19 Dimana Px, Qx,Rx dan gx adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval,
dan dimana
dx dy
y
. Hal yang sangat berbeda dengan persamaan diferensial orde satu adalah keunikan solusi dari persamaan diferensial orde dua disyaratkan dengan
dua kondisi awal yang harus dipenuhi yakni y
x y
dan
y x
y
.
2.5.1. Solusi Persamaan Diferensial
Sebuah solusi dari persamaan 2.5.1 dan 2.5 .2 pada interval α x β
dengan α dan β adalah bilangan riil adalah suatu fungsi yx sedemikian sehingga
x y
dan
x y
ada dan memenuhi persamaan 2.5.1 dan 2.5.2. Yang dimaksud dengan suatu fungsi yx ada adalah jika kita ambil x
di α x β maka yx ada
nilainya bukan ∞.
2.5.2. Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum dari persamaan homogen dengan koefisien konstan adalah
cy
by ay
a, b, dan c adalah konstanta sembarang dan gx = 0, maka kita akan dapatkan persamaan kuadrat dalam λ yang nantinya akan kita namakan persamaan
karakteristik untuk λ, yakni
2
c
b a
maka
a ac
b b
2 4
2
20 Jadi solusi kita dapatkan adalah
x
e y
1
, dan
x
e y
2
, dan solusi umumnya adalah dapat dinyatakan sebagai berikut
x x
e c
e c
y c
y c
y
2 1
2 2
1 1
Contoh 2.5.2.1. menyelesaiakan
6 5
y
y y
dengan y0 = 2 dan
3
y
Penyelesaian: misalkan solusi kita dalam bentuk
x
e y
, dari persamaan diferensial
diatas diperoleh persamaan karakteristik
6 5
2
, didapatlah λ = -2 dan λ = -3. Jadi solusi umumnya menjadi
3 2
2 1
x x
e c
e c
y
dan
3 2
2 1
3 2
x x
e c
e c
y
Dengan kondisi awal yang diberikan maka kita peroleh 2
2 1
2 1
c
c e
c e
c y
dan 3
3 2
3 2
2 1
2 1
c
c e
c e
c y
Dari kedua relasi itu, kita peroleh c
1
= 9 dan c
2
= -7, sehingga solusi khususnya adalah
3 2
7 9
x x
e e
y
Dalam hal ini akan dijelaskan bentuk yang lebih formal, dengan memperkenalkan notasi
21
qy py
y y
L
] [
Dimana p dan q adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval I artinya α x β
dengan α dan β adalah bilangan riil. Disini akan membuktikan bahwa jika L[y] = 0 persamaan homogen dengan
y x
y
dan y
x y
maka terdapat sebuah
solusi yang tunggal. Dalam persamaan diferensial orde dua ini kita selalu mendapatkan dua solusi, kita gabungkan kedua solusi tersebut sehingga menjadi
solusi umumnya. Perhatikan Jika y
1
adalah sebuah solusi maka L[y
1
] = 0, Jika y
2
adalah sebuah solusi maka L[y
2
] = 0, Kemudian kita bertanya apakah
2 2
1 1
y c
y c
y
juga solusi? Jawabannya adalah iya,
karena, L[y] =
2 2
1 1
y c
y c
+
2 2
1 1
y c
y c
p
+
2 2
1 1
y c
y c
q
=
2 2
2 2
1 1
1 1
qy py
y c
qy py
y c
= ]
[ ]
[
2 2
1 1
y L
c y
L c
= .
.
2 1
c c
= 0 + 0 = 0
22 Jika kita punya kondisi awal
y x
y
dan y
x y
maka kita akan peroleh
2 2
1 1
x y
c x
y c
y
dan
2 2
1 1
x y
c x
y c
y
Kedua persamaan diatas memuat dua konstanta yang belum diketahui c
1
dan c
2
, yang jika kita selesaikan akan kita dapatkan
2 1
2 1
2 2
1
x y
x y
x y
x y
x y
y x
y y
c
2 1
2 1
1 1
1
x y
x y
x y
x y
x y
y x
y y
c
Dimana
2 1
2 1
x y
x y
x y
x y
≠ 0, atau Wy
1
, y
2
≠ 0.
Maka dari penjelasan diatas timbul suatu teorema yaitu sebagai berikut
Teorema 2.5.2.1 [5]
Jika y
1
dan y
2
adalah solusi-solusi dan L[y] = 0 dan Wy
1
, y
2
≠ 0,
Untuk suatu x , maka
2 2
1 1
x y
c x
y c
y
Adalah solusi umum, dimana konstanta-konstanta sebarang c
1
dan c
2
diperoleh dari semua kemungkinan solusi dari L[y] = 0.
23
2.6. Solusi dengan Deret Pangkat
