UJI NISBAH KEMUNGKINAN DAN STATISTIK T PADA SEBARAN GENERALIZED WEIBULL

UJI NISBAH KEMUNGKINAN DAN STATISTIK T PADA SEBARAN
GENERALIZED WEIBULL

Oleh
Rendy Rinaldy Saputra
0817031047

Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014

ABSTRACT

RENDY RINALDY S., “Maximum Likelihood Ratio and T statistic On
Generalized Weibull Distribution”.
48 pages
The parameter is a particular characteristic of a population . Parameter estimation
is an important problem in statistical inference . Parameter estimation is the
estimated activity of the predictive value of a given population , because in
general the value of the parameter of the distribution is not known so that
inferences about the parameters requires a good probability concepts . Parameter
estimation activity aims to present the results of the estimation of the population
parameter values who based on sample data . Parameter estimation activities
closely related to drawing conclusions based on those hypotheses . Expected error
can cause errors in the withdrawal hypothesis called type I error and the type of
error II.One the methods associated with the estimation of parameters is the
maximum likelihood (MLE). MLE is a method of estimating the parameters of the
cluster data follows a specific distribution. In this case the general MLE is a
method that is applied to maximize the likelihood function from a distribution that
maximizes the error to obtain a good guess parameters . And conclusion can be
done by determining the value of t statistics obtained by maximizing the value of

the likelihood ratio function is obtained by performing a likelihood ratio test . In
this paper, will be conducted estimate parameters of the two distributions Weibull
distribution and the Generalized Weibull distribution . And furthermore , will do a
comparison test between the two Weibull distributions by using Likelihood Ratio
Test ( maximum likelihood ratio test ) as well as the method of maximum ratio
Keyword : parameters , distributions , hypothesis , the likelihood ratio

DAFTAR ISI

Halaman
I.

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ....................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ................................................................. 5
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................... 5

II.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendahuluan ......................................................................... 6
2.2 Distribusi Weibull ................................................................ 6
2.3 Distribusi Generalized Weibull ............................................ 10
2.4 Metode Newton – Raphson .................................................. 11
2.5 Metode Kemungkinan Maksimum
(Maximum Likelihood Estimations Metodh ......................... 13
2.6 Uji Rassio Kemungkinan
(Likelihood Ratio Test) ......................................................... 13
2.7 Statistik T ............................................................................. 14

III.

METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Pendahuluan ......................................................................... 15
3.2 Metode Penelitian ................................................................. 15
3.3 Diagram Alur Penelitian ...................................................... 17

IV.

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pendahuluan ......................................................................... 18
4.2 Perumusan Hipotesis ............................................................ 18
4.3 Menduga Parameter ............................................................. 19

4.4 Matriks Hessian .................................................................... 30
4.5 Metode Likelihood Ratio (LR) bagi distribusi Weibull ....... 40
4.6 Metode Ratio of Likelihood Maximum (RLM) bagi
distribusi Weibull dan distribusi Generalized Weibull ........ 43
V.

KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan .......................................................................... 46
5.2 Saran ..................................................................................... 48

DAFTARPUSTAKA

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Statsistika merupakan suatu metode, ilmu dan seni yang dipergunakan untuk (atau
mempelajari tentang) pengumpulan data, analisis data dan interpretasi hasil
analisis serta mempergunakannya untuk maksud – maksud tertentu. Statisitika
dapat pula dinyatakan sebagai suatu studi tentang informasi (keterangan) dengan
mempergunakan metodologi dan tekhnik – tekhnik perhitungan untuk
menyelesaikan permasalahan – permasalahan praktis yang sering muncul
diberbagai bidang (statistika sebagai metode) (Suntoyo, 1994).

Secara umum, statistika terbagi dalam dua kelompok utama yaitu statistika
deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah bagian dari ilmu
statistika yang bertujuan untuk menggambarkan atau mendeskripsikan serta
menganalisis suatu kelompok data yang diberikan tanpa melakukan proses
penarikan kesimpulan. Sedangkan statistika inferensia dapat didefinisikan sebagai
bagian dari ilmu statistika yang berhubungan dengan syarat – syarat penarikan
suatu kesimpulan yang ditarik (Murray dan Larry, 1999).

Pengumpulan data dengan menggunakan sampel bertujuan untuk menarik suatu
kesimpulan umum tentang suatu peristiwa yang sedang diselidiki dengan cara
menganalisa data sampel. Dengan menggunakan dasar statistik sampel dapat

1

ditarik suatu kesimpulan (Inferens) tentang karakteristik populasi dari mana data
sampel tersebut diambil. Penarikan kesimpulan tersebut dapat dilakukan melalui
pendugaan (Estimate) tentang beberapa parameter distribusi populasi atau melalui
pengujian (Test) suatu hipotesis yang menyatakan nilai parameter distribusi
populasi.

Menururt (Dajan, 1986), populasi mempunyai karakteristik tertentu yang disebut
parameter. Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari
populasi yang dinamakan statistik. Masalah yang penting dalam inferensia
statistik adalah cara menduga parameter populasi yang merupakan kegiatan
estimasi terhadap nilai duga dari suatu populasi tertentu, karena pada umumnya
nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui sehingga penarikan kesimpulan
mengenai parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik. Dan dalam
penelitian tentang ciri ciri suatu peristiwa tertentu umumnya peneliti mengakhiri
penelitiannya dengan mengemukakan sebuah hipotesis yang dapat memberikan
suatu model bagi aspek atau ciri peristiwa yang diteliti. Hipotesis diuji dengan
membandingkan hasil teoritis dengan hasil sampel yang bersifat empiris.

Secara fungsional, tujuan pendugaan parameter berbeda dengan pengujian
hipotesis. Tujuan pendugaan parameter adalah penyajian hasil pendugaan tentang
nilai parameter populasi yang didasarkan pada data sampel. Sebaliknya, pengujian
hipotesis bertujuan untuk menentukan pilihan terhadap tindakan tindakan
alternatif dalam masalah pengambilan keputusan secara statistik yang berdasarkan
hasil sampel. Hubungan antara pendugaan parameter dan pengujian hipotesis
sangat erat. Kesalahan duga dapat menyebabkan kesalahan dalam penarikan

2

hipotesis yang disebut kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Menurut (Spiegel,
2004) kesalahan tipe I adalah menolak suatu hipotesis padahal hipotesis tersebut
benar, sedangakan kesalahan tipe II adalah menerima suatu hipotesis yang
seharusnya ditolak. Untuk menghindari kesalahan tersebut diperlukan desain
sedemikian rupa sehingga kesalahan pengambilan keputusan dapat diminimalisir.
Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan menambahkan ukuran sampel
sehingga dapat memaksimalkan galat penelitian.

Salah satu metode yang berkaitan dengan pendugaan parameter adalah metode
kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation) atau metode yang

lebih dikenal dengan MLE merupakan metode pendugaan parameter dari gugus
data yang mengikuti sebaran (distribusi) tertentu. Dalam hal ini secara umum
MLE merupakan metode yang diterapkan dengan memaksimumkan fungsi
kemungkinan

(Likelihood

Function)

suatu

distribusi

sehingga

dapat

memaksimumkan galat untuk memperoleh parameter duga yang baik. Dan
penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan menentukan nilai statistik t yang
diperoleh dengan memaksimumkan nilai rasio kemungkinan dari fungsi yang

diperoleh dengan melakukan uji rasio kemungkinan.

Metode uji rasio

kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio Test) merupakan metode uji
perbandingan antara dua distribusi yang bertujuan untuk melihat distribusi mana
yang lebih baik untuk diterapkan pada suatu kasus tertentu, misalnya untuk
melihat distribusi mana yang lebih baik dalam menggambarkan laju ketahanan
suatu produk, lama waktu hidup suatu organisme dan masih banyak lainnya.
Dengan menggunakan nilai statistik t dari perbandingan fungsi kemungkinan dua

3

distribusi yang akan diuji, uji rasio kemungkinan maksimum dapat memberi
informasi mengenai distribusi mana yang lebih baik untuk diterapkan.

Salah satu distribusi yang dapat diduga parameternya dengan metode
kemungkinan maksimum (MLE) adalah distribusi Weibull, baik distribusi
Weibull dengan dua parameter maupun distribusi Weibull dengan tiga parameter
(Generalized Weibulll). menurut (Edward dan Satya , 1995) ditribusi yang

diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939 ini
merupakan salah satu distribusi yang penting dalam statistika karena berbagai
alasan diantaranya hanya dengan memilih β yang sesuai fungsi tersebut dapat
memodelkan laju kegagalan baik yang naik maupun yang turun. Selanjutnya,
fungsi tersebut dapat menggambarkan atau memodelkan laju kegagalan dengan
q(x) yang sebanding dengan pangkat x dengan cukup baik.

Dan dalam penelitian kali ini, penulis akan melakukan pendugaan parameter dari
distribusi Weibull dan Generalized Weibulll, serta melakukan uji perbandingan
antara dua distribusi Weibull dan Generalized Weibulll dengan menggunakan
metode Likelihood Ratio Test (uji rasio kemungkinan maksimum).

1.2 Tujuan Penelitian

Berdasarkan uraian singkat mengenai latar belakang dilakukannya penelitian ini,
maka tujuan dilakukan penelitian kali ini adalah :
1. mencari parameter duga dari distribusi Weibull dan distribusi Generalized
Weibull dengan Maximum Likelihood Estimatin (MLE)

4

2. melakukan uji nisbah kemungkinan (Likelihood Ratio Test) dengan
menggunakan perbandingan dua distribusi, untuk
�0 dan

0

∶ Distribusi Weibull vs

1

∶ Distribusi

0

∶ � = �0 vs

� � ���

1

∶ � ≠

� � ���.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian kali ini adalah memberikan informasi mengenai distribusi
Weibull baik bentuk umum maupun pendugaan parameter serta perbandingan
antara dua distribusi Weibull sehingga dapat dilihat distribusi yang cukup baik
untuk digunakan atau diterapkan kepada penulis maupun pembaca.

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendahuluan
Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis yang dilakukan
untuk mencari nilai parameter yang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji
perbandingan ini nantinya akan memberikan gambaran mengenai parameter yang
baik. Untuk melakukan uji perbandingan diperlukan beberapa toeri pendukung.
Dan pada bab II ini akan dibahas mengenai dasar – dasar teori yang digunakan
dalam melakukan uji perbandingan dua distribusi Weibull dengan metode
Likelihood Ratio Test (LRT), seperti distribusi Weibull, metode kemungkinan
maksimum (Maximum Likelihood Estimation), uji rasio kemungkinan (Likelihood
Ratio Test), dan statistik T.

2.2 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada
tahun 1939. Distribusi Weibull dapat dipakai pada persoalan keandalan dan
pengujian masa hidup (life testing) seperti waktu sampai rusak atau masa hidup
suatu sistem diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak. Distribusi Weibull
sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut
juga sebagai distribusi waktu tunggu hingga gagal. Distribusi Weibull sering
digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah
fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu.

6

Definisi 2.1 :
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi weibull dengan parameter β dan θ
jika fungsi densitasnya adalah sebagai berikut
� =

� �

−1

−��

; x > 0 , β > 0, θ > 0

Dengan parameter β sebagai parameter skala yang menskala peubah X, dan
parameter θ sebagai parameter bentuk yang menentukan bentuk rate function X
Teorema :
Misalkan X adalah suatu peubah acak berdistribusi weibull dengan parameter α
dan β, maka rata – rata dan variansnya adalah :
�( ) = � −1 � 1 +

1

��( ) = � −2 � 1 +

, dan
2

− � −1 � 1 +

1

2

(kundu dan Manglick, 2001).

Bukti :
i.

E (X)

Untuk mencari rataan dari distribuis Weibull gunakan persamaan sebagai
berikut :
� =
� � =
=

� �

−1

−(�� )

�

�

�

�

� �

∞
0
∞
0

−1

− ��

�

7

∞

=

− ��

� �

0

�

Misal
= (��)
1

�=

�

�=

1

1
�

�

−1

Menentukan nilai batas integral,
Untuk � = 0,

=0

� = ∞,

= ∞

(2.1)

Dengan mensubtitusikan hasil pemisalan dan batas integral, dipeoleh
� � =
=

∞
0
∞
0

�

1
�

−

�

1

�

= � �

�

−

1

1

�

−1

−
∞

1

−

0

sehingga diperoleh
� (�) = � −1

1

+1

8

ii.

Var (X)

Untuk mencari rataan dari distribusi Weibull gunakan persamaan sebagai
berikut :
�� � = � � 2 − �(�)

2

(2.2)

Pertama cari nilai � � 2 sebagai berikut
� �2 =
=

∞

0
∞
0

=

∞

�2

�

�2

� �

� �

0

�
−1

− ��

− ��

+1

�
�

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.1), diperoleh
� �

2

=

∞

�

0

=

∞
0

2

1
�

−

�

2

�

= � �

−

2

�

1

�

−1

−
∞

0

2

−

Sehingga diperoleh peroleh
� � 2 = � −2

2

+ 1

(2.3)

Subtitusikan persamaan (2.3) ke persamaan (2.2),
�� � = � � 2 − �(�)

�� � = �

−2

2

2

+ 1 − �

−1

1

2

+1

9

�� � = � −1 �

2

1

+ 1 −

2

+1

2.3 Distribusi Generalized Weibull

Model distribusi Generalized Weibull merupakan salah satu model umum yang
hidup. Penerapan model distribusi Generalized

dapat diterapkan dalam data

Weibull dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam memilih model peluang
dalam data kelangsungan hidup. Model ini dipilih karena memiliki potensi yang
bagus untuk mencocokan data kelangsungan hidup.

Menurut Hermita dkk (2007), distribusi Generalized Weibull didefinisikan
sebagai berikut :

Defiinisi 2.2
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga
parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah

Dimana
X

� =

� �−

� −1

−

�−

�

;

< � < ∞,

0,

> 0, � > 0

= peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (Failure
Time)

α

= Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi
waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang mati/gagal maupun hilang

β

= Parameter skala pengamatan yang mati/rusak/gagal maupun hilang

δ

= Parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data
distribusi Generalized Weibull

10

2.4 Metode Newton-Raphson

Metode ini merupakan metode umum yang paling sering digunakan dalam
mencari akar – akar persamaan kuadrat. Jika perkiraan awal dari akar adalah x i,
suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, ʃ (xi). Titik dimana garis singgung

tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari
nilai akar.

Ada dua pendekatan yang dapat dilakukan dalam menurunkan rumus metode
Newton-Raphson, yaitu :
1.

Penurunan secara Geometri.
Misal f(x) = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akar x dan f dapat
didiferensialkan, sehingga y = f(x) memiliki garis singgung disetiap titik pada
kurva fungsinya.
Missal gradien garis singgung di �� adalah
=

Atau
′

′

�� =

�� =

�

=

�� − 0
�� − ��+1

(�� )
�� − �� +1

Maka prosdeur iterasi Newton Raphsonnya adalah

2.

��+1 = �� −

′

��
��

,

Penurunan dengan deret Taylor
Uraikan

′

�� ≠ 0

��+1 disekitar �� ke dalam deret taylor

11

′

�� + ��+1 − ��

��+1 =

; � < < ��+1

�� +

��+1 − ��
2

2

′′

Jika dipotong sampai suku orde ke-2, menjadi
��+1 ≈

�� + ��+1 − ��

′

��+1 ≈

�� + ��+1 − ��

′

(�� )

Dan karena persoalan mencari akar persamaan, maka

��+1 = �� −

(�� )
′ (� )
�

;

′

�� = 0

��+1 = 0, sehingga

�� ≠ 0

Iterasi Newton – Raphson berhenti apabila

Atau

��+1 − �� <
�� +1 − ��
< �
��+1

Dengan

dan � adalah toleransi galat yang diinginkan.

Langkah – langkah dalam memtode Newton – Raphson adalah
1. Masukkan nilai awal �0 sembarang

2. Tentukan fungsi

�� dan turunan pertamanya

3. Masukkan persamaan fungsi

��

dan turunan pertamanya kedalam

rumus Newton – Raphson sampai dengan eror < , sehingga diperoleh
akar fungsi (Aryes, 1964).

12

2.5 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation
Method)

Metode kemungkinan maksimum atau yang biasa ditulis dengan MLE merupakan
metode yang digunakan untuk menduga suatu sebaran dengan memilih parameter
duga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan.

Menurut Herrhyanto dan Gantini (2009), metode kemungkinan maksimum
didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.3
Misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan
peluang

(�; �), dengan θ adalah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan

�1 , �2 , … … … �� merupakan sampel acak berukuran n, maka fungsi kemungkinan

maksimum (likelihood function) dari sampel acak tersebut adalah
� � =

�1 ; �

�� ; � … …

�� ; �

Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak
diketahui. Biasanya untuk mempermudah proses analisa, fungsi kemungkinan
� � diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari θ adalah nilai
θ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan � � .
2.6 Uji Rasio Kemungkinan (Likelihood Ratio Test)

Misalkan X1, X2, . . . . ., Xn melambangkan n peubah acak independent yang memiliki
masing masing fungsi kepekatan peluang

�

�� ; �1 , �2 , … … , ��

; � = 1,2, … , �. Deret

yang terdiri dari semua titik parameter (�1 , �2 , … … , �� ) dinotasikan dengan Ω dan kita

13

sebut sebagai parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang
parameter Ω
Kita inginkan hipotesis �0 ∶ (�1 , �2 , … … , �� ) ∈ �, jika bukan maka merupakan

hipotesis alternatif.

Definisi 2.6
� � =
Dan
� � =
Misalkan � �

�
�=1
�
�=1

�

�� ; �1 , �2 , … … , �� ,

(�1 , �2 , … … , �� ) ∈ �

�

�� ; �1 , �2 , … … , �� ,

(�1 , �2 , … … , �� ) ∈ �

dan � �

maksimum, dan kita asumsikan ada dari dua fungsi

kemungkinan. Rasio dari � � dan � � disebut rasio kemungkinan (Likelihood Ratio)
dan dinotasikan sebagai berikut :

� �1 , �2 , … … , �� =

� �
� �

(Hogg and Craig,1978).

2.7 Statistik T

Menurut Kundu dan Manglick (2001), statistik T merupakan logaritma natural (ln) dari
rasio kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut
� = ln � �1 , �2 , … … , �� = ln

� �

� �

Statistik T memiliki karakteristik yaitu jika T > 0 maka akan mengikuti distribusi
pembilang, dan untuk T lainnya maka akan mengikuti distribusi penyebut.

14

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Pendahuluan
Pada bab 3 ini akan dibahas mengenai metode ataupun langkah – langkah yang
dilakukan dalam melakukan penelitian yang berkaitan dengan uji nisbah
kemungkinan maksimum pada distribusi. Sebagai suatu penelitian ilmiah, tentu
saja penelitian serta penulisan hasil penelitian dari distribusi Weibull ini
mengikuti beberapa kaidah – kaidah yang telah ditetapkan, serta dilaksanakan
secara terpola mulai dari tahap awal hingga tahap akhir penulisan. Pada bab 3 ini,
diharapkan pembaca dapat memperoleh gambaran singkat mengenai garis besar
penelitian serta langkah – langkah yang harus ditempuh dalam melaksanakan
penelitian.

3.2 Metode Penelitian

Pada penelitian kali ini, metode yang digunakan adalah melalui studi pustaka
dengan menggali informasi – informasi yang menunjang dan berkaitan dengan
topik penelitian, baik yang berasal dari buku – buku penunjang, jurnal maupun
skripsi yang berkaitan dengan topik yang akan diteliti.

Lebih lanjut mengenai metode yang digunakan, berikut adalah perincian
mengenai tahap – tahap yang dilakukan dalam melakukan penelitian ini :

15

1. Menggali informasi mengenai distribusi Weibull beserta teori – toeri penujang
lain, baik definisi maupun torema – teorema yang membangun penelitian, serta
menjabarkan pembuktian dari torema torema tersebut.
2. Menduga parameter duga dari distribusi Weibull dan generalized Weibull
dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (MLE), dengan
langkah langkah sebagai berikut :
2.1 Membentuk fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull dan Generalized
Weibull.
2.2 Memaksimalkan fungsi kemungkinan dengan menggunakan logaritma
natural.
2.3 Mencari parameter duga dari distribusi Weibull dan Generalized Weibull
dengan menggunakan turunan parsial terhadap parameter yang akan
diduga.
3. Mencari rasio kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull dan
Generalized Weibull
3.1 Untuk hipotesis �0 ∶ � = �0 vs H1 ∶ θ = θ1 .

3.2 Untuk hipotesis

�0 ∶ Distribusi Weibull vs H1 ∶ Distribusi

� �� ��

�

.

Untuk memberikan gambaran mengenai tahapan yang dilalui dalam melakukan
penelitian, maka metode yang digunakan dalam penelitian kali ini juga dapat
dilihat dalam bentuk diagram alur.

16

3.3 Diagram Alur Penelitian
Berikut adalah diagram alur yang menjelaskan mengenai tahapan – tahapan dalam
melakukan penelitian kali ini.

mulai

Mencari toeri
pendukung

Menduga parameter

Tidak
eksak
tidak
ya
Metode NewtonRaphson

Mencari rasio
kemungkinan

Selesai

17

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan
Berdasarkan latar belakang dan tujuan dilakukannya penelitian, serta dengan
melihat hasil yang diperoleh setelah melakukan penelitian, maka dapat
disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
1.

Parameter dari masing – masing distribusi yang diteliti dalah sebagai berikut:
a. Distribusi Weibull

�=

=

−� ln

�

� �
�=1 �

� � + � ln �
�
�=1 �
�=1
�

, dan

�
−� ln ��=1 � � + ��=1 ln � �

b. Distribusi Generalized Weibull
<

1

= min

1
1

=

1

�
�=1

�

�� −

� �

, dan

� = hasil iterassi dari rumus Newton − Raphson sebagai berikut:
δ

n+1

= δ

Dengan
g(δn ) = � + �

n

−

g(δn )
∂g(δ)
∂δ

�
�=1 ln

�� −

−

��

�
� ln
�=1 � � −
�
�
�=1 � � −

�� −

dan

46

∂g(δ)
∂δ

�
�=1 ln

=

�
�=1

�

�� −

�� −

�

−

� ��=1 � � −
�
�=1

�

�� −

ln � � −

�� ��=1 �� −

ln �� −

�
�=1

� 2

�
�=1

�� −

� ln
�

�� −

�� −

�

−

2. Likelihood Ratio (LR) adalah uji perbandingan yang digunakan untuk
membandingkan antara dua distribusi yang sama. Nilai LR akan mengikuti
sebaran Khi-Square. Adapun nilai LR yang diperoleh dengan membandingkan
antara distribusi Weibull adalah sebagai berikut :


Untuk � = � �� � = �

�� =

�

�1

�

exp �1 −�

Dengan wilayah kritis

2 − ln +� ln �−� ln �1

=P


�1

Untuk � = � �� � = �

�� =

1

�

�

� 1

�

=P V
=

2
β1

�
�=1 ��

−

�1 −�

�
−1
�=1 � �
�
1 −1
�=1 � �

Dengan weilayah kritis

Dengan

�
�=1 ��

1−

exp � 1 −�

�
�=1 ��

1−

ln +� ln −ln 1 + ln �− 1 ln � +
� 1 −�

− 1

�
�=1 ln

��

berdistribusi �22 berderajat bebas 2n.

3. Ratio Maksimum Likelihood (RML) merupakan uji perbandingan yang
digunakan untuk membandingkan dua distribusi yang berbeda. Dalam
penelitian kali ini diperoleh nilai RML dari perbandingan antara distribusi
Weibull dan distribusi Generalized Weibull sebagai berikut :

47

� = � ln

Dengan

(� − 1)
,

+

ln � − ln � + 2 ln

�
�=1 ln(��

− ) −�

1

−

�
�=1 ��

ln
−

1

−1

+

�� −
�
�=1

1

�

�
�=1 ln ��

+

dan δ merupakan parameter dari distribusi Generalized Weibull

yang diperoleh dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum
(Maximum Likelihood Estimation).

Nilai statistik T diatas akan mengikuti distribusi penyebut (Distribusi Weibull)
jika nilai dari T > 0, dan akan mengikuti distribusi pembilang (Distribusi
Generalized Weibull) jika nilai dari T < 0

5.2 Saran
Berdasarkan hasil yang telah diperoleh dalam bab sebelumnya, maka penulis
menyarankan agar dalam melakukan uji nilai maksimum parameter dari suatu
distribusi, hendaknya dilakukan pengujian wilayah kritis dengan menguji suku –
suku determinan matriks Hessian yang dapat dilakukan dengan menggunakan
metode faktorial untuk mencari akar – akar persamaan kuadrat.

48

DAFTAR PUSTAKA
Aryes, F, A. 1964. Theory and Problems Of Calculus. Mc. Graw-Hill,Inc. New
Jersey.
Dajan, A. 1986. Pengantar Metode Statistika. Edisi Kedua. LP3ES, Jakarta.
Dudewicc, J, E. dan Mishra, N, S. 1995. Statistika Matematika Modern. Institut
Tekhnologi Bandung, Bandung.
Herrhyanto, N. dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Cv.
Yrama Widya, Bandung.
Hermita, S, R. dkk. 2007. Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull.
Jurnal
Hogg, R,V. Craigg, A,T. 1978. Introduction to Mathmetaical Statistics. Fifth
Edition. Prantice-Hall, Inc., New Jersey.
Kundu, D. and Gupta, R,D. 2001. Discriminating Between Weibull and
Generalized Exponential Distributions. Jurnal
Lungan, R. 2006. Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang. Edisi Pertama. Graha
Ilmu, Jakarta.
Spiegel, R,M. dan Sthepens, J, L. 1999. Statistik. Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta.
Triatmojo, B. 2002. Metode Numerik. Beta Ofset, Yogyakarta.
Yitnosumarto, S. 1994. Dasar – dasar Statistika. RajaGrafindo Persada, Jakarta.