

Diberikan himpunan vektor-vektor yang bebas linier S =

Title Page

{X 1 ,X 2 ,...,X n }, dari S dibentuk himpunan vektor-vektor or-

thormal T = {T 1 ,T 2 ,...,T n } sebagi berikut:

Page 113 of 132

Go Back

Full Screen

Didapat matriks orthogonal

T = [T 1 |T 2 |...|T n ].

Close

Quit

Contoh Diberikan matriks dengan kolom-kolom merupakan vektor-

Home Page

vektor yang bebas linier, yaitu

Title Page

A=  011  001

Misalkan X 1 ,X 2 dan X 3 merupakan vektor-vektor kolom dari

A, maka

t 1 = X 1 =  0  ⇒T 1 =

Page 114 of 132

||t 1 ||