Dinamika Penyebaran Penyakit Kolera Oleh Bakteri Vibrio Cholerae Bertipe Hyperinfectious.
DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
OLEH BAKTERI VIBRIO CHOLERAE
BERTIPE HYPERINFECTIOUS
NUR RAHMI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Dinamika Penyebaran
Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio cholerae Bertipe Hyperinfectious adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2016
Nur Rahmi
NIM G551140081
RINGKASAN
NUR RAHMI. Dinamika Penyebaran Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio
cholerae Bertipe Hyperinfectious. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ENDAR
H. NUGRAHANI.
Kolera adalah infeksi akut yang disebabkan oleh bakteri Vibrio cholerae
yang masuk ke dalam tubuh melalui makanan dan minuman yang dikonsumsi.
Setelah terinfeksi, penderita akan mengeluarkan bakteri bersama fesesnya. Bakteri
yang baru saja keluar dari saluran pencernaan manusia memiliki kekuatan infeksi
yang tinggi, yang disebut hyperinfectious. Untungnya, kekuatan infeksi dari
bakteri hyperinfectious hanya berlangsung dalam selang waktu singkat karena
dalam hitungan jam akan meluruh menjadi bakteri less infectious. Dengan
demikian, kondisi bakteri, hyperinfectious atau less infectious, merupakan kunci
untuk memahami sifat penyebaran penyakit kolera dari manusia-ke-manusia.
Penelitian ini bertujuan memodifikasi model dengan melibatkan bakteri
hyperinfectious dan memperhatikan pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi
air. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk melakukan analisis kestabilan
titik tetap. Akhirnya, beberapa simulasi numerik dari model diberikan untuk
mengilustrasikan dinamika penyebaran penyakit kolera.
Model yang diajukan dalam penelitian ini merupakan hasil modifikasi dari
model yang telah ada, yaitu dengan menambahkan asumsi bahwa populasi
manusia tidak konstan dan adanya pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi
air. Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang rentan
(susceptible), manusia yang terkena infeksi (infected), dan manusia yang sembuh
(recovered). Manusia yang rentan adalah manusia yang tak imun dan belum
terkena infeksi. Manusia yang terkena infeksi adalah manusia yang terinfeksi
bakteri V. cholera sehingga dapat menularkan kepada individu lain. Manusia
sembuh adalah manusia yang sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi.
Di lain pihak, populasi bakteri dibagi menjadi dua kelas, yaitu bakteri
hyperinfectious dan bakteri less infectious.
Analisis terhadap sistem dinamik ini menunjukkan bahwa terdapat dua titik
tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Titik tetap endemik
positif akan ada jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu. Titik tetap tanpa
penyakit akan bersifat stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika bilangan
reproduksi dasar kurang dari satu, sedangkan titik tetap endemik bersifat stabil
asimtotik lokal jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika laju cerna bakteri hyperinfectious
ditekan hingga lebih kecil dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap
tanpa penyakit, dengan kata lain, penyakit kolera bisa hilang dari populasi.
Sebaliknya, jika laju cerna bakteri hyperinfectious masih lebih besar dari nilai
kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap endemik, sehingga penyakit kolera
akan menetap dalam populasi. Jika laju vaksinasi ditingkatkan hingga lebih besar
dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap tanpa penyakit, atau
penyakit kolera bisa hilang dari populasi. Sebaliknya, jika laju vaksinasi lebih
rendah dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap endemik, itu
berarti penyakit kolera akan menetap dalam populasi. Simulasi laju pengobatan
dan laju sanitasi memiliki hasil yang serupa dengan simulasi laju vaksinasi. Selain
itu, hasil simulasi juga menunjukkan bahwa meningkatnya laju cerna bakteri
hyperinfectious menyebabkan bilangan reproduksi dasar naik, sehingga
mempercepat laju penyebaran penyakit. Di lain pihak, meningkatnya laju
vaksinasi, pengobatan, atau sanitasi menyebabkan bilangan reproduksi dasar turun,
sehingga dapat menekan laju penyebaran penyakit.
Kata kunci: bakteri hyperinfectious, kolera, stabil asimtotik lokal
SUMMARY
NUR RAHMI. Dynamics of Cholera Disease Transmission by Vibrio cholerae
bacteria in Hyperinfectious State. Supervised by JAHARUDDIN and ENDAR H.
NUGRAHANI.
Cholera is an acute infection caused by Vibrio cholerae bacteria that enter
the body through consumed food and beverages. After getting infected, cholera
sufferers will shed the bacteria together with their feces. Freshly shed bacteria
from the human gastrointestinal tract has high infectivity, which is called
hyperinfectious. Fortunately, the hyperinfectious state decays in a matter of hours
into a lower infectious state. So, the state of bacteria, whether hyperinfectious or
less infectious, is the key to understanding the nature of the spread of cholera from
human-to-human.
This study aims to modify the model of cholera transmission by involving
hyperinfectious bacteria and taking into account the effect of vaccination control,
treatment and water sanitation. Moreover, this study also intended to perform the
stability analysis of equilibrium points. Finally, some numerical simulations of
models are given to illustrate the dynamics of the transmission of cholera disease.
The model proposed in this study is a modification of the existing model,
i.e. there is additional assumption that the human population is not constant and
that there are some effects of vaccination, treatment, and water sanitation. The
human population is divided into three classes, namely susceptible, infected, and
recovered. Susceptible humans are people who are not immune and not yet
exposed to the infection. Infected humans are humans infected by the bacteria
and, therefore, can infect another. Recovered humans are people who recovered
from the disease and can not be infected again. On the other hand, bacterial
population is divided into two classes, namely hyperinfectious bacteria and less
infectious bacteria.
Analysis of this dynamic system shows that there are two equilibria,
namely disease free and endemic equilibrium. A positive endemic equilibrium
exists if and only if the basic reproduction number is greater than one. Moreover,
the disease free equilibrium of system is locally asymptotically stable if and only
if the basic reproduction number is less than one. The endemic equilibrium is
positive and locally asymptotically stable if the basic reproduction number is
greater than one.
The simulation results shows that if the ingestion rate of hyperinfectious
bacteria reduce to less than the critical value, then the system will stabilize at the
disease free equilibrium, in other words, cholera vanish from the population.
Conversely, if the ingestion rate of hyperinfectious bacteria still greater than the
critical value, then the system will be stable at endemic equilibrium, thus, cholera
will remain in the population. If the vaccination rate increases to a value greater
than the critical value, then the system will stabilize at a disease free equilibrium,
in other words, cholera vanish from the population. Conversely, if the vaccination
rate is lower than the critical value, then the system will be stable at endemic
equilibrium, it means that cholera will persist in the population. The simulation of
treatment and sanitation rate have similar result to the simulation of vaccination
rate. In addition, the simulation results also shows that the increased rate of
hyperinfectious bacteria ingestion causes the basic reproduction number also
increased, thus it can speed up the rate of spread of the cholera disease. On the
other hand, improving force of vaccination, medical treatment, or sanitation
causes the basic reproduction number decreased, so that it can also decrease the
cholera transmission.
Keywords: cholera, hyperinfectious bacteria, locally asymptotically stable
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
OLEH BAKTERI VIBRIO CHOLERAE
BERTIPE HYPERINFECTIOUS
NUR RAHMI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Paian Sianturi
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah pemodelan matematika, dengan judul: Dinamika
Penyebaran Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio cholerae Bertipe
Hyperinfectious.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan dan bimbingan dari
kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini. Terima
kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin, MS dan Ibu Dr Ir Endar H
Nugrahani, MS selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran dan
bimbingan dalam menyelesaikan tesisi ini.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Orang tua, saudara, dan seluruh keluarga yang selalu memberikan doa dan
semangat selama masa studi penulis.
2. Sponsor Beasiswa Fresh Graduate Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi
(DIKTI)
3. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
4. Seluruh mahasiswa Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah
Pascasarjana IPB, terutama angkatan 2014 dan 2013.
5. Sahabat-sahabat yang telah membantu secara moril maupun materil.
Jazakumullah khairan katsira, semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang
telah diberikan pada penulis mendapat balasan dari Allah SWT.
Akhirnya, penulis berharap semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan
memperkaya wawasan bagi semua pembaca.
Bogor, Juni 2016
Nur Rahmi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Dinamik
Titik Tetap
Pelinearan
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kestabilan Titik Tetap
Teorema Chastilo-Chaves dan Song (2004)
Bilangan Reproduksi Dasar
Model Hartley et al. (2006)
Model Wang dan Modnak (2011)
3
3
4
4
4
5
5
6
7
9
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penyebaran Penyakit Kolera Hasil Modifikasi
Daerah Solusi Model Penyebaran Penyakit Kolera
Titik Tetap
Matriks Jacobi
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik Tetap Endemik
Bilangan Reproduksi Dasar
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Simulasi Model
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Vaksinasi
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Pengobatan
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Sanitasi
11
11
13
14
14
15
15
15
17
20
25
25
28
31
33
4 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
35
36
36
DAFTAR PUSTAKA
37
LAMPIRAN
39
RIWAYAT HIDUP
44
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Notasi pada model modifikasi penyebaran penyakit kolera
Sifat kestabilan titik tetap
Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi
Nilai parameter
dan
dalam simulasi laju cerna bakteri
hyperinfectious
5 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju vaksinasi
6 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju pengobatan
7 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju sanitasi
12
24
25
26
28
31
33
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kasus kolera di Indonesia periode tahun 1986-2012
Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006)
Diagram kompartemen model Wang dan Modnak (2011)
Diagram kompartemen model modifikasi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju cerna bakteri hyperinfectious terhadap manusia
terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju vaksinasi terhadap manusia terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju pengobatan terhadap manusia terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju sanitasi terhadap manusia terinfeksi
1
8
10
11
26
27
28
29
30
30
32
32
33
34
34
35
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penentuan Titik Tetap Endemik
Penentuan Nilai Kritis Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Penentuan Nilai Kritis Laju Vaksinasi
Penentuan Nilai Kritis Laju Pengobatan
Penentuan Nilai Kritis Laju Sanitasi
39
40
41
42
43
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kolera adalah infeksi akut yang disebabkan oleh bakteri Vibrio cholerae
yang masuk ke dalam tubuh melalui makanan dan minuman yang dikonsumsi oleh
penderita. Pada saat menginfeksi seseorang, bakteri ini memproduksi enterotoxin
yang mengakibatkan keluarnya cairan tubuh dalam jumlah yang banyak, sehingga
tanpa penanganan yang tepat, seseorang yang terjangkit oleh bakteri ini dapat
meninggal dunia. Ketika di suatu daerah dengan tingkat sanitasi yang sangat
rendah terdapat seorang penderita diare yang membawa bakteri Vibrio cholerae,
maka sangat memungkinkan terjadi penyebaran bakteri Vibrio cholerae ini di
sumber air daerah setempat. Hal ini dapat mengakibatkan terkontaminasinya
seluruh daerah tersebut, dan menyebabkan kemungkinan terjadinya tiga kasus,
yaitu tidak ada outbreak (bebas kolera), terjadi epidemik atau terjadi endemik di
wilayah yang terjangkiti tersebut.
Di Indonesia, perkembangan jumlah kasus kolera dari tahun 1986 sampai
tahun 2012 dapat dilihat pada Gambar 1.
14,000
Jumlah Kasus
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0
Kematian
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1996
1997
2001
2005
391
18
0
0
0
55
0
25
0
0
0
6
19
27
659
50
67
155
6,202
25
3,564
47
66
66
561
1,338
1,007
Total Kasus 11,915
Total Kasus
2008
Kematian
Gambar 1 Kasus kolera di Indonesia periode tahun 1986-2012
Gambar direproduksi dari Knoema (2014)
Gambar 1 menunjukkan bahwa kasus kolera di Indonesia terbanyak
sepanjang periode tersebut terjadi pada tahun 1986 dengan 11,915 kasus dan 391
kematian. Setelah itu jumlah kasus menurun setiap tahun setelahnya hingga
akhirnya mulai naik tajam pada tahun 1991. Kasus kolera di Indonesia yang
terbaru terjadi pada tahun 2008 sebanyak seribu tujuh kasus dengan 27 kematian.
Selanjutnya tidak ada laporan kolera lagi sejak tahun 2009 hingga 2012.
Berdasarkan WHO (2015), pada tahun 2014 tercatat sebanyak 190,549
kasus kolera dilaporkan oleh 42 negara, 55% dari kasus berasal dari Afrika, 30%
dari Asia and 15% dari Hispaniola (Haiti dan Republik dominika dari Amerika).
Total kasus kematian akibat kolera sebanyak 2,231 kematian yang dilaporkan oleh
24 negara; 1,882 kematian terjadi di Afrika, 42 di Asia, dan 307 di Hispaniola.
2
Kasus kolera yang dilaporkan ini hanya menggambarkan sebagian kecil dari kasus
yang sebenarnya terjadi. Diduga terdapat lebih dari dua juta kasus dan hampir
seratus ribu kematian karena kolera setiap tahunnya. Berdasarkan uraian tersebut
kolera masih menjadi masalah kesehatan utama di beberapa belahan dunia. Untuk
itu, dibutuhkan suatu model matematika yang mampu menggambarkan dan
menganalisis dinamika penyebaran penyakit kolera dalam suatu populasi agar
diperoleh solusi strategi optimal dalam penanganan penyebaran penyakit kolera.
Bakteri Vibrio cholerae dapat masuk ke dalam tubuh melalui makanan atau
minuman. Pada saat menginfeksi, bakteri ini memproduksi enterotoksin yang
menyebabkan keluarnya cairan tubuh dalam jumlah besar. Bakteri ini kemudian
keluar bersama dengan kotoran. Bakteri V. cholerae yang baru saja keluar dari
saluran pencernaan manusia memiliki infektivitas tinggi (bersifat hyperinfectious).
Namun kekuatan infeksi dari bakteri hyperinfectious hanya berlangsung untuk
selang waktu singkat karena dalam hitungan jam akan meluruh menjadi bakteri
less infectious (infeksi lemah). Ini berarti bakteri hyperinfectious hanya akan
tercerna jika terjadi pertemuan (menggunakan toilet yang sama pada hari yang
sama) dengan individu yang telah terinfeksi. Peralihan kondisi bakteri
hyperinfectious menjadi less infectious merupakan kunci untuk memahami
penyebaran penyakit kolera dari manusia-ke-manusia (Merrell et al. 2002).
Sejak diperkenalkan oleh Edward Jenner untuk penyakit cacar (Fenner et al.
1988), vaksinasi telah menjadi metode yang umum digunakan untuk mengontrol
penyakit dan bekerja dengan mengurangi jumlah individu yang rentan dalam suatu
populasi (Hethcote 1998; Hethcote 2000; Tian 2012). Untuk penyakit kolera,
vaksin kolera oral (OCV) telah diusulkan sebagai strategi efektif dalam mengontrol
endemik dan epidemik (WHO 2010; Ivers et al. 2010). Selain itu, kontrol sanitasi,
seperti klorinasi, telah lama dikenal sebagai tindakan pencegahan yang efektif
terhadap kolera dan penyakit diare lainnya (Waldman et al. 2013; Fung et al. 2013).
Di sisi lain, pengobatan adalah hal yang paling penting untuk memberantas
penyakit ini. Oleh karena itu, vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi dapat memainkan
peran penting dalam penekanan penyebaran kolera.
Penelitian mengenai dinamika penyebaran kolera telah banyak dilakukan.
Model pertama dibangun oleh Capasso dan Paveri-Fontana (1979) yang
menggambarkan epidemik kolera di Italia pada tahun 1973. Model ini terdiri dari
dua persamaan yang menggambarkan dinamika orang yang terinfeksi dalam
komunitas dan dinamika populasi bakteri patogenik dalam air. Codeco (2001)
mengembangkan dengan memasukkan dinamika populasi yang rentan terhadap
penyakit serta secara eksplisit mempertimbangkan komponen lingkungan, yaitu
konsentrasi bakteri pada persediaan air, ke dalam model epidemik SIR.
Selanjutnya, model Codeco (2001) dikembangkan oleh Hartley et al. (2006)
dengan memasukkan tahap hyperinfectious dari patogen. Di lain pihak, Wang dan
Modnak (2011) menyajikan model penyebaran kolera dengan rute penularan
lingkungan-ke-manusia dan manusia-ke-manusia dengan memasukkan parameter
kontrol, yaitu vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air.
Oleh karena itu, dalam penelitian ini, model matematika mengacu pada
model Hartley et al. (2006). Model matematika penyebaran penyakit kolera yang
melibatkan bakteri hyperinfectious akan dimodifikasi dengan memperhatikan
pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air.
3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Memodifikasi model penyebaran penyakit kolera dengan memperhatikan
kondisi hyperinfectious bakteri dengan kontrol vaksinasi, pengobatan, dan
sanitasi.
b. Melakukan analisis kestabilan di sekitar titik tetap pada model hasil modifikasi.
c. Melakukan simulasi numerik terhadap model yang telah dimodifikasi untuk
melihat dinamika penyebaran penyakit kolera yang terjadi berdasarkan
perubahan nilai-nilai parameter laju cerna bakteri hyperinfectious, laju
vaksinasi, laju pengobatan, dan laju kematian bakteri karena sanitasi.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Dinamik
Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem dinamik penyebaran penyakit kolera merupakan sistem persamaan
diferensial taklinear orde satu.
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
berikut
dengan
dan
adalah fungsi tak linear dalam dan
dituliskan
Sistem persamaan (2.1) disebut sistem persamaan diferensial biasa taklinear
(Braun 1983).
Misalkan suatu sistem persamaan differensial biasa dinyatakan sebagai
4
dengan fungsi kontinu bernilai real dari x. Sistem (2.2) disebut sistem persamaan
differensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit di
dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial mandiri seperti pada sistem (2.2).
Titik disebut titik tetap, jika
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau
titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya digunakan
istilah titik tetap.
Pelinearan
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear
sebagaimana sistem (2.2). Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik
tetap, maka sistem persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai berikut:
(2.3)
dengan adalah matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut :
dan
adalah suku berorde tinggi yang bersifat
sistem persamaan (2.3) menjadi
Akibatnya
(2.4)
Persamaan (2.4) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.2).
Selanjutnya
pada persamaan (2.3) disebut pelinearan dari sistem persamaan
diferensial taklinear (2.2) (Tu 1994).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan
berukuran
dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen
. Suatu vektor
tak nol
di dalam
disebut vektor eigen dari
jika untuk suatu skalar
berlaku:
(2.5)
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai dari , maka
sistem persamaan (2.5) dapat ditulis:
(2.6)
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.6) mempunyai solusi tak
nol jika dan hanya jika
(2.7)
5
Persamaan (2.7) merupakan persamaan karakteristik matriks
1995).
(Anton dan Rorres
Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial mandiri sebagaimana pada
sistem (2.2). Kestabilan titik tetap dari sistem (2.2) diberikan dalam definisi
berikut:
1. Titik tetap
disebut stabil jika untuk sembarang
yang diberikan, ada
sedemikian sehingga jika setiap solusi
memenuhi
pada saat
, maka
untuk semua
.
2. Titik tetap
disebut stabil asimtotik jika ia stabil dan ada
dengan
, sedemikian sehingga jika solusi
memenuhi
pada saat
, maka
.
3. Titik tetap yang tidak stabil disebut takstabil.
Berdasarkan definisi tersebut, titik tetap dikatakan stabil jika solusi sistem
persamaan pada saat selalu berada pada jarak yang cukup dekat dengan titik tetap
tersebut, sedangkan titik tetap dikatakan stabil asimtotik jika solusi sistem
persamaan pada saat akan menuju ke titik tetap, dan titik tetap dikatakan tidak
stabil jika solusi sistem persamaan pada saat bergerak menjauhi titik tetap
tersebut.
Titik tetap yang stabil atau stabil asimtotik hanya berlaku pada suatu daerah
tertentu dalam lingkungan sistem dikatakan sebagai stabil lokal atau stabil
asimtotik lokal. Titik tetap dikatakan stabil global atau stabil asimtotik global jika
titik tetap tersebut stabil atau stabil asimtotik pada setiap lingkungan solusi sistem.
Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan lokal titik tetap sistem (2.2)
dilakukan pelinearan di sekitar titik tetap sesuai dengan persamaan (2.3) sehingga
diperoleh persamaan (2.4). Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial (2.2)
dilakukan melalui analisis kestabilan sistem persamaan diferensial (2.4).
Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigen dari
matriks yaitu:
yang diperoleh dari persamaan (2.7).
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama
dengan nol (
≤ 0 untuk setiap ).
2. Stabil asimtotik, jika setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif
(
< 0 untuk setiap ).
3. Takstabil, jika terdapat komponen bagian real dari nilai eigen kompleks yang
positif (
> 0 untuk suatu ).
Teorema Castillo-Chaves dan Song (2004)
Teorema Castillo-Chaves dan Song (2004) digunakan untuk mengetahui
kestabilan di sekitar titik tetap dengan menggunakan pendekatan bifurkasi.
Perhatikan SPD umum berikut dengan parameter
6
dan
Misalkan
adalah suatu titik tetap sistem (2.8) sedemikian sehingga
untuk setiap dan asumsikan
A1:
adalah pelinearan dari sistem (2.8) di sekitar
titik tetap
dimana
. Nol adalah suatu nilai eigen sederhana dari ,
sedangkan nilai eigen lainnya memiliki bagian real yang negatif;
A2: Matriks memiliki satu vektor eigen kanan dan satu vektor eigen kiri
yang berkorespondensi dengan nilai eigen nol.
Misalkan
adalah komponen ke- dari
dan dinotasikan
(2.9)
Kestabilan lokal dari sistem (2.8) di sekitar titik tetap
sebagai berikut:
ditentukan oleh
dan
Kasus 1.
(i) Jika
dengan
maka
bersifat stabil asimtotik lokal, dan ada
titik tetap positif yang takstabil.
tidak stabil dan ada titik tetap yang negatif dan
(ii) Jika
, maka
stabil asimtotik lokal.
Kasus 2.
(i) Jika
dengan
(ii) Jika
, maka
positif yang tidak stabil.
maka
bersifat tidak stabil.
bersifat stabil asimtotik lokal dan ada titik tetap
Kasus 3.
(i) Jika
dengan
maka
tidak stabil, dan ada titik tetap negatif
yang stabil asimtotik lokal.
(ii) Jika
, maka
stabil dan suatu titik tetap positif takstabil muncul.
Kasus 4.
dan berubah dari negatif ke positif, maka
berubah
kestabilannya dari stabil menjadi tidak stabil. Begitu pula titik tetap negatif
takstabil berubah menjadi positif dan stabil asimtotik lokal.
Bilangan Reproduksi Dasar
Tingkat penyebaran suatu penyakit dapat diketahui melalui suatu parameter
yang disebut bilangan reproduksi dasar ( ). Bilangan reproduksi dasar ( )
7
adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder
akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi yang
rentan (Diekmann dan Heesterbeek 2000).
Pendekatan untuk menentukan bilangan reproduksi dasar yang digunakan
dalam penelitian ini mengikuti Driessche dan Watmough (2002), yaitu dengan
menggunakan matriks next generation dengan nilai
. Hal ini dikarenakan
banyaknya individu yang terinfeksi tidak mungkin bernilai negatif. Selanjutnya
didefinisikan sebagai nilai eigen dominan dari matriks next generation. Matriks ini
merupakan matriks yang dikonstruksi dari sub-subpopulasi yang menyebabkan
infeksi saja.
Misalkan ada n kelas terinfeksi dan m kelas yang tidak terinfeksi, dan misalkan
adalah subpopulasi dari masing-masing kelas. Model kompartemen
(kelas) dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
(2.10)
dengan
merupakan matriks fungsi yang menunjukkan tingkat kemunculan
infeksi baru di kompartemen ke- dan adalah matriks yang menunjukkan selisih
laju perpindahan yang keluar ke dalam kompartemen ke- dengan laju perpindahan
yang masuk ke dalam kelas ke- Selanjutnya perhatikan model penyebaran
penyakit berikut.
Perhitungan bilangan reproduksi dasar berdasarkan linearisasi sistem (2.10)
pada titik tetap tanpa penyakit . Hasil linearisasi dari kelas terinfeksi pada titik
tetap tanpa penyakit
adalah sebagai berikut
dengan F dan V matriks berukuran
,
dan
.
Selanjutnya
disebut matriks next generation. Nilai eigen terbesar dari matriks
next generation merupakan bilangan reproduksi dasar sistem.
Model Hartley et al. (2006)
Model yang diajukan oleh Hartley et al. (2006) adalah model kolera SIR
(Susceptible – Infected – Recovered) dan kelompok bakteri yang terbagi menjadi
dua, yaitu hyperinfectious dan less infectious. Total populasi manusia yang
merupakan fungsi dari waktu t, yaitu
, dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: kelas
individu rentan terserang penyakit (susceptible) yang dinotasikan dengan
,
kelas individu yang terinfeksi (infected) yang dinotasikan dengan
, dan kelas
individu yang sembuh (recovered) yang dinotasikan dengan
, atau ditulis:
Hal ini menjelaskan bahwa individu yang rentan,
setelah terinfeksi akan menjadi sembuh dan tidak rentan lagi.
8
Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006) diberikan pada Gambar
2 sebagai berikut.
S
I
R
Gambar 2 Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006)
disesuaikan dari Hartley et al. (2006)
Pada model ini, diasumsikan total populasi manusia konstan dan laju
kelahiran alami sama dengan laju kematian, yaitu sebesar . Jumlah populasi S
akan bertambah karena kelahiran alami dengan laju dan akan berkurang karena
kematian alamiah dengan laju . Individu dapat terinfeksi kolera karena kontak
dengan bakteri dengan laju
dengan subskrip
dan
masing-masing menunjukkan kategori bakteri
hyperinfectious dan less infectious. Pada model ini
dan
menunjukkan laju
cerna bakteri hyperinfectious dan less infectious, sedangkan
dan
adalah
konsentrasi bakteri hyperinfectious dan less infectious dalam air yang
menyebabkan 50% kemungkinan terkena kolera. Saat
sama dengan
,
peluang mencerna bakteri yang dapat menyebabkan kolera adalah 0.5, dan hal
yang sama saat
sama dengan
Kelas I menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan kolera
kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alamiah
dengan laju . Individu yang terinfeksi kolera dapat sembuh kembali dengan laju
dan masuk ke dalam populasi R sehingga menyebabkan berkurangnya populasi I.
Individu dalam kelas R diasumsikan tidak akan terinfeksi penyakit lagi.
Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alamiah dengan laju .
Bakteri hyperinfectious yang dinotasikan dengan
akan bertambah karena
adanya kontribusi orang yang terinfeksi populasi V. cholerae dalam perairan
dengan laju . Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh laju transisi bakteri
sebesar yang kemudian masuk dalam populasi bakteri less infectious yang
dinotasikan dengan . Bakteri dalam kelas
akan berkurang disebabkan oleh
kematian bakteri dengan laju sebesar .
Dari uraian tersebut, model Hartley et al. (2006) dapat dituliskan dalam
sistem persamaan berikut.
9
dengan
dan nilai awal diberikan
Hartley et al. (2006) menekankan pentingnya peran bakteri hyperinfectious
dalam penyebaran penyakit kolera. Penelitian terkait bakteri hyperinfectious
menunjukkan bahwa terdapat hubungan antara jalur penyebaran lingkungan-kemanusia dengan jalur penyebaran dari manusia-ke-manusia. Oleh karena itu dalam
model (2.11) penyebaran penyakit hanya memperhatikan penyebaran lingkunganke-manusia. Namun model ini masih relatif sederhana karena belum
mempertimbangkan pengaruh kontrol penyebaran penyakit seperti vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi air. Oleh karena itu, dalam penelitian ini model Hartley et
al. (2006) akan dimodifikasi dengan menambahkan parameter vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi pada model.
Model Wang dan Modnak (2011)
Wang dan Modnak (2011) dalam penelitiannya menyajikan model
penyebaran penyakit kolera dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi,
pengobatan dan sanitasi. Model ini melibatkan empat variabel yaitu
dan
Misalkan
dan
masing-masing menyatakan kelas individu rentan
terserang penyakit (susceptible), kelas individu yang terinfeksi (infected), dan kelas
individu yang sembuh (recovered). Total populasi
diasumsikan konstan. Misalkan pula B sebagai konsentrasi bakteri V. Cholerae di
lingkungan (misalnya air yang terkontaminasi). Model Wang dan Modnak (2011)
dibangun sebagai kombinasi dari sistem populasi manusia dan komponen
lingkungan (SIR-B), dengan penularan lingkungan-ke-manusia direpresentasikan
dalam fungsi logistik dan penularan dari manusia-ke-manusia. Pada sistem ini,
dinotasikan sebagai laju kelahiran/kematian alamiah, adalah laju kontribusi
setiap orang yang terinfeksi pada populasi bakteri V. cholerae, adalah laju
penyembuhan dari kolera. Subpopulasi akan berkurang karena terinfeksi kolera
baik karena mencerna bakteri di lingkungan atau melalui interaksi manusia ke
manusia dengan laju
10
dengan dan
masing-masing adalah laju mencerna bakteri V. cholerae dari
air yang terkontaminasi dan melalui interaksi manusia ke manusia, serta adalah
konsentrasi bakteri dalam air yang menyebabkan kemungkinan 50% terkena kolera.
Model Wang dan Modnak (2011) memperhatikan pengaruh vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi air, dengan asumsi sebagai berikut:
a. Vaksinasi diberikan kepada populasi rentan dengan laju v, sehingga sebanyak
individu per waktu keluar dari kelas individu yang rentan dan masuk ke
kelas individu sembuh.
b. Pengobatan diberikan kepada individu-individu yang terinfeksi dengan laju a,
sehingga sebanyak
individu per waktu keluar dari kelas individu
terinfeksi dan masuk ke kelas individu sembuh.
c. Sanitasi air dapat menyebabkan kematian bakteri V. Cholerae dengan laju w.
Diagram kompartemen dari model Wang dan Modnak (2011) ditunjukkan
pada Gambar 3.
S
R
I
Gambar 3 Diagram kompartemen model Wang dan Modnak (2011)
Gambar direproduksi dari Wang dan Modnak (2011)
Model Wang dan Modnak (2011) dalam bentuk sistem persamaan
diferensial dituliskan sebagai berikut:
dengan
dan nilai awal diberikan
.
Model (2.12) ini akan dijadikan sebagai acuan dalam memodifikasi model
(2.11) berkaitan dengan penambahan parameter vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi.
11
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penyebaran Penyakit Kolera Hasil Modifikasi
Pada bagian ini dilakukan modifikasi model penyebaran penyakit kolera
yang mengacu pada model yang disajikan oleh Hartley et al. (2006) dengan
melihat adanya pengaruh dari vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air seperti model
yang diperkenalkan oleh Wang dan Modnak (2011). Asumsi yang digunakan pada
model ini antara lain:
a. Total populasi manusia tidak konstan.
b. Individu yang baru lahir/ masuk ke populasi rentan terhadap kolera.
c. Individu bisa terinfeksi kolera karena mengonsumsi makanan/minuman
terkontaminasi oleh bakteri V. cholerae hyperinfectious (disebabkan pertemuan
individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan) atau bakteri V. cholerae
less infectious (mengonsumsi makanan/minuman terkontamiasi tanpa adanya
pertemuan individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan).
d. Individu yang telah sembuh tidak akan terinfeksi kembali karena adanya
kekebalan tubuh.
e. Vaksinasi diberikan kepada populasi rentan efektif membuat individu rentan
menjadi sembuh.
f. Pengobatan diberikan kepada individu-individu yang terinfeksi.
g. Sanitasi air dapat menyebabkan kematian bakteri V. cholera.
h. Kolera dapat menyebabkan kematian pada penderitanya.
i. Bakteri hyperinfectious dapat bertransisi secara alami menjadi less infectious.
Secara skematis pola penyebaran penyakit kolera dengan asumsi-asumsi di
atas digambarkan dalam diagram kompartemen pada Gambar 4.
Gambar 4 Diagram kompartemen model modifikasi
Model modifikasi penyebaran penyakit kolera dituliskan dalam bentuk
sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
12
dengan
Penjelasan notasi yang digunakan pada model (3.1) dapat dilihat pada tabel
berikut.
Tabel 1 Notasi pada model modifikasi penyebaran penyakit kolera
Notasi
Variabel
Keterangan
Banyaknya individu rentan (orang)
Banyaknya individu yang terinfeksi (orang)
Banyaknya individu yang sembuh (orang)
Konsentrasi bakteri hyperinfectious (sel/ml)
Konsentrasi bakteri less infectious (sel/ml)
Parameter
v
w
Konstanta tingkat rekrutmen manusia (orang/hari)
Laju kematian alamiah manusia (hari-1)
Laju kematian manusia karena penyakit kolera (hari-1)
Laju kematian alamiah untuk bakteri (hari-1)
Laju bakteri hyperinfectious yang tercerna oleh individu S dari air yang
terkontaminasi (hari-1)
Laju bakteri less infectious yang tercerna oleh individu S dari air yang
terkontaminasi (hari-1)
Konsentrasi bakteri hyperinfectious dalam air yang menyebabkan 50 %
dari kemungkinan terkena kolera (sel/ml)
Konsentrasi bakteri less infectious dalam air yang menyebabkan 50 % dari
kemungkinan terkena kolera (sel/ml)
Laju per kapita pada orang yang rentan yang divaksinasi (hari-1)
Laju per kapita penyembuhan dari kolera (hari-1)
Laju per kapita pengobatan penyakit kolera (hari-1)
Laju kontribusi setiap orang yang terinfeksi pada populasi bakteri V.
cholera hyperinfectious dalam lingkungan perairan (sel/ml/hari)
Laju transisi bakteri dari hyperinfectious menjadi less infectious (hari-1)
Laju kematian bakteri karena sanitasi air (hari-1)
13
Daerah Solusi Model Penyebaran Penyakit Kolera
Daerah solusi model penyebaran penyakit kolera pada sistem (3.1) adalah
taknegatif dan terbatas untuk setiap waktu, hal ini ditunjukkan berdasarkan Lemma
1 berikut.
Lemma 1. Himpunan
dan
adalah daerah solusi yang taknegatif dan
terbatas dari model pada sistem (3.1), dimana
dan
total populasi manusia dan total populasi bakteri saat
Bukti. Misalkan
Karena
masing-masing adalah
.
, berdasarkan sistem persamaan (3.1) diperoleh
taknegatif, maka dari persamaan (3.2) diperoleh
Pertidaksamaan (3.3) diselesaikan menggunakan faktor integrasi sehingga
diperoleh
Karena
untuk setiap
, maka diperoleh
atau
Karena
dan
taknegatif, maka untuk setiap
diperoleh
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa populasi bakteri juga taknegatif dan terbatas.
Misalkan
, maka berdasarkan sistem persamaan (3.1) diperoleh
Karena
taknegatif, maka berdasarkan persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh
Pertidaksamaan (3.6) menghasilkan solusi
14
dengan
Karena
untuk setiap
, maka diperoleh
atau
Karena
dan
taknegatif untuk setiap
maka diperoleh
Berdasarkan pertidaksamaan (3.5) dan (3.7) diperoleh bahwa
dan
Titik Tetap
Titik tetap dari SPD (3.1) di atas akan diperoleh dengan menetapkan
sehingga
diperoleh
persamaanpersamaan sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan persamaan (
) akan diperoleh dua titik
tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan (3.1), maka akan
diperoleh matriks Jacobi berikut:
15
(3.13)
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi ketika semua individu menjadi
sehat atau dapat dikatakan tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika
banyaknya individu yang terinfeksi sama dengan nol (
).
Berdasarkan persamaan (3.11) dan
diperoleh
Dari persamaan
(3.12) dan
diperoleh
. Selanjutnya substitusi
,
ke
Karena
dan
, maka dari
persamaan (3.8), diperoleh
persamaan (3.10) diperoleh
Jadi, titik tetap tanpa penyakit adalah
Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan kondisi ketika penyakit terdapat di dalam
populasi manusia. Dari sistem persamaan (3.1) diperoleh titik tetap endemik
dengan
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya populasi
rentan menjadi terinfeksi karena kontak dengan satu individu terinfeksi. Bilangan
reproduksi dasar dilambangkan dengan
Jika
maka rata-rata individu
yang terinfeksi menghasilkan kurang dari satu individu terinfeksi baru selama
16
periode menular, dan infeksi tidak bisa tumbuh. Sebaliknya, jika
maka
setiap individu yang terinfeksi menghasilkan rata-rata lebih dari satu infeksi baru,
dan penyakit dapat menyerang penduduk.
Pendekatan untuk menentukan bilangan reproduksi dasar yang digunakan
dalam penelitian ini mengikuti Driessche dan Watmough (2002). Bilangan
reproduksi dasar dihitung dengan menggunakan the next generation matrix untuk
sistem (3.1). Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen dominan dari
matriks
yang didefinisikan sebagai berikut.
dimana adalah fungsi yang menunjukkan tingkat kemunculan infeksi baru di
kompartemen i,
adalah fungsi yang menunjukkan transfer infeksi dari satu
kompartemen i ke kompartemen lain, dan
adalah titik tetap tanpa penyakit.
Dari sistem (3.1) tuliskan kembali persamaan-persamaan untuk kelas infeksi,
dan
ke dalam sistem (3.14).
Berdasarkan sistem (3.14), diperoleh fungsi
dan
sebagai berikut:
Turunan parsial dari
dan
menghasilkan
dan
terhadap
Selanjutnya titik tetap
disubstitusikan ke matriks
matriks
sebagai berikut
dan
sehingga diperoleh
17
dimana
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen dominan dari matriks
yaitu
,
Makna biologis dari hasil bilangan reproduksi dasar ini adalah sebagai
berikut.
adalah banyaknya orang yang rentan pada saat kesetimbangan
tanpa penyakit.
adalah rata-rata banyaknya bakteri
hyperinfectious yang dikeluarkan oleh setiap individu yang sakit.
dan
masing-masing adalah banyaknya kasus baru setiap satuan waktu karena
bakteri hyperinfectious dan bakteri less infectious.
dan
adalah rata-rata lama bakteri berada pada kondisi hyperinfectious dan less
infectious.
adalah hasil kali dari laju transisi bakteri hyperinfectious menjadi less
infectious dengan rata-rata lama bakteri berada pada kondisi less infectious. Dari
penjelasan tersebut, maka
dan
masing-masing adalah rata-rata banyaknya bakteri
hyperinfectious dan less infectious yang dikeluarkan ke lingkungan. Dengan
demikian, suku pertama dari bilangan reproduksi dasar menunjukkan banyaknya
infeksi baru karena bakteri hyperinfectious. Sedangkan suku kedua menunjukkan
banyaknya infeksi baru karena bakteri less infectious.
Kestabilan sistem selanjutnya dianalisis dengan mempeerhatikan bilangan
reproduksi dasar tersebut. Seelanjutnya akan disajikan teorema mengenai
kestabilan lokal dari masing-masing titik tetap.
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Teorema 1. Titik tetap tanpa penyakit
untuk sistem (3.1) bersifal stabil
asimtotik lokal jika
dan tidak stabil jika
.
Bukti. Matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit
adalah:
18
dan persamaan karakteristiknya berbentuk
(3.16)
Karena
maka persamaan karakteristik (3.16) menjadi
Berdasarkan persamaan karakteristik (3.17), maka diperoleh lima nilai eigen. Dua
nilai eigen negatif adalah:
Sedangkan ketiga nilai eigen lain diperoleh dengan menyelesaikan persamaaan kubik
berikut.
dengan
,
19
Akar-akar persamaan (3.19) ini merupakan nilai-nilai eigen lain dari
persamaan karakteristik (3.17) yaitu
. Berdasarkan sifat akar persamaan
kubik, diperoleh sistem persamaan berikut
,
Karena
, maka jumlah dari ketiga nilai eigen tersebut bernilai negatif
Hal ini menandakan di antara ketiga nilai eigen tersebut,
selalu ada yang bernilai negatif, anggap
Selanjutnya untuk memeriksa
kestabilan titik tetap cukup dengan memperhatikan
dan
Jika
dan
maka titik tetap akan stabil, sedangkan jika
atau
maka
titik tetap tidak stabil Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
Berdasarkan pertidaksamaan (3.21), diperoleh
dan
Dengan
demikian, nilai dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem (3.20) memenuhi
kondisi berikut.
.
Karena
dan kondisi (3.23) terpenuhi, maka diperoleh
Berdasarkan kondisi (3.22) dan (3.24) diperoleh
Kondisi (3.24) dan (3.25) hanya dapat terpenuhi jika
dan
dengan
kata lain, diperoleh semua nilai eigen negatif. Jadi, jika
, maka titik tetap
tanpa penyakit
bersifat stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya akan dibuktikan jika
, maka titik tetap tanpa penyakit
tidak stabil. Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
Dari pertidaksamaan (3.26) diperoleh
sistem (3.20) memenuhi
sehingga persamaan ketiga dari
.
20
Berdasarkan kondisi (3.27) dan selalu negatif, maka diperoleh
. Hal
ini berarti dan
memiliki tanda yang berlawanan. Dengan kata lain, terdapat
nilai eigen yang positif sehingga titik tetap tanpa penyakit
bersifat tidak stabil.
Jadi, titik tetap tanpa penyakit
untuk sistem (3.1) bersifal stabil asimtotik
lokal jika
dan tidak stabil jika
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Teorema 2. Titik tetap endemik
hanya jika
untuk sistem (3.1) unik dan positif jika dan
Bukti. Tinjau titik tetap endemik berikut.
dengan
Substitusi persamaan (3.28), (3.31), dan (3.32) ke persamaan (3.9) diperoleh
dengan
,
,
,
.
21
Berdasarkan sifat akar persamaan kubik, maka akar-akar dari persamaan
(3.33) memenuhi sifat berikut:
Karena
maka persamaan (3.36) bernilai nol sehingga dapat dipastikan
terdapat akar dari persamaan (3.33) yang bernilai nol, misalkan =0. Selanjutnya
mengakibatkan
sehingga diperoleh
Karena
(3.35) bernilai negatif, yaitu.
selalu negatif dan
, maka persamaan
.
Berdasarkan kondisi (3.37) dan karena =0, maka diperoleh
Dengan demikian dan berbeda tanda, misal
dan
. Jadi terdapat
satu akar positif dalam kasus ini. Akibatnya,
dan
ada dan unik
dengan nilai positif.
Misal titik tetap endemik untuk sistem (3.1) unik dan positif. Akan
dibuktikan
Andaikan
maka diperoleh pertidaksamaan
sehingga
Karena
selalu negatif dan
, maka persamaan (3.35)
bernilai positif. Selanjutnya karena =0, maka diperoleh
.
(3.39)
Selain itu,
mengakibatkan
Dari pertidaksamaan (3.40) diperoleh.
dan
Dari persamaan (3.41) dan (3.42) diperoleh
22
atau dapat pula ditulis
maka
sehinggga diperoleh
yang berarti
Karena
sehingga diperoleh
dan
yang secara biologis tidak
mungkin. Dengan demikian tidak ada titik tetap endemik positif diperoleh.
Kontradiksi.
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan jika
maka persamaan
(3.33) mempunyai dua akar nol dan satu akar negatif, yang secara biologis juga
tidak mungkin. Jadi, titik tetap endemik positif ada dan tunggal untuk sistem (3.1)
jika dan hanya jika
.
Berdasarkan teorema 2, jika
titik tetap endemik
tidak positif
(secara biologis tidak mungkin). Teorema berikut menyatakan bahwa, jika
,
maka titik titik tetap endemik
bersifat stabil asimtotik lokal. Bukti teorema
dilakukan dengan cara membuktikan bahwa jika
maka terjadi bifurkasi.
Bifurkasi adalah perubahan kestabilan titik tetap suatu sistem persamaan akibat
berubahnya nilai parameter.
Teorema 3. Jika
maka titik tetap endemik
bersifat stabil asimtotik lokal.
Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, digunakan teorema Castillo-Chaves dan
Song (2004). Misalkan:
Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
. Perhatikan kembali
matriks Jacobian untuk titik tetap tanpa penyakit . Titik tetap
mempunyai
satu nilai eigen nol dan empat nilai eigen negatif jika
atau
Nilai
eigen nol tersebut memiliki vektor eigen kanan
dan vektor eigen
kiri (
dengan
23
bebas,
bebas.
Berdasarkan persamaan (2.11) didefinisikan
dengan
Berdasarkan sistem (3.1) diperoleh
24
maka berdasarkan sistem persamaan (3.44) diperoleh
=2
Karena
maka diperoleh
Akibatnya kasus 4 adalah
satu-satunya yang berlaku untuk sistem (3.1). Ini berarti saat berubah dari
menjadi
, titik tetap
berubah dari stabil menjadi tidak stabil dan titik tetap
endemik
berubah dari negatif menjadi positif dan menjadi stabil asimtotik lokal.
Dengan kata lain, jika
maka titik tetap endemik
stabil asimtotik lokal.
Berdasarkan teorema 1, 2, dan 3 yang telah diperoleh di atas, maka sifat
kestabilan titik tetap untuk sistem (3.1) dirangkum pada Tabel 2 berikut.
25
Kondisi
Tabel 2 Sifat kestabilan titik tetap
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik Tetap Endemik
Ada dan stabil asimtotik lokal
Tidak ada
Ada dan tidak stabil
Ada dan stabil asimtotik
lokal
Simulasi Model
Simulasi model dilakukan untuk memperlihatkan kembali sifat kestabilan
dari masing-masing titik tetap dan untuk mempelajari hal-hal yang terjadi dalam
sistem dinamik. Simulasi menggunakan software berbasis fungsional yaitu Maple
13. Dalam hal ini, dinamika populasi manusia dan bakteri dianalisis dengan
mengubah-ubah parameter-parameter yang masih memungkinkan untuk dikontrol
oleh manusia dalam upaya penekanan penyebaran kolera, yaitu laju cerna bakteri
hyperinfectious ( ), laju vaksinasi ( ), laju pengobatan ( ), dan laju kematian
bakteri karena sanitasi air
Nilai untuk setiap parameter yang digunakan dapat
dilihat pada tabel berikut.
Tabel 3 Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi
Parameter Nilai
Satuan
Sumber
10
orang/hari
Hove-Musekwa et al. (2011)
-1
0.0000548 hari
Hove-Musekwa et al. (2011)
0.015
hari-1
Hove-Musekwa et al. (2011)
-1
0.0333
hari
Hartley et al. (2006)
-1
0.2143
hari
Hartley et al. (2006)
sel/ml
Hartley et al. (2006)
1428.5714 sel/ml
Hartley et al. (2006)
0.2
hari-1
Hartley et al. (2006)
-1
-1
10
sel/ml.hari orang
Hartley et al. (2006)
-1
0.2
hari
Hartley et al. (2006)
Dinamika populasi manusia dan bakteri diamati saat kondisi
dan
saat
. Dalam hal ini
merupakan bilangan reproduksi dasar yang
didefinisikan pada persamaan (3.15). Nilai awal yang digunakan adalah (0) =
1000000 (0) = 10, (0) = 0, (0) = 1000000, (0) = 1000000
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Didefinisikan laju cerna bakteri hyperinfectious ( ) adalah laju bakteri
hyperinfectious yang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit. Variasi
nilai
berhubungan dengan perilaku bersih masyarakat dan tingkat pertemuan
antara individu rentan dengan individu terinfeksi. Saat masyarakat berperilaku
kurang bersih dan sering terjadi pertemuan individu rentan dengan individu
terinfeksi, maka nilai
akan besar.
26
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi pada kondisi
dan
Simulasi pertama dan kedua untuk mengecek kestabilan titik tetap sistem (3.1).
Simulasi ketiga untuk mengetahui pengaruh variasi parameter laju cerna bakteri
hyperinfectious ( ).,Ketiga simulasi dilakukan dengan memberi variasi nilai
parameter
Nilai parameter
dan yang digunakan dalam simulasi laju
cerna bakteri hyperinfectious dapat dilihat pada Tabel 4.
Pada simulasi ini ditetapkan nilai
, sedangkan
diubah-ubah nilainya. Nilai kritis laju cerna bakteri hyperinfectious diperoleh
saat
yaitu
0.0466479719 (Penentuan nilai kritis laju cerna bakteri
hyperinfectious dapat dilihat pada Lampiran 2). Simulasi dilakukan dengan
mengevaluasi pada
yang mengakibatkan
dan
yang
mengakibatkan
.
Tabel 4 Nilai parameter
hyperinfectious
Simulasi ke1
2
3
<
>
0.1
0.3
0.5
dan
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
dalam simulasi laju cerna bakteri
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
1
OLEH BAKTERI VIBRIO CHOLERAE
BERTIPE HYPERINFECTIOUS
NUR RAHMI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Dinamika Penyebaran
Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio cholerae Bertipe Hyperinfectious adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2016
Nur Rahmi
NIM G551140081
RINGKASAN
NUR RAHMI. Dinamika Penyebaran Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio
cholerae Bertipe Hyperinfectious. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ENDAR
H. NUGRAHANI.
Kolera adalah infeksi akut yang disebabkan oleh bakteri Vibrio cholerae
yang masuk ke dalam tubuh melalui makanan dan minuman yang dikonsumsi.
Setelah terinfeksi, penderita akan mengeluarkan bakteri bersama fesesnya. Bakteri
yang baru saja keluar dari saluran pencernaan manusia memiliki kekuatan infeksi
yang tinggi, yang disebut hyperinfectious. Untungnya, kekuatan infeksi dari
bakteri hyperinfectious hanya berlangsung dalam selang waktu singkat karena
dalam hitungan jam akan meluruh menjadi bakteri less infectious. Dengan
demikian, kondisi bakteri, hyperinfectious atau less infectious, merupakan kunci
untuk memahami sifat penyebaran penyakit kolera dari manusia-ke-manusia.
Penelitian ini bertujuan memodifikasi model dengan melibatkan bakteri
hyperinfectious dan memperhatikan pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi
air. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk melakukan analisis kestabilan
titik tetap. Akhirnya, beberapa simulasi numerik dari model diberikan untuk
mengilustrasikan dinamika penyebaran penyakit kolera.
Model yang diajukan dalam penelitian ini merupakan hasil modifikasi dari
model yang telah ada, yaitu dengan menambahkan asumsi bahwa populasi
manusia tidak konstan dan adanya pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi
air. Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang rentan
(susceptible), manusia yang terkena infeksi (infected), dan manusia yang sembuh
(recovered). Manusia yang rentan adalah manusia yang tak imun dan belum
terkena infeksi. Manusia yang terkena infeksi adalah manusia yang terinfeksi
bakteri V. cholera sehingga dapat menularkan kepada individu lain. Manusia
sembuh adalah manusia yang sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi.
Di lain pihak, populasi bakteri dibagi menjadi dua kelas, yaitu bakteri
hyperinfectious dan bakteri less infectious.
Analisis terhadap sistem dinamik ini menunjukkan bahwa terdapat dua titik
tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Titik tetap endemik
positif akan ada jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu. Titik tetap tanpa
penyakit akan bersifat stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika bilangan
reproduksi dasar kurang dari satu, sedangkan titik tetap endemik bersifat stabil
asimtotik lokal jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika laju cerna bakteri hyperinfectious
ditekan hingga lebih kecil dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap
tanpa penyakit, dengan kata lain, penyakit kolera bisa hilang dari populasi.
Sebaliknya, jika laju cerna bakteri hyperinfectious masih lebih besar dari nilai
kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap endemik, sehingga penyakit kolera
akan menetap dalam populasi. Jika laju vaksinasi ditingkatkan hingga lebih besar
dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap tanpa penyakit, atau
penyakit kolera bisa hilang dari populasi. Sebaliknya, jika laju vaksinasi lebih
rendah dari nilai kritisnya, maka sistem akan stabil di titik tetap endemik, itu
berarti penyakit kolera akan menetap dalam populasi. Simulasi laju pengobatan
dan laju sanitasi memiliki hasil yang serupa dengan simulasi laju vaksinasi. Selain
itu, hasil simulasi juga menunjukkan bahwa meningkatnya laju cerna bakteri
hyperinfectious menyebabkan bilangan reproduksi dasar naik, sehingga
mempercepat laju penyebaran penyakit. Di lain pihak, meningkatnya laju
vaksinasi, pengobatan, atau sanitasi menyebabkan bilangan reproduksi dasar turun,
sehingga dapat menekan laju penyebaran penyakit.
Kata kunci: bakteri hyperinfectious, kolera, stabil asimtotik lokal
SUMMARY
NUR RAHMI. Dynamics of Cholera Disease Transmission by Vibrio cholerae
bacteria in Hyperinfectious State. Supervised by JAHARUDDIN and ENDAR H.
NUGRAHANI.
Cholera is an acute infection caused by Vibrio cholerae bacteria that enter
the body through consumed food and beverages. After getting infected, cholera
sufferers will shed the bacteria together with their feces. Freshly shed bacteria
from the human gastrointestinal tract has high infectivity, which is called
hyperinfectious. Fortunately, the hyperinfectious state decays in a matter of hours
into a lower infectious state. So, the state of bacteria, whether hyperinfectious or
less infectious, is the key to understanding the nature of the spread of cholera from
human-to-human.
This study aims to modify the model of cholera transmission by involving
hyperinfectious bacteria and taking into account the effect of vaccination control,
treatment and water sanitation. Moreover, this study also intended to perform the
stability analysis of equilibrium points. Finally, some numerical simulations of
models are given to illustrate the dynamics of the transmission of cholera disease.
The model proposed in this study is a modification of the existing model,
i.e. there is additional assumption that the human population is not constant and
that there are some effects of vaccination, treatment, and water sanitation. The
human population is divided into three classes, namely susceptible, infected, and
recovered. Susceptible humans are people who are not immune and not yet
exposed to the infection. Infected humans are humans infected by the bacteria
and, therefore, can infect another. Recovered humans are people who recovered
from the disease and can not be infected again. On the other hand, bacterial
population is divided into two classes, namely hyperinfectious bacteria and less
infectious bacteria.
Analysis of this dynamic system shows that there are two equilibria,
namely disease free and endemic equilibrium. A positive endemic equilibrium
exists if and only if the basic reproduction number is greater than one. Moreover,
the disease free equilibrium of system is locally asymptotically stable if and only
if the basic reproduction number is less than one. The endemic equilibrium is
positive and locally asymptotically stable if the basic reproduction number is
greater than one.
The simulation results shows that if the ingestion rate of hyperinfectious
bacteria reduce to less than the critical value, then the system will stabilize at the
disease free equilibrium, in other words, cholera vanish from the population.
Conversely, if the ingestion rate of hyperinfectious bacteria still greater than the
critical value, then the system will be stable at endemic equilibrium, thus, cholera
will remain in the population. If the vaccination rate increases to a value greater
than the critical value, then the system will stabilize at a disease free equilibrium,
in other words, cholera vanish from the population. Conversely, if the vaccination
rate is lower than the critical value, then the system will be stable at endemic
equilibrium, it means that cholera will persist in the population. The simulation of
treatment and sanitation rate have similar result to the simulation of vaccination
rate. In addition, the simulation results also shows that the increased rate of
hyperinfectious bacteria ingestion causes the basic reproduction number also
increased, thus it can speed up the rate of spread of the cholera disease. On the
other hand, improving force of vaccination, medical treatment, or sanitation
causes the basic reproduction number decreased, so that it can also decrease the
cholera transmission.
Keywords: cholera, hyperinfectious bacteria, locally asymptotically stable
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
OLEH BAKTERI VIBRIO CHOLERAE
BERTIPE HYPERINFECTIOUS
NUR RAHMI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Paian Sianturi
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah pemodelan matematika, dengan judul: Dinamika
Penyebaran Penyakit Kolera oleh Bakteri Vibrio cholerae Bertipe
Hyperinfectious.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan dan bimbingan dari
kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini. Terima
kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin, MS dan Ibu Dr Ir Endar H
Nugrahani, MS selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran dan
bimbingan dalam menyelesaikan tesisi ini.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Orang tua, saudara, dan seluruh keluarga yang selalu memberikan doa dan
semangat selama masa studi penulis.
2. Sponsor Beasiswa Fresh Graduate Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi
(DIKTI)
3. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
4. Seluruh mahasiswa Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah
Pascasarjana IPB, terutama angkatan 2014 dan 2013.
5. Sahabat-sahabat yang telah membantu secara moril maupun materil.
Jazakumullah khairan katsira, semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang
telah diberikan pada penulis mendapat balasan dari Allah SWT.
Akhirnya, penulis berharap semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan
memperkaya wawasan bagi semua pembaca.
Bogor, Juni 2016
Nur Rahmi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Dinamik
Titik Tetap
Pelinearan
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kestabilan Titik Tetap
Teorema Chastilo-Chaves dan Song (2004)
Bilangan Reproduksi Dasar
Model Hartley et al. (2006)
Model Wang dan Modnak (2011)
3
3
4
4
4
5
5
6
7
9
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penyebaran Penyakit Kolera Hasil Modifikasi
Daerah Solusi Model Penyebaran Penyakit Kolera
Titik Tetap
Matriks Jacobi
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik Tetap Endemik
Bilangan Reproduksi Dasar
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Simulasi Model
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Vaksinasi
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Pengobatan
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Sanitasi
11
11
13
14
14
15
15
15
17
20
25
25
28
31
33
4 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
35
36
36
DAFTAR PUSTAKA
37
LAMPIRAN
39
RIWAYAT HIDUP
44
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Notasi pada model modifikasi penyebaran penyakit kolera
Sifat kestabilan titik tetap
Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi
Nilai parameter
dan
dalam simulasi laju cerna bakteri
hyperinfectious
5 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju vaksinasi
6 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju pengobatan
7 Nilai parameter
dan dalam simulasi laju sanitasi
12
24
25
26
28
31
33
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kasus kolera di Indonesia periode tahun 1986-2012
Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006)
Diagram kompartemen model Wang dan Modnak (2011)
Diagram kompartemen model modifikasi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju cerna bakteri hyperinfectious terhadap manusia
terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju vaksinasi terhadap manusia terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju pengobatan terhadap manusia terinfeksi
Dinamika populasi saat
dan
Dinamika populasi saat
dan
Pengaruh variasi laju sanitasi terhadap manusia terinfeksi
1
8
10
11
26
27
28
29
30
30
32
32
33
34
34
35
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penentuan Titik Tetap Endemik
Penentuan Nilai Kritis Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Penentuan Nilai Kritis Laju Vaksinasi
Penentuan Nilai Kritis Laju Pengobatan
Penentuan Nilai Kritis Laju Sanitasi
39
40
41
42
43
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kolera adalah infeksi akut yang disebabkan oleh bakteri Vibrio cholerae
yang masuk ke dalam tubuh melalui makanan dan minuman yang dikonsumsi oleh
penderita. Pada saat menginfeksi seseorang, bakteri ini memproduksi enterotoxin
yang mengakibatkan keluarnya cairan tubuh dalam jumlah yang banyak, sehingga
tanpa penanganan yang tepat, seseorang yang terjangkit oleh bakteri ini dapat
meninggal dunia. Ketika di suatu daerah dengan tingkat sanitasi yang sangat
rendah terdapat seorang penderita diare yang membawa bakteri Vibrio cholerae,
maka sangat memungkinkan terjadi penyebaran bakteri Vibrio cholerae ini di
sumber air daerah setempat. Hal ini dapat mengakibatkan terkontaminasinya
seluruh daerah tersebut, dan menyebabkan kemungkinan terjadinya tiga kasus,
yaitu tidak ada outbreak (bebas kolera), terjadi epidemik atau terjadi endemik di
wilayah yang terjangkiti tersebut.
Di Indonesia, perkembangan jumlah kasus kolera dari tahun 1986 sampai
tahun 2012 dapat dilihat pada Gambar 1.
14,000
Jumlah Kasus
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0
Kematian
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1996
1997
2001
2005
391
18
0
0
0
55
0
25
0
0
0
6
19
27
659
50
67
155
6,202
25
3,564
47
66
66
561
1,338
1,007
Total Kasus 11,915
Total Kasus
2008
Kematian
Gambar 1 Kasus kolera di Indonesia periode tahun 1986-2012
Gambar direproduksi dari Knoema (2014)
Gambar 1 menunjukkan bahwa kasus kolera di Indonesia terbanyak
sepanjang periode tersebut terjadi pada tahun 1986 dengan 11,915 kasus dan 391
kematian. Setelah itu jumlah kasus menurun setiap tahun setelahnya hingga
akhirnya mulai naik tajam pada tahun 1991. Kasus kolera di Indonesia yang
terbaru terjadi pada tahun 2008 sebanyak seribu tujuh kasus dengan 27 kematian.
Selanjutnya tidak ada laporan kolera lagi sejak tahun 2009 hingga 2012.
Berdasarkan WHO (2015), pada tahun 2014 tercatat sebanyak 190,549
kasus kolera dilaporkan oleh 42 negara, 55% dari kasus berasal dari Afrika, 30%
dari Asia and 15% dari Hispaniola (Haiti dan Republik dominika dari Amerika).
Total kasus kematian akibat kolera sebanyak 2,231 kematian yang dilaporkan oleh
24 negara; 1,882 kematian terjadi di Afrika, 42 di Asia, dan 307 di Hispaniola.
2
Kasus kolera yang dilaporkan ini hanya menggambarkan sebagian kecil dari kasus
yang sebenarnya terjadi. Diduga terdapat lebih dari dua juta kasus dan hampir
seratus ribu kematian karena kolera setiap tahunnya. Berdasarkan uraian tersebut
kolera masih menjadi masalah kesehatan utama di beberapa belahan dunia. Untuk
itu, dibutuhkan suatu model matematika yang mampu menggambarkan dan
menganalisis dinamika penyebaran penyakit kolera dalam suatu populasi agar
diperoleh solusi strategi optimal dalam penanganan penyebaran penyakit kolera.
Bakteri Vibrio cholerae dapat masuk ke dalam tubuh melalui makanan atau
minuman. Pada saat menginfeksi, bakteri ini memproduksi enterotoksin yang
menyebabkan keluarnya cairan tubuh dalam jumlah besar. Bakteri ini kemudian
keluar bersama dengan kotoran. Bakteri V. cholerae yang baru saja keluar dari
saluran pencernaan manusia memiliki infektivitas tinggi (bersifat hyperinfectious).
Namun kekuatan infeksi dari bakteri hyperinfectious hanya berlangsung untuk
selang waktu singkat karena dalam hitungan jam akan meluruh menjadi bakteri
less infectious (infeksi lemah). Ini berarti bakteri hyperinfectious hanya akan
tercerna jika terjadi pertemuan (menggunakan toilet yang sama pada hari yang
sama) dengan individu yang telah terinfeksi. Peralihan kondisi bakteri
hyperinfectious menjadi less infectious merupakan kunci untuk memahami
penyebaran penyakit kolera dari manusia-ke-manusia (Merrell et al. 2002).
Sejak diperkenalkan oleh Edward Jenner untuk penyakit cacar (Fenner et al.
1988), vaksinasi telah menjadi metode yang umum digunakan untuk mengontrol
penyakit dan bekerja dengan mengurangi jumlah individu yang rentan dalam suatu
populasi (Hethcote 1998; Hethcote 2000; Tian 2012). Untuk penyakit kolera,
vaksin kolera oral (OCV) telah diusulkan sebagai strategi efektif dalam mengontrol
endemik dan epidemik (WHO 2010; Ivers et al. 2010). Selain itu, kontrol sanitasi,
seperti klorinasi, telah lama dikenal sebagai tindakan pencegahan yang efektif
terhadap kolera dan penyakit diare lainnya (Waldman et al. 2013; Fung et al. 2013).
Di sisi lain, pengobatan adalah hal yang paling penting untuk memberantas
penyakit ini. Oleh karena itu, vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi dapat memainkan
peran penting dalam penekanan penyebaran kolera.
Penelitian mengenai dinamika penyebaran kolera telah banyak dilakukan.
Model pertama dibangun oleh Capasso dan Paveri-Fontana (1979) yang
menggambarkan epidemik kolera di Italia pada tahun 1973. Model ini terdiri dari
dua persamaan yang menggambarkan dinamika orang yang terinfeksi dalam
komunitas dan dinamika populasi bakteri patogenik dalam air. Codeco (2001)
mengembangkan dengan memasukkan dinamika populasi yang rentan terhadap
penyakit serta secara eksplisit mempertimbangkan komponen lingkungan, yaitu
konsentrasi bakteri pada persediaan air, ke dalam model epidemik SIR.
Selanjutnya, model Codeco (2001) dikembangkan oleh Hartley et al. (2006)
dengan memasukkan tahap hyperinfectious dari patogen. Di lain pihak, Wang dan
Modnak (2011) menyajikan model penyebaran kolera dengan rute penularan
lingkungan-ke-manusia dan manusia-ke-manusia dengan memasukkan parameter
kontrol, yaitu vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air.
Oleh karena itu, dalam penelitian ini, model matematika mengacu pada
model Hartley et al. (2006). Model matematika penyebaran penyakit kolera yang
melibatkan bakteri hyperinfectious akan dimodifikasi dengan memperhatikan
pengaruh vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air.
3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Memodifikasi model penyebaran penyakit kolera dengan memperhatikan
kondisi hyperinfectious bakteri dengan kontrol vaksinasi, pengobatan, dan
sanitasi.
b. Melakukan analisis kestabilan di sekitar titik tetap pada model hasil modifikasi.
c. Melakukan simulasi numerik terhadap model yang telah dimodifikasi untuk
melihat dinamika penyebaran penyakit kolera yang terjadi berdasarkan
perubahan nilai-nilai parameter laju cerna bakteri hyperinfectious, laju
vaksinasi, laju pengobatan, dan laju kematian bakteri karena sanitasi.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Dinamik
Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem dinamik penyebaran penyakit kolera merupakan sistem persamaan
diferensial taklinear orde satu.
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
berikut
dengan
dan
adalah fungsi tak linear dalam dan
dituliskan
Sistem persamaan (2.1) disebut sistem persamaan diferensial biasa taklinear
(Braun 1983).
Misalkan suatu sistem persamaan differensial biasa dinyatakan sebagai
4
dengan fungsi kontinu bernilai real dari x. Sistem (2.2) disebut sistem persamaan
differensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit di
dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial mandiri seperti pada sistem (2.2).
Titik disebut titik tetap, jika
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau
titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya digunakan
istilah titik tetap.
Pelinearan
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear
sebagaimana sistem (2.2). Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik
tetap, maka sistem persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai berikut:
(2.3)
dengan adalah matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut :
dan
adalah suku berorde tinggi yang bersifat
sistem persamaan (2.3) menjadi
Akibatnya
(2.4)
Persamaan (2.4) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.2).
Selanjutnya
pada persamaan (2.3) disebut pelinearan dari sistem persamaan
diferensial taklinear (2.2) (Tu 1994).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan
berukuran
dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen
. Suatu vektor
tak nol
di dalam
disebut vektor eigen dari
jika untuk suatu skalar
berlaku:
(2.5)
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai dari , maka
sistem persamaan (2.5) dapat ditulis:
(2.6)
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.6) mempunyai solusi tak
nol jika dan hanya jika
(2.7)
5
Persamaan (2.7) merupakan persamaan karakteristik matriks
1995).
(Anton dan Rorres
Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial mandiri sebagaimana pada
sistem (2.2). Kestabilan titik tetap dari sistem (2.2) diberikan dalam definisi
berikut:
1. Titik tetap
disebut stabil jika untuk sembarang
yang diberikan, ada
sedemikian sehingga jika setiap solusi
memenuhi
pada saat
, maka
untuk semua
.
2. Titik tetap
disebut stabil asimtotik jika ia stabil dan ada
dengan
, sedemikian sehingga jika solusi
memenuhi
pada saat
, maka
.
3. Titik tetap yang tidak stabil disebut takstabil.
Berdasarkan definisi tersebut, titik tetap dikatakan stabil jika solusi sistem
persamaan pada saat selalu berada pada jarak yang cukup dekat dengan titik tetap
tersebut, sedangkan titik tetap dikatakan stabil asimtotik jika solusi sistem
persamaan pada saat akan menuju ke titik tetap, dan titik tetap dikatakan tidak
stabil jika solusi sistem persamaan pada saat bergerak menjauhi titik tetap
tersebut.
Titik tetap yang stabil atau stabil asimtotik hanya berlaku pada suatu daerah
tertentu dalam lingkungan sistem dikatakan sebagai stabil lokal atau stabil
asimtotik lokal. Titik tetap dikatakan stabil global atau stabil asimtotik global jika
titik tetap tersebut stabil atau stabil asimtotik pada setiap lingkungan solusi sistem.
Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan lokal titik tetap sistem (2.2)
dilakukan pelinearan di sekitar titik tetap sesuai dengan persamaan (2.3) sehingga
diperoleh persamaan (2.4). Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial (2.2)
dilakukan melalui analisis kestabilan sistem persamaan diferensial (2.4).
Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigen dari
matriks yaitu:
yang diperoleh dari persamaan (2.7).
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama
dengan nol (
≤ 0 untuk setiap ).
2. Stabil asimtotik, jika setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif
(
< 0 untuk setiap ).
3. Takstabil, jika terdapat komponen bagian real dari nilai eigen kompleks yang
positif (
> 0 untuk suatu ).
Teorema Castillo-Chaves dan Song (2004)
Teorema Castillo-Chaves dan Song (2004) digunakan untuk mengetahui
kestabilan di sekitar titik tetap dengan menggunakan pendekatan bifurkasi.
Perhatikan SPD umum berikut dengan parameter
6
dan
Misalkan
adalah suatu titik tetap sistem (2.8) sedemikian sehingga
untuk setiap dan asumsikan
A1:
adalah pelinearan dari sistem (2.8) di sekitar
titik tetap
dimana
. Nol adalah suatu nilai eigen sederhana dari ,
sedangkan nilai eigen lainnya memiliki bagian real yang negatif;
A2: Matriks memiliki satu vektor eigen kanan dan satu vektor eigen kiri
yang berkorespondensi dengan nilai eigen nol.
Misalkan
adalah komponen ke- dari
dan dinotasikan
(2.9)
Kestabilan lokal dari sistem (2.8) di sekitar titik tetap
sebagai berikut:
ditentukan oleh
dan
Kasus 1.
(i) Jika
dengan
maka
bersifat stabil asimtotik lokal, dan ada
titik tetap positif yang takstabil.
tidak stabil dan ada titik tetap yang negatif dan
(ii) Jika
, maka
stabil asimtotik lokal.
Kasus 2.
(i) Jika
dengan
(ii) Jika
, maka
positif yang tidak stabil.
maka
bersifat tidak stabil.
bersifat stabil asimtotik lokal dan ada titik tetap
Kasus 3.
(i) Jika
dengan
maka
tidak stabil, dan ada titik tetap negatif
yang stabil asimtotik lokal.
(ii) Jika
, maka
stabil dan suatu titik tetap positif takstabil muncul.
Kasus 4.
dan berubah dari negatif ke positif, maka
berubah
kestabilannya dari stabil menjadi tidak stabil. Begitu pula titik tetap negatif
takstabil berubah menjadi positif dan stabil asimtotik lokal.
Bilangan Reproduksi Dasar
Tingkat penyebaran suatu penyakit dapat diketahui melalui suatu parameter
yang disebut bilangan reproduksi dasar ( ). Bilangan reproduksi dasar ( )
7
adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder
akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi yang
rentan (Diekmann dan Heesterbeek 2000).
Pendekatan untuk menentukan bilangan reproduksi dasar yang digunakan
dalam penelitian ini mengikuti Driessche dan Watmough (2002), yaitu dengan
menggunakan matriks next generation dengan nilai
. Hal ini dikarenakan
banyaknya individu yang terinfeksi tidak mungkin bernilai negatif. Selanjutnya
didefinisikan sebagai nilai eigen dominan dari matriks next generation. Matriks ini
merupakan matriks yang dikonstruksi dari sub-subpopulasi yang menyebabkan
infeksi saja.
Misalkan ada n kelas terinfeksi dan m kelas yang tidak terinfeksi, dan misalkan
adalah subpopulasi dari masing-masing kelas. Model kompartemen
(kelas) dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
(2.10)
dengan
merupakan matriks fungsi yang menunjukkan tingkat kemunculan
infeksi baru di kompartemen ke- dan adalah matriks yang menunjukkan selisih
laju perpindahan yang keluar ke dalam kompartemen ke- dengan laju perpindahan
yang masuk ke dalam kelas ke- Selanjutnya perhatikan model penyebaran
penyakit berikut.
Perhitungan bilangan reproduksi dasar berdasarkan linearisasi sistem (2.10)
pada titik tetap tanpa penyakit . Hasil linearisasi dari kelas terinfeksi pada titik
tetap tanpa penyakit
adalah sebagai berikut
dengan F dan V matriks berukuran
,
dan
.
Selanjutnya
disebut matriks next generation. Nilai eigen terbesar dari matriks
next generation merupakan bilangan reproduksi dasar sistem.
Model Hartley et al. (2006)
Model yang diajukan oleh Hartley et al. (2006) adalah model kolera SIR
(Susceptible – Infected – Recovered) dan kelompok bakteri yang terbagi menjadi
dua, yaitu hyperinfectious dan less infectious. Total populasi manusia yang
merupakan fungsi dari waktu t, yaitu
, dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: kelas
individu rentan terserang penyakit (susceptible) yang dinotasikan dengan
,
kelas individu yang terinfeksi (infected) yang dinotasikan dengan
, dan kelas
individu yang sembuh (recovered) yang dinotasikan dengan
, atau ditulis:
Hal ini menjelaskan bahwa individu yang rentan,
setelah terinfeksi akan menjadi sembuh dan tidak rentan lagi.
8
Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006) diberikan pada Gambar
2 sebagai berikut.
S
I
R
Gambar 2 Diagram kompartemen model Hartley et al. (2006)
disesuaikan dari Hartley et al. (2006)
Pada model ini, diasumsikan total populasi manusia konstan dan laju
kelahiran alami sama dengan laju kematian, yaitu sebesar . Jumlah populasi S
akan bertambah karena kelahiran alami dengan laju dan akan berkurang karena
kematian alamiah dengan laju . Individu dapat terinfeksi kolera karena kontak
dengan bakteri dengan laju
dengan subskrip
dan
masing-masing menunjukkan kategori bakteri
hyperinfectious dan less infectious. Pada model ini
dan
menunjukkan laju
cerna bakteri hyperinfectious dan less infectious, sedangkan
dan
adalah
konsentrasi bakteri hyperinfectious dan less infectious dalam air yang
menyebabkan 50% kemungkinan terkena kolera. Saat
sama dengan
,
peluang mencerna bakteri yang dapat menyebabkan kolera adalah 0.5, dan hal
yang sama saat
sama dengan
Kelas I menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan kolera
kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alamiah
dengan laju . Individu yang terinfeksi kolera dapat sembuh kembali dengan laju
dan masuk ke dalam populasi R sehingga menyebabkan berkurangnya populasi I.
Individu dalam kelas R diasumsikan tidak akan terinfeksi penyakit lagi.
Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alamiah dengan laju .
Bakteri hyperinfectious yang dinotasikan dengan
akan bertambah karena
adanya kontribusi orang yang terinfeksi populasi V. cholerae dalam perairan
dengan laju . Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh laju transisi bakteri
sebesar yang kemudian masuk dalam populasi bakteri less infectious yang
dinotasikan dengan . Bakteri dalam kelas
akan berkurang disebabkan oleh
kematian bakteri dengan laju sebesar .
Dari uraian tersebut, model Hartley et al. (2006) dapat dituliskan dalam
sistem persamaan berikut.
9
dengan
dan nilai awal diberikan
Hartley et al. (2006) menekankan pentingnya peran bakteri hyperinfectious
dalam penyebaran penyakit kolera. Penelitian terkait bakteri hyperinfectious
menunjukkan bahwa terdapat hubungan antara jalur penyebaran lingkungan-kemanusia dengan jalur penyebaran dari manusia-ke-manusia. Oleh karena itu dalam
model (2.11) penyebaran penyakit hanya memperhatikan penyebaran lingkunganke-manusia. Namun model ini masih relatif sederhana karena belum
mempertimbangkan pengaruh kontrol penyebaran penyakit seperti vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi air. Oleh karena itu, dalam penelitian ini model Hartley et
al. (2006) akan dimodifikasi dengan menambahkan parameter vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi pada model.
Model Wang dan Modnak (2011)
Wang dan Modnak (2011) dalam penelitiannya menyajikan model
penyebaran penyakit kolera dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi,
pengobatan dan sanitasi. Model ini melibatkan empat variabel yaitu
dan
Misalkan
dan
masing-masing menyatakan kelas individu rentan
terserang penyakit (susceptible), kelas individu yang terinfeksi (infected), dan kelas
individu yang sembuh (recovered). Total populasi
diasumsikan konstan. Misalkan pula B sebagai konsentrasi bakteri V. Cholerae di
lingkungan (misalnya air yang terkontaminasi). Model Wang dan Modnak (2011)
dibangun sebagai kombinasi dari sistem populasi manusia dan komponen
lingkungan (SIR-B), dengan penularan lingkungan-ke-manusia direpresentasikan
dalam fungsi logistik dan penularan dari manusia-ke-manusia. Pada sistem ini,
dinotasikan sebagai laju kelahiran/kematian alamiah, adalah laju kontribusi
setiap orang yang terinfeksi pada populasi bakteri V. cholerae, adalah laju
penyembuhan dari kolera. Subpopulasi akan berkurang karena terinfeksi kolera
baik karena mencerna bakteri di lingkungan atau melalui interaksi manusia ke
manusia dengan laju
10
dengan dan
masing-masing adalah laju mencerna bakteri V. cholerae dari
air yang terkontaminasi dan melalui interaksi manusia ke manusia, serta adalah
konsentrasi bakteri dalam air yang menyebabkan kemungkinan 50% terkena kolera.
Model Wang dan Modnak (2011) memperhatikan pengaruh vaksinasi,
pengobatan, dan sanitasi air, dengan asumsi sebagai berikut:
a. Vaksinasi diberikan kepada populasi rentan dengan laju v, sehingga sebanyak
individu per waktu keluar dari kelas individu yang rentan dan masuk ke
kelas individu sembuh.
b. Pengobatan diberikan kepada individu-individu yang terinfeksi dengan laju a,
sehingga sebanyak
individu per waktu keluar dari kelas individu
terinfeksi dan masuk ke kelas individu sembuh.
c. Sanitasi air dapat menyebabkan kematian bakteri V. Cholerae dengan laju w.
Diagram kompartemen dari model Wang dan Modnak (2011) ditunjukkan
pada Gambar 3.
S
R
I
Gambar 3 Diagram kompartemen model Wang dan Modnak (2011)
Gambar direproduksi dari Wang dan Modnak (2011)
Model Wang dan Modnak (2011) dalam bentuk sistem persamaan
diferensial dituliskan sebagai berikut:
dengan
dan nilai awal diberikan
.
Model (2.12) ini akan dijadikan sebagai acuan dalam memodifikasi model
(2.11) berkaitan dengan penambahan parameter vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi.
11
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penyebaran Penyakit Kolera Hasil Modifikasi
Pada bagian ini dilakukan modifikasi model penyebaran penyakit kolera
yang mengacu pada model yang disajikan oleh Hartley et al. (2006) dengan
melihat adanya pengaruh dari vaksinasi, pengobatan, dan sanitasi air seperti model
yang diperkenalkan oleh Wang dan Modnak (2011). Asumsi yang digunakan pada
model ini antara lain:
a. Total populasi manusia tidak konstan.
b. Individu yang baru lahir/ masuk ke populasi rentan terhadap kolera.
c. Individu bisa terinfeksi kolera karena mengonsumsi makanan/minuman
terkontaminasi oleh bakteri V. cholerae hyperinfectious (disebabkan pertemuan
individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan) atau bakteri V. cholerae
less infectious (mengonsumsi makanan/minuman terkontamiasi tanpa adanya
pertemuan individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan).
d. Individu yang telah sembuh tidak akan terinfeksi kembali karena adanya
kekebalan tubuh.
e. Vaksinasi diberikan kepada populasi rentan efektif membuat individu rentan
menjadi sembuh.
f. Pengobatan diberikan kepada individu-individu yang terinfeksi.
g. Sanitasi air dapat menyebabkan kematian bakteri V. cholera.
h. Kolera dapat menyebabkan kematian pada penderitanya.
i. Bakteri hyperinfectious dapat bertransisi secara alami menjadi less infectious.
Secara skematis pola penyebaran penyakit kolera dengan asumsi-asumsi di
atas digambarkan dalam diagram kompartemen pada Gambar 4.
Gambar 4 Diagram kompartemen model modifikasi
Model modifikasi penyebaran penyakit kolera dituliskan dalam bentuk
sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
12
dengan
Penjelasan notasi yang digunakan pada model (3.1) dapat dilihat pada tabel
berikut.
Tabel 1 Notasi pada model modifikasi penyebaran penyakit kolera
Notasi
Variabel
Keterangan
Banyaknya individu rentan (orang)
Banyaknya individu yang terinfeksi (orang)
Banyaknya individu yang sembuh (orang)
Konsentrasi bakteri hyperinfectious (sel/ml)
Konsentrasi bakteri less infectious (sel/ml)
Parameter
v
w
Konstanta tingkat rekrutmen manusia (orang/hari)
Laju kematian alamiah manusia (hari-1)
Laju kematian manusia karena penyakit kolera (hari-1)
Laju kematian alamiah untuk bakteri (hari-1)
Laju bakteri hyperinfectious yang tercerna oleh individu S dari air yang
terkontaminasi (hari-1)
Laju bakteri less infectious yang tercerna oleh individu S dari air yang
terkontaminasi (hari-1)
Konsentrasi bakteri hyperinfectious dalam air yang menyebabkan 50 %
dari kemungkinan terkena kolera (sel/ml)
Konsentrasi bakteri less infectious dalam air yang menyebabkan 50 % dari
kemungkinan terkena kolera (sel/ml)
Laju per kapita pada orang yang rentan yang divaksinasi (hari-1)
Laju per kapita penyembuhan dari kolera (hari-1)
Laju per kapita pengobatan penyakit kolera (hari-1)
Laju kontribusi setiap orang yang terinfeksi pada populasi bakteri V.
cholera hyperinfectious dalam lingkungan perairan (sel/ml/hari)
Laju transisi bakteri dari hyperinfectious menjadi less infectious (hari-1)
Laju kematian bakteri karena sanitasi air (hari-1)
13
Daerah Solusi Model Penyebaran Penyakit Kolera
Daerah solusi model penyebaran penyakit kolera pada sistem (3.1) adalah
taknegatif dan terbatas untuk setiap waktu, hal ini ditunjukkan berdasarkan Lemma
1 berikut.
Lemma 1. Himpunan
dan
adalah daerah solusi yang taknegatif dan
terbatas dari model pada sistem (3.1), dimana
dan
total populasi manusia dan total populasi bakteri saat
Bukti. Misalkan
Karena
masing-masing adalah
.
, berdasarkan sistem persamaan (3.1) diperoleh
taknegatif, maka dari persamaan (3.2) diperoleh
Pertidaksamaan (3.3) diselesaikan menggunakan faktor integrasi sehingga
diperoleh
Karena
untuk setiap
, maka diperoleh
atau
Karena
dan
taknegatif, maka untuk setiap
diperoleh
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa populasi bakteri juga taknegatif dan terbatas.
Misalkan
, maka berdasarkan sistem persamaan (3.1) diperoleh
Karena
taknegatif, maka berdasarkan persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh
Pertidaksamaan (3.6) menghasilkan solusi
14
dengan
Karena
untuk setiap
, maka diperoleh
atau
Karena
dan
taknegatif untuk setiap
maka diperoleh
Berdasarkan pertidaksamaan (3.5) dan (3.7) diperoleh bahwa
dan
Titik Tetap
Titik tetap dari SPD (3.1) di atas akan diperoleh dengan menetapkan
sehingga
diperoleh
persamaanpersamaan sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan persamaan (
) akan diperoleh dua titik
tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan (3.1), maka akan
diperoleh matriks Jacobi berikut:
15
(3.13)
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi ketika semua individu menjadi
sehat atau dapat dikatakan tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika
banyaknya individu yang terinfeksi sama dengan nol (
).
Berdasarkan persamaan (3.11) dan
diperoleh
Dari persamaan
(3.12) dan
diperoleh
. Selanjutnya substitusi
,
ke
Karena
dan
, maka dari
persamaan (3.8), diperoleh
persamaan (3.10) diperoleh
Jadi, titik tetap tanpa penyakit adalah
Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan kondisi ketika penyakit terdapat di dalam
populasi manusia. Dari sistem persamaan (3.1) diperoleh titik tetap endemik
dengan
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya populasi
rentan menjadi terinfeksi karena kontak dengan satu individu terinfeksi. Bilangan
reproduksi dasar dilambangkan dengan
Jika
maka rata-rata individu
yang terinfeksi menghasilkan kurang dari satu individu terinfeksi baru selama
16
periode menular, dan infeksi tidak bisa tumbuh. Sebaliknya, jika
maka
setiap individu yang terinfeksi menghasilkan rata-rata lebih dari satu infeksi baru,
dan penyakit dapat menyerang penduduk.
Pendekatan untuk menentukan bilangan reproduksi dasar yang digunakan
dalam penelitian ini mengikuti Driessche dan Watmough (2002). Bilangan
reproduksi dasar dihitung dengan menggunakan the next generation matrix untuk
sistem (3.1). Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen dominan dari
matriks
yang didefinisikan sebagai berikut.
dimana adalah fungsi yang menunjukkan tingkat kemunculan infeksi baru di
kompartemen i,
adalah fungsi yang menunjukkan transfer infeksi dari satu
kompartemen i ke kompartemen lain, dan
adalah titik tetap tanpa penyakit.
Dari sistem (3.1) tuliskan kembali persamaan-persamaan untuk kelas infeksi,
dan
ke dalam sistem (3.14).
Berdasarkan sistem (3.14), diperoleh fungsi
dan
sebagai berikut:
Turunan parsial dari
dan
menghasilkan
dan
terhadap
Selanjutnya titik tetap
disubstitusikan ke matriks
matriks
sebagai berikut
dan
sehingga diperoleh
17
dimana
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen dominan dari matriks
yaitu
,
Makna biologis dari hasil bilangan reproduksi dasar ini adalah sebagai
berikut.
adalah banyaknya orang yang rentan pada saat kesetimbangan
tanpa penyakit.
adalah rata-rata banyaknya bakteri
hyperinfectious yang dikeluarkan oleh setiap individu yang sakit.
dan
masing-masing adalah banyaknya kasus baru setiap satuan waktu karena
bakteri hyperinfectious dan bakteri less infectious.
dan
adalah rata-rata lama bakteri berada pada kondisi hyperinfectious dan less
infectious.
adalah hasil kali dari laju transisi bakteri hyperinfectious menjadi less
infectious dengan rata-rata lama bakteri berada pada kondisi less infectious. Dari
penjelasan tersebut, maka
dan
masing-masing adalah rata-rata banyaknya bakteri
hyperinfectious dan less infectious yang dikeluarkan ke lingkungan. Dengan
demikian, suku pertama dari bilangan reproduksi dasar menunjukkan banyaknya
infeksi baru karena bakteri hyperinfectious. Sedangkan suku kedua menunjukkan
banyaknya infeksi baru karena bakteri less infectious.
Kestabilan sistem selanjutnya dianalisis dengan mempeerhatikan bilangan
reproduksi dasar tersebut. Seelanjutnya akan disajikan teorema mengenai
kestabilan lokal dari masing-masing titik tetap.
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Teorema 1. Titik tetap tanpa penyakit
untuk sistem (3.1) bersifal stabil
asimtotik lokal jika
dan tidak stabil jika
.
Bukti. Matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit
adalah:
18
dan persamaan karakteristiknya berbentuk
(3.16)
Karena
maka persamaan karakteristik (3.16) menjadi
Berdasarkan persamaan karakteristik (3.17), maka diperoleh lima nilai eigen. Dua
nilai eigen negatif adalah:
Sedangkan ketiga nilai eigen lain diperoleh dengan menyelesaikan persamaaan kubik
berikut.
dengan
,
19
Akar-akar persamaan (3.19) ini merupakan nilai-nilai eigen lain dari
persamaan karakteristik (3.17) yaitu
. Berdasarkan sifat akar persamaan
kubik, diperoleh sistem persamaan berikut
,
Karena
, maka jumlah dari ketiga nilai eigen tersebut bernilai negatif
Hal ini menandakan di antara ketiga nilai eigen tersebut,
selalu ada yang bernilai negatif, anggap
Selanjutnya untuk memeriksa
kestabilan titik tetap cukup dengan memperhatikan
dan
Jika
dan
maka titik tetap akan stabil, sedangkan jika
atau
maka
titik tetap tidak stabil Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
Berdasarkan pertidaksamaan (3.21), diperoleh
dan
Dengan
demikian, nilai dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem (3.20) memenuhi
kondisi berikut.
.
Karena
dan kondisi (3.23) terpenuhi, maka diperoleh
Berdasarkan kondisi (3.22) dan (3.24) diperoleh
Kondisi (3.24) dan (3.25) hanya dapat terpenuhi jika
dan
dengan
kata lain, diperoleh semua nilai eigen negatif. Jadi, jika
, maka titik tetap
tanpa penyakit
bersifat stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya akan dibuktikan jika
, maka titik tetap tanpa penyakit
tidak stabil. Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
Dari pertidaksamaan (3.26) diperoleh
sistem (3.20) memenuhi
sehingga persamaan ketiga dari
.
20
Berdasarkan kondisi (3.27) dan selalu negatif, maka diperoleh
. Hal
ini berarti dan
memiliki tanda yang berlawanan. Dengan kata lain, terdapat
nilai eigen yang positif sehingga titik tetap tanpa penyakit
bersifat tidak stabil.
Jadi, titik tetap tanpa penyakit
untuk sistem (3.1) bersifal stabil asimtotik
lokal jika
dan tidak stabil jika
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Teorema 2. Titik tetap endemik
hanya jika
untuk sistem (3.1) unik dan positif jika dan
Bukti. Tinjau titik tetap endemik berikut.
dengan
Substitusi persamaan (3.28), (3.31), dan (3.32) ke persamaan (3.9) diperoleh
dengan
,
,
,
.
21
Berdasarkan sifat akar persamaan kubik, maka akar-akar dari persamaan
(3.33) memenuhi sifat berikut:
Karena
maka persamaan (3.36) bernilai nol sehingga dapat dipastikan
terdapat akar dari persamaan (3.33) yang bernilai nol, misalkan =0. Selanjutnya
mengakibatkan
sehingga diperoleh
Karena
(3.35) bernilai negatif, yaitu.
selalu negatif dan
, maka persamaan
.
Berdasarkan kondisi (3.37) dan karena =0, maka diperoleh
Dengan demikian dan berbeda tanda, misal
dan
. Jadi terdapat
satu akar positif dalam kasus ini. Akibatnya,
dan
ada dan unik
dengan nilai positif.
Misal titik tetap endemik untuk sistem (3.1) unik dan positif. Akan
dibuktikan
Andaikan
maka diperoleh pertidaksamaan
sehingga
Karena
selalu negatif dan
, maka persamaan (3.35)
bernilai positif. Selanjutnya karena =0, maka diperoleh
.
(3.39)
Selain itu,
mengakibatkan
Dari pertidaksamaan (3.40) diperoleh.
dan
Dari persamaan (3.41) dan (3.42) diperoleh
22
atau dapat pula ditulis
maka
sehinggga diperoleh
yang berarti
Karena
sehingga diperoleh
dan
yang secara biologis tidak
mungkin. Dengan demikian tidak ada titik tetap endemik positif diperoleh.
Kontradiksi.
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan jika
maka persamaan
(3.33) mempunyai dua akar nol dan satu akar negatif, yang secara biologis juga
tidak mungkin. Jadi, titik tetap endemik positif ada dan tunggal untuk sistem (3.1)
jika dan hanya jika
.
Berdasarkan teorema 2, jika
titik tetap endemik
tidak positif
(secara biologis tidak mungkin). Teorema berikut menyatakan bahwa, jika
,
maka titik titik tetap endemik
bersifat stabil asimtotik lokal. Bukti teorema
dilakukan dengan cara membuktikan bahwa jika
maka terjadi bifurkasi.
Bifurkasi adalah perubahan kestabilan titik tetap suatu sistem persamaan akibat
berubahnya nilai parameter.
Teorema 3. Jika
maka titik tetap endemik
bersifat stabil asimtotik lokal.
Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, digunakan teorema Castillo-Chaves dan
Song (2004). Misalkan:
Berdasarkan persamaan (3.15),
mengakibatkan
. Perhatikan kembali
matriks Jacobian untuk titik tetap tanpa penyakit . Titik tetap
mempunyai
satu nilai eigen nol dan empat nilai eigen negatif jika
atau
Nilai
eigen nol tersebut memiliki vektor eigen kanan
dan vektor eigen
kiri (
dengan
23
bebas,
bebas.
Berdasarkan persamaan (2.11) didefinisikan
dengan
Berdasarkan sistem (3.1) diperoleh
24
maka berdasarkan sistem persamaan (3.44) diperoleh
=2
Karena
maka diperoleh
Akibatnya kasus 4 adalah
satu-satunya yang berlaku untuk sistem (3.1). Ini berarti saat berubah dari
menjadi
, titik tetap
berubah dari stabil menjadi tidak stabil dan titik tetap
endemik
berubah dari negatif menjadi positif dan menjadi stabil asimtotik lokal.
Dengan kata lain, jika
maka titik tetap endemik
stabil asimtotik lokal.
Berdasarkan teorema 1, 2, dan 3 yang telah diperoleh di atas, maka sifat
kestabilan titik tetap untuk sistem (3.1) dirangkum pada Tabel 2 berikut.
25
Kondisi
Tabel 2 Sifat kestabilan titik tetap
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik Tetap Endemik
Ada dan stabil asimtotik lokal
Tidak ada
Ada dan tidak stabil
Ada dan stabil asimtotik
lokal
Simulasi Model
Simulasi model dilakukan untuk memperlihatkan kembali sifat kestabilan
dari masing-masing titik tetap dan untuk mempelajari hal-hal yang terjadi dalam
sistem dinamik. Simulasi menggunakan software berbasis fungsional yaitu Maple
13. Dalam hal ini, dinamika populasi manusia dan bakteri dianalisis dengan
mengubah-ubah parameter-parameter yang masih memungkinkan untuk dikontrol
oleh manusia dalam upaya penekanan penyebaran kolera, yaitu laju cerna bakteri
hyperinfectious ( ), laju vaksinasi ( ), laju pengobatan ( ), dan laju kematian
bakteri karena sanitasi air
Nilai untuk setiap parameter yang digunakan dapat
dilihat pada tabel berikut.
Tabel 3 Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi
Parameter Nilai
Satuan
Sumber
10
orang/hari
Hove-Musekwa et al. (2011)
-1
0.0000548 hari
Hove-Musekwa et al. (2011)
0.015
hari-1
Hove-Musekwa et al. (2011)
-1
0.0333
hari
Hartley et al. (2006)
-1
0.2143
hari
Hartley et al. (2006)
sel/ml
Hartley et al. (2006)
1428.5714 sel/ml
Hartley et al. (2006)
0.2
hari-1
Hartley et al. (2006)
-1
-1
10
sel/ml.hari orang
Hartley et al. (2006)
-1
0.2
hari
Hartley et al. (2006)
Dinamika populasi manusia dan bakteri diamati saat kondisi
dan
saat
. Dalam hal ini
merupakan bilangan reproduksi dasar yang
didefinisikan pada persamaan (3.15). Nilai awal yang digunakan adalah (0) =
1000000 (0) = 10, (0) = 0, (0) = 1000000, (0) = 1000000
Dinamika Populasi dengan Variasi Laju Cerna Bakteri Hyperinfectious
Didefinisikan laju cerna bakteri hyperinfectious ( ) adalah laju bakteri
hyperinfectious yang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit. Variasi
nilai
berhubungan dengan perilaku bersih masyarakat dan tingkat pertemuan
antara individu rentan dengan individu terinfeksi. Saat masyarakat berperilaku
kurang bersih dan sering terjadi pertemuan individu rentan dengan individu
terinfeksi, maka nilai
akan besar.
26
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi pada kondisi
dan
Simulasi pertama dan kedua untuk mengecek kestabilan titik tetap sistem (3.1).
Simulasi ketiga untuk mengetahui pengaruh variasi parameter laju cerna bakteri
hyperinfectious ( ).,Ketiga simulasi dilakukan dengan memberi variasi nilai
parameter
Nilai parameter
dan yang digunakan dalam simulasi laju
cerna bakteri hyperinfectious dapat dilihat pada Tabel 4.
Pada simulasi ini ditetapkan nilai
, sedangkan
diubah-ubah nilainya. Nilai kritis laju cerna bakteri hyperinfectious diperoleh
saat
yaitu
0.0466479719 (Penentuan nilai kritis laju cerna bakteri
hyperinfectious dapat dilihat pada Lampiran 2). Simulasi dilakukan dengan
mengevaluasi pada
yang mengakibatkan
dan
yang
mengakibatkan
.
Tabel 4 Nilai parameter
hyperinfectious
Simulasi ke1
2
3
<
>
0.1
0.3
0.5
dan
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
dalam simulasi laju cerna bakteri
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
0.05
0.05
0.6
0.6
0.6
1