BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR
1
BAB
KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR
Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi,
perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan
vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan
(x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t.
A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang
Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan
Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya
terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan
pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut
vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu.
Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan
titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada
bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat
dinyatakan sebagai :
Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj
Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang
Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi
lambang ∆ x, dinyatakan oleh :
Perpindahan pada garis lurus
x = x2 + x1
Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan
trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti
Gambar 1.4. Pada saat t = t1 , partikel berada di titik P1 (x1,y1) dengan vektor posisi r1 = x1i +
y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik p2 (x2,y2) dengan vektor posisi r2
= x2i + y2j.
Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam
selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada
Gambar 1.4, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan r
adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah
r2 sehingga berlaku
r2 = r1 + r atau r = r2 – r1
Perpindahan pada bidang
r = (x2i + y2j) – (x1i + y1j)
= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j
r = xi + yj
Dengan
x = x2 – x1 dan y = y2 – y1
http://atophysics.wordpress.com
2
B. Kecepatan
Kecepatan rata – rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya:
Kecepatan rata – rata pada garis lurus v =
x − x1
∆x
= 2
∆y
t 2 − t1
Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya x dalam persamaan (1-7)
diganti dengan vektor posisi r :
Kecepatan rata – rata pada bidang v =
∆r r2 − r1
=
t 2 − t1
∆t
Dengan r2 adalah posisi t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.
Bentuk komponen dari kecepatan rata – rata v kita peroleh dengan mensubtitusikan
dengan xi + yj (lihat Persamaan (1-5)) ke dalam persamaan diatas.
r
∆xi + ∆yj
∆x
∆y
=
i +
j
∆t
∆t
∆t
v = v xi + v yj
x − x1
∆x
∆y y 2 − y1
dan v y =
Dengan v x =
= 2
=
t 2 − t1
t 2 − t1
∆t
∆t
∆r
Oleh karena v =
, maka kecepatan rata – rata v searah dengan arah perpindahan r.
∆t
v=
Kecepatan sesaat sebagai kemiringan Grafik Komponen r terhadap t
kecepatan sesaat (sering hanya disebut dengan kecepatan) didefinisikan sebagai kecepatan
rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis
Definisi kecepatan sesaat
v = lim v = lim
∆t →0
∆t →0
∆x
∆t
Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik
x terhadap t (sebagai komponen grafik r terhadap t). Pada Gambar 1.6 ditunjukkan proses
limit pada suatu grafik posisi x terhadap t. Di sini selang waktu t terus diperkecil dengan
mengambil t1 tetap dan t2 mendekati t1. Ketika t mendekati nol, x mendekati nol dan
kecepatan rata-rata
v menjadi kecepatan sesaat v, yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1.
Dengan demikian dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis
singgung dari grafik posisi x – t pada saat t = t1
Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi
Tafsiran geometrik kemiringan garis singgung dari grafik x – t adalah sama dengan turunan
pertama dari fungsi x terhadap t. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tafsiran
geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi posisi x terhadap waktu t
Secara matematis kita tulis
http://atophysics.wordpress.com
3
Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus
v=
dx
dt
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai
v = lim v = lim
∆t →0
∆t →0
∆x
∆t
Kecepatan sesaat di titik mana saja pada kurva lintasan partikel
adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut.
Maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi
posisi r terhadap waktu t, kita tulis
Kecepatan sesaat untuk Gerak pada bidang
v=
dr
dt
Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = xi + yj
ke persamaan diatas:
v = vxi + v y j
dengan v x =
dx
dy
dan v y =
dt
dt
Ditunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam
fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, vx dan vy, dengan
menggunakan turunan.
http://atophysics.wordpress.com
4
Menentukan posisi dari fungsi kecepatan
Jika komponen-komponen kecepatan vx dan vy sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi
horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19)
dengan pengintegralan.
t
t
y = y 0 + v y dy
x = x0 + v x dt
0
0
Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel.
Untuk gerak suatu benda yang menempuh garis lurus dan pada suatu saat berbalik arah,
besar perpindahan titik sama dengan jaraknya.
Perhitungan Perpindahan dan Jarak dari Sketsa
Grafik v – t
Untuk sketsa grafik seperti Gambar disamping
t3
v(t )
Perpindahan =
dt
t1
t3
t2
v(t )
Jarak =
v(t )
dt -
dt
t2
t1
Gambar 1.10
C. Percepatan
Mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang ) sebagai perubahan kecepatan dalam suatu
selang waktu tertentu :
Percepatan rata-rata
a=
∆v v 2 − v1
=
∆t
t 2 − t1
Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1.
Bentuk komponen dari percepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubstitusi
dengan vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-25).
a=
∆v y
∆v x
i+
j = a x i + a y j dengan
∆t
∆t
ax =
∆v y
∆v x
dan a y =
∆t
∆t
Menentukan percepatan sesaat dari kemiringan grafik v – t
Mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu
mendekati nol.
a = lim a = lim
∆t →0
∆t →0
v
t
∆v
∆t
Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan
garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1
http://atophysics.wordpress.com
5
Tafsiran geometris dari Persamaan (1-29) dapat kita nyatakan sebagai berikut.
Percepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.
Secara sistematis kita tulis
Percepatan sesaat Untuk gerak lurus
a=
dv
dt
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga dinyatakan oleh Persamaan (1-28) :
a = lim
∆t →0
∆v
∆t
Untuk partikel yang mengalami pertambahan kelajuan (v2>v1), a memiliki komponen
yang searah dengan vaktor v (Gambar 1.15a). untuk partikel yang mengalami pengurangan
kelajuan (v2
BAB
KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR
Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi,
perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan
vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan
(x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t.
A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang
Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan
Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya
terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan
pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut
vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu.
Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan
titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada
bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat
dinyatakan sebagai :
Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj
Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang
Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi
lambang ∆ x, dinyatakan oleh :
Perpindahan pada garis lurus
x = x2 + x1
Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan
trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti
Gambar 1.4. Pada saat t = t1 , partikel berada di titik P1 (x1,y1) dengan vektor posisi r1 = x1i +
y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik p2 (x2,y2) dengan vektor posisi r2
= x2i + y2j.
Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam
selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada
Gambar 1.4, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan r
adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah
r2 sehingga berlaku
r2 = r1 + r atau r = r2 – r1
Perpindahan pada bidang
r = (x2i + y2j) – (x1i + y1j)
= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j
r = xi + yj
Dengan
x = x2 – x1 dan y = y2 – y1
http://atophysics.wordpress.com
2
B. Kecepatan
Kecepatan rata – rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya:
Kecepatan rata – rata pada garis lurus v =
x − x1
∆x
= 2
∆y
t 2 − t1
Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya x dalam persamaan (1-7)
diganti dengan vektor posisi r :
Kecepatan rata – rata pada bidang v =
∆r r2 − r1
=
t 2 − t1
∆t
Dengan r2 adalah posisi t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.
Bentuk komponen dari kecepatan rata – rata v kita peroleh dengan mensubtitusikan
dengan xi + yj (lihat Persamaan (1-5)) ke dalam persamaan diatas.
r
∆xi + ∆yj
∆x
∆y
=
i +
j
∆t
∆t
∆t
v = v xi + v yj
x − x1
∆x
∆y y 2 − y1
dan v y =
Dengan v x =
= 2
=
t 2 − t1
t 2 − t1
∆t
∆t
∆r
Oleh karena v =
, maka kecepatan rata – rata v searah dengan arah perpindahan r.
∆t
v=
Kecepatan sesaat sebagai kemiringan Grafik Komponen r terhadap t
kecepatan sesaat (sering hanya disebut dengan kecepatan) didefinisikan sebagai kecepatan
rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis
Definisi kecepatan sesaat
v = lim v = lim
∆t →0
∆t →0
∆x
∆t
Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik
x terhadap t (sebagai komponen grafik r terhadap t). Pada Gambar 1.6 ditunjukkan proses
limit pada suatu grafik posisi x terhadap t. Di sini selang waktu t terus diperkecil dengan
mengambil t1 tetap dan t2 mendekati t1. Ketika t mendekati nol, x mendekati nol dan
kecepatan rata-rata
v menjadi kecepatan sesaat v, yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1.
Dengan demikian dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis
singgung dari grafik posisi x – t pada saat t = t1
Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi
Tafsiran geometrik kemiringan garis singgung dari grafik x – t adalah sama dengan turunan
pertama dari fungsi x terhadap t. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tafsiran
geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi posisi x terhadap waktu t
Secara matematis kita tulis
http://atophysics.wordpress.com
3
Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus
v=
dx
dt
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai
v = lim v = lim
∆t →0
∆t →0
∆x
∆t
Kecepatan sesaat di titik mana saja pada kurva lintasan partikel
adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut.
Maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi
posisi r terhadap waktu t, kita tulis
Kecepatan sesaat untuk Gerak pada bidang
v=
dr
dt
Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = xi + yj
ke persamaan diatas:
v = vxi + v y j
dengan v x =
dx
dy
dan v y =
dt
dt
Ditunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam
fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, vx dan vy, dengan
menggunakan turunan.
http://atophysics.wordpress.com
4
Menentukan posisi dari fungsi kecepatan
Jika komponen-komponen kecepatan vx dan vy sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi
horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19)
dengan pengintegralan.
t
t
y = y 0 + v y dy
x = x0 + v x dt
0
0
Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel.
Untuk gerak suatu benda yang menempuh garis lurus dan pada suatu saat berbalik arah,
besar perpindahan titik sama dengan jaraknya.
Perhitungan Perpindahan dan Jarak dari Sketsa
Grafik v – t
Untuk sketsa grafik seperti Gambar disamping
t3
v(t )
Perpindahan =
dt
t1
t3
t2
v(t )
Jarak =
v(t )
dt -
dt
t2
t1
Gambar 1.10
C. Percepatan
Mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang ) sebagai perubahan kecepatan dalam suatu
selang waktu tertentu :
Percepatan rata-rata
a=
∆v v 2 − v1
=
∆t
t 2 − t1
Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1.
Bentuk komponen dari percepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubstitusi
dengan vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-25).
a=
∆v y
∆v x
i+
j = a x i + a y j dengan
∆t
∆t
ax =
∆v y
∆v x
dan a y =
∆t
∆t
Menentukan percepatan sesaat dari kemiringan grafik v – t
Mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu
mendekati nol.
a = lim a = lim
∆t →0
∆t →0
v
t
∆v
∆t
Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan
garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1
http://atophysics.wordpress.com
5
Tafsiran geometris dari Persamaan (1-29) dapat kita nyatakan sebagai berikut.
Percepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.
Secara sistematis kita tulis
Percepatan sesaat Untuk gerak lurus
a=
dv
dt
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga dinyatakan oleh Persamaan (1-28) :
a = lim
∆t →0
∆v
∆t
Untuk partikel yang mengalami pertambahan kelajuan (v2>v1), a memiliki komponen
yang searah dengan vaktor v (Gambar 1.15a). untuk partikel yang mengalami pengurangan
kelajuan (v2