54
2 1
By Ay
y
....... 3
1 2
1 1
2 3
2 1
2 2
1 2
1 1
ln
6 6
4 3
2 2
1 1
x
x x
x y
B Ay
y
......] 3
1 2
1 1
2 3
2 1
2 2
1 2
1 1
[ ]
.......... 8
6 4
2 2
6 4
2 2
4 2
2 [
ln
6 6
4 3
2 2
2 2
8 2
6 4
x x
x B
x x
x x
B A
3.3. Persamaan Type Hypergeometrik
Persamaan Type Hypergeometrik adalah suatu persamaan diferensial orde dua dimana persamaan tersebut dapat dicari solusi persamaan diferensial dengan metode
deret pangkat, dari solusi deret pengkat terakhir inilah dengan menerapkan fungsi faktorial didapat solusi yaitu berupa fungsi hypergeometrik. Untuk lebih jelasnya
akan diambil beberapa contoh persamaan diferensial yang merupakan persamaan type hypergeometrik.
Contoh 3.3.1
Untuk contoh 3.2.1 akan diambil suatu persamaan diferensial yang merupakan bagian dari persamaan hypergeometrik gauss yaitu Konfluensi Persamaan Hypergeometrik.
Bentuk umum dari konfluensi persamaan hypergeometrik adalah sebagai berikut
55
ay y
x c
xy
3.3.1.1
Karena persamaan diatas merupakan bagian dari persamaan hypergeometrik maka juga punya titik tunggalsingularitas di x = 0 dengan nol dan 1
– c adalah akar dari persamaan diatas. Persamaan 3.3.1.1 disebut dengan persamaan konfluensi
hypergeometrik. Jika c tidak integer maka dengan mengambil
n n
n n
n n
x b
x b
y
1
n n
n
x nb
y
2
1
n n
n
x b
n n
y
Dengan mengambil akar nol dan titik titik tunggal tetap yaitu x = 0 persamaan 3.3.1.1 menjadi
2
1
n n
n
x b
n n
+ [c – 0]
1
n n
n
x nb
– a
n n
n
x b
0
= 0
[c]
1
n n
n
x nb
– a
n n
n
x b
0
= 0
1
1
n
n n
n n
n
x b
a n
x b
c n
n
3.3.1.2
56 index pengganti koefisien x
n
jadi x
n-1
dipersamaan 3.3.1.2 didapat
1 1
1 1
1 1
n n
n n
n n
x b
a n
x b
c n
n
3.3.1.3
1 1
1 1
1 1
n n
n n
n n
x b
a n
x b
c n
n
dan kemudian diperoleh bahwa b adalah sembarang dan untuk
n ≥ 1,
1
1 1
: 1
n n
b c
n n
a n
b n
,
Dengan hubungan balik dari atas untuk n ≥ 1diperoleh,
1 ...
2 1
1 ...
2 1
b n
c c
c c
n n
a a
a a
b
n
3.3.1.4
Persamaan 3.3.1.4 dapat disederhanakan dengan menggunakan fungsi factorial, kemudian persamaan 3.3.1.4 dapat juga ditulis sebagai berikut;
b c
n a
b
n n
n
Pilih b = 1 karena mengambil akar x = 0 dan disini kita dapat peroleh solusi
persamaan hypergeometrik sebagai berikut; Didalam notasi fungsi faktorial bahwa solusi untuk persamaan 3.3.1.1 adalah
57
n n
n n
x c
n a
y
1 1
1 3.3.1.5
berlaku untuk semua x yang terbatas.
n n
n n
n
x c
n b
a x
c b
a F
y
1 1
1 ;
; ,
3.3.1.6
Pada 3.3.1.5, barisannya hanya punya satu parameter pembilang yaitu a dan satu parameter penyebut yaitu c. pada persamaan 3.3.1.6 ada dua parameter pembilang
yaitu a dan b serta satu parameter penyebut yaitu c. Pada persamaan 3.3.1.5 dapat juga kita tulis dalam notasi seperti berikut
n n
n n
x c
n a
x c
a F
1 1
1
1 ;
;
Dengan subscripts sebelun dan sesudah dari F menotasikan nomor parameter pembilang dan penyebut, analog juga pada persamaan 3.3.1.6 dapat juga ditulis
menjadi ;
; ;
1 2
x c
b a
F .
Untuk persamaan 3.3.1.1 dengan akar yang lain yaitu 1 – c. Kita ambil
c n
n n
x d
y
1
c n
n n
x d
c n
y
1
58
1
1
c n
n n
x d
c n
c n
y
pada persamaan 2.1 untuk menemukan solusi kedua dengan akar 1 – c sama
dengan menentukan solusi dengan akar nol, dengan mengambil persamaan 3.3.1.2 dan mengambil akar 1
– c
1 1
1 1
1
c n
n n
c n
n n
x d
a c
n x
d c
c n
c n
1 1
1
c n
n n
c n
n n
x d
a c
n x
d n
c n
c n
n n
c n
n n
x d
a c
n x
d n
c n
1
1 1
c n
n n
c n
n n
x d
a c
n x
d n
c n
1
1
dan kemudian diperoleh bahwa d adalah x
1- c
dan untuk n ≥ 1,
1
1
n n
d c
n n
a c
n d
Agar mempermudah untuk pencarian fungsi faktorialnya bentuk diatas akan diubah
sebagai berikut
1
1 2
1 1
n n
d c
n n
c a
n d
59 Dengan hubungan balik dari atas untuk
n ≥ 1diperoleh,
2 1
d c
n c
a d
n n
n
Maka didapatlah solusi kedua dengan akar 1 – c yaitu sebagai berikut
c n
n n
n c
x c
n c
a x
y
1 1
1 2
2 1
Untuk solusi yang kedua ini dapat juga ditulis dalam notasi fungsi hypergeometrik yaitu
; 2
; 1
1 1
1 2
x c
c a
F x
y
c
Contoh 3.3.2
Contoh berikut akan diselesaikan dengan metode yang sama dengan persamaan konfluensi hypergeometrik dengan mengambil Persamaan Legendre sebagai
persamaan diferensial yang mempunyai solusi fungsi hypergeometrik. Adapun bentuk umum dari persamaan Legendre sebagai berikut;
1 2
1
2
y
n n
xy y
x 3.3.2.1
Mulai dengan mengambil titik tunggal x = 1 dan misalkan x – 1 = v dari persamaan
4.1 berubah menjadi sebagai berikut
60 1
1 2
2
2 2
y n
n dv
dy v
dv y
d v
v 3.3.2.2
Di v = 0, persamaan 3.3.2.2 punya akar persamaan yaitu c = 0, dengan ambil
k k
k
v a
y
1
k k
k
v ka
y
2
1
k k
k
v a
k k
y
Karena di v = 0 maka persamaan 3.3.2.2 dapat disederhanakan dengan mengambil masing-masing deret pangkat yang telah ada diatas.
00+2
2
1
k k
k
x a
k k
+ 20 + 1
1
k k
k
x kb
- nn + 1
k k
k
x a
0
= 0
2
1
k k
k
x ka
- nn +1
k k
k
x a
0
= 0
index pengganti di x
k -1
jadi x
k
dipersamaan diatas didapat
1 1
2
1
k
k k
k k
k
x a
n k
n k
x a
k
3.3.2.3
61
k k
k k
k k
x a
n k
n k
x a
k
1
1 1
2
1 1
1 1
1
1 2
k k
k k
k k
x a
n k
n k
x a
k
1 1
1 1
1 2
k k
k k
k k
x a
n k
n k
x ka
dan kemudian diperoleh bahwa a adalah sembarang dan untuk
k ≥ 1,
1
2 1
: 1
k k
a k
n k
n k
a k
1
2 1
1
k k
a k
n k
n k
a
1
2 1
1 1
1
k k
k
a k
n k
n k
a
Maka akan diperoleh,
2 1
1 a
k n
n a
k k
k k
k
Dengan mengambil 1
k
= k, maka bentuk diatas senantiasa
62 1
2 1
1 a
n n
a
k k
k k
k k
Dan pilih a = 1dan disini kita dapat peroleh solusi persamaan yang akan diubah
kebentuk fungsi hypergeometrik sebagai berikut;
1 1
1 2
1 1
1
k k
k k
k k
k
v n
n y
Karena x – 1 = v, maka solusi diatas berubah menjadi
1 1
1 2
1 1
1 1
k k
k k
k k
k
x n
n y
1 1
1 2
1 1
1 1
k k
k k
k k
k
x n
n y
1 1
1 2
1 1
1 1
k k
k k
k k
x n
n y
1 1
1 2
1 1
1
k k
k k
k k
x n
n y
k k
k k
k
x n
n y
1 1
2 1
1 1
1
Maka diubah kebenntuk fungsi hypergeometrik adalah sebagai berikut;
63 2
1 ;
1 ;
1 ,
1
x n
n F
y
Untuk persamaan 3.3.2.1 dengan akar yang lain yaitu c - 2. Kita ambil saja
2
c k
k k
v a
y
3
2
c k
k k
v a
c k
y
4
2 3
c k
k k
x a
c k
c k
y
pada persamaan 3.3.2.1 untuk menemukan solusi kedua dengan akar c - 2 sama dengan menentukan solusi dengan akar nol, dengan mengambil persamaan 3.3.2.3
dan mengambil akar c - 2
2
3
2
c k
k k
v a
c k
- nn +1
2
c k
k k
v a
= 0
1 2
2 1
2 2
2 3
c k
k k
c k
k k
x a
n c
k n
c k
x a
c k
1 2
1 2
2 3
c k
k k
c k
k k
x a
n c
k n
c k
x a
c k
2 3
1 2
1 2
c k
k k
c k
k k
x a
n c
k n
c k
x a
c k
64
3 1
1 3
2 3
1 2
c k
k k
c k
k k
x a
n c
k n
c k
x a
c k
3 1
1 3
2 3
1 2
c k
k k
c k
k k
x a
n c
k n
c k
x a
c k
dan kemudian diperoleh bahwa a adalah sembarang dan untuk
n ≥ 1,
1
1 2
2 3
: 1
k k
a c
k n
c k
n c
k a
k
1
1 2
1 1
2 1
1
k k
a c
k c
n k
c n
k a
1
1 2
1 1
2 1
1
k k
a c
k c
n k
c n
k a
Maka akan diperoleh,
2 1
2 1
a c
c n
c n
a
k k
k k
k k
Dan pilih a = 1 dan disini kita dapat peroleh solusi persamaan yang akan diubah
kebentuk fungsi hypergeometrik sebagai berikut;
65
1 2
2
2 1
2 1
1
k k
k c
k k
k k
c v
c n
c n
y
Karena x – 1 = v, maka solusi diatas berubah menjadi
1 2
2
2 1
1 2
1 1
k k
k c
k k
k k
c x
c n
c n
y
1 2
2
2 1
1 1
2 1
k k
k c
k k
k k
c x
c n
c n
y
1 2
2
2 1
1 1
2 1
k k
k c
k k
k
c x
c n
c n
y
1 2
2
2 1
1 2
1
k k
k c
k k
k
c x
c n
c n
y
1 2
2
2 1
1 2
1
k k
k c
k k
k
c x
c n
c n
y
Maka diubah kebenntuk fungsi hypergeometrik adalah sebagai berikut; 1
; ;
1 2
, 2
2
x c
n c
n F
y
Dari kedua contoh diatas jelaslah bahwa persamaan konfluensi hypergeometrik dan persamaan Legendre merupakan persamaan type hypergeometrik.
66 Persamaan type hypergeometrik merupakan langkah awal timbulnya Algoritma
HYPER. Setelah ini akan dibahas tentang Algoritma HYPER lebih lanjut.
3.4. Algoritma Dasar Algoritma HYPER [4]
