Matematika Kurikulum 2013
149
Akan ditunjukkan bahwa Pk + 1 : jumlah k + 1 bilangan ganjil berurutan pertama adalah k + 1
2
. yang secara matematis dituliskan menjadi Pk + 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2k
1 + 2k + 1 1 = k + 1
2
Kita lihat ruas kiri dari persamaan terakhir ini, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + 2k
1 + 2k + 1 1 Bentuk ini kalau diolah akan menghasilkan seperti berikut.
1 + 3 + 5 + ... + 2k 1 + 2k + 1 1 = k
2
+ 2k + 1 1
= k
2
+ 2k + 2 1 = k
2
+ 2k + 1 = k + 1
2
Jadi terbukti bahwa Pk + 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2k
1 + 2k + 1 1 = k + 1
2
bernilai benar.
3. Kesimpulan
Pn jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n
2
benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh 3.9
Tunjukkan bahwa “3 membagi nn + 1n + 2 untuk setiap bilangan asli n”?
Bukti.
Misalkan Pn 3 membagi nn + 1n + 2 untuk setiap bilangan asli n.
1. Langkah Dasar
Untuk n = 1, nilai nn + 1n + 2 adalah 6. Karenanya 3 membagi nn + 1n + 2 untuk n = 1. Jadi terbukti bahwa pernyataan Pn tersebut
bernilai benar untuk n = 1.
Kelas XII SMAMA
150
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan pernyataan Pk itu bernilai benar. Artinya, kita anggap bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Akan ditunjukkan bahwa Pk + 1 bernilai benar, yaitu 3 membagi k + 1 k + 1 + 1k + 1 + 2 atau 3 membagi k + 1k + 2k + 3.
Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka bentuk k + 1 k + 2k + 3 dapat diubah menjadi [k + 1k + 2k] + [k + 1k + 23]
yang merupakan penjumlahan dari kk + 1k + 2 dan 3k + 1k + 2. Dari pemisalan, sudah diketahui bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Karena 3 juga membagi 3k + 1k + 2, maka 3 juga membagi kk + 1 k + 2 + 3k + 1k + 2.
Dengan demikian, Pk + 1 3 membagi k + 1k + 1 + 1k + 1 + 2 bernilai benar.
Jadi, jika 3 membagi kk + 1k + 2 maka 3 membagi k + 1k + 1 + 1 k + 1 + 2.
3. Kesimpulan
Pn : 3 membagi nn + 1n + 2 benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh 3.10
Buktikan bahwa pertidaksamaan 3
n
n
3
berlaku untuk semua bilangan asli n
t 4.
Bukti
Misalkan Pn : 3
n
n
3
untuk bilangan asli n t 4
