MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOGNORMAL (θ, σ2) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUMMEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOGNORMAL (θ, σ2) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM

(1)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Statistika dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna, sedangkan statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data (sampel), untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan data (populasinya). Statistika inferensia meliputi pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum (Hogg dan Craig, 1995).

Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan Parameter biasanya seorang peneliti mengukurnya tidak secara langsung melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (disebut dengan sampel) kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sampel tersebut digunakan untuk “menduga” ukuran sebenarnya (ukuran populasinya atau parameternya). Ada dua cara yang dapat dilakukan dalam melakukan pendugaan parameter, yaitu bayesian dan klasik. Pada metode statistik klasik, parameter (besaran populasi) merupakan suatu konstanta yang mempunyai nilai tertentu. Parameter diduga statistik berdasarkan sampel yang diamati dan sampel merupakan satu-satunya informasi yang digunakan untuk menduga populasi. Sedangkan Bayesian tidak hanya menggunakan informasi yang dibawa oleh sampel tetapi juga informasi awal (prior information) yang turut diperhitungkan dalam melakukan pendugaan

(2)

terhadap parameter populasi. Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).

Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menduga parameter suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode derivative (turunan) Menurut Bollen (1989), pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak mempengaruhi nilai dugaan parameter model).

Meskipun, kedua model dapat memberikan hasil yang sama untuk ukuran sampel sedang, tapi tetap saja diinginkan untuk memilih yang benar atau lebih mendekati kebenaran model, karena kesimpulan yang didasarkan pada model sering akan melibatkan peluang akhir , di mana akibat dari asumsi model akan sangat penting. Oleh karena itu, walaupun distribusi akan digunakan untuk memodelkan data pada sampel sedang maka tetap harus menggunakan distribusi yang terbaik.

(3)

Untuk pengujian apakah beberapa pengamatan yang diberikan mengikuti salah satu dari dua distribusi akan digunakan rasio kemungkinan maksimum (ratio maximum likelihood), jika nilai dari rasio kemungkinan maksimumnya lebih dari nol maka dapat disimpulkan bahwa data yang diuji akan mengikuti distribusi yang menjadi pembilang dari uji rasio kemungkinan maksimum sedangkan jika nilai dari rasio kemungkinan maksimum kurang dari nol maka data mengikuti distribusi yang menjadi penyebut dari uji rasio kemungkinan maksimum.

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini penulis hanya membatasi masalah pada pendugaan parameter dan rasio kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull dan distribusi log-normal untuk melihat distribusi mana yang lebih baik.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mencari penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.

2. Mengkaji sifat asimtotik normalitas penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull. 3. Mencari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) dari

distribusi log-normal dan Weibull. 1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah untuk:

1. Memberikan panduan kepada peneliti lain tentang cara pendugaan parameter dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation method) bagi fungsi kepekatan peluang dari distribusi Weibull dan log-normal.

(4)

2. Menunjukan kepada peneliti lain tentang hasil dari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) distribusi Weibull dan log-normal.

3. Memberikan informasi kepada peneliti lain tentang distribusi mana yang lebih baik antara distribusi Weibull dan log-normal.

(5)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Normal Umum

Menurut Herrhyanto dan Gantini (2009), peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

� =

√ �. � exp [ −

� � − ] ; −∞ < � < ∞, −∞ < < ∞, � >

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah

� �: , � , artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan µ dan varians σ2_.

Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan varians σ2 bisa juga ditulis sebagai:

~� , �

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum dirumuskan sebagai berikut:

� � = � = �

� = exp + � ;

2.2 Distribusi Log-Normal

Variabel dalam sebuah sistem kadang-kadang mengikuti sebuah hubungan eksponensial x = exp(w)

Jika exponent, W, adalah sebuah variable acak, maka X = exp(W) adalah sebuah variabel acak. Sebuah kasus khusus penting terjadi ketika W mempunyai sebuah distribusi normal. Pada kasus tersebut, distribusi X disebut sebuah distribusi

(6)

lognormal. Nama tersebut mengikuti transformasi ln (X) = W. Yaitu, logaritma natural dari X adalah terdistribusi normal.

Misalkan bahwa W adalah terdistribusi normal dengan rata-rata  dan variansi σ2; maka fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah:

� = �[ �] = �[exp � �] = �[� ln � ]

= � [ ln � − �_� ] = � [ln � − �_� ]

Untuk � > dan Z adalah variabel normal standar, sehingga tabel distribusi normal standar dapat digunakan untuk menghitung probabilitasnya.

� = untuk �

Menurut Kundu dan Manglick (2004). Fungsi kepekatan peluang dari suatu peubah acak log-normal dengan parameter θ > 0 dan σ > 0, adalah sebagai berikut:

� =

√ �. � �exp [ −

� ln � − ln � ]

untuk x > 0 Distribusi log normal dengan parameter θ dan σ dapat dinotasikan juga sebagai berikut LN(θ, σ).

Dengan nilai mean dan variansi berturut-turut adalah:

� � = ln �+�2 � = ln �+�2

( �2

− )

2.3 Distribusi Weibull (β, λ)

Menurut Kundu dan Manglick (2004). Fungsi kepekatan peluang dari suatu peubah acak Weibull (β, λ) dengan parameter β > 0 dan λ > 0, adalah sebagai berikut:

(7)

� = ��_��− − ��

untuk x > 0

Distribusi Weibull dengan parameter β dan λ dapat dinotasikan juga sebagai berikut WE(β, λ).

Dengan nilai Mean dan variansi berturut-turut adalah:

� � = � (� + )�−

� = � (� + )�−

− [� (� + )�− _]

2.4 Metode Kemungkinan Maksimum (maximum lilelihood Estimation method₎

Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga suatu sebaran dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai parameternya diduga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya.

Menurut Nar Nerrhyanto(2003), misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang f (x;θ), dengan θ adalah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan � , � , … , �_� merupakan sampel acak berukuran n maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu adalah:

� � = � ; � � ; � … ��; �

Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ. Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan L(θ) diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan L(θ).

2.5 Informasi Fisher

Menurut Hogg dan craig (1995), informasi fisher dinotasikan dengan I(θ), dimana :

� = � {[ ln �; �_� ] } = ∫ [ ln �; �_� ]

∞ −∞

(8)

Atau I(θ) juga dapat dihitung dengan:

� = −� [ ln �; �_� ] = − ∫ ln �; �_� �; � �

∞ −∞

Misalkan � , � , … , �_� merupakan sampel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x;θ). Maka fungsi kemungkinan adalah:

� � = � ; � � ; � … ��; �

Dari hal tersebut fungsi kemungkinan diberi fungsi logaritma natural, sehingga:

ln � � = ln � ; � + ln � ; � + + ln � ; �

dan

ln � �

� =

ln � ; �

� +

ln � ; �

� + +

ln ��; �

�

dari hal tersebut, dapat didefinisikan informasi fisher dalam sampel acak sebagai:

� � = � {[ ln � �_{� ] }}

2.6 Matriks Informasi Fisher

Pada kasus lain, jika θ merupakan suatu vektor dari parameter, maka I(θ) adalah Matriks Informasi.

Menurut Hogg dan craig (1995), misalkan sampel acak � , � , … , �_� dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan peluang �, � , � ; � , � ∈ Ω, dalam kondisi yang ada. Tanpa memperhatikan kondisi yang rinci, misalkan dikatakan bahwa ruang dari X dimana �, � , � > yang tidak mengandung � dan � . Sehingga matriks informasi adalah sebagai berikut :

�

= � [

� {[ ln �; � , �_� ] } � { ln �; � , �_� ln �; � , �_� } � { ln �; � , �_� ln �; � , �_� } � {[ ln �; � , �_� ] }

(9)

� = −�

[

� [ ln �; � , �

� ] � [

ln �; � , �

� � ]

� [ ln �; � , �_{� �} ] � [ ln �; � , �

� ]]

Menurut Elandt-Johnson(1971), misalkan terdapat s parameter,� , � , … , �_� atau, dalam bentuk vektor,�′= � , � , … , �_� dan terdapat logaritma fungsi

kemungkinan maka informasi yang diperoleh dari sampel tentang (� , � , … , �_� dapat ditulis dalam bentuk matriks informasi s x s, I(θ), dimana elemennya didefinisikan sebagai berikut:

� � , � , … , �� = � � = −� (� 2_ln

�� ),dimana i,j = 1,β,…,s Dan untuk i=j adalah sebagai berikut:

�� , � , … , �� = �� = −� ln �

��

Sehingga bentuk matrik informasi tersebut adalah:

� = [ � ⋱ � �

� � ��

]

2.7 Pertidaksamaan Cramer-Rao Bound _{(CRB) atau}Cramer-Rao Lower Bound _(CRLB)

Definisi 2.11:

Misalkan Y merupakan penduga tak bias dari suaru parameter θ dalam kasus penduga titik. Status y disebut penduga efisien dari θ jika dan hanya jika ragam dari Y mencapai batas bawah Cramer-Rao (Hogg dan Craig, 1995).

Menurut Elandt-Johnson (1971), pertidaksamaan Cramer-Rao Bound (CRB) dapat ditulis sebagai berikut :

(10)

(�̂) −

�� ( ln_{� )} = −� ( ln �_{� )}

atau

(�̂)

�� [( ln� ) ] =

� [ ln �_� ]

karena

−�� _�ln = −� _�ln � = �� [( ln_{� ) ] = � [(} ln �_{� ) ] = �}

Maka :

(�̂) �

Dimana

� � disebut sebagai Lower Bound of the Variance dari penduga θ.

2.8 Kelas Eksponensial dan Fungsi Kepekatan Peluang

Menurut Hogg dan Craig (1995), mengingat suatu keluarga { �; � : � ∈ �} dari fungsi kepekatan peluang, dimana Ω merupakan himpunan interval Ω = {� ∶ < � < }, dimana dan δ merupakan konstanta yang diketahui, dan dimana ;

�; � = { � [ �_{, � ��}� + � + � ] , < � <

Suatu fungsi kepekatan dari bentuk fungsi tersebut diatakan sebagai anggota dari kelas eksponensial yang kontinu apabila:

1. a dan b tidak tergantung pada θ, < θ < δ

2. p(θ) merupakan fungsi kontinu yang non trivial dari θ, < θ < δ 3. setiap K’(x) ≠ 0 dan S(x) adalah fungsi kontinu dari x, a < x < b

jika ketiga syarat dipenuhi maka f(x;θ) dikatakan sebagai regular case dari kelas eksponensial.

(11)

2.9 Teorema Nilai Tengah

Teorema:

Misalkan f merupakan fungsi dengan mengikuti hipotesis berikut ini: 1. f kontinu dalam interval tertutup [a,b]

2. f terdeferensiasi dalam interval terbuka (a,b)

maka terdapat bilangan c dalam (a,b), sedemikian sehingga:

′ ₌ −

− − = ′ −

(Stewart, 1994).

2.10 Teorema Limit Pusat

Teorema:

Misalkan � , � , … , �_�dinotasikan sebagai observasi sampel acak dari suatu sebaran yang mempunyai mean µ dan ragam positif � , maka peubah acak

� = ∑ �� − � �

�=

√�� =

√� �̅�−

�

Mempunyai pendekatan sebaran normal dengan mean 0 dan ragam 1 (Hogg dan Craig,1995).

2.11 Asimtotik Normalitas dari Penduga Kemungkinan Maksimum

Penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimator) merupakan penduga yang lebih atraktif karena jumlah sampelnya yang besar atau sifat keasimtotikannya.

Penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimator) memiliki salah satu sifat asimtotik yaitu:

(12)

� ~�[�, { � }− _]

Dimana I(θ) merupakan informasi fisher:

� = −� [ _{� �′ ]}ln �

Asimtotik Normalitas juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

√�(�̂ − �)→ � , { � }� − _{(Greene, 2000).}

2.12 Rasio kemungkinan maksimum

Misalkan , , . . , _� melambangkan n peubah acak independen yang memiliki masing-masing fungsi kepekatan peluang _� �_�; � , � , . . , � , � = , , . . , �. Deret yang terdiri dari semuat titik parameter � , � , . . , � dinotasikan Ω, yang kita sebut ruang parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang parameter Ω.

Kita inginkan hipotesis : � , � , . . , � ∈ jika bukan maka merupakan semua hipotesis alternatif.

Definisi fungsi kemungkinan:

� = ∏��= � ��; � , � , . . , � , � , � , . . , � ∈

dan

� � = ∏��= � ��; � , � , . . , � , � , � , . . , � ∈ �

Misalkan � ̂ dan �(�̂)maksimum, yang kita asumsikan ada, dari dua fungsi kemungkinan. Rasio dari � ̂ dan �(�̂) disebut rasio kemungkinan (likelihood ratio) dan dinotasikan oleh

� � , � , . . , �� = � =� ̂_�(�̂)

(13)

2.13 Statistik T

Menurut Kundu dan Manglick (2004), Statistik T merupakan logaritma natural dari rasio kemungkinan maksimum dan dinotasikan oleh

� = ln � � , � , . . , �� = ln � ̂_�(�̂)

Statistik T memiliki karakteristik yaitu jika � > maka data akan mengikuti distribusi pembilang, untuk statistik T lainnya sata akan mengikuti distribusi penyebut.

(14)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2011/2012, Bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini dan memberikan ilustrasi penerapannya dengan menggunakan perangkat lunak atau software SAS. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menduga parameter distribusi log-normal dan distribusi Weibull dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation method) sebagai berikut:

a. Membentuk fungsi kemungkinan dari fungsi distribusi log-normal dan Weibull.

b. Bentuk fungsi kemungkinan menjadi fungsi logaritma natural. c. Mencari turunan pertama dari logaritma natural fungsi

kemungkinan terhadap masing-masing parameter baik θ dan σ2 (log-normal) maupun β dan λ (Weibull) yang akan diduga dan menyamakan dengan nol.

d. Mencari turunan kedua dari logaritma natural fungsi kemungkinan terhadap masing-masing parameter baik θ dan σ2 (log-normal)

(15)

maupun β dan λ (Weibull) yang akan diduga dan melihat apakah turunan keduanya kurang dari nol.

e. Mencari matriks hesian serta temukan determinan dari matriks tersebut dan melihat apakah hasilnya kurang dari nol.

2. Menentukan matriks informasi Fisher penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull yaitu dengan menentukan informasi Fisher dari setiap element matriks.

3. Memberikan aplikasi matriks informasi Fisher penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.

a. Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.

b. Mengkaji sifat asimtotik normalitas penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.

4. Mencari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) dari distribusi log-normal dan Weibull.

a. Membentuk fungsi kemungkinan dari fungsi distribusi log-normal dan Weibull.

b. Membagi kedua fungsi kemungkinan serta menjadikannya fungsi logaritma natural.

5. Melakukan simulasi rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) menggunakan Software SAS dengan data perbedaan antara dua jenis pelat yang hasilnya akan menunjukan apakah data mengikuti distribusi log-Normal atau data mengikuti distribusi Weibull serta nilai �̂ distribusi eksponensial dari data tersebut.

6. Simulasi dirancang untuk mengetahui akurasi dan presisi dari metode rasio kemungkinan maksimum. Berdasarkan nilai �̂ yang didapat dari data perbedaan jenis pelat yaitu 0,63362 akan dilakukan simulasi

(16)

dengan membangkitkan data berdistribusi eksponensial dengan Ω yang tidak terlalu jauh dari �̂ tersebut, dengan tahapan sebagai berikut:

a. Membangitkan data dari distribusi eksponensial dengan parameter

� dengan N sebanyak 10,20,30, dan 100.

Data 1:

� = , = ,

Data 2:

�2 = , = ,666 Data 3:

� = ,8= ,

Data 4: � = = Data 5: � = = , Data 6: � = = , Data 7: � = = , Data 8: � = = , Data 9: � = = , Data 10: � = = , Data 11 � = = ,

b. Menghitung statistik T pada setiap data.

c. Mengulangi langkah a dan b sebanyak 100 kali dan 500 kali. d. Mencari rata-rata statistik T dari setiap ulangan.

(17)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Penduga maksimum dari parameter � dan � pada distribusi log-normal berturut-turut adalah �̂ = ∏�_�= �_� � dan �̂ =∑��= ln ��−ln � 2

� .

2. Penduga maksimum dari parameter � dan � pada distribusi Weibull berturut-turut adalah λ̂ = [ �

∑��= ��] �

dan �̂ = �

−� ln ∑��= ��+∑��= ln �� .

3. Metode kemungkinan maksimum bagi parameter log-normal dan parameter Weibull memenuhi sifat asimtotik normalitas.

4. Fungsi rasio kemungkinan maksimum dari log-Normal �� , � dan Weibull

�� , � adalah sebagai berikut:

� = � [ − ln �̂λ̂�̂_�̂�̂_{√ � �̂]}

5. Dari simulasi SAS menggunakan data perbedaan antara dua pelat didapat nilai statistik T sebesar 211.43367 dan �̂ = ,6 6 , artinya data mengikuti distribusi log-normal.

6. Hasil yang didapat dari simulasi menggunakan data eksponensial tidak berbeda dengan data pelat yaitu pada nilai parameter Ω dari distribusi

eksponensial persekitaran 0,63362 nilai rata-rata statistik T akan lebih besar dari nol, artinya data mengikuti distribusi log-normal.

(18)

7. Dari hasil simulasi didapat pula nilai kritis (T < 0) dari T yaitu pada Ω antara 0,05 sampai 0,02 dan tergantung pada banyaknya jumlah data, semakin besar data yang dibangkitkan maka nilai kritis mendekati Ω 0,02.

(19)

MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOG-NORMAL (θ, σ2

) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Oleh

GAYOH FAJRI KUSWARA

Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Hampir sama dengan distribusi Weibull, distribusi log-normal juga digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan suatu alat. Kedua distribusi tersebut sering dipakai dalam bidang umur hidup suatu mesin dan sering juga dipakai dalam bidang kesehatan. Oleh karna itu ketepatan dalam pemakaian model sangat penting untuk hasil akhir dari penarikan kesimpulan. Untuk pengujian apakah beberapa pengamatan yang diberikan mengikuti salah satu dari dua distribusi tersebut maka digunakan metode rasio kemungkinan maksimum (ratio maximum likelihood). Pada penelitian ini digunakan data perbedaan antara dua jenis pelat dan didapatkan hasil bahwa data tersebut mengikuti distribusi Log-Normal dengan �̂ sebesar 0,63362. Berdasarkan �̂ yang didapat dari data pelat, disimulasikan dengan membangkitkan data eksponensial dengan parameter � yang besarnya dipersekitaran dari �̂ dan didapat hasil yang sama dengan data pelat yaitu data mengikuti distribusi Log-Normal.

Kata kunci: Pariwisata, Distribusi Weibull, Distribusi Log-Normal, rasio kemungkinan maksimum

(20)

MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOG-NORMAL (θ, σ2

) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM

(Skripsi)

Oleh

Gayoh Fajri Kuswara 0717031039

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

(21)

(22)

MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (

β, λ

) DAN

DISTRIBUSI LOG-NORMAL (

θ, σ

) MENGGUNAKAN

METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Oleh

GAYOH FAJRI KUSWARA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

pada

Program Studi Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

(23)

MOTTO

(24)

KEMUNGKINAN MAKSIMUM Nama Mahasiswa : Gayoh Fajri Kuswara

Nomor Pokok Mahasiswa : 0717031039 Program Studi : Matematika

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing

Warsono, Ph.D. Dian Kurniasari, M.Sc. NIP. 19630216 198703 1 003 NIP. 19690305 199603 2 001

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi FMIPA Universitas Lampung Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. Dra. Dorrah Azis, M.Si. NIP. 19620704 198803 1 002 NIP. 19610128 198811 2 001

(25)

1. Tim Penguji

Ketua : Warsono, Ph.D. ………

Sekretaris : Dian Kurniasari, M.Sc. ………

Anggota : Mustofa Usman, Ph.D. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP 19690530 199512 1 001

(26)

Saya yang bertanda tangan di bawah ini, menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul " Membedakan Distribusi Weibull (β, �) Dan Distribusi Log-Normal (θ,σ2) Menggunakan Metode Rasio Kemungkinan Maksimum" ini merupakan karya saya sendiri dan bukan hasil karya orang lain. Semua hasil tulisan yang tertuang dalam skripsi ini telah mengikuti kaidah penulisan karya ilmiah Universitas Lampung. Apabila dikemudian hari terbukti bahwa skripsi saya ini merupakan hasil penjiplakan atau dibuat orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi berupa pencabutan gelar yang telah saya terima.

Bandar Lampung, 9 Mei 2012

Gayoh Fajri Kuswara NPM. 0717031039

(27)

Skripsi ini kupersembahkan untuk:

Bapak dan Ibu tercinta yang telah

memberikan dorongan moril maupun materil

serta tidak pernah berhenti mencintai,

mendoakan dan selalu memberikan yang

terbaik dalam penyelesaian skripsi dan

(28)

Penulis dilahirkan di Metro, Lampung pada tanggal 28 Agustus 1989, sebagai anak kedua, dari Bapak Kisworo dan Ibu Tuti Safitri, serta sebagai adik dari Yulia Ayu Kuswara.

Penulis mengawali pendidikan dari Sekolah Dasar (SD) Negeri 6 Metro pada tahun 1995-2001, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 Metro pada tahun 2001-2004, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Metro pada tahun 2004-2007.

Pada tahun 2007, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SPMB. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) periode 2008-2009 sebagai anggota bidang kaderisasi dan kepemimpinan, pada tahun yang sama penulis juga aktif di Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA sebagai anggota dinas pengembangan sumberdaya mahasiswa, dan pada periode 2009 – 2010 penulis aktif di HIMATIKA sebagai kepala bidang eksternal. Pada bulan Juni sampai dengan Juli 2009, penulis melakukan Praktek Kerja Lapangan (PKL) di Badan Pusat Statistika (BPS) kota Metro.

(29)

SANWACANA

Asalamu alaikum warahmatullaahi wabarakaatuh

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat Rahmat dan Ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Membedakan Distribusi Weibull (β, �) Dan Distribusi Log-Normal (θ,σ2) Menggunakan Metode Rasio Kemungkinan Maksimum”.

Skripsi ini disusun dengan tujuan memberikan informasi kepada peneliti lain tentang distribusi mana yang lebih baik antara distribusi Weibull dan log-normal. Dalam penulisan ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karenanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Warsono, Ph.D. selaku Pembimbing utama yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan Penulis dalam pembuatan skripsi ini. 2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc. selaku Pembimbing kedua yang senantiasa

memberi saran dan masukan.

3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku Penguji yang telah memberi dorongan dan motivasi.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku ketua jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si, selaku ketua program studi matematika FMIPA Universitas Lampung.

(30)

7. Bapak Amanto, M.Si. selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan motivasi, dukungan dan pengarahan dalam perkuliahan selama ini.

8. Bapak dan Ibu serta mbak tercinta yang selalu mencurahkan kasih sayangnya dan selalu mendukung baik moril maupun materiil.

9. Bapak dan Ibu Dosen di lingkungan Universitas Lampung yang telah menyalurkan pengetahuannya kepada Penulis.

10.Ibu Widiarti, M.Si. selaku Pembimbing ‘ketiga’ yang senantiasa memberi saran dan masukan dalam pembuatan program.

11.Teman-teman di Program Studi Matematika : Ardi, Rohman, Ibnu, Mahfudz, Wayan, Herdumi, Neng, Meli, Bolang, Ayu, Ria, Mbak Juita, Sela, Wiwid, Mia, Bajay, Selvy, Akma, Cha-cha dan teman-teman lainya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

12.Nurashri Partasiwi yang tanpa dia sadari telah menjadi motivasi, penyemangat, dan harapan saya.

13.Adik tingkatku di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lampung.

14.Saudara tapi tak sedarah: Banu, David, Gunawan, Ngudi, Haris, Buje, Beni, Bogi, Nora, dan Tika.

Penulis berdo’a semoga bantuan yang telah diberikan tersebut akan menjadi amal baik dan mendapat balasan dari Allah SWT. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Wasalamu alaikum warahmatullaahi wabarakaatuh

Bandar Lampung, 8 Mei 2012 Penulis

(1)

MENGESAHKAN 1. Tim Penguji