Analisis Dinamika Model Penyebaran Penyakit Kolera
ANALISIS DINAMIKA MODEL
PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
ANDI FITRIANAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Dinamika
Model Penyebaran Penyakit Kolera adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Andi Fitrianah
NIM G54100026
ABSTRAK
ANDI FITRIANAH. Analisis Dinamika Model Penyebaran Penyakit Kolera.
Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
Model matematika SIR penyakit kolera yang dikembangkan oleh Liao &
Wang (2011) dengan populasi bakteri terbagi dua yaitu bakteri yang sangat
berbahaya (hyper infectious) dan bakteri yang kurang berbahaya (less infectious).
Model ini menghasilkan dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik
tetap endemik. Analisis kestabilan bagi titik tetap tersebut ditentukan
menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Dengan asumsi total populasi konstan,
dinamika populasi bagi titik tetap endemik menunjukkan bahwa peningkatan laju
infeksi bakteri akan mempercepat terjadinya wabah penyakit. Kecepatan
terjadinya wabah akan lebih besar pada saat laju infeksi bakteri hyper infectious
meningkat dibandingkan pada saat laju infeksi bakteri less infectious meningkat.
Di sisi lain, laju kelahiran/kematian populasi manusia yang besar akan
memperbesar pula kecepatan terjadinya wabah.
Kata kunci: model SIR, kolera, dan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz
ABSTRACT
ANDI FITRIANAH. Dynamics Analysis of Cholera’s Spreading Model
Supervised byELIS KHATIZAHandALI KUSNANTO.
A mathematical model developed by Liao & Wang (2011) for cholera
disease was categorized within a SIR model, where bacteria concentration were
grouped into hyper infectious and less infectious groups. This model provides two
equilibrium points i.e., disease-free and endemic states. Analysis of stability of
those equilibrium points were determined by using the Routh-Hurwitz stability
criterion. The population dynamics at endemic equilibrium under a constant total
of population shows that the increase of the infection rate of bacteria will increase
the disease victims. The disease outbreak were found to be faster when the
infection rate of hyper infectious bacteria increase, compared with increase of the
infection rate of less infectious bacteria. Also, a high birth rate and/or human
mortality rate would increase the outbreak of the disease.
Keywords:SIR model, cholera, and Routh-Hurwitzstability criterion
ANALISIS DINAMIKA MODEL
PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
ANDI FITRIANAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
Analisis Dinamika Model Penyebaran Penyakit Kolera.
Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini khususnya Ibu Elis Khatizah, MSi dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi yang
telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan
kepada Bapak Darwin dan Ibu Nonon Mulyanah selaku orangtua yang
memberikan dukungan, semangat, dan doa tanpa henti. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada adik, kakak, seluruh keluarga, serta teman-teman atas
segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2015
Andi Fitrianah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Perumusan Model
4
Titik Tetap
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
7
SIMULASI MODEL
10
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Diagram kompartemen model matematika penyakit kolera
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
dan
Perbandingan populasi I ketika
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Perbandingan populasi I ketika
dan
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Perbandingan populasi I ketika
dan
5
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
15
16
17
17
17
DAFTAR TABEL
1 Notasi pada sistem persamaan (3) beserta satuannya
2 Nilai parameter , dan dalam simulasi
6
10
DAFTAR LAMPIRAN
menurut kondisi Routh-Hurwitz
Bukti untuk kasus
Pencarian titik tetap tanpa penyakit
Pencarian titik tetap endemik
Bukti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik dengan kriteria
Routh-Hurwitz
5 Contoh simulasi bidang solusi dinamika populasi pada Gambar 2
(dengan Software Maple)
1
2
3
4
19
19
19
20
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penyakit infeksi seperti kolera dan hepatitis merupakan penyakit infeksi
yang berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh bakteri atau virus yang dapat
menyebar melalui kontak langsung dengan penderita.
Perkembangan ilmu di bidang matematika turut memberikan peranan
penting dalam menggambarkan fenomena penyebaran penyakit. Menurut
Hetchcote (2000), model penyebaran penyakit infeksi salah satunya adalah model
SIR. Pada model SIR, individu yang telah sembuh dari suatu penyakit tidak akan
terinfeksi lagi karena telah memiliki kekebalan tubuh.
Menurut Johnson (2004), kolera adalah penyakit yang telah lama menyerang
manusia dan terus menjadi masalah bagi kesehatan masyarakat dunia. Penyakit
kolera merupakan penyakit infeksi saluran usus bersifat akut yang disebabkan
oleh bakteri Vibrio cholerae. Bakteri ini masuk ke dalam tubuh seseorang melalui
makanan atau minuman yang terkontaminasi. Bakteri tersebut mengeluarkan
enterotoksin (racun) pada saluran usus sehingga menimbulkan diare disertai
muntah yang akut dan hebat.Akibatnya, seseorang dalam waktu hanya beberapa
hari akan kehilangan banyak cairan tubuh dan masuk pada kondisi dehidrasi.
Apabila dehidrasi tidak segera ditangani, maka akan berlanjut ke arah
hipovolemik dan asidosis metabolik dalam waktu yang relatif singkat. Kondisi ini
dapat menyebabkan kematian bila tidak cepat ditangani. Penyakit kolera dapat
menjadi penyakit yang mengancam jiwa, tetapi dapat dicegah dan diobati.
Pada penelitian ini, akan dibahas model matematika untuk penyakit kolera
yang disusun oleh Liao dan Wang pada tahun 2011 dalam artikel yang berjudul
Stability analysis and application of a mathematical cholera modeldengan model
populasi manusia berbentuk SIR dan model konsentrasi bakteri yang terbagi
menjadi dua yaitu bakteri yang sangat berbahaya (hyperinfectious) dan bakteri
yang tidak begitu berbahaya (less infectious). Dari model tersebut akan dilakukan
analisis dinamika populasi terhadap penyakit dengan asumsi total populasi
konstan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan penelitian ini adalah mempelajari model matematika
penyebaran penyakit kolera yang disusun oleh Liao dan Wang pada tahun 2011.
Dari model ini akan dilakukan analisis dinamika populasi dengan menentukan
titik tetap dan kestabilannya. Kemudian, akan dilakukan simulasi dinamika
populasi berdasarkan nilai-nilai parameter yang memengaruhinya. Dinamika
populasi yang dianalisis terdiri atas dinamika populasi manusia dan dinamika
populasi bakteri.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Kesetimbangan
Persamaan yang digunakan pada pendekatan model ini adalah sistem
persamaan diferensial taklinear orde satu.
Perhatikan sistem persamaan diferensial linear (SPD) berikut:
dx
x F ( x, y ),
dt
(1)
dy
y G ( x, y ).
dt
Titik
disebut titik tetap jika memenuhi
, dan
.
Sedangkan titik lain disebut titik biasa. Selanjutnya akan dibahas analisis
kestabilan dari suatu titik tetap.
Definisi 1 Titik Tetap Stabil
Titik
adalah titik tetap sebuah SPD dan
adalah solusi yang
dengan
Titik dikatakan stabil jika
memenuhi kondisi awal
terdapat
yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap
sehingga jika
maka
, untuk
terdapat
setiap
Definisi 2 Titik Tetap Tidak Stabil
adalah sebuah solusi
Misalkan titik tetap sebuah SPD mandiri dan
SPD mandiri dengan nilai awal
dengan
Titik dikatakan tak
dengan ciri sebagai berikut: untuk sebarang
stabil jika terdapat radius
terdapat posisi awal
yang memenuhi
berakibat solusi
memenuhi
untuk paling sedikit satu
(Verhulst 1990)
Selain menggunakan definisi, kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan
mencari nilai eigen yang diperoleh dari penyelesaian solusi taknol matriks yang
.Persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial linear jika
berukuran
F dan G merupakan fungsi linear dan persamaan (1) dikatakan sistem persamaan
diferensial taklinear jika F atau G merupakan fungsi taklinear. Untuk suatu sistem
persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui
pelinearan. Tahap pertama dalam pelinearan terhadap persamaan (1) adalah
mengasumsikan persamaan (1) sebagai persamaan taklinear dengan turunan
parsial dari persamaan (1) kontinu di
. Menggunakan ekspansi Taylor di sekitar
titik tetapnya diperoleh
,
(2)
dengan
dan
Bentuk
,
adalah suku berorde tinggi yang memiliki sifat
disebut pelinearan persamaan (2)
(Tu 1994)
3
Misalkan adalah matriks
suatu vektor taknol di dalam
disebut
vektor eigen dari jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari ,
berlaku:
.
Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen matriks yang berukuran
, persamaan dapat dituliskan
sebagai berikut:
dengan matriks identitas. Persamaan di atas memiliki solusi taknol jika dan
hanya jika memenuhi persamaan karakteristik berikut:
det
(Leon 1998)
sebagai berikut:
Misalkan diberikan matriks berukuran
Persamaan karakteristik
diberikan oleh:
det
sedemikian sehingga akan diperoleh nilai eigen dari matriks tersebut.
Setelah diperoleh nilai eigen, didapat empat kasus sebagai berikut:
1 Jika nilai eigennya real dan berbeda tanda, maka titik tetap bersifat sadel.
2 Jika semua nilai eigennya real dan bertanda sama, maka titik tetapnya
merupakan simpul tidak sejati (nodes). Jika nilai eigen bertanda positif, maka
simpul tidak stabil. Jika nilai eigen bertanda negatif, maka simpul stabil.
3 Jika nilai eigennya merupakan complexconjugate dengan bagian realnya
positif, maka titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika bagian realnya negatif,
maka titik tetap bersifat spiral stabil.
4 Jika nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center
yang selalu stabil.
(Verhulst 1990)
Dalam permasalahan tertentu, tidak mudah menentukan kestabilan titik
kesetimbangan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik kesetimbangan lain yang dapat
menentukan tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah
satu metode yang dapat digunakan adalah metode kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu
suatu metode untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akarakar persamaan karakteristik secara langsung.
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan
bilanganjika
Semua nilai eigen dari persamaan
bilangan real dan
karakteristik
memiliki bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks
berukuran
4
A
.
adalah positif, dengan
Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu
bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika,
disebutkan
(Fisher 1990)
(Bukti untuk kasus
pada Lampiran 1)
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan
terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu
yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih
rentan. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dari titik tetap tanpa penyakit.
Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan
Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu
1 Jika
maka penyakit akan menghilang.
maka penyakit akan menetap.
2 Jika
3 Jika
maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
(Gieseacke 1994)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Model
Dalam penulisan karya ilmiah ini, model yang akan dibahas adalah model
matematika kolera SIR (Susceptible – Infected – Recovered) dan konsentrasi
(hyperinfectious) dan
(less
bakteri yang terbagi menjadi dua, yaitu
infectious). Total populasi manusia
yang merupakan fungsi dari waktu t
dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: kelas individu terserang penyakit (susceptible)
, kelas individu yang terinfeksi (infected) yang
yang dinotasikan dengan
dinotasikan dengan
, dan kelas individu yang sembuh (recovered) yang
dinotasikan dengan
, atau dapat juga ditulis:
Ini
menjelaskan bahwa individu yang rentan, setelah terinfeksi akan menjadi sembuh
dan tidak rentan lagi.
Jumlah populasi S akan bertambah karena kelahiran alami sebesar . S akan
berkurang karena kematian dengan laju . Dalam karya ilmiah ini, laju kelahiran
alami sama dengan laju kematian, yaitu sebesar . Kontak langsung dengan
bakteri yang menginfeksi menyebabkan individu pada populasi S akan ikut
5
terinfeksi dan akan masuk menjadi populasi I sehingga mengakibatkan
berkurangnya populasi S. Laju bakteri yang menginfeksi sebesar
dan . Kelas
I menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan kolera kepada orang
lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian dengan laju . Individu
yang terinfeksi kolera dapat sembuh kembali dengan laju dan masuk dalam
populasi R sehingga menyebabkan berkurangnya populasi I. Individu dalam kelas
R diasumsikan tidak akan terinfeksi penyakit lagi. Berkurangnya populasi ini
disebabkan oleh kematian dengan laju .
akan bertambah karena
Bakteri hyperinfectious yang dinotasikan dengan
adanya kontribusi orang yang terinfeksi populasi Vibrio cholerae dalam perairan
dengan laju . Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh laju transisi bakteri
sebesar yang kemudian masuk dalam populasi bakteri less infectious yang
dinotasikan dengan . Bakteri dalam kelas
akan berkurang disebabkan oleh
kematian bakteri dengan laju sebesar .
Dari asumsi-asumsi tersebut dapat dibuat diagram model matematika
penyakit kolera seperti terlihat pada Gambar 1.
BH
b
H
KH
BH
S
b
b
I
R
BL
bN
L
KL
L
BL
BH
BL
Gambar 1 Diagram kompartemen model matematika penyakit kolera
Selanjutnya, berdasarkan diagram kompartemen model matematika penyakit
kolera dapat dibentuk sistem persamaan berikut.
BL
BH
dS
bN
bS ,
LS
HS
dt
K L BL
K H BH
dI
dt
dR
dt
dBH
dt
dBL
dt
L
S
BL
KL
BL
I bR,
I
BH
H
S
BH
KH
BH
(
b) I ,
(3)
BH ,
L
BL .
Penjelasan mengenai notasi-notasi dan satuan pada sistem persamaan (3) disajikan
dalam Tabel 1.
6
Tabel 1 Notasi pada sistem persamaan (3) beserta satuannya
Notasi
Keterangan
Satuan
Variabel
N
total populasi manusia
individu
S
banyaknya individu sehat namun rentan terhadap
individu
penyakit
I
banyaknya individu yang terinfeksi
individu
R
banyaknya individu yang sembuh
individu
konsentrasi bakteri hyperinfectious
sel⁄ml
konsentrasi bakteri less infectious
sel⁄ml
Parameter
b
laju kelahiran/kematian dalam populasi manusia
konsentrasi bakteri hyperinfectious dalam air yang
menyebabkan 50 % dari kemungkinan terkena kolera
konsentrasi bakteri less infectious dalam air yang
menyebabkan 50 % dari kemungkinan terkena kolera
laju bakteri hyperinfectious yang tercerna oleh
individu S
laju bakteri less infectiousyang tercerna oleh
individu S
laju kesembuhan
kontribusi setiap orang yang terinfeksi pada populasi (
V. cholerae dalam lingkungan perairan
)
laju transisi bakteri
laju kematian bakteri
Untuk sistem ini, semua parameter bernilai positif.
Selanjutnya, akan dicari titik tetap untuk sistem persamaan di atas dan
dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut.
Titik Tetap
Titik tetap dari SPD (3) di atas akan diperoleh dengan menetapkan
,
,
sebagai berikut:
, dan
bN
L
S
L
sehingga diperoleh persamaan-persamaan
S
BL
KL
BL
H
BL
BL
KL
,
H
S
S
BH
KH
BH
KH
BH
BH
(
bS
0,
(4)
b) I
0,
(5)
I bR 0,
I
BH 0,
BH
0.
L BL
Dengan menyelesaikan kelima persamaan di atas akan diperoleh dua
tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
(6)
(7)
(8)
titik
7
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi ketika semua individu menjadi
sehat atau dapat dikatakan tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika
banyaknya individu yang terinfeksi sama dengan nol (
) yang didapat dari
persamaan (6) dan (7). Kemudian, substitusikan penyelesaian yang diambil dari
persamaan (6) dan (7) ke persamaan (4), (5), dan (8) sehingga diperoleh titik tetap
. Penurunan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan kondisi ketika penyakit terdapat di dalam
populasi manusia. Dari sistem persamaan (3) diperoleh titik tetap endemik
dengan
b) I *
(
*
S
N
,
b
*
*
S*
L I
H I
I*
,
b L KL
I*
KH
I*
I*
,
b
I*
R*
BH *
I*
BL*
,
.
L
Penurunan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 3.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan (3), maka akan
diperoleh matriks Jacobi berikut:
BL
K L BL
L
H
KH
BL
K L BL
L
J
H
KH
BH
BH
BH
BH
0
0
b)
(
0
0
b
0
0
0
0
0
H
(KH
H
(KH
SK H
BH ) 2
SK H
BH ) 2
0
SK L
( K L BL ) 2
L
SK L
( K L BL ) 2
L
.
0
0
L
Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Pelinearan pada titik tetap
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai
berikut:
8
b
J1
0
0
0
b)
(
0
b
0
0
H
N
L
KH
H
KL
N
L
0
N
KH
KL
0
0
0
0
N
.
0
0
L
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
dengan
.
Titik tetap dengan kondisi stabil akan diperoleh jika akar ciri bernilai negatif,
dan untuk menganalisis polinomial pangkat tiga, didefinisikan
yaitu
,
,
.
Berdasarkan kondisi Routh-Hurwitz, kondisi yang diperlukan agar
dan
. Jelas
memenuhi kriteria kestabilan adalah
bahwa
karena semua parameter bernilai positif. Untuk
akan
diperoleh jika dan hanya jika
(
b)
N
KH
H
N
KL
L
0,
L
dan menghasilkan
N
( b) K H K L L
.
( H KL L
L KH )
Selanjutnya,
untuk memperlihatkan
.
( b) K H K L L
memberikan sebuah ambang batas
( H KL L
L KH )
untuk total populasi (yang diasumsikan benar-benar rentan pada awalnya), yaitu
Kondisi N
Ketika
, titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil dan penyebaran penyakit
, titik tetap tanpa penyakit menjadi
tidak akan terjadi. Sebaliknya, jika
9
tidak stabil dan penyakit yang memasuki populasi akan bertahan serta
menyebabkan epidemik.
Selanjutnya, diperoleh bilangan reproduksi dasar
Kondisi
setara dengan
.
Kestabilan Titik Tetap Endemik
, titik tetap endemik positif dari persamaan
Ketika
adalah stabil asimtotik lokal. Sederhanakan bentuk pada titik keseimbangan
endemik menjadi
*
*
*
*
L BL
H BH
L S KL
H S KH
Q
,
P
T
,
( K L BL* )2
K L BL* K H BH *
( K H BH * )2
dengan P, Q, T semua bernilai positif. Dengan demikian, matriks Jacobi untuk
titik tetap endemik menjadi
P b
Q
T
0
0
P
J2
0
Q
T
0
b
0
0
0
0
(
b)
.
0
0
0
0
L
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
dengan
.
Jelas persamaan ini memiliki salah satu akar negatifnya yaitu
mengekspresikan
Selanjutnya,
ke dalam bentuk
dengan
,
,
,
,
.
Untuk memastikan bahwa semua akar persamaan tersebut memiliki bagian-bagian
real negatif, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz,
,
. (Pembuktian ini dapat dilihat pada Lampiran 4)
Selanjutnya, kondisi stabil pada titik tetap endemik terjadi ketika
dan
10
SIMULASI MODEL
Untuk mengamati pengaruh masuknya bakteri ke dalam populasi manusia,
diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi
terhadap waktu. Hal ini membutuhkan nilai tertentu untuk setiap parameter dan
nilai awal untuk setiap variabel dalam sistem persamaan (3). Dalam karya ilmiah
ini dianalisis dinamika populasi dengan mengubah-ubah nilai
,
dan .
Dengan demikian, akan didapatkan dua kondisi untuk menganalisis dinamika
populasi, yaitu
dan
.
adalah kondisi ketika penyakit akan
hilang dari populasi. Sebaliknya,
adalah kondisi ketika penyakit bertahan
dalam populasi dan menjadi wabah. Nilai untuk setiap parameter yang digunakan,
yaitu
,
,
,
,
, dan
. Nilai
awal untuk setiap variabel yang digunakan, yaitu
,
,
,
, dan
.
Tabel 2 Nilai parameter
Pertama
Kedua
Ketiga
0.005
0.01
0.03
0.1
0.5
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
,
dan
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.005
0.01
0.04
0.08
0.16
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
yang dalam simulasi
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.1
0.05
0.03
0.01
0.001
Dinamika populasi dengan mengubah laju bakteri hyper infectious ( )
Definisikan bahwa laju infeksi bakterihyper infectious ( ) adalah laju
bakteri hyper infectiousyang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit.
diubah-ubah sedangkan nilai dan nilai tetap, yaitu
Pada kondisi ini, nilai
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
menghasilkan
, sedangkan pada nilai
dan
. Ketika
, kurva akan stabil menuju titik tetap tanpa
menghasilkan
penyakit. Ketika
, kurva stabil menuju titik tetap endemik
Pada Gambar 2 dan Gambar 3 menunjukkan bahwa kurva S, I, R, , dan
menuju ke titik (10, 0, 0, 0, 0). Kurva I yang merupakan individu yang
terinfeksi, pada awalnya terdapat di dalam populasi, namun seiring berjalannya
waktu mengalami penurunan hingga menuju nol. Begitu pula dengan kurva
dan .
11
Gambar 2 Dinamika populasi pada saat
Gambar 3 Dinamika populasi pada saat
Kedua kurva ini pada awalnya sempat mengalami kenaikan, namun seiring
berjalannya waktu mengalami penurunan hingga menuju nol. Hal tersebut
menandakan bahwa penyakit mengalami penurunan atau kepunahan seiring
berjalannya waktu.
, diperoleh titik tetap endemik (6, 4, 1,
Pada Gambar 4 yaitu ketika
35, 35). Pada Gambar 4 dapat dilihat pada bahwa kurva S, I, R,
, dan
menuju ke titik tetap endemik, yaitu (6, 4, 1, 35, 35). Kurva S mengalami
penurunan sedangkan kurva I mengalami peningkatan. Kurva R mengalami
dan
terus
perubahan yang tidak terlalu signifikan. Selain itu, kurva
mengalami peningkatan. Hal ini menandakan bahwa penyakit menetap di dalam
populasi.
Pada Gambar 5 yaitu ketika
, diperoleh titik tetap (2, 7, 1, 67, 67).
Serupa dengan Gambar 4, kurva S, I, R,
, dan
stabil menuju titik tetap
yang mengalami peningkatan
endemik yaitu (2, 7, 1, 67, 67). Kurva I, , dan
menandakan bahwa penyakit menetap di dalam populasi.
12
Gambar 4 Dinamika populasi pada saat
Gambar 5 Dinamika populasi pada saat
Gambar 6 Perbandingan populasi I ketika
dan
13
Pada Gambar 6 dapat dilihat bahwa ketika nilai
ditingkatkan dari
menjadi
, populasi I semakin mengalami peningkatan. Ini
berarti bahwa individu yang terinfeksi akan semakin bertambah ketika nilai laju
bakteri hyper infectioussemakin ditingkatkan pula. Selain itu, dapat dilihat pula
pada Gambar 6 bahwa kurva dengan nilai
lebih cepat menuju kestabilan
lebih lambat menuju
di titik tetapnya, sedangkan kurva dengan nilai
kestabilannya. Ini berarti bahwa semakin besar laju bakteri hyper infectious, maka
semakin cepat penyakit menjadi wabah endemik.
Dinamika populasi dengan mengubah laju bakteri less infectious ( )
Definisikan bahwa laju bakteriless infectious ( ) adalah laju bakteri less
infectiousyang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit. Pada kondisi
diubah-ubah sedangkan nilai
dan nilai tetap, yaitu
ini, nilai
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
, sedangkan pada nilai
dan
menghasilkan
menghasilkan
. Ketika
, kurva akan stabil menuju titik tetap tanpa penyakit.
, kurva stabil menuju titik tetap endemik.
Ketika
Gambar 7 Dinamika populasi pada saat
Gambar 8 Dinamika populasi pada saat
Ketika nilai
diubah-ubah menjadi
dan
kurva S, I,
R, , dan
mengalami kestabilan di titik tetap tanpa penyakit (10, 0, 0, 0, 0).
pada Gambar 7 dan Gambar 8 yang
Ini terlihat pada kurva S, I, R, , dan
14
menuju titik tetap tanpa penyakit. Hal ini menandakan bahwa penyakit yang pada
awalnya terdapat dalam populasi, mengalami kepunahan seiring berjalannya
waktu.
Gambar 9 Dinamika populasi pada saat
Gambar 10 Dinamika populasi pada saat
yang digunakan yaitu
Pada Gambar 9 dan Gambar 10, nilai
dan
yang kemudian menghasilkan
. Kedua kondisi tersebut
stabil menuju titik tetap endemik. Dapat
mengakibatkan kurva S, I, R, , dan
pula dilihat kurva I serta kurva
dan
yang mengalami peningkatan dan stabil
pada titik tetap endemik. Ini berarti bahwa penyakit menetap di dalam populasi.
ditingkatkan. Ketika nilai ditingkatkan pula, akan
Sama halnya ketika nilai
menghasilkan kurva I yang yang semakin meningkat. Artinya, individu yang
terinfeksi akan semakin meningkat ketika nilai
dan
ditingkatkan.
Sedangkan pada kurva S, kurva S semakin mengalami penurunan ketika nilai
dan ditingkatkan.
Pada Gambar 11 dapat dilihat bahwa ketika nilai
ditingkatkan dari
menjadi
, populasi I semakin mengalami peningkatan. Ini
berarti bahwa individu yang terinfeksi akan semakin bertambah ketika nilai laju
bakteri less infectioussemakin ditingkatkan pula.
15
Gambar 11 Perbandingan populasi I ketika
dan
Selain itu, dapat dilihat pula bahwa kurva dengan nilai
lebih
. Ini berarti
cepat menuju kestabilan dibandingkan kurva dengan nilai
bahwa semakin besar laju bakteri less infectious, maka semakin cepat penyakit
menjadi wabah endemik.
Dinamika populasi dengan mengubah laju kelahiran/kematian manusia ( )
Pada kondisi ini, nilai diubah-ubah sedangkan nilai
dan nilai tetap,
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
yaitu
menghasilkan
yang artinya bahwa kurva akan stabil menuju titik
tetap tanpa penyakit.
Pada Gambar 12 menunjukkan bahwa seluruh kurva menuju kestabilan di
titik tetap tanpa penyakit, yaitu titik tetap (10, 0, 0, 0, 0). Kurva I dan kurva R
semakin mengalami penurunan hingga menuju nol, sedangkan kurva S mengalami
dan
yang menunjukkan banyaknya populasi bakteri,
peningkatan. Kurva
mengalami penurunan yang cukup signifikan hingga menuju nol meskipun
sebelumnya sempat mengalami peningkatan dalam jangka waktu tertentu.
Gambar 12 Dinamika populasi pada saat
Gambar 13 juga serupa dengan Gambar 12, yaitu kurva S, I, R, , dan
stabil menuju titik tetap tanpa penyakit (10, 0, 0, 0, 0). Dari Gambar 12 dan
16
Gambar 13 menandakan bahwa penyakit yang sempat ada dalam populasi akan
mengalami kepunahan seiring berjalannya waktu.
Gambar 13 Dinamika populasi pada saat
Pada kondisi selanjutnya, nilai
dan
menghasilkan
yang artinya bahwa kurva akan stabil menuju titik tetap endemik.
Gambar 14 merupakan dinamika populasi ketika dievaluasi pada
.
.
Gambar 15 merupakan dinamika populasi ketika dievaluasi pada
Gambar 14 dan Gambar 15 menunjukkan bahwa masing-masing bidang solusi
menghasilkan kurva yang stabil menuju titik tetap endemik. Kurva S, I, R, , dan
pada Gambar 14 dan Gambar 15 tidak stabil menuju titik tetap tanpa penyakit
(10, 0, 0, 0, 0). Pada Gambar 14, kurva S, I, R, , dan
stabil menuju titik tetap
, dan
stabil
endemik (6, 2, 2, 20, 20). Pada Gambar 15, kurva S, I, R,
menuju titik tetap endemik (3, 1, 6, 20, 20). Pada Gambar 14 kurva S mengalami
penurunan, sedangkan kurva R mengalami peningkatan. Kurva I menunjukkan
perubahan yang tidak cukup signifikan, yaitu sempat mengalami peningkatan
kemudian stabil pada titik tetap endemik. Kurva
dan
terus mengalami
peningkatan kemudian mengalami sedikit penurunan hingga menuju titik tetap
endemik. Hal ini menandakan bahwa penyakit menetap dalam populasi. Pada
Gambar 15, kurva S mengalami penurunan yang cukup signifikan, sedangkan
kurva R mengalami peningkatan. Kurva I mengalami peningkatan hingga jangka
waktu tertentu kemudian mengalami penurunan. Ketiga kurva tersebut akhirnya
menuju titik tetap endemik meskipun sempat mengalami perubahan kurva yang
naik dan turun. Hal berarti bahwa penyakit menetap dalam populasi dan menjadi
wabah.
Gambar 16 menunjukkan bahwa ketika dievaluasi pada nilai
, kurva
sempat mengalami peningkatan kemudian turun hingga stabil menuju titik tetap
, kurva mengalami peningkatan
endemik. Ketika dievaluasi pada nilai
yang cukup tinggi kemudian mengalami penurunan drastis dan menuju titik tetap
endemik. Meskipun mengalami dinamika yang hampir sama, yaitu kurva sempat
mengalami peningkatan kemudian mengalami penurunan, namun pada nilai
, kurva lebih cepat mencapai kestabilan menuju titik tetap endemiknya
dibandingkan pada saat nilai
. Ini berarti bahwa ketika laju
17
kelahiran/kematian diperbesar, penyakit akan lebih cepat mewabah dan menetap
dalam populasi hingga jangka waktu tertentu.
Gambar 14 Dinamika populasi pada saat
Gambar 15 Dinamika populasi pada saat
Gambar 16 Perbandingan populasi I ketika
dan
18
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini telah dipelajari model matematika penyebaran
. Dari model tersebut dihasilkan dua titik tetap, yaitu
penyakit kolera, SIRtitik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Ketika dilakukan analisis bidang
solusi, dinamika populasi bergantung pada bilangan reproduksi dasar ( ). Titik
tetap tanpa penyakit berada dalam kestabilan ketika
dan titik tetap
endemik berada dalam kestabilan ketika
.
Melalui analisis , pada simulasi dinamika populasi dengan mengubah
nilai laju bakteri hyper infectious, disimpulkan bahwa semakin besar laju bakteri
hyper infectious, semakin cepat penyakit menjadi wabah endemik. Pada simulasi
dinamika populasi dengan mengubah nilai laju bakteri less infectious, disimpulkan
bahwa semakin besar laju bakteri less infectious, semakin cepat penyakit menjadi
wabah endemik. Walaupun begitu, untuk bakteri less infectious, penginfeksian
menjadi wabah endemik lebih rendah dibandingkan bakteri hyper infectious. Pada
simulasi dinamika populasi dengan mengubah nilai laju kelahiran/kematian
manusia, disimpulkan bahwa semakin besar laju kelahiran/kematian, penyakit
akan lebih cepat mewabah dan menetap dalam populasi hingga jangka waktu
tertentu karena kurva yang semakin cepat menuju kestabilannya di titik tetap
endemik.
DAFTAR PUSTAKA
Fisher SD. 1990. Complex Variables.
Ed. California (US): Wadsworth &
Brooks/Cole Books & Software.
Gieseacke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York (US):
Oxford University Pr.
Hetchcote HW. 2000. The mathematics of infectious diseases. SIAM Review.
42(4):599-653. DOI:10. 1137/S0036144500371907
Johnson L. 2004. Modeling Cholera. California (US): University of California
Santa Cruz Pr.
Ed. Alit Bondan, penerjemah.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya.
Jakarta (ID): Erlangga.
Liao S, Wang J. 2011. Stability analysis and application of a mathematical cholera
model. Mathematical Biosciences and Engineering. 8(3):733-752.
DOI:10.3934/mbe.2011.8.733.
TuPNV.1994. Dynamic System: An Introduction with Application in Economics
and Biology.Hiedelberg(DE):Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
19
menurut kondisi Routh-Hurwitz.
Lampiran 1 Bukti untuk kasus
Misalkan
dan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen
persamaan karakteristik
adalah negatif jika dan
bernilai positif dan
hanya jika
Bukti:
Dari persamaan
, maka
dan
jika selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka
bagian real dari setiap akar polinomial
adalah
positif dengan
negatif jika dan hanya jika
(9)
(10)
(11)
Dari (9) maka diperoleh
Dari (10) maka diperoleh
yang dapat diubah dalam bentuk
Dari (11) maka diperoleh
sehingga dari (10) diperoleh nilai
Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial
adalah negatif jika dan hanya jika
serta
Terbukti
Lampiran 2 Pencarian titik tetap tanpa penyakit
Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan
,
,
,
,
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
pada
.
Kemudian titik tetap tanpa penyakit diperoleh dengan membuat
persamaan (14) dan (15) sebagai berikut:
, sehingga didapatkan
,
, sehingga didapatkan
.
Selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (16) dan (13) sehingga didapatkan
Dari hasil-hasil yang telah diperoleh tersebut disubstitusikan kembali ke
Titik tetap tanpa penyakit yang
persamaan (12), sehingga didapatkan
didapatkan yaitu (
).
Lampiran 3 Pencarian titik tetap endemik
Titik tetap endemik dicari terlebih dahulu dengan memroses persamaan (15)
20
.
, sehingga didapatkan
.
Dari persamaan (16) dan dengan mensubstitusikan
diperoleh
.
, sehingga didapatkan
.
ke persamaan (16)
sebagai berikut
Dari persamaan (14) diperoleh
.
, sehingga didapatkan
.
Selanjutnya mensubstitusikan hasil-hasil yang didapatkan ke persamaan (12) dan
(13) sehingga didapatkan
dan
.
Titik tetap tanpa penyakit yang diperoleh yaitu
,
(17)
,
(18)
,
(19)
, dan
(20)
.
(21)
Lampiran 4 Bukti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik dengan
kriteria Routh- Hurwitz.
Didefinisikan
,
,
,
,
.
Diperoleh,
,
,
,
,
.
Sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
21
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Didefinisikan terlebih dahulu
(22)
Pelinearan pada titik tetap endemik
diperoleh matriks
0
0
0
0
0
0
0
0
.
0
0
0
0
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
.
Dengan
,
jelas persamaan ini memiliki salah satu akar negatif
ekspresi
berbentuk
Selain itu,
,
dengan
,
,
,
,
.
Untuk memastikan bahwa semua akar persamaan tersebut memiliki bagian-bagian
real negatif, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz,
,
.
Bukti:
. Jelas bahwa
karena semua parameter
bernilai positif.
.
).
Substitusikan persamaan (20) dan (21) ke (17) dan (18) sehingga didapatkan
22
.
(23)
Dengan menggunakan persamaan (22) dan (23), diperoleh
.
.
.
Bagian
Setelah mensubstitusikan (22) dan (23),
(24)
bernilai positif.
=
=
.
dan
.
terpenuhi.
Sehingga
Untuk membuktikan
,
.
dibuat menjadi dua pertaksamaan
(25)
(26)
Untuk menunjukkan (25) ditulis
menjadi penjumlahan empat bagian:
+(3P
.
Pada bagian pertama,
23
.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan
, sehingga pertaksamaan (25) terpenuhi.
Terakhir, untuk menunjukkan pertaksamaan (26), ditulis
penjumlahan beberapa bagian sebagai berikut:
dan
menjadi
)+(
sehingga
terpenuhi.
Lampiran 5 Contoh simulasi bidang solusi dinamika populasi pada Gambar
2 (dengan menggunakan software Maple)
>
>
24
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Maret 1992, anak ketiga dari
lima bersaudara, anak dari Bapak Darwin dan Ibu Nonon Mulyanah.
Tahun 2010 Penulis lulus dari SMAN 1 Sukaresmi Kabupaten Cianjur dan
melanjutkan pendidikan di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Tahun 2010-2011 penulis menjadi Ketua PSDM Dewan Mushola Asrama
Putri TPB IPB, mengikuti pendidikan kepemimpinan dan kewirausahaan LES IPB
(Leadership and Entrepreneurship School IPB) dan SWEET IPB (School with
Education and Entrepreneurship of TPB IPB), tahun 2011-2012 mengikuti
organisasi GUMATIKA IPB, 2011-2013 bergabung di komunitas seni
GUMAKUSI IPB, dan 2012-2014 mengikuti organisasi kewirausahaan kampus
IPBEC (IPB Entrepreneur Community). Beasiswa yang pernah didapatkan di IPB
adalah beasiswa ASTAGA IPB (beasiswa dari angkatan ke-13 IPB) pada tahun
2010 dan beasiswa PPA/BBM IPB pada tahun 2011-2014. Selain itu, penulis juga
aktif kepanitiaan dalam kegiatan-kegiatan di IPB serta menjadi tutor di Gemilang
Excellent IPB.
PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
ANDI FITRIANAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Dinamika
Model Penyebaran Penyakit Kolera adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Andi Fitrianah
NIM G54100026
ABSTRAK
ANDI FITRIANAH. Analisis Dinamika Model Penyebaran Penyakit Kolera.
Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
Model matematika SIR penyakit kolera yang dikembangkan oleh Liao &
Wang (2011) dengan populasi bakteri terbagi dua yaitu bakteri yang sangat
berbahaya (hyper infectious) dan bakteri yang kurang berbahaya (less infectious).
Model ini menghasilkan dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik
tetap endemik. Analisis kestabilan bagi titik tetap tersebut ditentukan
menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Dengan asumsi total populasi konstan,
dinamika populasi bagi titik tetap endemik menunjukkan bahwa peningkatan laju
infeksi bakteri akan mempercepat terjadinya wabah penyakit. Kecepatan
terjadinya wabah akan lebih besar pada saat laju infeksi bakteri hyper infectious
meningkat dibandingkan pada saat laju infeksi bakteri less infectious meningkat.
Di sisi lain, laju kelahiran/kematian populasi manusia yang besar akan
memperbesar pula kecepatan terjadinya wabah.
Kata kunci: model SIR, kolera, dan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz
ABSTRACT
ANDI FITRIANAH. Dynamics Analysis of Cholera’s Spreading Model
Supervised byELIS KHATIZAHandALI KUSNANTO.
A mathematical model developed by Liao & Wang (2011) for cholera
disease was categorized within a SIR model, where bacteria concentration were
grouped into hyper infectious and less infectious groups. This model provides two
equilibrium points i.e., disease-free and endemic states. Analysis of stability of
those equilibrium points were determined by using the Routh-Hurwitz stability
criterion. The population dynamics at endemic equilibrium under a constant total
of population shows that the increase of the infection rate of bacteria will increase
the disease victims. The disease outbreak were found to be faster when the
infection rate of hyper infectious bacteria increase, compared with increase of the
infection rate of less infectious bacteria. Also, a high birth rate and/or human
mortality rate would increase the outbreak of the disease.
Keywords:SIR model, cholera, and Routh-Hurwitzstability criterion
ANALISIS DINAMIKA MODEL
PENYEBARAN PENYAKIT KOLERA
ANDI FITRIANAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
Analisis Dinamika Model Penyebaran Penyakit Kolera.
Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini khususnya Ibu Elis Khatizah, MSi dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi yang
telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan
kepada Bapak Darwin dan Ibu Nonon Mulyanah selaku orangtua yang
memberikan dukungan, semangat, dan doa tanpa henti. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada adik, kakak, seluruh keluarga, serta teman-teman atas
segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2015
Andi Fitrianah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Perumusan Model
4
Titik Tetap
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
7
SIMULASI MODEL
10
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Diagram kompartemen model matematika penyakit kolera
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
dan
Perbandingan populasi I ketika
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Perbandingan populasi I ketika
dan
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Dinamika populasi pada saat
Perbandingan populasi I ketika
dan
5
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
15
16
17
17
17
DAFTAR TABEL
1 Notasi pada sistem persamaan (3) beserta satuannya
2 Nilai parameter , dan dalam simulasi
6
10
DAFTAR LAMPIRAN
menurut kondisi Routh-Hurwitz
Bukti untuk kasus
Pencarian titik tetap tanpa penyakit
Pencarian titik tetap endemik
Bukti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik dengan kriteria
Routh-Hurwitz
5 Contoh simulasi bidang solusi dinamika populasi pada Gambar 2
(dengan Software Maple)
1
2
3
4
19
19
19
20
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penyakit infeksi seperti kolera dan hepatitis merupakan penyakit infeksi
yang berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh bakteri atau virus yang dapat
menyebar melalui kontak langsung dengan penderita.
Perkembangan ilmu di bidang matematika turut memberikan peranan
penting dalam menggambarkan fenomena penyebaran penyakit. Menurut
Hetchcote (2000), model penyebaran penyakit infeksi salah satunya adalah model
SIR. Pada model SIR, individu yang telah sembuh dari suatu penyakit tidak akan
terinfeksi lagi karena telah memiliki kekebalan tubuh.
Menurut Johnson (2004), kolera adalah penyakit yang telah lama menyerang
manusia dan terus menjadi masalah bagi kesehatan masyarakat dunia. Penyakit
kolera merupakan penyakit infeksi saluran usus bersifat akut yang disebabkan
oleh bakteri Vibrio cholerae. Bakteri ini masuk ke dalam tubuh seseorang melalui
makanan atau minuman yang terkontaminasi. Bakteri tersebut mengeluarkan
enterotoksin (racun) pada saluran usus sehingga menimbulkan diare disertai
muntah yang akut dan hebat.Akibatnya, seseorang dalam waktu hanya beberapa
hari akan kehilangan banyak cairan tubuh dan masuk pada kondisi dehidrasi.
Apabila dehidrasi tidak segera ditangani, maka akan berlanjut ke arah
hipovolemik dan asidosis metabolik dalam waktu yang relatif singkat. Kondisi ini
dapat menyebabkan kematian bila tidak cepat ditangani. Penyakit kolera dapat
menjadi penyakit yang mengancam jiwa, tetapi dapat dicegah dan diobati.
Pada penelitian ini, akan dibahas model matematika untuk penyakit kolera
yang disusun oleh Liao dan Wang pada tahun 2011 dalam artikel yang berjudul
Stability analysis and application of a mathematical cholera modeldengan model
populasi manusia berbentuk SIR dan model konsentrasi bakteri yang terbagi
menjadi dua yaitu bakteri yang sangat berbahaya (hyperinfectious) dan bakteri
yang tidak begitu berbahaya (less infectious). Dari model tersebut akan dilakukan
analisis dinamika populasi terhadap penyakit dengan asumsi total populasi
konstan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan penelitian ini adalah mempelajari model matematika
penyebaran penyakit kolera yang disusun oleh Liao dan Wang pada tahun 2011.
Dari model ini akan dilakukan analisis dinamika populasi dengan menentukan
titik tetap dan kestabilannya. Kemudian, akan dilakukan simulasi dinamika
populasi berdasarkan nilai-nilai parameter yang memengaruhinya. Dinamika
populasi yang dianalisis terdiri atas dinamika populasi manusia dan dinamika
populasi bakteri.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Kesetimbangan
Persamaan yang digunakan pada pendekatan model ini adalah sistem
persamaan diferensial taklinear orde satu.
Perhatikan sistem persamaan diferensial linear (SPD) berikut:
dx
x F ( x, y ),
dt
(1)
dy
y G ( x, y ).
dt
Titik
disebut titik tetap jika memenuhi
, dan
.
Sedangkan titik lain disebut titik biasa. Selanjutnya akan dibahas analisis
kestabilan dari suatu titik tetap.
Definisi 1 Titik Tetap Stabil
Titik
adalah titik tetap sebuah SPD dan
adalah solusi yang
dengan
Titik dikatakan stabil jika
memenuhi kondisi awal
terdapat
yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap
sehingga jika
maka
, untuk
terdapat
setiap
Definisi 2 Titik Tetap Tidak Stabil
adalah sebuah solusi
Misalkan titik tetap sebuah SPD mandiri dan
SPD mandiri dengan nilai awal
dengan
Titik dikatakan tak
dengan ciri sebagai berikut: untuk sebarang
stabil jika terdapat radius
terdapat posisi awal
yang memenuhi
berakibat solusi
memenuhi
untuk paling sedikit satu
(Verhulst 1990)
Selain menggunakan definisi, kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan
mencari nilai eigen yang diperoleh dari penyelesaian solusi taknol matriks yang
.Persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial linear jika
berukuran
F dan G merupakan fungsi linear dan persamaan (1) dikatakan sistem persamaan
diferensial taklinear jika F atau G merupakan fungsi taklinear. Untuk suatu sistem
persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui
pelinearan. Tahap pertama dalam pelinearan terhadap persamaan (1) adalah
mengasumsikan persamaan (1) sebagai persamaan taklinear dengan turunan
parsial dari persamaan (1) kontinu di
. Menggunakan ekspansi Taylor di sekitar
titik tetapnya diperoleh
,
(2)
dengan
dan
Bentuk
,
adalah suku berorde tinggi yang memiliki sifat
disebut pelinearan persamaan (2)
(Tu 1994)
3
Misalkan adalah matriks
suatu vektor taknol di dalam
disebut
vektor eigen dari jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari ,
berlaku:
.
Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen matriks yang berukuran
, persamaan dapat dituliskan
sebagai berikut:
dengan matriks identitas. Persamaan di atas memiliki solusi taknol jika dan
hanya jika memenuhi persamaan karakteristik berikut:
det
(Leon 1998)
sebagai berikut:
Misalkan diberikan matriks berukuran
Persamaan karakteristik
diberikan oleh:
det
sedemikian sehingga akan diperoleh nilai eigen dari matriks tersebut.
Setelah diperoleh nilai eigen, didapat empat kasus sebagai berikut:
1 Jika nilai eigennya real dan berbeda tanda, maka titik tetap bersifat sadel.
2 Jika semua nilai eigennya real dan bertanda sama, maka titik tetapnya
merupakan simpul tidak sejati (nodes). Jika nilai eigen bertanda positif, maka
simpul tidak stabil. Jika nilai eigen bertanda negatif, maka simpul stabil.
3 Jika nilai eigennya merupakan complexconjugate dengan bagian realnya
positif, maka titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika bagian realnya negatif,
maka titik tetap bersifat spiral stabil.
4 Jika nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center
yang selalu stabil.
(Verhulst 1990)
Dalam permasalahan tertentu, tidak mudah menentukan kestabilan titik
kesetimbangan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik kesetimbangan lain yang dapat
menentukan tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah
satu metode yang dapat digunakan adalah metode kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu
suatu metode untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akarakar persamaan karakteristik secara langsung.
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan
bilanganjika
Semua nilai eigen dari persamaan
bilangan real dan
karakteristik
memiliki bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks
berukuran
4
A
.
adalah positif, dengan
Menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu
bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika,
disebutkan
(Fisher 1990)
(Bukti untuk kasus
pada Lampiran 1)
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan
terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu
yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih
rentan. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dari titik tetap tanpa penyakit.
Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan
Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu
1 Jika
maka penyakit akan menghilang.
maka penyakit akan menetap.
2 Jika
3 Jika
maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
(Gieseacke 1994)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Model
Dalam penulisan karya ilmiah ini, model yang akan dibahas adalah model
matematika kolera SIR (Susceptible – Infected – Recovered) dan konsentrasi
(hyperinfectious) dan
(less
bakteri yang terbagi menjadi dua, yaitu
infectious). Total populasi manusia
yang merupakan fungsi dari waktu t
dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: kelas individu terserang penyakit (susceptible)
, kelas individu yang terinfeksi (infected) yang
yang dinotasikan dengan
dinotasikan dengan
, dan kelas individu yang sembuh (recovered) yang
dinotasikan dengan
, atau dapat juga ditulis:
Ini
menjelaskan bahwa individu yang rentan, setelah terinfeksi akan menjadi sembuh
dan tidak rentan lagi.
Jumlah populasi S akan bertambah karena kelahiran alami sebesar . S akan
berkurang karena kematian dengan laju . Dalam karya ilmiah ini, laju kelahiran
alami sama dengan laju kematian, yaitu sebesar . Kontak langsung dengan
bakteri yang menginfeksi menyebabkan individu pada populasi S akan ikut
5
terinfeksi dan akan masuk menjadi populasi I sehingga mengakibatkan
berkurangnya populasi S. Laju bakteri yang menginfeksi sebesar
dan . Kelas
I menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan kolera kepada orang
lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian dengan laju . Individu
yang terinfeksi kolera dapat sembuh kembali dengan laju dan masuk dalam
populasi R sehingga menyebabkan berkurangnya populasi I. Individu dalam kelas
R diasumsikan tidak akan terinfeksi penyakit lagi. Berkurangnya populasi ini
disebabkan oleh kematian dengan laju .
akan bertambah karena
Bakteri hyperinfectious yang dinotasikan dengan
adanya kontribusi orang yang terinfeksi populasi Vibrio cholerae dalam perairan
dengan laju . Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh laju transisi bakteri
sebesar yang kemudian masuk dalam populasi bakteri less infectious yang
dinotasikan dengan . Bakteri dalam kelas
akan berkurang disebabkan oleh
kematian bakteri dengan laju sebesar .
Dari asumsi-asumsi tersebut dapat dibuat diagram model matematika
penyakit kolera seperti terlihat pada Gambar 1.
BH
b
H
KH
BH
S
b
b
I
R
BL
bN
L
KL
L
BL
BH
BL
Gambar 1 Diagram kompartemen model matematika penyakit kolera
Selanjutnya, berdasarkan diagram kompartemen model matematika penyakit
kolera dapat dibentuk sistem persamaan berikut.
BL
BH
dS
bN
bS ,
LS
HS
dt
K L BL
K H BH
dI
dt
dR
dt
dBH
dt
dBL
dt
L
S
BL
KL
BL
I bR,
I
BH
H
S
BH
KH
BH
(
b) I ,
(3)
BH ,
L
BL .
Penjelasan mengenai notasi-notasi dan satuan pada sistem persamaan (3) disajikan
dalam Tabel 1.
6
Tabel 1 Notasi pada sistem persamaan (3) beserta satuannya
Notasi
Keterangan
Satuan
Variabel
N
total populasi manusia
individu
S
banyaknya individu sehat namun rentan terhadap
individu
penyakit
I
banyaknya individu yang terinfeksi
individu
R
banyaknya individu yang sembuh
individu
konsentrasi bakteri hyperinfectious
sel⁄ml
konsentrasi bakteri less infectious
sel⁄ml
Parameter
b
laju kelahiran/kematian dalam populasi manusia
konsentrasi bakteri hyperinfectious dalam air yang
menyebabkan 50 % dari kemungkinan terkena kolera
konsentrasi bakteri less infectious dalam air yang
menyebabkan 50 % dari kemungkinan terkena kolera
laju bakteri hyperinfectious yang tercerna oleh
individu S
laju bakteri less infectiousyang tercerna oleh
individu S
laju kesembuhan
kontribusi setiap orang yang terinfeksi pada populasi (
V. cholerae dalam lingkungan perairan
)
laju transisi bakteri
laju kematian bakteri
Untuk sistem ini, semua parameter bernilai positif.
Selanjutnya, akan dicari titik tetap untuk sistem persamaan di atas dan
dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut.
Titik Tetap
Titik tetap dari SPD (3) di atas akan diperoleh dengan menetapkan
,
,
sebagai berikut:
, dan
bN
L
S
L
sehingga diperoleh persamaan-persamaan
S
BL
KL
BL
H
BL
BL
KL
,
H
S
S
BH
KH
BH
KH
BH
BH
(
bS
0,
(4)
b) I
0,
(5)
I bR 0,
I
BH 0,
BH
0.
L BL
Dengan menyelesaikan kelima persamaan di atas akan diperoleh dua
tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
(6)
(7)
(8)
titik
7
Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi ketika semua individu menjadi
sehat atau dapat dikatakan tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika
banyaknya individu yang terinfeksi sama dengan nol (
) yang didapat dari
persamaan (6) dan (7). Kemudian, substitusikan penyelesaian yang diambil dari
persamaan (6) dan (7) ke persamaan (4), (5), dan (8) sehingga diperoleh titik tetap
. Penurunan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan kondisi ketika penyakit terdapat di dalam
populasi manusia. Dari sistem persamaan (3) diperoleh titik tetap endemik
dengan
b) I *
(
*
S
N
,
b
*
*
S*
L I
H I
I*
,
b L KL
I*
KH
I*
I*
,
b
I*
R*
BH *
I*
BL*
,
.
L
Penurunan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 3.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan (3), maka akan
diperoleh matriks Jacobi berikut:
BL
K L BL
L
H
KH
BL
K L BL
L
J
H
KH
BH
BH
BH
BH
0
0
b)
(
0
0
b
0
0
0
0
0
H
(KH
H
(KH
SK H
BH ) 2
SK H
BH ) 2
0
SK L
( K L BL ) 2
L
SK L
( K L BL ) 2
L
.
0
0
L
Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Pelinearan pada titik tetap
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai
berikut:
8
b
J1
0
0
0
b)
(
0
b
0
0
H
N
L
KH
H
KL
N
L
0
N
KH
KL
0
0
0
0
N
.
0
0
L
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
dengan
.
Titik tetap dengan kondisi stabil akan diperoleh jika akar ciri bernilai negatif,
dan untuk menganalisis polinomial pangkat tiga, didefinisikan
yaitu
,
,
.
Berdasarkan kondisi Routh-Hurwitz, kondisi yang diperlukan agar
dan
. Jelas
memenuhi kriteria kestabilan adalah
bahwa
karena semua parameter bernilai positif. Untuk
akan
diperoleh jika dan hanya jika
(
b)
N
KH
H
N
KL
L
0,
L
dan menghasilkan
N
( b) K H K L L
.
( H KL L
L KH )
Selanjutnya,
untuk memperlihatkan
.
( b) K H K L L
memberikan sebuah ambang batas
( H KL L
L KH )
untuk total populasi (yang diasumsikan benar-benar rentan pada awalnya), yaitu
Kondisi N
Ketika
, titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil dan penyebaran penyakit
, titik tetap tanpa penyakit menjadi
tidak akan terjadi. Sebaliknya, jika
9
tidak stabil dan penyakit yang memasuki populasi akan bertahan serta
menyebabkan epidemik.
Selanjutnya, diperoleh bilangan reproduksi dasar
Kondisi
setara dengan
.
Kestabilan Titik Tetap Endemik
, titik tetap endemik positif dari persamaan
Ketika
adalah stabil asimtotik lokal. Sederhanakan bentuk pada titik keseimbangan
endemik menjadi
*
*
*
*
L BL
H BH
L S KL
H S KH
Q
,
P
T
,
( K L BL* )2
K L BL* K H BH *
( K H BH * )2
dengan P, Q, T semua bernilai positif. Dengan demikian, matriks Jacobi untuk
titik tetap endemik menjadi
P b
Q
T
0
0
P
J2
0
Q
T
0
b
0
0
0
0
(
b)
.
0
0
0
0
L
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
dengan
.
Jelas persamaan ini memiliki salah satu akar negatifnya yaitu
mengekspresikan
Selanjutnya,
ke dalam bentuk
dengan
,
,
,
,
.
Untuk memastikan bahwa semua akar persamaan tersebut memiliki bagian-bagian
real negatif, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz,
,
. (Pembuktian ini dapat dilihat pada Lampiran 4)
Selanjutnya, kondisi stabil pada titik tetap endemik terjadi ketika
dan
10
SIMULASI MODEL
Untuk mengamati pengaruh masuknya bakteri ke dalam populasi manusia,
diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi
terhadap waktu. Hal ini membutuhkan nilai tertentu untuk setiap parameter dan
nilai awal untuk setiap variabel dalam sistem persamaan (3). Dalam karya ilmiah
ini dianalisis dinamika populasi dengan mengubah-ubah nilai
,
dan .
Dengan demikian, akan didapatkan dua kondisi untuk menganalisis dinamika
populasi, yaitu
dan
.
adalah kondisi ketika penyakit akan
hilang dari populasi. Sebaliknya,
adalah kondisi ketika penyakit bertahan
dalam populasi dan menjadi wabah. Nilai untuk setiap parameter yang digunakan,
yaitu
,
,
,
,
, dan
. Nilai
awal untuk setiap variabel yang digunakan, yaitu
,
,
,
, dan
.
Tabel 2 Nilai parameter
Pertama
Kedua
Ketiga
0.005
0.01
0.03
0.1
0.5
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
,
dan
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.005
0.01
0.04
0.08
0.16
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
yang dalam simulasi
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.1
0.05
0.03
0.01
0.001
Dinamika populasi dengan mengubah laju bakteri hyper infectious ( )
Definisikan bahwa laju infeksi bakterihyper infectious ( ) adalah laju
bakteri hyper infectiousyang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit.
diubah-ubah sedangkan nilai dan nilai tetap, yaitu
Pada kondisi ini, nilai
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
menghasilkan
, sedangkan pada nilai
dan
. Ketika
, kurva akan stabil menuju titik tetap tanpa
menghasilkan
penyakit. Ketika
, kurva stabil menuju titik tetap endemik
Pada Gambar 2 dan Gambar 3 menunjukkan bahwa kurva S, I, R, , dan
menuju ke titik (10, 0, 0, 0, 0). Kurva I yang merupakan individu yang
terinfeksi, pada awalnya terdapat di dalam populasi, namun seiring berjalannya
waktu mengalami penurunan hingga menuju nol. Begitu pula dengan kurva
dan .
11
Gambar 2 Dinamika populasi pada saat
Gambar 3 Dinamika populasi pada saat
Kedua kurva ini pada awalnya sempat mengalami kenaikan, namun seiring
berjalannya waktu mengalami penurunan hingga menuju nol. Hal tersebut
menandakan bahwa penyakit mengalami penurunan atau kepunahan seiring
berjalannya waktu.
, diperoleh titik tetap endemik (6, 4, 1,
Pada Gambar 4 yaitu ketika
35, 35). Pada Gambar 4 dapat dilihat pada bahwa kurva S, I, R,
, dan
menuju ke titik tetap endemik, yaitu (6, 4, 1, 35, 35). Kurva S mengalami
penurunan sedangkan kurva I mengalami peningkatan. Kurva R mengalami
dan
terus
perubahan yang tidak terlalu signifikan. Selain itu, kurva
mengalami peningkatan. Hal ini menandakan bahwa penyakit menetap di dalam
populasi.
Pada Gambar 5 yaitu ketika
, diperoleh titik tetap (2, 7, 1, 67, 67).
Serupa dengan Gambar 4, kurva S, I, R,
, dan
stabil menuju titik tetap
yang mengalami peningkatan
endemik yaitu (2, 7, 1, 67, 67). Kurva I, , dan
menandakan bahwa penyakit menetap di dalam populasi.
12
Gambar 4 Dinamika populasi pada saat
Gambar 5 Dinamika populasi pada saat
Gambar 6 Perbandingan populasi I ketika
dan
13
Pada Gambar 6 dapat dilihat bahwa ketika nilai
ditingkatkan dari
menjadi
, populasi I semakin mengalami peningkatan. Ini
berarti bahwa individu yang terinfeksi akan semakin bertambah ketika nilai laju
bakteri hyper infectioussemakin ditingkatkan pula. Selain itu, dapat dilihat pula
pada Gambar 6 bahwa kurva dengan nilai
lebih cepat menuju kestabilan
lebih lambat menuju
di titik tetapnya, sedangkan kurva dengan nilai
kestabilannya. Ini berarti bahwa semakin besar laju bakteri hyper infectious, maka
semakin cepat penyakit menjadi wabah endemik.
Dinamika populasi dengan mengubah laju bakteri less infectious ( )
Definisikan bahwa laju bakteriless infectious ( ) adalah laju bakteri less
infectiousyang tercerna oleh individu yang rentan terhadap penyakit. Pada kondisi
diubah-ubah sedangkan nilai
dan nilai tetap, yaitu
ini, nilai
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
, sedangkan pada nilai
dan
menghasilkan
menghasilkan
. Ketika
, kurva akan stabil menuju titik tetap tanpa penyakit.
, kurva stabil menuju titik tetap endemik.
Ketika
Gambar 7 Dinamika populasi pada saat
Gambar 8 Dinamika populasi pada saat
Ketika nilai
diubah-ubah menjadi
dan
kurva S, I,
R, , dan
mengalami kestabilan di titik tetap tanpa penyakit (10, 0, 0, 0, 0).
pada Gambar 7 dan Gambar 8 yang
Ini terlihat pada kurva S, I, R, , dan
14
menuju titik tetap tanpa penyakit. Hal ini menandakan bahwa penyakit yang pada
awalnya terdapat dalam populasi, mengalami kepunahan seiring berjalannya
waktu.
Gambar 9 Dinamika populasi pada saat
Gambar 10 Dinamika populasi pada saat
yang digunakan yaitu
Pada Gambar 9 dan Gambar 10, nilai
dan
yang kemudian menghasilkan
. Kedua kondisi tersebut
stabil menuju titik tetap endemik. Dapat
mengakibatkan kurva S, I, R, , dan
pula dilihat kurva I serta kurva
dan
yang mengalami peningkatan dan stabil
pada titik tetap endemik. Ini berarti bahwa penyakit menetap di dalam populasi.
ditingkatkan. Ketika nilai ditingkatkan pula, akan
Sama halnya ketika nilai
menghasilkan kurva I yang yang semakin meningkat. Artinya, individu yang
terinfeksi akan semakin meningkat ketika nilai
dan
ditingkatkan.
Sedangkan pada kurva S, kurva S semakin mengalami penurunan ketika nilai
dan ditingkatkan.
Pada Gambar 11 dapat dilihat bahwa ketika nilai
ditingkatkan dari
menjadi
, populasi I semakin mengalami peningkatan. Ini
berarti bahwa individu yang terinfeksi akan semakin bertambah ketika nilai laju
bakteri less infectioussemakin ditingkatkan pula.
15
Gambar 11 Perbandingan populasi I ketika
dan
Selain itu, dapat dilihat pula bahwa kurva dengan nilai
lebih
. Ini berarti
cepat menuju kestabilan dibandingkan kurva dengan nilai
bahwa semakin besar laju bakteri less infectious, maka semakin cepat penyakit
menjadi wabah endemik.
Dinamika populasi dengan mengubah laju kelahiran/kematian manusia ( )
Pada kondisi ini, nilai diubah-ubah sedangkan nilai
dan nilai tetap,
dan
. Ketika dievaluasi pada nilai
dan
yaitu
menghasilkan
yang artinya bahwa kurva akan stabil menuju titik
tetap tanpa penyakit.
Pada Gambar 12 menunjukkan bahwa seluruh kurva menuju kestabilan di
titik tetap tanpa penyakit, yaitu titik tetap (10, 0, 0, 0, 0). Kurva I dan kurva R
semakin mengalami penurunan hingga menuju nol, sedangkan kurva S mengalami
dan
yang menunjukkan banyaknya populasi bakteri,
peningkatan. Kurva
mengalami penurunan yang cukup signifikan hingga menuju nol meskipun
sebelumnya sempat mengalami peningkatan dalam jangka waktu tertentu.
Gambar 12 Dinamika populasi pada saat
Gambar 13 juga serupa dengan Gambar 12, yaitu kurva S, I, R, , dan
stabil menuju titik tetap tanpa penyakit (10, 0, 0, 0, 0). Dari Gambar 12 dan
16
Gambar 13 menandakan bahwa penyakit yang sempat ada dalam populasi akan
mengalami kepunahan seiring berjalannya waktu.
Gambar 13 Dinamika populasi pada saat
Pada kondisi selanjutnya, nilai
dan
menghasilkan
yang artinya bahwa kurva akan stabil menuju titik tetap endemik.
Gambar 14 merupakan dinamika populasi ketika dievaluasi pada
.
.
Gambar 15 merupakan dinamika populasi ketika dievaluasi pada
Gambar 14 dan Gambar 15 menunjukkan bahwa masing-masing bidang solusi
menghasilkan kurva yang stabil menuju titik tetap endemik. Kurva S, I, R, , dan
pada Gambar 14 dan Gambar 15 tidak stabil menuju titik tetap tanpa penyakit
(10, 0, 0, 0, 0). Pada Gambar 14, kurva S, I, R, , dan
stabil menuju titik tetap
, dan
stabil
endemik (6, 2, 2, 20, 20). Pada Gambar 15, kurva S, I, R,
menuju titik tetap endemik (3, 1, 6, 20, 20). Pada Gambar 14 kurva S mengalami
penurunan, sedangkan kurva R mengalami peningkatan. Kurva I menunjukkan
perubahan yang tidak cukup signifikan, yaitu sempat mengalami peningkatan
kemudian stabil pada titik tetap endemik. Kurva
dan
terus mengalami
peningkatan kemudian mengalami sedikit penurunan hingga menuju titik tetap
endemik. Hal ini menandakan bahwa penyakit menetap dalam populasi. Pada
Gambar 15, kurva S mengalami penurunan yang cukup signifikan, sedangkan
kurva R mengalami peningkatan. Kurva I mengalami peningkatan hingga jangka
waktu tertentu kemudian mengalami penurunan. Ketiga kurva tersebut akhirnya
menuju titik tetap endemik meskipun sempat mengalami perubahan kurva yang
naik dan turun. Hal berarti bahwa penyakit menetap dalam populasi dan menjadi
wabah.
Gambar 16 menunjukkan bahwa ketika dievaluasi pada nilai
, kurva
sempat mengalami peningkatan kemudian turun hingga stabil menuju titik tetap
, kurva mengalami peningkatan
endemik. Ketika dievaluasi pada nilai
yang cukup tinggi kemudian mengalami penurunan drastis dan menuju titik tetap
endemik. Meskipun mengalami dinamika yang hampir sama, yaitu kurva sempat
mengalami peningkatan kemudian mengalami penurunan, namun pada nilai
, kurva lebih cepat mencapai kestabilan menuju titik tetap endemiknya
dibandingkan pada saat nilai
. Ini berarti bahwa ketika laju
17
kelahiran/kematian diperbesar, penyakit akan lebih cepat mewabah dan menetap
dalam populasi hingga jangka waktu tertentu.
Gambar 14 Dinamika populasi pada saat
Gambar 15 Dinamika populasi pada saat
Gambar 16 Perbandingan populasi I ketika
dan
18
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini telah dipelajari model matematika penyebaran
. Dari model tersebut dihasilkan dua titik tetap, yaitu
penyakit kolera, SIRtitik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Ketika dilakukan analisis bidang
solusi, dinamika populasi bergantung pada bilangan reproduksi dasar ( ). Titik
tetap tanpa penyakit berada dalam kestabilan ketika
dan titik tetap
endemik berada dalam kestabilan ketika
.
Melalui analisis , pada simulasi dinamika populasi dengan mengubah
nilai laju bakteri hyper infectious, disimpulkan bahwa semakin besar laju bakteri
hyper infectious, semakin cepat penyakit menjadi wabah endemik. Pada simulasi
dinamika populasi dengan mengubah nilai laju bakteri less infectious, disimpulkan
bahwa semakin besar laju bakteri less infectious, semakin cepat penyakit menjadi
wabah endemik. Walaupun begitu, untuk bakteri less infectious, penginfeksian
menjadi wabah endemik lebih rendah dibandingkan bakteri hyper infectious. Pada
simulasi dinamika populasi dengan mengubah nilai laju kelahiran/kematian
manusia, disimpulkan bahwa semakin besar laju kelahiran/kematian, penyakit
akan lebih cepat mewabah dan menetap dalam populasi hingga jangka waktu
tertentu karena kurva yang semakin cepat menuju kestabilannya di titik tetap
endemik.
DAFTAR PUSTAKA
Fisher SD. 1990. Complex Variables.
Ed. California (US): Wadsworth &
Brooks/Cole Books & Software.
Gieseacke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York (US):
Oxford University Pr.
Hetchcote HW. 2000. The mathematics of infectious diseases. SIAM Review.
42(4):599-653. DOI:10. 1137/S0036144500371907
Johnson L. 2004. Modeling Cholera. California (US): University of California
Santa Cruz Pr.
Ed. Alit Bondan, penerjemah.
Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya.
Jakarta (ID): Erlangga.
Liao S, Wang J. 2011. Stability analysis and application of a mathematical cholera
model. Mathematical Biosciences and Engineering. 8(3):733-752.
DOI:10.3934/mbe.2011.8.733.
TuPNV.1994. Dynamic System: An Introduction with Application in Economics
and Biology.Hiedelberg(DE):Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
19
menurut kondisi Routh-Hurwitz.
Lampiran 1 Bukti untuk kasus
Misalkan
dan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen
persamaan karakteristik
adalah negatif jika dan
bernilai positif dan
hanya jika
Bukti:
Dari persamaan
, maka
dan
jika selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka
bagian real dari setiap akar polinomial
adalah
positif dengan
negatif jika dan hanya jika
(9)
(10)
(11)
Dari (9) maka diperoleh
Dari (10) maka diperoleh
yang dapat diubah dalam bentuk
Dari (11) maka diperoleh
sehingga dari (10) diperoleh nilai
Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial
adalah negatif jika dan hanya jika
serta
Terbukti
Lampiran 2 Pencarian titik tetap tanpa penyakit
Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan
,
,
,
,
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
pada
.
Kemudian titik tetap tanpa penyakit diperoleh dengan membuat
persamaan (14) dan (15) sebagai berikut:
, sehingga didapatkan
,
, sehingga didapatkan
.
Selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (16) dan (13) sehingga didapatkan
Dari hasil-hasil yang telah diperoleh tersebut disubstitusikan kembali ke
Titik tetap tanpa penyakit yang
persamaan (12), sehingga didapatkan
didapatkan yaitu (
).
Lampiran 3 Pencarian titik tetap endemik
Titik tetap endemik dicari terlebih dahulu dengan memroses persamaan (15)
20
.
, sehingga didapatkan
.
Dari persamaan (16) dan dengan mensubstitusikan
diperoleh
.
, sehingga didapatkan
.
ke persamaan (16)
sebagai berikut
Dari persamaan (14) diperoleh
.
, sehingga didapatkan
.
Selanjutnya mensubstitusikan hasil-hasil yang didapatkan ke persamaan (12) dan
(13) sehingga didapatkan
dan
.
Titik tetap tanpa penyakit yang diperoleh yaitu
,
(17)
,
(18)
,
(19)
, dan
(20)
.
(21)
Lampiran 4 Bukti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik dengan
kriteria Routh- Hurwitz.
Didefinisikan
,
,
,
,
.
Diperoleh,
,
,
,
,
.
Sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
21
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Didefinisikan terlebih dahulu
(22)
Pelinearan pada titik tetap endemik
diperoleh matriks
0
0
0
0
0
0
0
0
.
0
0
0
0
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
.
Dengan
,
jelas persamaan ini memiliki salah satu akar negatif
ekspresi
berbentuk
Selain itu,
,
dengan
,
,
,
,
.
Untuk memastikan bahwa semua akar persamaan tersebut memiliki bagian-bagian
real negatif, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz,
,
.
Bukti:
. Jelas bahwa
karena semua parameter
bernilai positif.
.
).
Substitusikan persamaan (20) dan (21) ke (17) dan (18) sehingga didapatkan
22
.
(23)
Dengan menggunakan persamaan (22) dan (23), diperoleh
.
.
.
Bagian
Setelah mensubstitusikan (22) dan (23),
(24)
bernilai positif.
=
=
.
dan
.
terpenuhi.
Sehingga
Untuk membuktikan
,
.
dibuat menjadi dua pertaksamaan
(25)
(26)
Untuk menunjukkan (25) ditulis
menjadi penjumlahan empat bagian:
+(3P
.
Pada bagian pertama,
23
.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan
, sehingga pertaksamaan (25) terpenuhi.
Terakhir, untuk menunjukkan pertaksamaan (26), ditulis
penjumlahan beberapa bagian sebagai berikut:
dan
menjadi
)+(
sehingga
terpenuhi.
Lampiran 5 Contoh simulasi bidang solusi dinamika populasi pada Gambar
2 (dengan menggunakan software Maple)
>
>
24
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Maret 1992, anak ketiga dari
lima bersaudara, anak dari Bapak Darwin dan Ibu Nonon Mulyanah.
Tahun 2010 Penulis lulus dari SMAN 1 Sukaresmi Kabupaten Cianjur dan
melanjutkan pendidikan di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI).
Tahun 2010-2011 penulis menjadi Ketua PSDM Dewan Mushola Asrama
Putri TPB IPB, mengikuti pendidikan kepemimpinan dan kewirausahaan LES IPB
(Leadership and Entrepreneurship School IPB) dan SWEET IPB (School with
Education and Entrepreneurship of TPB IPB), tahun 2011-2012 mengikuti
organisasi GUMATIKA IPB, 2011-2013 bergabung di komunitas seni
GUMAKUSI IPB, dan 2012-2014 mengikuti organisasi kewirausahaan kampus
IPBEC (IPB Entrepreneur Community). Beasiswa yang pernah didapatkan di IPB
adalah beasiswa ASTAGA IPB (beasiswa dari angkatan ke-13 IPB) pada tahun
2010 dan beasiswa PPA/BBM IPB pada tahun 2011-2014. Selain itu, penulis juga
aktif kepanitiaan dalam kegiatan-kegiatan di IPB serta menjadi tutor di Gemilang
Excellent IPB.