37 37
65 -1
2 34
-3 -5
2 -11
2 -40
14 19
20 -27
-28 -30
-9 -27
-51
Jika terdapat lebih dari dua kelompok data, maka dapat dibentuk sebuah matriks X dimana kolom-kolomnya memperlihatkan simpangan dari rata-rata untuk
setiap kelompok dan kemudian membentuk sebuah matriks kovariansi S dengan menetapkan
1 -1
S n
T
X X
Matriks kovariansi untuk ketiga kelompok data nilai matematika adalah 37
37 65
1 2
34 37
1 3
11 14 27
9 3
5 2
1 37
2 5
2 19
28 27
11 2
40 6
65 34 2
10 20
30 51
14 19
20 27
28 30
9 27
51 S
417, 7
4375,5 725, 7
437, 5 546, 0
830, 0 725, 7
830, 0 1814,3
Entri-entri diagonal matriks S adalah variansi untuk ketiga kelompok nilai dan entri-
entri di luar diagonal adalah kovariansi-kovariansi.
2.1.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi. Anggap A adalah suatu matriks n × n. Skalar
disebut sebagai suatu nilai
eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x, sehingga Ax = x. Vektor x disebut vektor eigen dari A yang berasosiasi dengan Horn and
Johnson, 1985.
Universitas Sumatera Utara
Untuk mengetahui lebih jelas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, perhatikan contoh 2.1.3 berikut.
Contoh 2.1.3
Misalkan 3
2 -1
dan 3 -2
3 A
x .
Karena 3
2 -1
3 -1
-3 -3
3 -2 3
-9 3
A
x x ,
dari penyelesaian contoh soal di atas terlihat bahwa = -3 adalah nilai eigen dari A
dan x =
-1 3
merupakan vektor eigen yang berasosiasi dengan
= -3.
Hasil Kali dan Jumlah Nilai Eigen
Jika p adalah polinom karakteristik dari matriks A yang berorde n × n, maka
11 12
1 21
12 2
1 2
det
n n
n n
nn
a a
a a
a a
p A
I a
a a
2.5
Dengan menguraikan determinan sepanjang kolom pertama, diperoleh
1 11
11 1
1 1
det - - det
-1 det
n i
i i
i
A I
a M
a M
di mana minor-minor M
i1
, i = 2, . . ., n tidak mengandung kedua elemen diagonal
ii
a
. Dengan menguraikan detM
11
dengan cara yang sama, dapat disimpulkan bahwa
11 22
...
nn
a a
a
2.6
adalah satu-satunya suku dalam ekspansi det A
I
yang menyebabkan suatu hasil
kali lebih dari n – 2 elemen diagonal. Jika persamaan 2.7 diuraikan, maka koefisien dari
n
akan menjadi -1
n
. Jadi, koefisien utama dari p
adalah -1
n
dan dengan demikian jika
1
, . . .,
n
adalah nilai-nilai eigen dari A, maka
1 2
1 ...
n n
p
2.7 untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen, nilai
p harus sama dengan 0,
sehingga diperoleh
Universitas Sumatera Utara
1 2
...
n
p
Dari persamaan 2.5 dan 2.7 maka diperoleh
1 2
. det
n
p A
Dari persamaan 2.6, juga diperoleh
1 n
ii i
a
sebagai koefisien dari -
n – 1
. Jika dengan persamaan 2.7
1 n
i i
. Dengan demikian, maka
1 n
i i
=
1 n
ii i
a
Jumlah elemen diagonal dari A dinamakan trace dari A, dan dilambangkan dengan trA, catatan bahwa trA + B = trA + trB Horn and Johnson, 1985.
Contoh 2.1.3.1
Jika 3
2 3
2 A
maka detA = -6 – 6 = -12 dan trA = -3 + 2 = -1
Polinom karakteristik dari A diberikan oleh persamaan
2
3 2
12 3
2
dan sebagai akibatnya nilai-nilai eigen dari A adalah -4 dan 3.
Dapat ditinjau bahwa
1
+
2
= -1 = trA dan
1
.
2
= -12 = detA. Dalam penelitian ini digunakan nilai eigen dan vektor eigen. Fungsi nilai
eigen pada penelitian ini yakni karena trace = jumlah nilai eigen = jumlah elemen diagonal akan digunakan untuk menentukan nilai fungsi objektif yang berupa skalar
bukan dalam bentuk matriks. Vektor eigen digunakan untuk mengetahui kombinasi linier matriks L dan R yang merupakan matriks transformasi kiri dan kanan oleh
ADL2-D. Matriks L dan R selanjutnya akan digunakan untuk menentukan matriks sebaran dalam kelas jika L atau R tetap dan matiks sebaran antar kelas jika L atau R
tetap ,
, ,
R L
R L
w w
b b
S S
S S . Matriks L dan R tersebut kemudian akan digunakan untuk
menghitung transformasi bilinier sehingga diperoleh perbedaan antar kelas dan hasil klasifikasi yang baik.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Analisis Diskriminan Linier ADL
