Analisis model mangsa-pemangsa holling-tanner tipe II dengan mangsa yang terlindung dan adanya pemanenan populasi
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER
TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN
ADANYA PEMANENAN POPULASI
EKA PUJIYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model
Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II dengan Mangsa yang Terlindung dan
Adanya Pemanenan Populasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Eka Pujiyanti
NIM G54100039
ABSTRAK
EKA PUJIYANTI. Analisis Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II
dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya Pemanenan Populasi. Dibimbing
oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI.
Dalam tulisan ini dipelajari model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II
dengan menambahkan spesies mangsa yang terlindung dan pemanenan spesies
mangsa dan pemangsa yang dikembangkan oleh Das et al. (2013). Dari model ini,
diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap pertama dapat bersifat sadel atau
simpul takstabil, sedangkan titik tetap kedua bersifat sadel. Titik tetap ketiga dapat
bersifat spiral takstabil, spiral stabil, atau simpul stabil bergantung nilai parameter
mangsa yang terlindung dan pemanenan populasi. Bifurkasi Hopf terjadi pada titik
tetap ketiga. Semakin kecil mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi
pemangsa meningkat tidak stabil dengan solusinya limit cycle. Sebaliknya,
semakin tinggi mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi mangsa dan
pemangsa menuju stabil dengan pemangsa cukup kecil. Hal ini terjadi pula pada
dinamika populasi akibat usaha pemanenan mangsa. Sedangkan pada usaha
pemanenan pemangsa, semakin kecil pemanenan pemangsa mengakibatkan
populasi pemangsa meningkat tidak stabil dengan solusinya limit cycle. Semakin
tinggi pemanenan pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa menuju
kepunahan dan populasi mangsa meningkat stabil.
Kata Kunci: bifurkasi Hopf, Holling-Tanner tipe II, mangsa yang terlindung,
pemanenan populasi, mangsa-pemangsa.
ABSTRACT
EKA PUJIYANTI. Analysis of Predator-Prey Model of Holling-Tanner Type II
with Prey Refuge and the Harvesting Population. Supervised by ALI
KUSNANTO and PAIAN SIANTURI.
This paper studied a mathematical predator-prey model of Holling-Tanner
type II incorporating prey refuge and harvesting to both prey and predator species
that was previously investigated by Das et al. (2013). This model provides three
fixed points, where depending on the parameters values, stability of the first fixed
point can be a saddle or unstable node, that of the second always be a saddle, and
the third fixed point could be an unstable spiral, stable spiral or node depending
on two parameters of protected prey and harvesting populations. Hopf bifurcation
occurs on the third fixed point, where a decrease on the size of protected prey can
affect the predator populations to be unstable and its solution approaching a limit
cycle. Otherwise, an increase on the size of protected prey can affect the prey and
predator populations to be stable with a fairly small predators. The same situation
occurs also in the population dynamics when a harvesting effort is incurred on
prey population. Whereas a decrease on the harvested predator population can
result to an unstable growth of predator population with the existence of a limit
cycle. In the opposite direction, the predator will be extinct and the prey grows
steadily.
Keywords: Hopf bifurcation, Holling-Tanner type II, prey refuge, harvesting
populations, predator-prey.
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER
TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN
ADANYA PEMANENAN POPULASI
EKA PUJIYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Analisis Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II
dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya Pemanenan
Populasi
: Eka Pujiyanti
: G54100039
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Paian Sianturi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Model MangsaPemangsa Holling-Tanner Tipe II dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya
Pemanenan Populasi berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Dr Paian Sianturi selaku pembimbing yang telah memberikan pengarahan,
bimbingan, dan motivasi dalam penelitian dan penulisan karya ilmiah ini, kepada
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran
dan perbaikan, serta kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB
atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama perkuliahan. Tak lupa
juga ucapan terima kasih yang mendalam kepada Ibu dan Ayah tercinta (Ibu
Lasmi dan Bapak Suradi), mas Warno, adik Eko, Johan Iskandar, sahabat
Matematika 45, 46, 47, dan 48, teman seperjuangan di Wisma Pelangi, serta
semua sahabat atas doa, saran, motivasi yang telah banyak membantu dalam
proses penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Eka Pujiyanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
PEMODELAN
5
PEMBAHASAN
7
Penentuan Titik Tetap Model
7
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
8
Bifurkasi Hopf
9
Simulasi Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa
12
SIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
24
LAMPIRAN
25
RIWAYAT HIDUP
38
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kestabilan titik tetap dan
Nilai parameter
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 0.7
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 1.6
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh m
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 38.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 0.0005
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 1.5
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 10.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 0.1
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
=3
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 12.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 0.0005
Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi
11
12
13
13
13
15
16
17
17
18
19
20
20
21
22
23
DAFTAR GAMBAR
1 Pengaruh
terhadap x dan y (a), pengaruh
terhadap x dan y (b),
pengaruh
terhadap x dan y (c)
2 Bidang fase saat m = 0.7 (a) dan bidang fase saat m = 1.6 (b)
3 Bidang solusi saat m = 0.7 (a) dan bidang solusi saat m = 1.6 (b)
4 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat m = 38.5
5 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat m = 0.0005
6 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 1.5
7 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 10.5
8 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 0.1
9 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
=3
10 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 12.5
11 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 0.0005
12
14
14
15
16
17
18
19
20
21
22
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Penentuan titik tetap model
Penentuan nilai eigen model
Kode program Gambar 1
Kode program Gambar 2
Kode program Gambar 3
Kode program Gambar 4
Kode program Gambar 5
Kode program Gambar 6
Kode program Gambar 7
25
28
29
30
31
32
33
33
34
10
11
12
13
Kode program Gambar 8
Kode program Gambar 9
Kode program Gambar 10
Kode program Gambar 11
34
35
36
36
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bumi merupakan satu sistem tata surya yang kompleks. Karena segala
sesuatu yang ada di dalamnya saling bergantung satu sama lain. Ketergantungan
yang dimaksud berupa interaksi antara makhluk hidup dengan lingkungan di
sekitarnya dan makhluk hidup dengan makhluk hidup lainnya. Makhluk hidup itu
sendiri terdiri atas bermacam-macam spesies yang membentuk suatu populasi.
Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antarspesies. Salah satu
interaksinya adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa dan pemangsa yang
erat kaitannya satu sama lain. Jika di bumi ini tidak terdapat mangsa maka
pemangsa tidak mampu bertahan hidup dan berkembangbiak karena tidak ada
sumber makanan sehingga menyebabkan terjadinya kepunahan. Untuk
mengontrol tingkat predasi agar tidak menyebabkan terjadinya kepunahan pada
kedua spesies, maka diberikan perlakuan terhadap kedua populasi, yaitu dengan
melindungi mangsa dan memanen populasi mangsa pemangsa secara teratur.
Jumlah mangsa yang dikonsumsi oleh setiap pemangsa digambarkan dengan
respons fungsional. Kehadiran pemangsa merupakan salah satu faktor yang secara
langsung memengaruhi populasi mangsa. Di dalam hubungan tersebut pemangsa
juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa.
Saat ini interaksi antar makhluk hidup merupakan suatu topik penting untuk
diteliti. Para peneliti di bidang fisika menyatakan suatu model generik dapat
dibangun guna menjelaskan fenomena yang terjadi di alam. Tidak hanya itu, para
peneliti di bidang ilmu pengetahuan lain juga menyatakan bahwa model generik
dibangun guna menjelaskan situasi tertentu. Jadi dalam hal ini, model diperlukan
karena kompleksitas ekosistem. Salah satu penelitian yang telah dilakukan yaitu
membuat pemodelan matematika yang dapat mensimulasikan hubungan antar
makhluk hidup.
Alfred Lotka dan Vito Volterra dalam Gasull et al. (1997) mengembangkan
sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa
pemangsa yang dikenal dengan model Lotka-Volterra. Salah satu kekurangan dari
model Lotka-Volterra yaitu ketergantungan pada asumsi yang tidak realistis
karena populasi mangsa dapat tumbuh tanpa batas banyaknya saat ketidakhadiran
pemangsa. Tak lama, berkembang suatu model modifikasi Lotka-Volterra yaitu
model Holling-Tanner yang menggambarkan adanya kompetisi yang terjadi di
antara para mangsa saat kepadatan yang tinggi untuk mendapatkan sumber daya
mereka.
Dalam karya ilmiah ini, penulis mempelajari dinamika solusi model
mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang dijelaskan oleh Das et al. (2013).
Respons fungsional model Holling-Tanner ini diberikan perlakuan mangsa yang
terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi guna mencegah terjadinya
kepunahan kedua spesies. Dalam tulisan ini juga akan diperiksa bifurkasi Hopf
yang terjadi pada dinamika populasi sistem.
2
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:
1 Mempelajari dinamika solusi model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II
dengan mangsa yang terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi oleh Das
et al. (2013),
2 Menganalisis kestabilan titik tetap populasi dari model mangsa-pemangsa dengan
Holling-Tanner tipe II di atas,
3 Menganalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada sistem dinamik mangsa-pemangsa
Holling-Tanner tipe II akibat perubahan tingkat mangsa yang terlindung dan
akibat perubahan usaha pemanenan pada kedua populasi tersebut.
LANDASAN TEORI
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang
melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang terhadap peubah
(Farlow 1994). Misalkan diberi sistem persamaan diferensial taklinear sebagai
berikut:
̇
(1)
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan
adalah nilai real fungsi dari waktu dan
adalah nilai real fungsi dari .
Persamaan (1) mempunyai titik tetap
jika memenuhi
. Titik
tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan (Tu 1994).
Verhulst (1990) menyatakan bahwa misalkan titik yaitu titik tetap sistem
persamaan diferensial dan
yaitu solusi sistem persamaan diferensial yang
diberikan suatu nilai awal
dengan
. Titik disebut titik tetap
stabil jika untuk sembarang
terdapat
sedemikian sehingga jika posisi
|
|
awal
memenuhi |
maka solusi
memenuhi |
,
untuk setiap
dan jika titik
disebut titik tetap takstabil jika untuk
sembarang terdapat
dengan ciri sebagai berikut: untuk sembarang
|
terdapat nilai awal
memenuhi |
, sehingga solusi
memenuhi
|
|
, untuk paling sedikit satu
Persamaan (1) dengan menggunakan perluasan Taylor pada titik tetap
dilakukan penyederhanaan titik tetap
didefinisikan pada titik asal, maka
diperoleh:
̇
|
sehingga
[
]
3
Matriks A disebut matriks Jacobi pada titik tetap dan fungsi
memenuhi
sehingga menyebabkan sistem persamaan diferensial (1) dapat
didekati oleh:
̇
(2)
Sistem (2) disebut sebagai pelinearan dari sistem persamaan diferensial (1) (Tu
1994).
Anton & Rorres (2004) menyatakan jika A adalah sebuah matriks berukuran
n × n, maka sebuah vektor tak nol di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika
adalah kelipatan skalar dari yaitu:
(3)
Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan x dinamakan vektor eigen
yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang
berukuran n × n, maka:
atau
(4)
Persamaan (4) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
(5)
Persamaan (5) adalah sebuah persamaan polinomial dalam yang dinamakan
polinomial karakteristik dari A.
Menurut Tu (1994) analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks
Jacobi, yaitu matriks A. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dari nilai-nilai
eigen, yaitu yang diperoleh dari det
Pada umumnya, kestabilan titik tetap memiliki tiga sifat yaitu:
a. Dikatakan titik tetap stabil, jika:
setiap nilai eigen real negatif
,
setiap nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama
dengan nol (Re( )
.
b. Dikatakan titik tetap takstabil, jika:
setiap nilai eigen real positif (
),
setiap nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau sama
dengan nol (Re( )
c. Dikatakan titik sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real
sembarang negatif (
untuk dan sembarang). Titik sadel ini
bersifat takstabil.
Struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat mengalami perubahan
karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut (Strogatz 1994).
Bifurkasi adalah perubahan jumlah titik tetap dalam suatu sistem dinamik. Dalam
hal ini ada yang disebut dengan titik bifurkasi yaitu nilai parameter ketika terjadi
4
bifurkasi. Umumnya bifurkasi yang dibahas yaitu bifurkasi Hopf. Pada bifurkasi
Hopf terdapat kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan sistem
dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa, ketika kesetimbangan
mengalami perubahan stabilitas melalui sepasang nilai eigen murni imajiner.
Limit cycle merupakan suatu orbit tertutup yang terisolasi. Disebut orbit terisolasi
karena orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit (Strogatz 1994).
Bifurkasi ada yang bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit
cycle menjadi stabil atau tidak stabil.
Menurut Edelstein-Keshet (1988) untuk menentukan bifurkasi Hopf dapat
menggunakan suatu teorema, yang sering dikenal teorema bifurkasi Hopf.
Teorema ini terdiri dari kasus
dan saat kasus
.
Teorema bifurkasi Hopf untuk kasus
: misalkan sebuah sistem dari
dua persamaan sama-sama memiliki parameter sebagai berikut:
̇
̇
Dengan persamaan diferensial biasa dan asumsikan dan adalah fungsi dari
dan . Anggap setiap nilai pada kedua persamaan diatas adalah tetap dan
parameter dan dipengaruhi oleh ( ̅
̅ ). Asumsikan matriks Jacobi
dengan parameter yang tetap adalah sebagai berikut:
[
]
̅ ̅
Andaikan nilai eigen dari matriks tersebut adalah
. Dan
nilainya adalah , disebut dengan nilai bifurkasi, dimana
,
dan juga ketika nilai divariasikan sampai nilainya sama dengan
maka
⁄
perubahan nilai eigennya adalah
pada
Dengan adanya hipotesis di atas maka muncul kemungkinan-kemungkinan
berikut:
1. Saat nilai
maka pusatnya titik tetap (steady state), dan lingkaranlingkaran tertutup yang tak terhingga mengorbit mengelilingi titik ̅ ̅
2. Untuk orbit lingkaran terbatas memiliki rentang nilai adalah
.
Dan saat nilai divariasikan maka diameter lingkarannya akan berubah
|
sebesar |
. Sehingga tidak ada lingkaran tertutup yang
mengelilingi titik ̅ ̅ Ketika terbentuk lingkaran berhingga dengan
nilai lebih besar dari maka akan terjadi supercritical bifurcation.
3. Rentang
digunakan untuk kasus 2 penahan (hold/pengendali).
Lingkaran berhingga yang terjadi saat nilai lebih kecil dari
disebut
dengan subcritical bifurcation.
Menurut Edelstein-Keshet (1988) untuk menentukan suatu kestabilan titik
tetap, berdasarkan persamaan karakteristik dapat menggunakan teorema RouthHurwitz Criteria.
5
Teorema Routh-Hurwitz Criteria: misalkan diberikan persamaan polinomial
karakteristik sebagai berikut:
(6)
Didefinisikan k matriks yaitu sebagai berikut:
]
[
]
[
]
[
]
[
di mana syarat setiap unsur
0
untuk
untuk
untuk
pada matriks
adalah:
,
,
atau
Titik tetap ̅ stabil jika dan hanya jika det
kriteria Routh-Hurwitz untuk
dan 4 yaitu:
,
,
,
,
,
.
, untuk setiap
.
PEMODELAN
Gonzalez-Olivares dan Ramos-Jiliberto (2003) mempelajari model mangsa
pemangsa dengan jumlah mangsa konstan menggunakan perlindungan, sebagai
berikut:
dengan
, di mana
dan menunjukkan populasi mangsa
dan pemangsa, dan , mewakili laju pertumbuhan intrinsik dan daya dukung
lingkungan mangsa. Konstanta
mewakili jumlah mangsa yang mencari
perlindungan dari predasi. Parameter
adalah laju kematian pemangsa dan
parameter adalah faktor konversi. Ji dan Wu (2010) mengembangkan model
6
mangsa pemangsa dengan perlindungan mangsa konstan dan laju pemanenan
mangsa konstan
sebagai berikut,
dan mempelajari ketidakstabilan dan kestabilan global titik tetap dan keunikan
limit cycle serta menunjukkan pengaruh perlindugan mangsa konstan dan laju
pemanenan mangsa konstan.
Termotivasi oleh paper Gonzalez-Olivares dan Ramos-Jiliberto (2003),
dimodelkan sistem mangsa-pemangsa sebagai berikut:
(7)
di mana
dan
menunjukkan usaha pemanenan untuk mangsa dan
pemangsa,
dan
, mewakili hasil tangkapan dari populasi mangsa dan
pemangsa, di mana dan , mewakili koefisien catchability (ketertangkapan)
populasi mangsa dan pemangsa.
Untuk menyederhanakan persamaan (7) Das et al. (2013) memisalkan
, maka persamaan (7) berubah menjadi model matematika dalam
bentuk sistem persamaan sebagai berikut (ditandai dengan
):
(
di mana
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
)
(8)
dan
dengan:
banyaknya populasi mangsa,
banyaknya populasi pemangsa,
laju pertumbuhan intrinsik mangsa,
usaha pemanenan mangsa,
usaha pemanenan pemangsa,
koefisien yang menunjukkan penurunan laju pertumbuhan mangsa
karena kehadiran satu individu pemangsa,
koefisien yang menunjukkan peningkatan laju pertumbuhan pemangsa
karena kehadiran satu individu mangsa,
laju kematian pemangsa,
daya dukung lingkungan,
banyaknya mangsa yang terlindung dari pemangsaan,
7
: koefisien catchability populasi mangsa,
: koefisien catchability populasi pemangsa,
: tingkat kejenuhan mangsa.
Respons fungsional pada model (8) di atas dinyatakan dengan
yang menggambarkan laju pemangsaan atau ketersediaan makanan
bagi pemangsa. Laju pertumbuhan populasi mangsa dipengaruhi oleh laju
pertumbuhan intrinsik mangsa
dan banyaknya mangsa yang terlindung
kemudian akan berkurang karena laju pertumbuhan pemangsa y serta adanya
, di mana tumbuh secara logistik.
usaha dalam pemanenan mangsa
Laju pertumbuhan populasi pemangsa dipengaruhi oleh kemampuan
maksimum pemangsa dalam mencari mangsa
dan tingkat kejenuhan mangsa
dikurangi laju kematian pemangsa
serta adanya usaha pemanenan
.
pemangsa
PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap persamaan (8) didapatkan dari
diperoleh persamaan (8) menjadi:
(
dan
sehingga
)
(9)
(10)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (9) dan (10), diperoleh 3 titik
dengan:
tetap, yaitu
(
)
(Bukti penentuan titik tetap model dapat dilihat pada Lampiran 1)
8
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (8), diperoleh matriks Jacobi
persamaan (11) sebagai berikut:
.
Nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks Jacobi persamaan (11) menunjukkan
kestabilan titik tetap dengan mengevaluasi titik tetap tersebut. Selanjutnya,
kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap
disubsitusikan pada matriks Jacobi persamaan (11),
maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
[
]
maka |
Untuk memperoleh nilai eigen dari
|
, yaitu:
,
didapat nilai eigen sebagai berikut:
Karena diasumsikan parameter positif, titik tetap
merupakan titik sadel
jika
dan
. Jika
dan
titik tetap
merupakan
titik sadel.
(Bukti pelinearan di titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 2)
Titik tetap
disubsitusikan pada matriks Jacobi persamaan (11),
maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
dengan
(
)
(
(
)
)
9
Untuk memperoleh nilai eigen dari
maka |
,
|
, yaitu:
didapat nilai eigen sebagai berikut:
Karena diasumsikan parameter positif, titik tetap
merupakan titik stabil
jika
dan
. Jika
dan
maka titik tetap
merupakan titik sadel.
(Bukti pelinearan di titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 2)
ditentukan oleh persamaan karakteristik
Kestabilan titik tetap
sebagai berikut:
dengan
(
)
Menurut kriteria teorema Routh-Hurwitz Criteria titik tetap
memenuhi kondisi:
dan
akan stabil jika
sehingga kondisi yang harus dipenuhi adalah:
dan
(Bukti pelinearan di titik tetap
dapat dilihat pada Lampiran 2)
Bifurkasi Hopf
Dalam sistem dinamik taklinear akan dijumpai transisi dari keadaan stabil
ke suatu keadaan tidak stabil ataupun keadaan sebaliknya. Kondisi seperti ini
disebut dengan bifurkasi. Misalkan sistem persamaan diferensial
̇
dan ̇
dengan parameter . Diasumsikan system
dan
persamaan diferensial tersebut mempunyai titik setimbang
adalah nilai parameter yang menyebabkan terjadinya bifurkasi. Bifurkasi Hopf
10
terjadi jika titik setimbang
mempunyai sepasang nilai eigen kompleks yaitu
dan
dengan
dan
. Namun, menurut Strogatz (1994) bifurkasi Hopf terjadi ketika
kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dan terjadinya kemunculan limit
cycle. Perubahan stabilitas yang dimaksud adalah ketika titik tetap yang semula
memiliki kestabilan spiral stabil menjadi spiral tidak stabil atau sebaliknya.
Menurut Wang et al. (2011) sekarang persamaan (8) diubah dalam bentuk:
(12)
di mana
Pada bagian ini Das et al. (2013) menguji saat terjadi bifurkasi Hopf. Matriks
Jacobi dari persamaan (12) adalah:
[
di mana
]
Kestabilan titik tetap dari matriks Jacobi
persamaan karakteristik sebagai berikut:
di mana
̅
dan
dan
dan
dan
√
√
dan
tersebut, ditentukan oleh
11
Nilai ̅ yang berasal dari
memenuhi persamaan:
seperti
̅,
, yang mana
dan
juga
̅
.
Pada persamaan (12) mengalami bifurkasi Hopf ketika
̅
̅
seperti halnya
̅
.
̅ jika:
|
̅
Nilai parameter menyatakan tingkat mangsa yang terlindung, misalkan
adalah tingkat mangsa yang terlindung pada saat terjadi bifurkasi Hopf.
Kondisi yang menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
dan
di mana
sehingga
|
Nilai parameter
menyatakan tingkat pemanenan mangsa, misalkan
adalah tingkat pemanenan mangsa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Kondisi yang
menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
di mana
dan
sehingga
|
Nilai parameter
menyatakan tingkat pemanenan pemangsa, misalkan
adalah tingkat pemanenan pemangsa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Kondisi
yang menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
dan
sehingga
di mana
|
Jenis kestabilan titik tetap dari hasil pencarian titik tetap dengan beberapa
kondisi yang berbeda:
No.
Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap dan
Kondisi
Kondisi
1
Sadel
Sadel
2
Sadel
Sadel
3
Sadel
Sadel
4
Sadel
Simpul
stabil
12
Simulasi Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa
Simulasi model mangsa pemangsa perlu dilakukan untuk melihat secara
ringkas dinamika perubahan jumlah populasi mangsa pemangsa dalam kurun
waktu tertentu, sebagaimana yang ditunjukkan oleh kurva bidang solusi.
Pada bagian simulasi ini, akan dilakukan uji coba beberapa kondisi yang
mempengaruhi kestabilan model mangsa pemangsa yaitu dengan mengubah nilai
parameter-parameter. Hal ini dilakukan unuk menggambarkan beberapa kasus jika
terjadi pada kondisi yang terdapat pada Tabel 2 berikut ini:
Tabel 2 Nilai parameter
Simulasi
dengan parameter lain bernilai tetap dalam setiap simulasi yaitu:
dan
Pengaruh
dan
terhadap dan dapat dilihat pada gambar berikut
ini:
(a)
Gambar 1 Pengaruh
(b)
(c)
terhadap dan (a), pengaruh
terhadap
dan pengaruh
terhadap dan (c)
dan
(b)
Pada Gambar 1 (a) saat nilai parameter lain tetap dan hanya nilai yang
berubah, maka nilai yang berubah adalah
Pada Gambar 1 (b), perubahan nilai
menyebabkan perubahan populasi pemangsa pada titik tetap . Pada Gambar
1 (c) saat nilai parameter lain tetap dan hanya nilai
yang berubah, maka nilai
yang berubah adalah dan , artinya jumlah kedua populasi berubah pada titik
tetap .
13
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Mangsa yang Terlindung (
Pengaruh peningkatan mangsa yang terlindung akan diberikan pada simulasi
dengan nilai
sedangkan pada simulasi dengan nilai
disertai
dengan parameter
dan
untuk melihat perubahan yang terjadi
terhadap kestabilan populasi mangsa. Titik tetap yang diperoleh saat
dan
dapat dilihat pada Tabel 3 berikut ini:
Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Sedangkan titik tetap yang diperoleh saat
4 berikut ini:
Spiral takstabil
dapat dilihat pada Tabel
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika
naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada
titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini
menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh
Tabel 5 berikut ini:
Tabel 5 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
14
Berdasarkan nilai pada Tabel 5 dapat kita lihat bahwa
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase pada Tabel 3 dan Tabel 4.
(a)
Gambar 2 Bidang fase saat
(b)
(a) dan bidang fase saat
(b)
Gambar 2 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral di sekitar titik
yang bersifat takstabil sedangkan Gambar 2 (b) menunjukkan kurva bergerak
secara spiral menuju titik . Limit cycle yang muncul karena adanya bifurkasi
Hopf yang terjadi dalam kondisi ini. Kestabilan dinamika populasi mangsapemangsa dalam bidang solusi dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
Gambar 3 Bidang solusi saat
(b)
(a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 3 (a) menunjukkan saat jumlah mangsa yang terlindung meningkat
terjadi ketidakstabilan untuk kedua jenis populasi. Menggunakan nilai awal
dan
untuk Gambar 3 (b) kestabilan populasi mangsa
pemangsa terjadi pada titik
.
Saat tingkat mangsa yang terlindung ditingkatkan lebih tinggi menjadi
,
maka pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada
simulasi . Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 6 berikut ini:
15
Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Simpul takstabil
Sadel
Simpul stabil
Pada kondisi ini titik tetap yang bersifat stabil yaitu titik tetap
. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(b)
(a)
Gambar 4 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 4 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil . Gambar 4 (b)
kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan nilai awal
dan
yang terjadi pada titik
.
Tingkat mangsa yang terlindung sangat besar mengakibatkan populasi mangsa
tetap (tidak mengalami perubahan) tetapi populasi pemangsa menuju kepunahan
saat spesies pemangsa kehilangan makanannya.
Sebaliknya, saat mangsa yang terlindung lebih kecil menjadi
, maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi .
Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 7 berikut ini:
16
Tabel 7 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika mangsa yang
terlindung menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa.
Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi saat tingkat mangsa yang terlindung
dapat dilihat pada gambar di
bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 5 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 5 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar
yang
bersifat takstabil sehingga terjadi ketidakstabilan untuk kedua populasi. Kurva
warna hijau pada Gambar 5 (b) menunjukkan peningkatan pada populasi
pemangsa yang terjadi karena spesies pemangsa masih mempunyai cukup
makanan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Usaha Pemanenan terhadap
Mangsa (
Bifurkasi Hopf juga terjadi karena pemanenan pemangsa pada suatu nilai
Pada simulasi , saat
diketahui bahwa titik tetap bersifat spiral
takstabil. Berikut ini adalah tabel 8 titik tetap simulasi dengan nilai
.
17
Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh Tabel 9 berikut
ini:
Tabel 9 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Berdasarkan nilai pada Tabel 9 dapat kita lihat bahwa ( )
( )
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase dan bidang solusi pada Tabel 8.
(b)
(a)
Gambar 6 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 6 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik
yang bersifat stabil. Menggunakan nilai awal
dan
untuk
Gambar 6 (b) kestabilan populasi mangsa pemangsa terjadi pada titik
18
ditingkatkan menjadi
,
Saat tingkat upaya pemanenan mangsa
maka pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan dalam
simulasi . Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 10 berikut ini:
Tabel 10 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Titik tetap yng bersifat stabil pada kondisi ini adalah titik tetap
, namun di titik tetap juga tidak mengalami perubahan (tetap). Dinamika
populasi mangsa pemangsa saat
dapat dilihat pada bidang fase dan
bidang solusi di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 7 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 7 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil yaitu titik tetap .
Gambar 7 (b) kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan
nilai awal
dan
terjadi pada titik
.
yang lebih besar mengakibatkan
Tingkat upaya pemanenan mangsa
menurunkan populasi pemangsa bahkan kepunahan yang terjadi saat spesies
pemangsa kehilangan makanannya.
Sebaliknya, saat pemanenan mangsa diperkecil menjadi
, maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa-pemangsa diberikan pada simulasi
. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 11 berikut ini:
19
Tabel 11 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika pemanenan
mangsa menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa. Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang solusi saat
tingkat pemanenan mangsa
dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 8 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 8 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar
yang
bersifat takstabil sehingga terjadi ketidakstabilan untuk kedua populasi. Kurva
warna hijau pada Gambar 8 (b) menunjukkan populasi pemangsa meningkat yang
terjadi karena spesies pemangsa masih mempunyai cukup makanan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Usaha Pemanenan terhadap
Pemangsa (
Bifurkasi Hopf juga terjadi karena pemanenan pemangsa pada suatu nilai
Pada simulasi , saat
diketahui bahwa titik tetap bersifat spiral
takstabil. Berikut ini adalah tabel 12 titik tetap simulasi dengan nilai
.
20
Tabel 12 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh Tabel 13 berikut
ini:
Tabel 13 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Berdasarkan nilai pada Tabel 13 dapat kita lihat bahwa (
)
(
)
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase dan bidang solusi pada Tabel 12.
(a)
(b)
Gambar 9 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 9 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral di menuju titik
yang bersifat stabil. Menggunakan nilai awal
dan
untuk
21
Gambar 9 (b) kestabilan populasi mangsa pemangsa terjadi pada titik
Saat pemanenan pemangsa ditingkatkan menjadi
maka pengaruhnya
pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi . Titik tetap
dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 14 berikut ini:
Tabel 14 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Titik tetap bersifat stabil pada kondisi ini adalah titik tetap , Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang solusi dapat
dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 10 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 10 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil . Gambar 10 (b)
kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan nilai awal
dan
yang terjadi pada titik
.
Tingkat pemanenan pemangsa lebih besar membuat populasi pemangsa menurun
menuju kepunahan sedangkan populasi mangsa meningkat menuju kestabilan.
Sebaliknya, saat pemanenan pemangsa lebih kecil menjadi
maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi
. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 15 berikut ini:
22
Tabel 15 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika pemanenan
pemangsa menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa.
Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi saat pemanenan pemangsa
dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 11 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 11 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar yang
bersifat takstabil, sehingga menyebabkan kedua populasi setiap waktu mengalami
osilasi seperti yang terlihat pada Gambar 11 (b). Limit cycle yang muncul akibat
adanya bifurkasi Hopf dalam kondisi ini. Kurva warna hijau menunjukkan
peningkatan pada populasi pemangsa yang terjadi karena spesies pemangsa masih
mempunyai cukup makanan.
Untuk lebih mudah membandingkan pengaruh mangsa yang terlindung,
usaha pemanenan mangsa dan usaha pemanenan pemangsa, berikut ini tabel yang
menunjukkan kestabilan titik tetap untuk semua simulasi di atas:
23
Tabel 16 Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi
Simulasi
KeSadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Simpul takstabil
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
SIMPULAN
Mangsa yang terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi
memengaruhi kestabilan dinamika interaksi mangsa pemangsa serta menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf pada model mangsa pemangsa Holling-Tanner tipe II.
Semakin kecil mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi pemangsa
meningkat tidak stabil. Sebaliknya, semakin tinggi mangsa yang terlindungi
mengakibatkan populasi pemangsa menuju kepunahan dan populasi mangsa stabil.
Hal ini terjadi pula pada dinamika populasi akibat usaha pemanenan mangsa.
Sedangkan pada usaha pemanenan pemangsa, semakin kecil pemanenan
pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa meningkat tidak stabil. Semakin
tinggi tingkat pemanenan pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa punah dan
populasi mangsa meningkat stabil.
Dalam model ini, diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap pertama
dapat bersifat sadel dan simpul takstabil, sedangkan kestabilan titik tetap kedua
selalu bersifat sadel. Kestabilan titik tetap ketiga dapat bersifat spiral takstabil,
spiral stabil dan simpul stabil bergantung dari parameter mangsa yang terlindung
dan pemanenan populasi. Bifurkasi tepat terjadi pada titik tetap ketiga.
24
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Pantur S, I Nyoman
S, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Das U, Kar TK, Pahari UK. 2013. Global dynamics of an exploited prey-predator
model with constant prey refuge. ISRN Biomathematics. Hindawi Publishing
Corporation. dx.doi.org/10.1155/2013/637640.
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York (US):
Random House.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application.
Mc Graw-Hill, New York.
Gasull A, Kooij RE, Torregrosa J. 1997. Limit cycles in the Holling-Tanner
model. Public Math. 41:149-167.
Gonzalez-Olivares E, Ramos-Jiliberto R. 2003. Dynamics consequences of prey
refuges in a simple model system: more prey, fewer predators and enhanced
stability. Ecological Modeling. 166:135-146.
Ji L, Wu C. 2010. Qualitative analysis of a predator-prey model with constant-rate
prey harvesting incorporating a constant prey refuge. Nonlinear Analysis: Real
World Applications. 11:2285-2295.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company, Reading, Massachusetts.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differensial Equation and Dynamical System. New
York (US): Springer-Verlag.
Wang J, Shi J, Wei J. 2011. Predator-prey system with strong alle effect in prey.
Journal of Mathematical Biology. 62:291-331.
25
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Model
dan
Titik tetap persamaan (8) didapatkan dari
diperoleh persamaan (8) menjadi:
(
sehingga
)
(9)
(10)
Titik tetap dapat ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
Lalu
,
menghasilkan
.
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (9) dan (10), diperoleh 3 titik tetap,
dengan:
yaitu
(
Untuk mendapatkan hasil
sebagai berikut:
)
yang lebih sederhana maka melakukan langkah
26
1.
Pada titik tetap
,
harus difaktorkan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
,
dapat ditulis menjadi
.
2. Penjabaran hasil
, buat
menjadi dua persamaan:
,
i.
ii. (
)(
)
3. Pemisalan
).
dan
.
di mana
,
,
,
,
,
.
4. Subtitusikan, sehingga persamaan (i) menjadi:
(
)
(
)
( )(
)
(
)
27
Dan persamaan (ii) menjadi:
(
)
.
5. Persamaan (i) dan (ii) digabung untuk mendapatkan hasil
sederhana:
(
yang lebih
)
(
)
(
(
(
(
(
Jadi, dapat dituliskan titik tetap
))
(
)
)
(
sehingga diperoleh hasil
(
)
))
).
seperti berikut ini, di mana
,
)
(
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (8), matriks Jacobi dapat
ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
28
Lampiran 2 Penentuan Nilai Eigen Model
Nilai eigen dari titik tetap
dapat ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
Nilai eigen dari titik tetap
(
dapat ditentukan dengan program berikut ini:
)
,
menghasilkan
.
Pelinearan dan nilai eigen dari titik tetap
sebagai berikut:
dapat diperoleh matriks Jacobi
.
dengan
,
,
,
;
,
(
)
29
.
Lalu subtitusikan sehingga diperoleh matriks Jacobi dari nilai λ titik tetap
sebagai berikut:
|
|
(
(
(
)
)(
,
)
dengan
)
,
.
Sehingga menurut kriteria teorema Routh-Hurwitz Criteria titik tetap
akan stabil jika memenuhi kondisi:
dan
Maka
,
,
kondisi ini sudah terpenuhi karena
bernilai positif.
Lampiran 3 Kode program Gambar 1
Gambar (a)
dan
30
Gambar (b)
Gambar (c)
Lampiran 4 Kode program Gambar 2
Gambar (a)
31
Gambar (b)
Lampiran 5 Kode program Gambar 3
Gambar (a)
32
Gambar (b)
Lampiran 6 Kode program Gambar 4
Gambar (a)
Gambar (b)
33
Lampiran 7 Kode program Gambar 5
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 8 Kode program Gambar 6
Gambar (a)
34
Gambar (b)
Lampiran 9 Kode program Gambar 7
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 10 Kode program Gambar 8
35
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 11 Kode program Gambar 9
Gambar (a)
Gambar (b)
36
Lampiran 12 Kode program Gambar 10
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 13 Kode program Gambar 11
37
Gambar (a)
Gambar (b)
38
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sragen (Jawa Tengah) pada tanggal 15 Februari 1992
dari Bapak Suradi dan Ibu Lasmi sebagai anak kedua dari tiga bersaudara. Penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Jatipadang 04 Petang Jakarta
pada tahun 2004, Sekolah Menengah Pertama di SMP SULUH Jakarta pada tahun
2007, Sekolah Menengah Atas di SMAN 60 Jakarta pada tahun 2010, dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui
jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis juga
merupakan salah satu anggota penerima dana DIKTI pada Beasiswa Bidikmisi
periode 2010/2014.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kampus, yaitu
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Tahun 2012/2013, penulis aktif
sebagai Staf Divisi Informasi dan Komunikasi (INFOKOM) GUMATIKA. Selain
itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain peserta ESQ Basic
Training IPB 2010, panitia G5 League Mathematics IPB 2011, panitia Opening
Ceremony Semarak Bidikmisi IPB 2012 dan panitia IPB Mathematics Challenge
2013.
TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN
ADANYA PEMANENAN POPULASI
EKA PUJIYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model
Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II dengan Mangsa yang Terlindung dan
Adanya Pemanenan Populasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Eka Pujiyanti
NIM G54100039
ABSTRAK
EKA PUJIYANTI. Analisis Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II
dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya Pemanenan Populasi. Dibimbing
oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI.
Dalam tulisan ini dipelajari model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II
dengan menambahkan spesies mangsa yang terlindung dan pemanenan spesies
mangsa dan pemangsa yang dikembangkan oleh Das et al. (2013). Dari model ini,
diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap pertama dapat bersifat sadel atau
simpul takstabil, sedangkan titik tetap kedua bersifat sadel. Titik tetap ketiga dapat
bersifat spiral takstabil, spiral stabil, atau simpul stabil bergantung nilai parameter
mangsa yang terlindung dan pemanenan populasi. Bifurkasi Hopf terjadi pada titik
tetap ketiga. Semakin kecil mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi
pemangsa meningkat tidak stabil dengan solusinya limit cycle. Sebaliknya,
semakin tinggi mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi mangsa dan
pemangsa menuju stabil dengan pemangsa cukup kecil. Hal ini terjadi pula pada
dinamika populasi akibat usaha pemanenan mangsa. Sedangkan pada usaha
pemanenan pemangsa, semakin kecil pemanenan pemangsa mengakibatkan
populasi pemangsa meningkat tidak stabil dengan solusinya limit cycle. Semakin
tinggi pemanenan pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa menuju
kepunahan dan populasi mangsa meningkat stabil.
Kata Kunci: bifurkasi Hopf, Holling-Tanner tipe II, mangsa yang terlindung,
pemanenan populasi, mangsa-pemangsa.
ABSTRACT
EKA PUJIYANTI. Analysis of Predator-Prey Model of Holling-Tanner Type II
with Prey Refuge and the Harvesting Population. Supervised by ALI
KUSNANTO and PAIAN SIANTURI.
This paper studied a mathematical predator-prey model of Holling-Tanner
type II incorporating prey refuge and harvesting to both prey and predator species
that was previously investigated by Das et al. (2013). This model provides three
fixed points, where depending on the parameters values, stability of the first fixed
point can be a saddle or unstable node, that of the second always be a saddle, and
the third fixed point could be an unstable spiral, stable spiral or node depending
on two parameters of protected prey and harvesting populations. Hopf bifurcation
occurs on the third fixed point, where a decrease on the size of protected prey can
affect the predator populations to be unstable and its solution approaching a limit
cycle. Otherwise, an increase on the size of protected prey can affect the prey and
predator populations to be stable with a fairly small predators. The same situation
occurs also in the population dynamics when a harvesting effort is incurred on
prey population. Whereas a decrease on the harvested predator population can
result to an unstable growth of predator population with the existence of a limit
cycle. In the opposite direction, the predator will be extinct and the prey grows
steadily.
Keywords: Hopf bifurcation, Holling-Tanner type II, prey refuge, harvesting
populations, predator-prey.
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER
TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN
ADANYA PEMANENAN POPULASI
EKA PUJIYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Analisis Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II
dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya Pemanenan
Populasi
: Eka Pujiyanti
: G54100039
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Paian Sianturi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Model MangsaPemangsa Holling-Tanner Tipe II dengan Mangsa yang Terlindung dan Adanya
Pemanenan Populasi berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Dr Paian Sianturi selaku pembimbing yang telah memberikan pengarahan,
bimbingan, dan motivasi dalam penelitian dan penulisan karya ilmiah ini, kepada
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran
dan perbaikan, serta kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB
atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama perkuliahan. Tak lupa
juga ucapan terima kasih yang mendalam kepada Ibu dan Ayah tercinta (Ibu
Lasmi dan Bapak Suradi), mas Warno, adik Eko, Johan Iskandar, sahabat
Matematika 45, 46, 47, dan 48, teman seperjuangan di Wisma Pelangi, serta
semua sahabat atas doa, saran, motivasi yang telah banyak membantu dalam
proses penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Eka Pujiyanti
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
PEMODELAN
5
PEMBAHASAN
7
Penentuan Titik Tetap Model
7
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
8
Bifurkasi Hopf
9
Simulasi Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa
12
SIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
24
LAMPIRAN
25
RIWAYAT HIDUP
38
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kestabilan titik tetap dan
Nilai parameter
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 0.7
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 1.6
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh m
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 38.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat m = 0.0005
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 1.5
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 10.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 0.1
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
=3
Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 12.5
Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
= 0.0005
Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi
11
12
13
13
13
15
16
17
17
18
19
20
20
21
22
23
DAFTAR GAMBAR
1 Pengaruh
terhadap x dan y (a), pengaruh
terhadap x dan y (b),
pengaruh
terhadap x dan y (c)
2 Bidang fase saat m = 0.7 (a) dan bidang fase saat m = 1.6 (b)
3 Bidang solusi saat m = 0.7 (a) dan bidang solusi saat m = 1.6 (b)
4 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat m = 38.5
5 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat m = 0.0005
6 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 1.5
7 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 10.5
8 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 0.1
9 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
=3
10 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 12.5
11 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat
= 0.0005
12
14
14
15
16
17
18
19
20
21
22
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Penentuan titik tetap model
Penentuan nilai eigen model
Kode program Gambar 1
Kode program Gambar 2
Kode program Gambar 3
Kode program Gambar 4
Kode program Gambar 5
Kode program Gambar 6
Kode program Gambar 7
25
28
29
30
31
32
33
33
34
10
11
12
13
Kode program Gambar 8
Kode program Gambar 9
Kode program Gambar 10
Kode program Gambar 11
34
35
36
36
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bumi merupakan satu sistem tata surya yang kompleks. Karena segala
sesuatu yang ada di dalamnya saling bergantung satu sama lain. Ketergantungan
yang dimaksud berupa interaksi antara makhluk hidup dengan lingkungan di
sekitarnya dan makhluk hidup dengan makhluk hidup lainnya. Makhluk hidup itu
sendiri terdiri atas bermacam-macam spesies yang membentuk suatu populasi.
Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antarspesies. Salah satu
interaksinya adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa dan pemangsa yang
erat kaitannya satu sama lain. Jika di bumi ini tidak terdapat mangsa maka
pemangsa tidak mampu bertahan hidup dan berkembangbiak karena tidak ada
sumber makanan sehingga menyebabkan terjadinya kepunahan. Untuk
mengontrol tingkat predasi agar tidak menyebabkan terjadinya kepunahan pada
kedua spesies, maka diberikan perlakuan terhadap kedua populasi, yaitu dengan
melindungi mangsa dan memanen populasi mangsa pemangsa secara teratur.
Jumlah mangsa yang dikonsumsi oleh setiap pemangsa digambarkan dengan
respons fungsional. Kehadiran pemangsa merupakan salah satu faktor yang secara
langsung memengaruhi populasi mangsa. Di dalam hubungan tersebut pemangsa
juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa.
Saat ini interaksi antar makhluk hidup merupakan suatu topik penting untuk
diteliti. Para peneliti di bidang fisika menyatakan suatu model generik dapat
dibangun guna menjelaskan fenomena yang terjadi di alam. Tidak hanya itu, para
peneliti di bidang ilmu pengetahuan lain juga menyatakan bahwa model generik
dibangun guna menjelaskan situasi tertentu. Jadi dalam hal ini, model diperlukan
karena kompleksitas ekosistem. Salah satu penelitian yang telah dilakukan yaitu
membuat pemodelan matematika yang dapat mensimulasikan hubungan antar
makhluk hidup.
Alfred Lotka dan Vito Volterra dalam Gasull et al. (1997) mengembangkan
sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa
pemangsa yang dikenal dengan model Lotka-Volterra. Salah satu kekurangan dari
model Lotka-Volterra yaitu ketergantungan pada asumsi yang tidak realistis
karena populasi mangsa dapat tumbuh tanpa batas banyaknya saat ketidakhadiran
pemangsa. Tak lama, berkembang suatu model modifikasi Lotka-Volterra yaitu
model Holling-Tanner yang menggambarkan adanya kompetisi yang terjadi di
antara para mangsa saat kepadatan yang tinggi untuk mendapatkan sumber daya
mereka.
Dalam karya ilmiah ini, penulis mempelajari dinamika solusi model
mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang dijelaskan oleh Das et al. (2013).
Respons fungsional model Holling-Tanner ini diberikan perlakuan mangsa yang
terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi guna mencegah terjadinya
kepunahan kedua spesies. Dalam tulisan ini juga akan diperiksa bifurkasi Hopf
yang terjadi pada dinamika populasi sistem.
2
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:
1 Mempelajari dinamika solusi model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II
dengan mangsa yang terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi oleh Das
et al. (2013),
2 Menganalisis kestabilan titik tetap populasi dari model mangsa-pemangsa dengan
Holling-Tanner tipe II di atas,
3 Menganalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada sistem dinamik mangsa-pemangsa
Holling-Tanner tipe II akibat perubahan tingkat mangsa yang terlindung dan
akibat perubahan usaha pemanenan pada kedua populasi tersebut.
LANDASAN TEORI
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang
melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang terhadap peubah
(Farlow 1994). Misalkan diberi sistem persamaan diferensial taklinear sebagai
berikut:
̇
(1)
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan
adalah nilai real fungsi dari waktu dan
adalah nilai real fungsi dari .
Persamaan (1) mempunyai titik tetap
jika memenuhi
. Titik
tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan (Tu 1994).
Verhulst (1990) menyatakan bahwa misalkan titik yaitu titik tetap sistem
persamaan diferensial dan
yaitu solusi sistem persamaan diferensial yang
diberikan suatu nilai awal
dengan
. Titik disebut titik tetap
stabil jika untuk sembarang
terdapat
sedemikian sehingga jika posisi
|
|
awal
memenuhi |
maka solusi
memenuhi |
,
untuk setiap
dan jika titik
disebut titik tetap takstabil jika untuk
sembarang terdapat
dengan ciri sebagai berikut: untuk sembarang
|
terdapat nilai awal
memenuhi |
, sehingga solusi
memenuhi
|
|
, untuk paling sedikit satu
Persamaan (1) dengan menggunakan perluasan Taylor pada titik tetap
dilakukan penyederhanaan titik tetap
didefinisikan pada titik asal, maka
diperoleh:
̇
|
sehingga
[
]
3
Matriks A disebut matriks Jacobi pada titik tetap dan fungsi
memenuhi
sehingga menyebabkan sistem persamaan diferensial (1) dapat
didekati oleh:
̇
(2)
Sistem (2) disebut sebagai pelinearan dari sistem persamaan diferensial (1) (Tu
1994).
Anton & Rorres (2004) menyatakan jika A adalah sebuah matriks berukuran
n × n, maka sebuah vektor tak nol di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika
adalah kelipatan skalar dari yaitu:
(3)
Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan x dinamakan vektor eigen
yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang
berukuran n × n, maka:
atau
(4)
Persamaan (4) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
(5)
Persamaan (5) adalah sebuah persamaan polinomial dalam yang dinamakan
polinomial karakteristik dari A.
Menurut Tu (1994) analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks
Jacobi, yaitu matriks A. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dari nilai-nilai
eigen, yaitu yang diperoleh dari det
Pada umumnya, kestabilan titik tetap memiliki tiga sifat yaitu:
a. Dikatakan titik tetap stabil, jika:
setiap nilai eigen real negatif
,
setiap nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama
dengan nol (Re( )
.
b. Dikatakan titik tetap takstabil, jika:
setiap nilai eigen real positif (
),
setiap nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau sama
dengan nol (Re( )
c. Dikatakan titik sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real
sembarang negatif (
untuk dan sembarang). Titik sadel ini
bersifat takstabil.
Struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat mengalami perubahan
karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut (Strogatz 1994).
Bifurkasi adalah perubahan jumlah titik tetap dalam suatu sistem dinamik. Dalam
hal ini ada yang disebut dengan titik bifurkasi yaitu nilai parameter ketika terjadi
4
bifurkasi. Umumnya bifurkasi yang dibahas yaitu bifurkasi Hopf. Pada bifurkasi
Hopf terdapat kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan sistem
dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa, ketika kesetimbangan
mengalami perubahan stabilitas melalui sepasang nilai eigen murni imajiner.
Limit cycle merupakan suatu orbit tertutup yang terisolasi. Disebut orbit terisolasi
karena orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit (Strogatz 1994).
Bifurkasi ada yang bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit
cycle menjadi stabil atau tidak stabil.
Menurut Edelstein-Keshet (1988) untuk menentukan bifurkasi Hopf dapat
menggunakan suatu teorema, yang sering dikenal teorema bifurkasi Hopf.
Teorema ini terdiri dari kasus
dan saat kasus
.
Teorema bifurkasi Hopf untuk kasus
: misalkan sebuah sistem dari
dua persamaan sama-sama memiliki parameter sebagai berikut:
̇
̇
Dengan persamaan diferensial biasa dan asumsikan dan adalah fungsi dari
dan . Anggap setiap nilai pada kedua persamaan diatas adalah tetap dan
parameter dan dipengaruhi oleh ( ̅
̅ ). Asumsikan matriks Jacobi
dengan parameter yang tetap adalah sebagai berikut:
[
]
̅ ̅
Andaikan nilai eigen dari matriks tersebut adalah
. Dan
nilainya adalah , disebut dengan nilai bifurkasi, dimana
,
dan juga ketika nilai divariasikan sampai nilainya sama dengan
maka
⁄
perubahan nilai eigennya adalah
pada
Dengan adanya hipotesis di atas maka muncul kemungkinan-kemungkinan
berikut:
1. Saat nilai
maka pusatnya titik tetap (steady state), dan lingkaranlingkaran tertutup yang tak terhingga mengorbit mengelilingi titik ̅ ̅
2. Untuk orbit lingkaran terbatas memiliki rentang nilai adalah
.
Dan saat nilai divariasikan maka diameter lingkarannya akan berubah
|
sebesar |
. Sehingga tidak ada lingkaran tertutup yang
mengelilingi titik ̅ ̅ Ketika terbentuk lingkaran berhingga dengan
nilai lebih besar dari maka akan terjadi supercritical bifurcation.
3. Rentang
digunakan untuk kasus 2 penahan (hold/pengendali).
Lingkaran berhingga yang terjadi saat nilai lebih kecil dari
disebut
dengan subcritical bifurcation.
Menurut Edelstein-Keshet (1988) untuk menentukan suatu kestabilan titik
tetap, berdasarkan persamaan karakteristik dapat menggunakan teorema RouthHurwitz Criteria.
5
Teorema Routh-Hurwitz Criteria: misalkan diberikan persamaan polinomial
karakteristik sebagai berikut:
(6)
Didefinisikan k matriks yaitu sebagai berikut:
]
[
]
[
]
[
]
[
di mana syarat setiap unsur
0
untuk
untuk
untuk
pada matriks
adalah:
,
,
atau
Titik tetap ̅ stabil jika dan hanya jika det
kriteria Routh-Hurwitz untuk
dan 4 yaitu:
,
,
,
,
,
.
, untuk setiap
.
PEMODELAN
Gonzalez-Olivares dan Ramos-Jiliberto (2003) mempelajari model mangsa
pemangsa dengan jumlah mangsa konstan menggunakan perlindungan, sebagai
berikut:
dengan
, di mana
dan menunjukkan populasi mangsa
dan pemangsa, dan , mewakili laju pertumbuhan intrinsik dan daya dukung
lingkungan mangsa. Konstanta
mewakili jumlah mangsa yang mencari
perlindungan dari predasi. Parameter
adalah laju kematian pemangsa dan
parameter adalah faktor konversi. Ji dan Wu (2010) mengembangkan model
6
mangsa pemangsa dengan perlindungan mangsa konstan dan laju pemanenan
mangsa konstan
sebagai berikut,
dan mempelajari ketidakstabilan dan kestabilan global titik tetap dan keunikan
limit cycle serta menunjukkan pengaruh perlindugan mangsa konstan dan laju
pemanenan mangsa konstan.
Termotivasi oleh paper Gonzalez-Olivares dan Ramos-Jiliberto (2003),
dimodelkan sistem mangsa-pemangsa sebagai berikut:
(7)
di mana
dan
menunjukkan usaha pemanenan untuk mangsa dan
pemangsa,
dan
, mewakili hasil tangkapan dari populasi mangsa dan
pemangsa, di mana dan , mewakili koefisien catchability (ketertangkapan)
populasi mangsa dan pemangsa.
Untuk menyederhanakan persamaan (7) Das et al. (2013) memisalkan
, maka persamaan (7) berubah menjadi model matematika dalam
bentuk sistem persamaan sebagai berikut (ditandai dengan
):
(
di mana
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
)
(8)
dan
dengan:
banyaknya populasi mangsa,
banyaknya populasi pemangsa,
laju pertumbuhan intrinsik mangsa,
usaha pemanenan mangsa,
usaha pemanenan pemangsa,
koefisien yang menunjukkan penurunan laju pertumbuhan mangsa
karena kehadiran satu individu pemangsa,
koefisien yang menunjukkan peningkatan laju pertumbuhan pemangsa
karena kehadiran satu individu mangsa,
laju kematian pemangsa,
daya dukung lingkungan,
banyaknya mangsa yang terlindung dari pemangsaan,
7
: koefisien catchability populasi mangsa,
: koefisien catchability populasi pemangsa,
: tingkat kejenuhan mangsa.
Respons fungsional pada model (8) di atas dinyatakan dengan
yang menggambarkan laju pemangsaan atau ketersediaan makanan
bagi pemangsa. Laju pertumbuhan populasi mangsa dipengaruhi oleh laju
pertumbuhan intrinsik mangsa
dan banyaknya mangsa yang terlindung
kemudian akan berkurang karena laju pertumbuhan pemangsa y serta adanya
, di mana tumbuh secara logistik.
usaha dalam pemanenan mangsa
Laju pertumbuhan populasi pemangsa dipengaruhi oleh kemampuan
maksimum pemangsa dalam mencari mangsa
dan tingkat kejenuhan mangsa
dikurangi laju kematian pemangsa
serta adanya usaha pemanenan
.
pemangsa
PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap persamaan (8) didapatkan dari
diperoleh persamaan (8) menjadi:
(
dan
sehingga
)
(9)
(10)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (9) dan (10), diperoleh 3 titik
dengan:
tetap, yaitu
(
)
(Bukti penentuan titik tetap model dapat dilihat pada Lampiran 1)
8
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (8), diperoleh matriks Jacobi
persamaan (11) sebagai berikut:
.
Nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks Jacobi persamaan (11) menunjukkan
kestabilan titik tetap dengan mengevaluasi titik tetap tersebut. Selanjutnya,
kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap
disubsitusikan pada matriks Jacobi persamaan (11),
maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
[
]
maka |
Untuk memperoleh nilai eigen dari
|
, yaitu:
,
didapat nilai eigen sebagai berikut:
Karena diasumsikan parameter positif, titik tetap
merupakan titik sadel
jika
dan
. Jika
dan
titik tetap
merupakan
titik sadel.
(Bukti pelinearan di titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 2)
Titik tetap
disubsitusikan pada matriks Jacobi persamaan (11),
maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
dengan
(
)
(
(
)
)
9
Untuk memperoleh nilai eigen dari
maka |
,
|
, yaitu:
didapat nilai eigen sebagai berikut:
Karena diasumsikan parameter positif, titik tetap
merupakan titik stabil
jika
dan
. Jika
dan
maka titik tetap
merupakan titik sadel.
(Bukti pelinearan di titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 2)
ditentukan oleh persamaan karakteristik
Kestabilan titik tetap
sebagai berikut:
dengan
(
)
Menurut kriteria teorema Routh-Hurwitz Criteria titik tetap
memenuhi kondisi:
dan
akan stabil jika
sehingga kondisi yang harus dipenuhi adalah:
dan
(Bukti pelinearan di titik tetap
dapat dilihat pada Lampiran 2)
Bifurkasi Hopf
Dalam sistem dinamik taklinear akan dijumpai transisi dari keadaan stabil
ke suatu keadaan tidak stabil ataupun keadaan sebaliknya. Kondisi seperti ini
disebut dengan bifurkasi. Misalkan sistem persamaan diferensial
̇
dan ̇
dengan parameter . Diasumsikan system
dan
persamaan diferensial tersebut mempunyai titik setimbang
adalah nilai parameter yang menyebabkan terjadinya bifurkasi. Bifurkasi Hopf
10
terjadi jika titik setimbang
mempunyai sepasang nilai eigen kompleks yaitu
dan
dengan
dan
. Namun, menurut Strogatz (1994) bifurkasi Hopf terjadi ketika
kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dan terjadinya kemunculan limit
cycle. Perubahan stabilitas yang dimaksud adalah ketika titik tetap yang semula
memiliki kestabilan spiral stabil menjadi spiral tidak stabil atau sebaliknya.
Menurut Wang et al. (2011) sekarang persamaan (8) diubah dalam bentuk:
(12)
di mana
Pada bagian ini Das et al. (2013) menguji saat terjadi bifurkasi Hopf. Matriks
Jacobi dari persamaan (12) adalah:
[
di mana
]
Kestabilan titik tetap dari matriks Jacobi
persamaan karakteristik sebagai berikut:
di mana
̅
dan
dan
dan
dan
√
√
dan
tersebut, ditentukan oleh
11
Nilai ̅ yang berasal dari
memenuhi persamaan:
seperti
̅,
, yang mana
dan
juga
̅
.
Pada persamaan (12) mengalami bifurkasi Hopf ketika
̅
̅
seperti halnya
̅
.
̅ jika:
|
̅
Nilai parameter menyatakan tingkat mangsa yang terlindung, misalkan
adalah tingkat mangsa yang terlindung pada saat terjadi bifurkasi Hopf.
Kondisi yang menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
dan
di mana
sehingga
|
Nilai parameter
menyatakan tingkat pemanenan mangsa, misalkan
adalah tingkat pemanenan mangsa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Kondisi yang
menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
di mana
dan
sehingga
|
Nilai parameter
menyatakan tingkat pemanenan pemangsa, misalkan
adalah tingkat pemanenan pemangsa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Kondisi
yang menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf jika:
dan
sehingga
di mana
|
Jenis kestabilan titik tetap dari hasil pencarian titik tetap dengan beberapa
kondisi yang berbeda:
No.
Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap dan
Kondisi
Kondisi
1
Sadel
Sadel
2
Sadel
Sadel
3
Sadel
Sadel
4
Sadel
Simpul
stabil
12
Simulasi Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa
Simulasi model mangsa pemangsa perlu dilakukan untuk melihat secara
ringkas dinamika perubahan jumlah populasi mangsa pemangsa dalam kurun
waktu tertentu, sebagaimana yang ditunjukkan oleh kurva bidang solusi.
Pada bagian simulasi ini, akan dilakukan uji coba beberapa kondisi yang
mempengaruhi kestabilan model mangsa pemangsa yaitu dengan mengubah nilai
parameter-parameter. Hal ini dilakukan unuk menggambarkan beberapa kasus jika
terjadi pada kondisi yang terdapat pada Tabel 2 berikut ini:
Tabel 2 Nilai parameter
Simulasi
dengan parameter lain bernilai tetap dalam setiap simulasi yaitu:
dan
Pengaruh
dan
terhadap dan dapat dilihat pada gambar berikut
ini:
(a)
Gambar 1 Pengaruh
(b)
(c)
terhadap dan (a), pengaruh
terhadap
dan pengaruh
terhadap dan (c)
dan
(b)
Pada Gambar 1 (a) saat nilai parameter lain tetap dan hanya nilai yang
berubah, maka nilai yang berubah adalah
Pada Gambar 1 (b), perubahan nilai
menyebabkan perubahan populasi pemangsa pada titik tetap . Pada Gambar
1 (c) saat nilai parameter lain tetap dan hanya nilai
yang berubah, maka nilai
yang berubah adalah dan , artinya jumlah kedua populasi berubah pada titik
tetap .
13
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Mangsa yang Terlindung (
Pengaruh peningkatan mangsa yang terlindung akan diberikan pada simulasi
dengan nilai
sedangkan pada simulasi dengan nilai
disertai
dengan parameter
dan
untuk melihat perubahan yang terjadi
terhadap kestabilan populasi mangsa. Titik tetap yang diperoleh saat
dan
dapat dilihat pada Tabel 3 berikut ini:
Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Sedangkan titik tetap yang diperoleh saat
4 berikut ini:
Spiral takstabil
dapat dilihat pada Tabel
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika
naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada
titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini
menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh
Tabel 5 berikut ini:
Tabel 5 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
14
Berdasarkan nilai pada Tabel 5 dapat kita lihat bahwa
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase pada Tabel 3 dan Tabel 4.
(a)
Gambar 2 Bidang fase saat
(b)
(a) dan bidang fase saat
(b)
Gambar 2 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral di sekitar titik
yang bersifat takstabil sedangkan Gambar 2 (b) menunjukkan kurva bergerak
secara spiral menuju titik . Limit cycle yang muncul karena adanya bifurkasi
Hopf yang terjadi dalam kondisi ini. Kestabilan dinamika populasi mangsapemangsa dalam bidang solusi dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
Gambar 3 Bidang solusi saat
(b)
(a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 3 (a) menunjukkan saat jumlah mangsa yang terlindung meningkat
terjadi ketidakstabilan untuk kedua jenis populasi. Menggunakan nilai awal
dan
untuk Gambar 3 (b) kestabilan populasi mangsa
pemangsa terjadi pada titik
.
Saat tingkat mangsa yang terlindung ditingkatkan lebih tinggi menjadi
,
maka pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada
simulasi . Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 6 berikut ini:
15
Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Simpul takstabil
Sadel
Simpul stabil
Pada kondisi ini titik tetap yang bersifat stabil yaitu titik tetap
. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(b)
(a)
Gambar 4 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 4 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil . Gambar 4 (b)
kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan nilai awal
dan
yang terjadi pada titik
.
Tingkat mangsa yang terlindung sangat besar mengakibatkan populasi mangsa
tetap (tidak mengalami perubahan) tetapi populasi pemangsa menuju kepunahan
saat spesies pemangsa kehilangan makanannya.
Sebaliknya, saat mangsa yang terlindung lebih kecil menjadi
, maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi .
Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 7 berikut ini:
16
Tabel 7 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika mangsa yang
terlindung menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa.
Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi saat tingkat mangsa yang terlindung
dapat dilihat pada gambar di
bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 5 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 5 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar
yang
bersifat takstabil sehingga terjadi ketidakstabilan untuk kedua populasi. Kurva
warna hijau pada Gambar 5 (b) menunjukkan peningkatan pada populasi
pemangsa yang terjadi karena spesies pemangsa masih mempunyai cukup
makanan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Usaha Pemanenan terhadap
Mangsa (
Bifurkasi Hopf juga terjadi karena pemanenan pemangsa pada suatu nilai
Pada simulasi , saat
diketahui bahwa titik tetap bersifat spiral
takstabil. Berikut ini adalah tabel 8 titik tetap simulasi dengan nilai
.
17
Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh Tabel 9 berikut
ini:
Tabel 9 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Berdasarkan nilai pada Tabel 9 dapat kita lihat bahwa ( )
( )
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase dan bidang solusi pada Tabel 8.
(b)
(a)
Gambar 6 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 6 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik
yang bersifat stabil. Menggunakan nilai awal
dan
untuk
Gambar 6 (b) kestabilan populasi mangsa pemangsa terjadi pada titik
18
ditingkatkan menjadi
,
Saat tingkat upaya pemanenan mangsa
maka pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan dalam
simulasi . Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 10 berikut ini:
Tabel 10 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Titik tetap yng bersifat stabil pada kondisi ini adalah titik tetap
, namun di titik tetap juga tidak mengalami perubahan (tetap). Dinamika
populasi mangsa pemangsa saat
dapat dilihat pada bidang fase dan
bidang solusi di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 7 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 7 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil yaitu titik tetap .
Gambar 7 (b) kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan
nilai awal
dan
terjadi pada titik
.
yang lebih besar mengakibatkan
Tingkat upaya pemanenan mangsa
menurunkan populasi pemangsa bahkan kepunahan yang terjadi saat spesies
pemangsa kehilangan makanannya.
Sebaliknya, saat pemanenan mangsa diperkecil menjadi
, maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa-pemangsa diberikan pada simulasi
. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 11 berikut ini:
19
Tabel 11 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika pemanenan
mangsa menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa. Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang solusi saat
tingkat pemanenan mangsa
dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 8 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 8 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar
yang
bersifat takstabil sehingga terjadi ketidakstabilan untuk kedua populasi. Kurva
warna hijau pada Gambar 8 (b) menunjukkan populasi pemangsa meningkat yang
terjadi karena spesies pemangsa masih mempunyai cukup makanan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Akibat Usaha Pemanenan terhadap
Pemangsa (
Bifurkasi Hopf juga terjadi karena pemanenan pemangsa pada suatu nilai
Pada simulasi , saat
diketahui bahwa titik tetap bersifat spiral
takstabil. Berikut ini adalah tabel 12 titik tetap simulasi dengan nilai
.
20
Tabel 12 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Ketika naik menjadi
perubahan kestabilan terjadi pada titik tetap
yang semula spiral takstabil menjadi spiral stabil. Perubahan ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi yang ditunjukkan oleh Tabel 13 berikut
ini:
Tabel 13 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh
Berdasarkan nilai pada Tabel 13 dapat kita lihat bahwa (
)
(
)
dan
Gambar berikut ini adalah dinamika populasi mangsa pemangsa dalam
bidang fase dan bidang solusi pada Tabel 12.
(a)
(b)
Gambar 9 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Gambar 9 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral di menuju titik
yang bersifat stabil. Menggunakan nilai awal
dan
untuk
21
Gambar 9 (b) kestabilan populasi mangsa pemangsa terjadi pada titik
Saat pemanenan pemangsa ditingkatkan menjadi
maka pengaruhnya
pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi . Titik tetap
dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 14 berikut ini:
Tabel 14 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Titik tetap bersifat stabil pada kondisi ini adalah titik tetap , Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang solusi dapat
dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 10 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Pada Gambar 10 (a) di atas, kurva menuju ke titik stabil . Gambar 10 (b)
kurva menunjukkan kestabilan populasi mangsa pemangsa dengan nilai awal
dan
yang terjadi pada titik
.
Tingkat pemanenan pemangsa lebih besar membuat populasi pemangsa menurun
menuju kepunahan sedangkan populasi mangsa meningkat menuju kestabilan.
Sebaliknya, saat pemanenan pemangsa lebih kecil menjadi
maka
pengaruhnya pada dinamika populasi mangsa pemangsa diberikan pada simulasi
. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 15 berikut ini:
22
Tabel 15 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat
Titik tetap
Jenis
Kestabilan
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap
artinya ketika pemanenan
pemangsa menjadi
maka dapat meningkatkan populasi pemangsa.
Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dalam bidang fase dan bidang
solusi saat pemanenan pemangsa
dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(a)
(b)
Gambar 11 Bidang fase (a) dan bidang solusi saat
(b)
Berdasarkan Gambar 11 (a) di atas, kurva secara spiral di sekitar yang
bersifat takstabil, sehingga menyebabkan kedua populasi setiap waktu mengalami
osilasi seperti yang terlihat pada Gambar 11 (b). Limit cycle yang muncul akibat
adanya bifurkasi Hopf dalam kondisi ini. Kurva warna hijau menunjukkan
peningkatan pada populasi pemangsa yang terjadi karena spesies pemangsa masih
mempunyai cukup makanan.
Untuk lebih mudah membandingkan pengaruh mangsa yang terlindung,
usaha pemanenan mangsa dan usaha pemanenan pemangsa, berikut ini tabel yang
menunjukkan kestabilan titik tetap untuk semua simulasi di atas:
23
Tabel 16 Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi
Simulasi
KeSadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Simpul takstabil
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
Sadel
Sadel
Spiral stabil
Sadel
Sadel
Simpul stabil
Sadel
Sadel
Spiral takstabil
SIMPULAN
Mangsa yang terlindung dan adanya usaha pemanenan populasi
memengaruhi kestabilan dinamika interaksi mangsa pemangsa serta menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf pada model mangsa pemangsa Holling-Tanner tipe II.
Semakin kecil mangsa yang terlindungi mengakibatkan populasi pemangsa
meningkat tidak stabil. Sebaliknya, semakin tinggi mangsa yang terlindungi
mengakibatkan populasi pemangsa menuju kepunahan dan populasi mangsa stabil.
Hal ini terjadi pula pada dinamika populasi akibat usaha pemanenan mangsa.
Sedangkan pada usaha pemanenan pemangsa, semakin kecil pemanenan
pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa meningkat tidak stabil. Semakin
tinggi tingkat pemanenan pemangsa mengakibatkan populasi pemangsa punah dan
populasi mangsa meningkat stabil.
Dalam model ini, diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap pertama
dapat bersifat sadel dan simpul takstabil, sedangkan kestabilan titik tetap kedua
selalu bersifat sadel. Kestabilan titik tetap ketiga dapat bersifat spiral takstabil,
spiral stabil dan simpul stabil bergantung dari parameter mangsa yang terlindung
dan pemanenan populasi. Bifurkasi tepat terjadi pada titik tetap ketiga.
24
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Pantur S, I Nyoman
S, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Das U, Kar TK, Pahari UK. 2013. Global dynamics of an exploited prey-predator
model with constant prey refuge. ISRN Biomathematics. Hindawi Publishing
Corporation. dx.doi.org/10.1155/2013/637640.
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York (US):
Random House.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application.
Mc Graw-Hill, New York.
Gasull A, Kooij RE, Torregrosa J. 1997. Limit cycles in the Holling-Tanner
model. Public Math. 41:149-167.
Gonzalez-Olivares E, Ramos-Jiliberto R. 2003. Dynamics consequences of prey
refuges in a simple model system: more prey, fewer predators and enhanced
stability. Ecological Modeling. 166:135-146.
Ji L, Wu C. 2010. Qualitative analysis of a predator-prey model with constant-rate
prey harvesting incorporating a constant prey refuge. Nonlinear Analysis: Real
World Applications. 11:2285-2295.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company, Reading, Massachusetts.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differensial Equation and Dynamical System. New
York (US): Springer-Verlag.
Wang J, Shi J, Wei J. 2011. Predator-prey system with strong alle effect in prey.
Journal of Mathematical Biology. 62:291-331.
25
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Model
dan
Titik tetap persamaan (8) didapatkan dari
diperoleh persamaan (8) menjadi:
(
sehingga
)
(9)
(10)
Titik tetap dapat ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
Lalu
,
menghasilkan
.
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (9) dan (10), diperoleh 3 titik tetap,
dengan:
yaitu
(
Untuk mendapatkan hasil
sebagai berikut:
)
yang lebih sederhana maka melakukan langkah
26
1.
Pada titik tetap
,
harus difaktorkan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
,
dapat ditulis menjadi
.
2. Penjabaran hasil
, buat
menjadi dua persamaan:
,
i.
ii. (
)(
)
3. Pemisalan
).
dan
.
di mana
,
,
,
,
,
.
4. Subtitusikan, sehingga persamaan (i) menjadi:
(
)
(
)
( )(
)
(
)
27
Dan persamaan (ii) menjadi:
(
)
.
5. Persamaan (i) dan (ii) digabung untuk mendapatkan hasil
sederhana:
(
yang lebih
)
(
)
(
(
(
(
(
Jadi, dapat dituliskan titik tetap
))
(
)
)
(
sehingga diperoleh hasil
(
)
))
).
seperti berikut ini, di mana
,
)
(
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (8), matriks Jacobi dapat
ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
28
Lampiran 2 Penentuan Nilai Eigen Model
Nilai eigen dari titik tetap
dapat ditentukan dengan program berikut ini:
,
menghasilkan
.
Nilai eigen dari titik tetap
(
dapat ditentukan dengan program berikut ini:
)
,
menghasilkan
.
Pelinearan dan nilai eigen dari titik tetap
sebagai berikut:
dapat diperoleh matriks Jacobi
.
dengan
,
,
,
;
,
(
)
29
.
Lalu subtitusikan sehingga diperoleh matriks Jacobi dari nilai λ titik tetap
sebagai berikut:
|
|
(
(
(
)
)(
,
)
dengan
)
,
.
Sehingga menurut kriteria teorema Routh-Hurwitz Criteria titik tetap
akan stabil jika memenuhi kondisi:
dan
Maka
,
,
kondisi ini sudah terpenuhi karena
bernilai positif.
Lampiran 3 Kode program Gambar 1
Gambar (a)
dan
30
Gambar (b)
Gambar (c)
Lampiran 4 Kode program Gambar 2
Gambar (a)
31
Gambar (b)
Lampiran 5 Kode program Gambar 3
Gambar (a)
32
Gambar (b)
Lampiran 6 Kode program Gambar 4
Gambar (a)
Gambar (b)
33
Lampiran 7 Kode program Gambar 5
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 8 Kode program Gambar 6
Gambar (a)
34
Gambar (b)
Lampiran 9 Kode program Gambar 7
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 10 Kode program Gambar 8
35
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 11 Kode program Gambar 9
Gambar (a)
Gambar (b)
36
Lampiran 12 Kode program Gambar 10
Gambar (a)
Gambar (b)
Lampiran 13 Kode program Gambar 11
37
Gambar (a)
Gambar (b)
38
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sragen (Jawa Tengah) pada tanggal 15 Februari 1992
dari Bapak Suradi dan Ibu Lasmi sebagai anak kedua dari tiga bersaudara. Penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Jatipadang 04 Petang Jakarta
pada tahun 2004, Sekolah Menengah Pertama di SMP SULUH Jakarta pada tahun
2007, Sekolah Menengah Atas di SMAN 60 Jakarta pada tahun 2010, dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui
jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis juga
merupakan salah satu anggota penerima dana DIKTI pada Beasiswa Bidikmisi
periode 2010/2014.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kampus, yaitu
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Tahun 2012/2013, penulis aktif
sebagai Staf Divisi Informasi dan Komunikasi (INFOKOM) GUMATIKA. Selain
itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain peserta ESQ Basic
Training IPB 2010, panitia G5 League Mathematics IPB 2011, panitia Opening
Ceremony Semarak Bidikmisi IPB 2012 dan panitia IPB Mathematics Challenge
2013.