14
Vektor i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, dan k = 0, 0, 1 merentang R
3
karena setiap vektor a, b, c pada R
3
dapat dituliskan sebagai
a, b, c = a1, 0, 0 + b0, 1, 0 + c0, 0, 1 = ai+ bj + ck, yang merupakan kombinasi linear i, j dan k.
2.3. Kebebasan Linear
Definisi 2.3.1 [1] Jika S = {v
1
, v
2
, . . ., v
r
} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ . . . + k
r
v
r
= 0
mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni k
1
= 0, k
2
= 0, . . . , k
r
= 0
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linier linearly independent. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak
bebas linier linearly dependent. Contoh 2.3.2
Akan diperlihatkan vektor-vektor berikut
v
1
= 1, -2, 3, v
2
= 5, 6, -1 dan v
3
= 3, 2, 1 merupakan himpunan tak bebas linier atau himpunan bebas linier.
15 Penyelesaian. Untuk memperlihatkan bahwa himpunan vektor tersebut bebas linier
atau tak bebas linier, akan dipenuhi k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
= 0
k
1
1, -2, 3 + k
2
5, 6, -1 + k
3
3, 2, 1 = 0, 0, 0 atau secara ekivalen menjadi
k
1
+ 5k
2
+ 3k
3
, -2k
1
+ 6k
2
+ 2k
3
, 3k
1
- k
2
+ k
3
= 0, 0, 0
Dengan mnyamakan komponen yang bersesuaian akan memberikan k
1
+ 5k
2
+ 3k
3
= 0 -2k
1
+ 6k
2
+ 2k
3
= 0 3k
1
- k
2
+ k
3
= 0
v
1
, v
2
, dan v
3
akan membentuk himpunan tak bebas linier jika sistem ini mempunyai pemecahan tak trivial, atau membentuk himpunan bebas linier jika sistem tersebut
hanya mempunyai pemecahan trivial. Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan
t k
2 1
1
t k
2 1
2
t k
3
16 Jadi, sistem tersebut mempunyai pemecahan tak trivial maka v
1
, v
2
, dan v
3
membentuk himpunan tak bebas linier.
2.4. Basis
Definisi 2.4.1 [1] Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v
1
, v
2
, . . ., v
r
} merupakan himpunan
berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika
1 S bebas linier
2 S merentang V
Contoh 2.4.2 Misalkan v
1
= 1, 2, 1, v
2
= 2, 9, 0 dan v
3
= 3, 3, 4 akan diperlihatkan bahwa himpunan S = {v
1
, v
2
, v
3
} adalah basis untuk R
3
.
Penyelesaian. Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R
3
, maka harus
diperlihatkan bahwa sebarang vektor b = b
1
, b
2
, b
3
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor pada S,
b = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
b
1
, b
2
, b
3
= k
1
1, 2, 1+ k
2
2, 9, 0 + k
3
3, 3, 4
17 Atau
b
1
, b
2
, b
3
= k
1
+ 2k
2
+ 3k
3
, 2k
1
+ 9k
2
+ 3k
3
, k
1
+ 4k
3
Atau k
1
+ 2k
2
+ 3k
3
= b
1
2k
1
+ 9k
2
+ 3k
3
= b
2
1 k
1
+ 4k
3
= b
3
Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, haruslah diperlihatkan bahwa satu-satunya pemecahan dari
k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
= 0 2
adalah
3 2
1
k
k k
.
k
1
+ 2k
2
+ 3k
3
= 0 2k
1
+ 9k
2
+ 3k
3
= 0 3
k
1
+ 4k
3
= 0 hanya mempunyai pemecahan trivial. Bahwa sistem persamaan 1 dan sistem
persamaan 3 mempunyai matrik koefisien yang sama yaitu
1 2
3 2
9 3
1 4
maka dapat secara serempak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R
3
dengan memperlihatkan bahwa matrik koefisien
18 A =
1 2
3 2
9 3
1 4
Pada sistem persamaan 1 dan 3 dapat dibalik karena detA = -1
Maka jelaslah bahwa A dapat dibalik jadi S adalah sebuah basis.
2.5. Persamaan Diferensial Orde Dua
