Metode Time Invariant Fuzzy Time Series Untuk Peramalan Pendaftaran Calon Mahasiswa
METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK
PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA
SKRIPSI
YUNITA HERNASARY
030803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK
PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
YUNITA HERNASARY
030803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
: METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK PERAMALAN PENDAFTARAN
CALON MAHASISWA
: SKRIPSI
: YUNITA HERNASARY
: 030803048
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, December 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Pangeran Sianipar, M.S
NIP. 130422437
Drs.Djakaria Sebayang
NIP. 131474685
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP. 131796149
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
PERAMALAN PENDAFTARAN DENGAN METODE TIME-INVARIANT
FUZZY TIME SERIES
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Desember 2007
YUNITA HERNASARY
030803048
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai
saya dan memberikan segala rahmatnya di setiap waktu dan dalam pengerjaan
skripsi ini sehingga , saya dapat menyelesaikannya dengan baik.
Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
Dalam kesempatan ini saya ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada Bapak Drs.Pangeran Sianipar, MS. selaku Pembimbing I dan
Bapak Drs.Djakaria Sebayang selaku Pembimbing II yang telah membimbing
dan mengarahkan saya, serta kebaikannya untuk meluangkan waktu, tenaga,
dan pikiran sehingga skripsi saya dapat selesai tepat pada waktunya.
Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya juga ingin saya sampaikan
kepada Bapak Pembanding, Bapak Prof.Dr.Herman Mawengkang dan Bapak
Drs.Suwarno Ariswoyo, M.si. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Bapak Dr.Eddy Marlianto, M.Sc. Ketua Departemen Matematika, Bapak Dr.Saib Suwilo, M.Sc. Sekertaris Departemen Matematika, Bapak Drs.Henri
Rani Sitepu, M.Si. Kepala Subbagian Registrasi dan Statistik BAN USU , Bapak
Danda Sasmita, SE, M.si. Seluruh staf pengajar Departemen Matematika, Fakultas MIPA ,Universitas Sumatera Utara dan beserta pegawai administrasinya.
Orangtua saya tercinta, Bapak ” Herpulus Debataraja ” dan Ibu ” Togiana
Sinurat” atas segala doa, kepercayaan, serta dukungannya baik moril maupun
materil. Adik-adik saya tercinta, Stefanus Sinar Firdaus, Paulus Kevin Clinton,
dan little angel ”ulelet”, Elisabeth Claudia Dixie atas segala canda, tawa, telpon,
dan semangatnya. Sahabat sejati saya dan ” ♥ ”, Adhi Sebayang atas segala
dukungan dan pengertiannya.
Keluarga Tulang Noel Sinurat, atas segala bantuan baik materi maupun
doa-doanya. Untuk teman yang mengambil kuliah bersama saya selama semester
terakhir ini, Dewi, Yanti, Herlina, Irwan, Darwin, Ricardo stat, Ramli, Casber
dan juga teman’03 yang lain, tetap semangat dan pantang menyerah. Untuk
teman-teman ”Tentara Bunda Maria” PYMH Paroki Katedral Medan atas segala
doa-doanya selama ini.
Universitas Sumatera Utara
iv
Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat
kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran
yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.
.
.
Medan, Desember 2007
Penulis,
Yunita Hernasary
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Pada tulisan ini akan ditunjukkan peramalan dapat diaplikasikan dengan metode Time-Invariant Fuzzy Time Series. Keterbatasan metode peramalan klasik
pada data time series yang bernilai linguistik menjadikan fuzzy berperan dalam
menyelesaikannya. Metode Time Invariant Fuzzy Time-Series merupakan suatu
metode yang menganggap relasi antara data tidak bergantung terhadap waktu.
Pengaruh penggunaan jumlah himpunan fuzzy yang berbeda akan diuji untuk
mengetahui hasil peramalan dan errornya. Dengan memanfaatkan data pendaftaran calon mahasiswa melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, dilakukan penerapan Metode Time Invariant
Fuzzy Time - Series, untuk mengetahui kebaikan dan kekurangan metode ini.
Sehingga akan sangat berguna dalam penerapan metode ini selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRACT
This paper will show that forecasting can be applied with Time Invariant Fuzzy
Time Series method. The limitness of classic forecasting method to the time
series data which value is linguistik make fuzzy sets has a function to solve it.
Time Invariant Fuzzy Time Series is a method that consider the relation between
the data, not depend on time. The effect of using different number of fuzzy sets
will be tested to know the result and the error of forecasting. With use the
enrollment data of candidate university student from SPMB manner of Departement Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science, University Of
North Sumatera. Time Invariant Fuzzy Time-Series will be applied, to know the
goodness and the badness of this method. So it will be an advantage in the next
applications
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
1. PENDAHULUAN
1
1.1. Latar Belakang
1
1.2. Identifikasi Masalah
2
1.3. Pembatasan Masalah
2
1.4. Tujuan Penelitian
2
1.5. Manfaat Penelitian
2
1.6. Tinjauan Pustaka
3
1.7. Metode Penelitian
4
2. LANDASAN TEORI
5
2.1. Himpunan Fuzzy
5
2.2. Notasi fuzzy
5
2.3. Normalisasi
6
2.4. Intensifikasi
6
2.5. Operasi Himpunan Fuzzy
6
2.6. Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy
8
Universitas Sumatera Utara
2.7. Relasi Fuzzy
8
2.8. Vektor Fuzzy
11
2.9. Model Peramalan
11
2.10. Fuzzy Time Series
12
2.11. Variabel Linguistik
12
2.12. Relasi Fuzzy Logic
12
2.13. Grup Relasi Fuzzy Logic
13
2.14. Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time
Series
13
2.15. Time Invariant Fuzzy Time Series
13
2.16. Defuzzifikasi
14
3. PEMBAHASAN
15
3.1. Metode Time Invariant Fuzzy Time Series
15
3.2. Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6 Himpunan Fuzzy
17
3.3. Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7 Himpunan Fuzzy
4. KESIMPULAN DAN SARAN
24
31
4.1. Kesimpulan
31
4.2. Saran
32
DAFTAR PUSTAKA
33
LAMPIRAN
34
Universitas Sumatera Utara
iv
Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat
kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran
yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.
.
.
Medan, Desember 2007
Penulis,
Yunita Hernasary
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Pada tulisan ini akan ditunjukkan peramalan dapat diaplikasikan dengan metode Time-Invariant Fuzzy Time Series. Keterbatasan metode peramalan klasik
pada data time series yang bernilai linguistik menjadikan fuzzy berperan dalam
menyelesaikannya. Metode Time Invariant Fuzzy Time-Series merupakan suatu
metode yang menganggap relasi antara data tidak bergantung terhadap waktu.
Pengaruh penggunaan jumlah himpunan fuzzy yang berbeda akan diuji untuk
mengetahui hasil peramalan dan errornya. Dengan memanfaatkan data pendaftaran calon mahasiswa melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, dilakukan penerapan Metode Time Invariant
Fuzzy Time - Series, untuk mengetahui kebaikan dan kekurangan metode ini.
Sehingga akan sangat berguna dalam penerapan metode ini selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRACT
This paper will show that forecasting can be applied with Time Invariant Fuzzy
Time Series method. The limitness of classic forecasting method to the time
series data which value is linguistik make fuzzy sets has a function to solve it.
Time Invariant Fuzzy Time Series is a method that consider the relation between
the data, not depend on time. The effect of using different number of fuzzy sets
will be tested to know the result and the error of forecasting. With use the
enrollment data of candidate university student from SPMB manner of Departement Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science, University Of
North Sumatera. Time Invariant Fuzzy Time-Series will be applied, to know the
goodness and the badness of this method. So it will be an advantage in the next
applications
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peramalan mempunyai peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Prakiraan
cuaca , penjadualan staff, dan perencanaan produksi adalah beberapa contoh dari
aplikasi peramalan, yang banyak orang ingin meramalkannya dengan hasil yang
akurat. Meskipun telah banyak dikenal metode peramalan tetapi apabila data
historisnya (data masa lalu) tersedia dalam bentuk nilai-nilai linguistik, metode
time series klasik belum dapat menyelesaikannya sehingga muncul suatu metode
fuzzy time series untuk mengisi kekurangan dari fungsi metode time series klasik.
Adapun definisi dari fuzzy time series yaitu dengan mengasumsikan Y(t)
⊂ ℜ (garis real), t =...,0,1,2,... menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan
oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t =...,0,1,2,... didefinisikan
sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai
variabel linguistik, untuk fi(t), i =1,2,... adalah nilai linguistik dari F(t).
Jika F (t) yaitu ramalan pendaftaran pada tahun t, disebabkan oleh F ( t - 1)
yaitu pendaftaran pada tahun ( t - 1 ), dinotasikan dengan F(t - 1) → F(t)
maka relasi ini dinyatakan dengan F( t ) = F ( t - 1 ) ◦ R ( t, t - 1 ), dengan
simbol ” ◦ ” merupakan Max -Min operator komposisi. R (t, t - 1) adalah relasi
fuzzy diantara F(t) dan F(t-1) dan disebut dangan model orde pertama dari
F(t). Jika R( t, t-1 ) = R( t-1, t-2) untuk sebarang waktu t, maka dinyatakan
sebagai Time-Invariant Fuzzy Time - Series.
Universitas Sumatera Utara
2
1.2 Identifikasi Masalah
Pemasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini adalah meramalkan pendaftaran pada tahun yang akan datang, dengan memanfaatkan model orde pertama
dari metode Time Invariant Fuzzy Time Series dan menguji sejumlah nilai himpunan fuzzy yang berbeda untuk mengetahui apakah jumlah nilai fuzzy mempengaruhi kesalahan peramalan.
1.3 Pembatasan Masalah
Untuk menguji kesalahan peramalan, penulis hanya menggunakan dua buah nilai
himpunan fuzzy yang berbeda.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menunjukkan metode yang dapat menyelesaikan suatu masalah peramalan, apabila data historisnya tersedia dalam bentuk
nilai linguistik, serta menunjukkan bahwa himpunan fuzzy dapat diaplikasikan
ke dalam suatu masalah peramalan.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untuk mengetahui ide dan langkahlangkah yang dilakukan metode time-invariant fuzzy time series, dalam menyelesaikan masalah peramalan serta mengetahui kebaikan dan kekurangan metode
ini.
Universitas Sumatera Utara
3
1.6 Tinjauan Pustaka
Imam Rohandi (2006) dalam bukunya Desain Sistem Tenaga Modern,
optimisasi, Logika Fuzzy, dan Algoritma Genetica menyatakan bahwa , Himpunan
fuzzy adalah bentuk umum dari himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan [ 0,1 ]. Oleh karena itu fungsi keanggotaan fuzzy memetakan setiap
elemen dari semesta dalam batas ruang unit interval. Satu perbedaan dasar
dari himpunan non fuzzy selalu memiliki fungsi keanggotaan yang terbatas.
Hal ini memungkinkan fuzzy dapat diatur secara maksimum dalam situasi yang
diberikan.
L.A. Zadeh (1987) dalam buku Fuzzy Sets and Application menyatakan bahwa variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam
bentuk kata atau kalimat dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang
dibuat-buat, sebagai contoh : Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah
linguistik daripada numerik, misalnya : young, not young, very young, quite
young, old, not very old, and not very young daripada 20, 21,...,...,nilai umur
sebenarnya.
Timothy Ross (1997) dalam bukunya Fuzzy Logic for Engineering Appli˜ dan S˜ pada ruang cartesian X × Y.
cations menyatakan bahwa, Relasi fuzzy R
Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan
yang berbeda :
Universitas Sumatera Utara
4
Union
µR∪
˜ S˜ (x, y) = max (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Intersection
µR∩
˜ S˜ (x, y) = min (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Complement
µR˜ (x, y) = 1- µR˜ (x, y)
Containment
˜ ⊂ S˜ ⇒ µ ˜ (x, y) ≤ µ ˜(x, y)
R
R
S
1.7
Metode Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan adalah penelitian literatur dan studi
kasus yaitu:
1. Mengkaji secara teoritis Himpunan Fuzzy dan Fuzzy Time Series.
2. Mengkaji secara toeritis metode time-invariant fuzzy time series beserta
langkah-langkahnya.
3. Menyelesaikan suatu masalah peramalan pendaftaran sebagai suatu aplikasi.
4. Penarikan kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat
keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh
karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari
semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval.
Definisi 2.1.1 .
Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinyatakan dengan x , sehingga X = x . Himpunan Fuzzy A dalam X dinyatakan
dengan fungsi keanggotaan µA˜(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan real pada [ 0,1 ] , dengan nilai µA˜ (x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari
x dalam A. Nilai terdekat dari µA˜ pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar
x dalam A.
Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut:
A˜ = { (x, µA˜) | x ∈ X }
2.2 Notasi fuzzy
Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X
adalah diskrit dan terbatas, dinyatakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
6
A˜ =
{
µA˜(x2 )
µA˜(x1)
+
x1
x2
A˜ =
{
µA˜(x1) µA˜(x2 )
, x2
x1
+ ··· }
=
P
{
µA˜(xi )
}
xi
, ··· }
Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan
fuzzy dinyatakan dengan:
A˜ =
R
µA˜(x)
x
2.3 Normalisasi
Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki setidaknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1 dinyatakan dengan :
µN ORM (x) = µA (x)/max(µA (x)) x ∈ X
2.4 Intensifikasi
Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas dengan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan
elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0,5.
2.5 Operasi Himpunan Fuzzy
˜ B,
˜ C˜ pada semesta, untuk setiap elemen
Dinyatakan tiga buah himpunan A,
x dari semesta. Operasi fungsi untuk himpunan operasi gabungan, irisan, com˜ B,
˜ C˜ pada X yaitu:
plement dinyatakan untuk A,
Universitas Sumatera Utara
7
Union µA∪
˜ B
˜ (x) = µA˜ (x) ∨ µB
˜ (x)
Intersection µA∩
˜ B
˜ (x) = µA˜ (x) ∧ µB
˜ (x)
Complement
µA˜ = 1- µA˜
Sebarang himpunan fuzzy µA˜ didefinisikan pada semesta X adalah subhimpunan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himpunan
null φ adalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X
adalah 1, dinyatakan sebagai berikut:
A˜ ⊆ X ⇒ µA(x)
˜
˜ ≤ µX(x)
Untuk semua x ∈ X, µφ(x)
˜ = 0
=1
Untuk semua x ∈ X, µX(x)
˜
Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy:
˜ = A˜ ∪ B
˜
A˜ ∩ B
˜ = A˜ ∩ B
˜
A˜ ∪ B
Hukum Excluded middle (A ∪ A = X) dan hukum kebalikan (A ∩ A = φ)
tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka:
6 X
A˜ ∪ A˜ =
6 φ
A˜ ∩ A˜ =
Universitas Sumatera Utara
8
2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy):
Komutatif
˜ =B
˜ ∪ A˜
A˜ ∪ B
˜ =B
˜ ∩ A˜
A˜ ∩ B
Assosiatif
˜ ∪ C)
˜ = (A˜ ∪ B)
˜ ∪ C˜
A˜ ∪ (B
˜ ∩ (B
˜ ∩ C)
˜ =(A˜ ∩ B)
˜ ∩ C˜
A
Distributif
˜ ∩ C)
˜ = (A
˜ ∪ B)
˜ ∩ (A
˜ ∪ C)
˜
A˜ ∪ (B
˜ ∩ (B
˜ ∩ C)
˜ =(A˜ ∩ B)
˜ ∪ (A
˜ ∩ C)
˜
A
Idempotent
˜ ∪ A˜ = A˜ dan A˜ ∩ A˜ = A˜
A
Identitas
˜ ∪ φ = A˜ dan A˜ ∩ X = A˜
A
˜ ∩ φ = φ dan A˜ ∪ X = X
A
Transitif
Involution
˜ ⊆ C,
˜ maka A
˜ ⊆ C˜
Jika A˜ ⊆ B
A˜ = A˜
2.7 Relasi Fuzzy
˜ adalah suatu pemetaan ruang cartesian pada [ 0, 1 ], dengan
Relasi fuzzy R
hasil pemetaannya dinyatakan dengan µR˜ (x, y)
Universitas Sumatera Utara
9
2.7.1 Operasi Pada Relasi fuzzy.
˜ dan S˜ pada ruang cartesian X × Y. Maka operasi
Anggap suatu relasi fuzzy R
berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda:
Union
µR∪
˜ S˜ (x, y) = max (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Intersection
µR∩
˜ S˜ (x, y) = min (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Complement
µR˜ (x, y) = 1- µR˜ (x, y)
Containment
˜ ⊂ S˜ ⇒ µ ˜ (x, y) ≤ µ ˜(x, y)
R
R
S
2.7.2 Sifat-Sifat Relasi Fuzzy.
Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan
idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi kelengkapan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded
middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada perbedaan antara relasi dan complementnya, yaitu:
˜=
˜∪R
6 E
R
˜=
˜∩R
6 O
R
Universitas Sumatera Utara
10
2.7.3 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi.
Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian product merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap A˜ suatu
˜ menjadi suatu himpunan fuzzy pada
himpunan fuzzy pada semesta X dan B
˜ adalah relasi
semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan A˜ dan B
˜ yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu:
fuzzy R
˜ =R
˜⊂X×Y
A˜ × B
˜ yaitu:
dengan fungsi keanggotaan dari relasi R,
µR˜ (x, y) = µA×
˜ B
˜ (x, y) = min(µA
˜ (x), µB
˜ (y))
˜ dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama seperCartesian Product A˜ × B
ti perkalian 2 vektor. Maka setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai
suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari
himpunan tersebut.
˜ adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X × Y , S˜ adalah relasi
Anggap R
fuzzy pada Y × Z, dan T˜ adalah relasi fuzzy pada X × Z, maka komposisi max
- min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut:
˜ ◦ S˜
T˜ = R
dengan fungsi keanggotaanya dinyatakan sebagai berikut:
µT˜ (x, z) = max( min( µR˜ (x, y) , µS˜ (y, z) ) )
Universitas Sumatera Utara
11
2.8 Vektor Fuzzy
Suatu vektor a
˜ = (a1 ,a2,· · · ,an ) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang
elemen 0 ≤ ai ≤ 1 ,untuk i = 1, 2, · · · , n. Dengan cara yang sama transpose vektor fuzzy a
˜ yang dinotasikan dengan a
˜t adalah suatu vektor kolom jika a
˜ adalah
suatu vektor baris, yaitu :
a
1
a
2
˜ t = ..
a
.
an
2.9 Model Peramalan
Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu :
1. Model Time Series (Deret Berkala)
Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data
masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret data historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa
depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara
yang lebih singkat dibandingkan model regresi.
2. Model Regresi (Kausal)
Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih
variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang
dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki
keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang bijaksana.
Universitas Sumatera Utara
12
2.10 Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.2
Diasumsikan Y(t) ⊂ ℜ (garis real), t = · · · , 0, 1, 2, · · · menjadi semesta
pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t),
t = · · · , 0, 1, 2,· · · didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat
itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, · · ·
adalah nilai linguistik dari F(t).
2.11 Variabel Linguistik
Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk kata atau kalimat, dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang dibuat-buat,
sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik
daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old,
not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur
sebenarnya.
2.12 Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.3
Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) × R(t, t-1) dengan
simbol × adalah suatu operator maka F (t) disebabkan oleh F (t−1). Relasi yang
ada antara F (t) dan F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t).
Universitas Sumatera Utara
13
2.13 Grup Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.4
Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama
yaitu relasi grup fuzzy logic.
Contoh:
Untuk sisi kanan Ai yang sama, grupnya dinyatakan sbb:
Ai → Aj1
Ai → Aj2
··· ··· ···
)
⇒ Ai → Aj1 , Aj2
2.14 Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.5
Jika F (t) disebabkan oleh F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t)
maka relasinya dinyatakan dengan F (t) = F (t − 1) ◦ R(t, t − 1) simbol ”◦”
merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t − 1) disebut sebagai model orde
pertama dari F (t) .
2.15 Time Invariant Fuzzy Time Series
Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang
relasinya tidak bergantung pada waktu t, dengan memanfaatkan himpunan data
fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya.
Definisi 2.1.6
Anggap F (t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t − 1)
menjadi model pertama dari F (t). Jika R(t, t−1) = R(t−1, t−2) untuk sebarang
waktu t maka F (t) dinyatakan sebagai Time Invariant Fuzzy Time Series.
Universitas Sumatera Utara
14
2.16 Defuzzifikasi
Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan
fuzzy, adapun prosesnya yaitu:
1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0
2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah
interval dimana nilai ini dicapai adalah z.
3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang
berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.
Contoh:
Jika u1 = [ 0, 20 ], u2 = [ 20, 40 ], u3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya
adalah [ 1 1 0,5 ].
Penyelesaian:
Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval
u1 = [ 0, 20 ] dan u2 = [ 20, 40 ] ,maka:
= 20
y = 40−0
2
sehingga z = 0 + y = 20
4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid,
yaitu :
z=
P
ˆA
Px
A
,
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Metode Time Invariant Fuzzy Time Series
Metode Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode yang memiliki 2 aspek penting, yaitu:
(a) Menggunakan variasi data historisnya daripada karakteristik pendaftaran
sebenarnya.
(b) Menghitung relasi R(t, t − 1) yang akan digunakan untuk memprediksi peramalan masa depan.
Langkah-langkah proses peramalan pada metode ini, yaitu:
1. Mendefinisikan semesta pembicaraan ( himpunan semesta U ) dari variasi
data historisnya.
2. Mempartisi U menjadi panjang interval yang sama.
3. Mendefinisikan himpunan fuzzy Ai .
4. Memfuzzykan variasi dari data historis peramalan.
5. Menyatakan relasi fuzzy logic Ai → Aj
6. Menjadikan relasi fuzzy orde pertama, menjadi suatu grup relasi fuzzy logic
jika memiliki sisi kanan yang sama, menghitung relasi Ri untuk setiap fuzzy
ke-i.
Universitas Sumatera Utara
16
7. Meramalkan output peramalannya dan mendeffuzifikasikannya.
8. Menghitung ramalan pendaftarannya.
Untuk memperoleh gambaran yang jelas mengenai metode Time-Invariant Fuzzy
Time Series ini, penulis mengambil contoh kasus peramalan pendaftaran calon
mahasiswa melalui jalur SPMB, pada Departemen Matematika Universitas Sumatera Utara.
Tabel.3.1.1
Banyaknya Calon Mahasiswa Yang Mendaftar Melalui Jalur SPMB
Pada Departemen Matematika Universitas Sumatera Utara
Antara Tahun 1994 s/d 2007
No. Tahun
Jumlah Pendaftaran
1.
1994
533
2.
1995
364
3.
1996
383
4.
1997
369
5.
1998
328
6.
1999
405
7.
2000
390
8.
2001
523
9.
2002
432
10.
2003
412
11.
2004
484
12.
2005
479
13.
2006
466
13.
2007
464
Universitas Sumatera Utara
17
Pada penelitian ini penulis menggunakan 6 dan 7 himpunan fuzzy untuk menguji
kesalahan peramalan . Pemilihan 6 dan 7 himpunan fuzzy merupakan pemilihan
secara sebarang.
3.2 Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6 Himpunan Fuzzy
1. Himpunan semesta U dinyatakan dari variasi pendaftaran tahun-tahun sebelumnya. Data pendaftaran dan variasinya dinyatakan pada tabel dibawah
ini:
Tabel.3.2.1
Data Pendaftaran dan Variasi dari Data Historis
No. Tahun
Jumlah Pendaftaran
Variasi
1.
1994
533
2.
1995
364
-169
3.
1996
383
19
4.
1997
369
-14
5.
1998
328
-41
6.
1999
405
77
7.
2000
390
-15
8.
2001
523
133
9.
2002
432
-91
10.
2003
412
-20
11.
2004
484
72
12.
2005
479
-5
13.
2006
466
-13
13.
2007
464
-2
Universitas Sumatera Utara
18
Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U dapat dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama , maka
anggap U = [ Vmin - V1 , Vmax + V2 ]. Dengan V1 dan V2 bilangan positif
sebarang, maka penulis mengambil V1 = 11 dan V2 = 47 sehingga :
U = [-169 - 11 , 133 + 47 ]= [ -180, 180 ].
2. Dengan menggunakan 6 Himpunan Fuzzy, maka U dipartisi menjadi 6 interval yang sama panjang ui, i = 1, 6, yaitu:
u1 = [ -180, -120 ], u2 = [ -120, -60 ], u3 = [ -60 , 0 ], u4 = [ 0 , 60 ],
u5 = [ 60 , 120 ], u6 = [ 120 , 180 ].
3. Diasumsikan nilai fuzzy berasal dari variabel linguistik variasi data pendaftarannya, yaitu : A1 (semakin menurun), A2 (menurun), A3 (tetap), A4
(meningkat), A5 (semakin meningkat), A6 (sangat meningkat).
Untuk 6 interval yang ada, setiap ui , i = 1, 6 ∈ Aj ,j = 1, 6 dinyatakan
dengan nilai real pada range [0,1]:
A1 = {1/u1 , 0,5/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A2 = {0,5/u1 , 1/u2 , 0,5/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A3 = {0/u1 , 0,5/u2 , 1/u3 , 0,5/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A4 = {0/u1 , 0/u2 , 0,5/u3 , 1/u4 , 0,5/u5 , 0/u6 }
A5 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0,5/u4 , 1/u5 , 0,5/u6 }
A6 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0,5/u5 , 1/u6 }
dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang
diberi simbol ”/” menyatakan derajat keanggotaan terhadap µ(ui ) terhadap Aj ,j = 1, 6.
Universitas Sumatera Utara
19
4. Jika variasi pada tahun t adalah p, dan p ∈ ui dan jika nilai yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh
pada ui , maka p dinyatakan fuzzified pada Aj .
Hasil Variasi dari data pendaftaran yang difuzzified dinyatakan pada tabel
di bawah ini:
Tabel.3.2.2
Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui
No.
Tahun
Variasi Fuzzified Variasi
1.
1994
2.
1995
-169
A1
3.
1996
19
A4
4.
1997
-14
A3
5.
1998
-41
A3
6.
1999
77
A5
7.
2000
-15
A3
8.
2001
133
A6
9.
2002
-91
A2
10.
2003
-20
A3
11.
2004
72
A5
12.
2005
-5
A3
14.
2006
-13
A3
15.
2007
-2
A3
Universitas Sumatera Utara
20
5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy.
Tabel.3.2.3
Relasi Variasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A3 → A6
A4 → A3
A6 → A2
A3 → A3
A2 → A3
A3 → A5
A5 → A3
6. Mengkombinasikan relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy, jika memiliki sisi
kanan yang sama
Tabel.3.2.4
Grup Relasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A2 → A3
A3 → A3 , A5, A6
A4 → A3
A5 → A3
A6 → A2
Menghitung Ri , i = 1, 6 sebagai gabungan relasi logic sehingga :
Universitas Sumatera Utara
21
R1 = AT1 × A4
R2 = AT2 × A3
R3 = AT3 × A3 ∪ AT3 × A5 ∪ AT3 × A6
R4 = AT4 × A3
R5 = AT5 × A3
R6 = AT6 × A2
dengan ∪ merupakan operator gabungan.
7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari
tahun sebelumnya, yaitu :
Jika Ai−1 = Aj dan Ri =Rj , untuk j =1, 6.
Sehingga dari definisi komposisi:
Ai = Aj ◦ Rj
dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output peramalannya yaitu:
F (1996) = A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
F (1997) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (1998) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (1999) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2000) = A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2001) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2002) = A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2003) = A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2004) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2005) = A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2006) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
Universitas Sumatera Utara
22
F (2007) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2008) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi, yaitu:
(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0
(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka
titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.
(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,
maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.
P
x
ˆA
(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu : z = P A
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] , z = 30
A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ] , z = 45
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :
Error Peramalan =
Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |
ΣPendaftaran Sebenarnya
× 100 %
Universitas Sumatera Utara
23
Tabel.3.2.5
Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008
No.
Tahun
Pendaftaran
Sebenarnya(a)
Fuzzy Output
Peramalan
Pendaftaran(b)
|a-b|
1.
1996
383
0 0 0, 5 1 0, 5 0
394
11
2.
1997
369
0 0, 5 1 0, 5 0 0
353
16
3.
1998
328
0 0, 5 1 0, 5 1 1
414
86
4.
1999
405
0 0, 5 1 0, 5 1 1
373
32
5.
2000
390
0 0, 5 1 0, 5 0 0
375
15
6.
2001
523
0 0, 5 1 0, 5 1 1
415
108
7.
2002
432
0 0, 5 1 0, 5 0 0
490
58
8.
2003
412
0 0, 5 1 0, 5 0 0
402
10
9.
2004
484
0 0, 5 1 0, 5 1 1
457
27
10.
2005
479
0 0, 5 1 0, 5 0 0
454
25
11.
2006
466
0 0, 5 1 0, 5 1 1
514
48
12.
2007
464
0 0, 5 1 0, 5 1 1
511
47
13.
2008
0 0, 5 1 0, 5 1 1
509
Jumlah
5135
483
Sehingga dari tabel diketahui bahwa:
Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 6 himpunan fuzzy adalah 509 calon dan :
483
×100% = 9,4 %
Error Peramalan =
5135
Universitas Sumatera Utara
24
3.3 Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7 Himpunan Fuzzy
1. Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U dapat
dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama, maka anggap
U = [ Vmin - V1 , Vmax + V2 ]. Dengan V1 dan V2 bilangan positif sebarang,
maka penulis mengambil V1 = 11 dan V2 = 37 sehingga:
U = [-169 - 11 , 133 + 37 ]= [ -180, 170 ].
2. Dengan menggunakan 7 Himpunan Fuzzy, U dipartisi menjadi 7 interval
yang sama panjang, yaitu : ui , i = 1, 7, yaitu :
u1 = [-180, -130 ], u2 = [-130, -80 ], u3 = [ -80 , -30 ], u4 = [ -30 , 20 ],
u5 = [ 20 ,70 ], u6 = [ 70 , 120 ], u7 = [ 120 , 170 ]
3. Diasumsikan nilai fuzzy dari variabel linguistik variasi data pendaftarannya, yaitu : A1 (sangat menurun), A2 (semakin menurun), A3 (menurun), A4 (tetap), A5(meningkat), A6 (semakin meningkat), A7 ( sangat
meningkat ).
Untuk 7 interval yang ada, setiap ui , i = 1, 7 menjadi bagian dari
Aj ,j = 1, 7 dinyatakan dengan nilai real pada range [0,1] :
A1 = {1/u1 , 0,5/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A2 = {0,5/u1 , 1/u2 , 0,5/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A3 = {0/u1 , 0,5/u2 , 1/u3 , 0,5/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A4 = {0/u1 , 0/u2 , 0,5/u3 , 1/u4 , 0,5/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A5 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0,5/u4 , 1/u5 , 0,5/u6 , 0/u7 }
A6 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0,5/u5 , 1/u6 , 0,5/u7 }
A7 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0,5/u6 , 1/u7 }
Universitas Sumatera Utara
25
dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang
diberi simbol ”/” menyatakan nilai keanggotaan terhadap µ(ui ) terhadap
Aj ,j = 1, 7.
4. Jika variasi pada tahun t adalah p dan p ∈ ui dan jika nilai yang dinyatakan
oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh pada
ui maka p dinyatakan fuzzified pada Aj .
Tabel.3.3.1
Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui.
No.
Tahun
Variasi Fuzzified Variasi
1.
1994
2.
1995
-169
A1
3.
1996
19
A4
4.
1997
-14
A4
5.
1998
-41
A3
6.
1999
77
A6
7.
2000
-15
A4
8.
2001
133
A7
9.
2002
-91
A2
10.
2003
-20
A4
11.
2004
72
A6
12.
2005
-5
A4
13.
2006
-13
A4
14.
2007
-2
A4
Universitas Sumatera Utara
26
5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy, dinyatakan pada tabel
dibawah ini:
Tabel.3.3.2
Relasi Variasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A4 → A7
A4 → A4
A7 → A2
A4 → A3
A2 → A4
A3 → A6
A4 → A6
A6 → A4
6. Mengkombinasikan orde pertama relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy, jika memiliki sisi kanan yang sama, dinyatakan pada tabel dibawah ini:
Tabel.3.3.3
Grup Relasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A2 → A4
A3 → A6
A4 → A3, A4, A6, A7
A6 → A4
A7 → A2
Universitas Sumatera Utara
27
menghitung Ri , i = 1, 7 sebagai gabungan relasi logic dalam setiap grup
sehingga :
R1 = AT1 × A4
R2 = AT2 × A4
R3 = AT3 × A6
R4 = AT4 × A3 ∪ AT4 × A4 ∪ AT4 × A6 ∪ AT4 × A7
R6 = AT6 × A4
R7 = AT7 × A2
dengan ∪ merupakan operator gabungan.
7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari
tahun sebelumnya, yaitu :
Jika Ai−1 = Aj dan Ri =Rj , untuk j =1, 7.
Sehingga dari definisi komposisi:
Ai = Aj ◦ Rj ,
dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output peramalannya yaitu:
F (1996) = A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0 ]
F (1997) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (1998) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (1999) = A3 ◦ R3 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ]
F (2000) = A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2001) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2002) = A7 ◦ R7 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ]
F (2003) = A2 ◦ R2 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Universitas Sumatera Utara
28
F (2004) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2005) = A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2006) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2007) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2008) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi seperti pada peramalan dengan menggunakan 6 himpunan fuzzy, yaitu :
(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0
(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka
titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.
(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,
maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.
P
x
ˆA
(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu : z = P A
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0 ] , z = 45
A2 ◦ R2 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −5
A3 ◦ R3 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] , z = 95
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ] , z = 25
A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −5
A7 ◦ R7 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ] , z = −105
Universitas Sumatera Utara
29
9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :
Error Peramalan =
Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |
ΣPendaftaran Sebenarnya
× 100 %
Dari tabel diketahui bahwa :
Tabel.3.3.4
Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008
No.
Tahun
Pendaftaran
Sebenarnya(a)
Fuzzy Output
Peramalan
Pendaftaran(b)
|a-b|
1.
1996
383
0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0
409
26
2.
1997
369
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
408
39
3.
1998
328
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
394
66
4.
1999
405
0 0 0 0 0, 5 1 0, 5
423
18
5.
2000
390
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
400
10
6.
2001
523
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
415
108
7.
2002
432
0, 5 1 0, 5 0 0 0 0
418
14
8.
2003
412
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
427
15
9.
2004
484
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
437
47
10.
2005
479
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
479
0
11.
2006
466
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
504
38
12.
2007
464
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
491
27
13.
2008
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
489
Jumlah
5135
408
Sehingga dari tabel diketahui bahwa:
Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 7 himpunan fuzzy adalah 489 calon dan :
408
Error Peramalan = 5135 ×100% = 7,9%
Universitas Sumatera Utara
30
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
1. Pada peramalan pendaftaran dengan 6 himpunan fuzzy, pada tahun 2008
diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, Fakultas MIPA,Universitas Sumatera Utara adalah
sebesar 509 calon mahasiswa, dengan error ramalan 9,4 %.
2. Pada peramalan pendaftaran dengan 7 himpunan fuzzy, pada tahun 2008
diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar pada Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara adalah sebesar 489 calon
mahasiswa, dengan error ramalan 7,9 %.
3. Jumlah Himpunan fuzzy mempengaruhi error peramalan.
4. Kebaikan metode ini, yaitu :
Error dapat diperkecil dan semakin banyak himpunan fuzzy yang digunakan maka error semakin kecil.
5. Kelemahan metode ini, yaitu:
Jika kita telah menentukan nilai linguistik sebelum error diketahui, maka
ketika nilai errornya telah diketahui dan ternyata nilainya besar, dan akan
diperkecil, kita harus menentukan kembali nilai linguistiknya.
Universitas Sumatera Utara
32
4.2 Saran
(a) Sebaiknya dalam menggunakan metode Time-Invariant Fuzzy Time
Series , kita lebih baik menemukan hasil ramalan dengan error terkecil,
barulah mengasumsikan nilai linguistiknya.
(b) Untuk penerapan penelitian selanjutnya penulis mengusulkan melakukan
peramalan mendatang dengan mengasumsikan faktor-faktor yang diramalkan memiliki hubungan sebab akibat, dengan memanfaatkan himpunan fuzzy, atau disebut juga dengan ” Fuzzy Regresi Linier ”.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chen, Shyi-Ming, and Ching, Chia. A New Method To Forecasting Enrollments Using Fuzzy Time Series.International Journal Science and Engineering 2,3
[2] Makridakis,S., Wheelright, C.Steven, dan Mcgee, Victor. 1993.Aplikasi
Peramalan. Edisi ke-4. Terjemahan Untung Sus Andriyanti dan Abdul Basuki.Jakarta : Erlangga.
[3] Rohandi,Imam. 2006. Desain Sistem Tenaga Modern, Optimisasi, Logika
Fuzzy, dan Algoritma Genetica. Yogyakarta : Andi Yogyakarta.
[4] Ross,Timothy. 1997.Fuzzy Logic With Engineering Applications.University
New Mexico: Mc Graw Hill.
[5] Sah, Melike, and Degtiarev, Konstantin.2004.Forecasting Enrollments Model
Based on First - Order Fuzzy Time Series.Enformatika Society
[6] Sri Kusuma,Dewi. 2002.Analisis Desain Sistem Fuzzy menggunakan Tool
Box Matlab. Yogyakarta : Graha Ilmu.
[7] Sri Widodo,Thomas.2005.Sistem Neuro Fuzzy untuk Pengolahan Informasi,
Pemodelan, dan Kendali.Yogyakarta : Graha Ilmu.
[8] Zadeh, L.A. 1987.F uzzy Sets and Applications. Dalam Yager,R.R, Ovchinnikov,S.,Tong,R.M ,Nguyen,H.T. Canada : Wiley and Sons.
Universitas Sumatera Utara
34
LAMPIRAN PERHITUNGAN
Peramalan Pendaftaran Dengan 6 Himpunan Fuzzy
Relasi orde pertama
1
0, 5
0
R1 = AT1 ×A4 =
0
0
0
R2 =
=
AT2 ×A3
0, 5
1
0, 5
0
0
0
× [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] = 0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
R3 = AT3 × A3 ∪ AT3 × A5 ∪ AT3 × A6
dengan:
AT3
AT3
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
× A3=
× A5 =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0 0
0
0
Universitas Sumatera Utara
35
AT3 × A6 =
Maka :
R3 =
R4 =
R5 =
R6 =
0
0, 5
1
0, 5
0
0
×[ 0 0 0 0 0, 5 1 ] =
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
R3 =
0
0
0
AT4 ×A3
AT5 ×A3
AT6 ×A3
0 0
0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0, 5 1 0, 5
∪ 0 0 0
∪
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0, 5 1 0, 5 1
1
0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0, 5 0, 5
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5
0 0
0
0 0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5
1
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
=
=
=
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
Universitas Sumatera Utara
36
Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun sebelumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operator komposisi
A1◦R1 = [ 1 0, 5 0 0 0 0 ] ◦
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
0 0
0
0 0 0 =[
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0 0, 5 1 0, 5 1
1
0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5 = [
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
A2◦R2 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 ] ◦
A3◦R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] ◦
A4◦R4 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] ◦
A5◦R5 = [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] ◦
0
0
0
0
0
0
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Universitas Sumatera Utara
37
A6◦R6 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 ] ◦
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Defuzzifikasi Pada 6 Himpunan Fuzzy
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u4 = [ 0,60 ]
y = 60−0
2 = 30, maka z = 0 + 30 = 30
A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ] y = 0+60
= 30,
2
maka z = -60 + 30 = -30
A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ] ,
Universitas Sumatera Utara
38
Total Luas = 240
Luas I = 30, titik tengah intervalnya : -90
Luas II = 60, titik tengah intervalnya : -30
Luas III = 30, titik tengah intervalnya : 30
Luas IV = 60, titik tengah intervalnya : 90
Luas V = 60, titik tengah intervalnya : 150
P
x
ˆA
dengan menggunakan metode centroid: z = P A
sehingga:
z=
(30)(−90) + (60)(−30)+ (30)(30)+ (60)(90)+ (60)(150)
240
= 45
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
y = 0+60
= 30, maka z = -60 + 30 = -30
2
A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
= 30, maka z = -60 + 30 = -30
y = 0+60
2
A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
y = 0+60
2 = 30, maka z = -60 + 30 = -30
Universitas Sumatera Utara
39
Peramalan Pendaftaran Dengan 7 Himpunan Fuzzy
1
0, 5
0
T
R1 = A1 ×A4 = 0 × [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
T
R2 = A2 ×A4 =
R3 = AT3 ×A6 =
0
0
0
0
0
0
0 0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
× [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]=
× [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0 0
0
0
R4 = AT4 × A3 ∪ AT4 × A4 ∪ AT4 × A5 ∪ AT4 × A7
dengan :
T
A4 ×A3 =
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
Universitas Sumatera Utara
40
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
A4 ×A4 =
T
A4 ×A5 =
T
A4 × A7 =
R4 =
∪
×[ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
×[ 0 0 0 0 0 0, 5 1 ] =
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 0
∪ 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0, 5 0, 5
0 0
0 0 0 0 0 0, 5 1 ∪
0 0
0 0 0 0 0 0, 5 0, 5 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
1
1
R4 =
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0 0, 5 0, 5
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
0, 5 0, 5
0, 5 1
0, 5 0, 5
0
0
0
0
Universitas Sumatera Utara
41
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5 0, 5 0, 5
0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
R5 = A5 ×A5 =
T
R6 = A6 ×A4 =
T
R7 = A7 ×A2 =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
× = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun sebelumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operat
PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA
SKRIPSI
YUNITA HERNASARY
030803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK
PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
YUNITA HERNASARY
030803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
: METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK PERAMALAN PENDAFTARAN
CALON MAHASISWA
: SKRIPSI
: YUNITA HERNASARY
: 030803048
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, December 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Pangeran Sianipar, M.S
NIP. 130422437
Drs.Djakaria Sebayang
NIP. 131474685
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP. 131796149
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
PERAMALAN PENDAFTARAN DENGAN METODE TIME-INVARIANT
FUZZY TIME SERIES
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Desember 2007
YUNITA HERNASARY
030803048
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai
saya dan memberikan segala rahmatnya di setiap waktu dan dalam pengerjaan
skripsi ini sehingga , saya dapat menyelesaikannya dengan baik.
Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
Dalam kesempatan ini saya ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada Bapak Drs.Pangeran Sianipar, MS. selaku Pembimbing I dan
Bapak Drs.Djakaria Sebayang selaku Pembimbing II yang telah membimbing
dan mengarahkan saya, serta kebaikannya untuk meluangkan waktu, tenaga,
dan pikiran sehingga skripsi saya dapat selesai tepat pada waktunya.
Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya juga ingin saya sampaikan
kepada Bapak Pembanding, Bapak Prof.Dr.Herman Mawengkang dan Bapak
Drs.Suwarno Ariswoyo, M.si. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Bapak Dr.Eddy Marlianto, M.Sc. Ketua Departemen Matematika, Bapak Dr.Saib Suwilo, M.Sc. Sekertaris Departemen Matematika, Bapak Drs.Henri
Rani Sitepu, M.Si. Kepala Subbagian Registrasi dan Statistik BAN USU , Bapak
Danda Sasmita, SE, M.si. Seluruh staf pengajar Departemen Matematika, Fakultas MIPA ,Universitas Sumatera Utara dan beserta pegawai administrasinya.
Orangtua saya tercinta, Bapak ” Herpulus Debataraja ” dan Ibu ” Togiana
Sinurat” atas segala doa, kepercayaan, serta dukungannya baik moril maupun
materil. Adik-adik saya tercinta, Stefanus Sinar Firdaus, Paulus Kevin Clinton,
dan little angel ”ulelet”, Elisabeth Claudia Dixie atas segala canda, tawa, telpon,
dan semangatnya. Sahabat sejati saya dan ” ♥ ”, Adhi Sebayang atas segala
dukungan dan pengertiannya.
Keluarga Tulang Noel Sinurat, atas segala bantuan baik materi maupun
doa-doanya. Untuk teman yang mengambil kuliah bersama saya selama semester
terakhir ini, Dewi, Yanti, Herlina, Irwan, Darwin, Ricardo stat, Ramli, Casber
dan juga teman’03 yang lain, tetap semangat dan pantang menyerah. Untuk
teman-teman ”Tentara Bunda Maria” PYMH Paroki Katedral Medan atas segala
doa-doanya selama ini.
Universitas Sumatera Utara
iv
Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat
kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran
yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.
.
.
Medan, Desember 2007
Penulis,
Yunita Hernasary
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Pada tulisan ini akan ditunjukkan peramalan dapat diaplikasikan dengan metode Time-Invariant Fuzzy Time Series. Keterbatasan metode peramalan klasik
pada data time series yang bernilai linguistik menjadikan fuzzy berperan dalam
menyelesaikannya. Metode Time Invariant Fuzzy Time-Series merupakan suatu
metode yang menganggap relasi antara data tidak bergantung terhadap waktu.
Pengaruh penggunaan jumlah himpunan fuzzy yang berbeda akan diuji untuk
mengetahui hasil peramalan dan errornya. Dengan memanfaatkan data pendaftaran calon mahasiswa melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, dilakukan penerapan Metode Time Invariant
Fuzzy Time - Series, untuk mengetahui kebaikan dan kekurangan metode ini.
Sehingga akan sangat berguna dalam penerapan metode ini selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRACT
This paper will show that forecasting can be applied with Time Invariant Fuzzy
Time Series method. The limitness of classic forecasting method to the time
series data which value is linguistik make fuzzy sets has a function to solve it.
Time Invariant Fuzzy Time Series is a method that consider the relation between
the data, not depend on time. The effect of using different number of fuzzy sets
will be tested to know the result and the error of forecasting. With use the
enrollment data of candidate university student from SPMB manner of Departement Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science, University Of
North Sumatera. Time Invariant Fuzzy Time-Series will be applied, to know the
goodness and the badness of this method. So it will be an advantage in the next
applications
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
1. PENDAHULUAN
1
1.1. Latar Belakang
1
1.2. Identifikasi Masalah
2
1.3. Pembatasan Masalah
2
1.4. Tujuan Penelitian
2
1.5. Manfaat Penelitian
2
1.6. Tinjauan Pustaka
3
1.7. Metode Penelitian
4
2. LANDASAN TEORI
5
2.1. Himpunan Fuzzy
5
2.2. Notasi fuzzy
5
2.3. Normalisasi
6
2.4. Intensifikasi
6
2.5. Operasi Himpunan Fuzzy
6
2.6. Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy
8
Universitas Sumatera Utara
2.7. Relasi Fuzzy
8
2.8. Vektor Fuzzy
11
2.9. Model Peramalan
11
2.10. Fuzzy Time Series
12
2.11. Variabel Linguistik
12
2.12. Relasi Fuzzy Logic
12
2.13. Grup Relasi Fuzzy Logic
13
2.14. Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time
Series
13
2.15. Time Invariant Fuzzy Time Series
13
2.16. Defuzzifikasi
14
3. PEMBAHASAN
15
3.1. Metode Time Invariant Fuzzy Time Series
15
3.2. Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6 Himpunan Fuzzy
17
3.3. Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7 Himpunan Fuzzy
4. KESIMPULAN DAN SARAN
24
31
4.1. Kesimpulan
31
4.2. Saran
32
DAFTAR PUSTAKA
33
LAMPIRAN
34
Universitas Sumatera Utara
iv
Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat
kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran
yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.
.
.
Medan, Desember 2007
Penulis,
Yunita Hernasary
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Pada tulisan ini akan ditunjukkan peramalan dapat diaplikasikan dengan metode Time-Invariant Fuzzy Time Series. Keterbatasan metode peramalan klasik
pada data time series yang bernilai linguistik menjadikan fuzzy berperan dalam
menyelesaikannya. Metode Time Invariant Fuzzy Time-Series merupakan suatu
metode yang menganggap relasi antara data tidak bergantung terhadap waktu.
Pengaruh penggunaan jumlah himpunan fuzzy yang berbeda akan diuji untuk
mengetahui hasil peramalan dan errornya. Dengan memanfaatkan data pendaftaran calon mahasiswa melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, dilakukan penerapan Metode Time Invariant
Fuzzy Time - Series, untuk mengetahui kebaikan dan kekurangan metode ini.
Sehingga akan sangat berguna dalam penerapan metode ini selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
v
ABSTRACT
This paper will show that forecasting can be applied with Time Invariant Fuzzy
Time Series method. The limitness of classic forecasting method to the time
series data which value is linguistik make fuzzy sets has a function to solve it.
Time Invariant Fuzzy Time Series is a method that consider the relation between
the data, not depend on time. The effect of using different number of fuzzy sets
will be tested to know the result and the error of forecasting. With use the
enrollment data of candidate university student from SPMB manner of Departement Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science, University Of
North Sumatera. Time Invariant Fuzzy Time-Series will be applied, to know the
goodness and the badness of this method. So it will be an advantage in the next
applications
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peramalan mempunyai peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Prakiraan
cuaca , penjadualan staff, dan perencanaan produksi adalah beberapa contoh dari
aplikasi peramalan, yang banyak orang ingin meramalkannya dengan hasil yang
akurat. Meskipun telah banyak dikenal metode peramalan tetapi apabila data
historisnya (data masa lalu) tersedia dalam bentuk nilai-nilai linguistik, metode
time series klasik belum dapat menyelesaikannya sehingga muncul suatu metode
fuzzy time series untuk mengisi kekurangan dari fungsi metode time series klasik.
Adapun definisi dari fuzzy time series yaitu dengan mengasumsikan Y(t)
⊂ ℜ (garis real), t =...,0,1,2,... menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan
oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t =...,0,1,2,... didefinisikan
sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai
variabel linguistik, untuk fi(t), i =1,2,... adalah nilai linguistik dari F(t).
Jika F (t) yaitu ramalan pendaftaran pada tahun t, disebabkan oleh F ( t - 1)
yaitu pendaftaran pada tahun ( t - 1 ), dinotasikan dengan F(t - 1) → F(t)
maka relasi ini dinyatakan dengan F( t ) = F ( t - 1 ) ◦ R ( t, t - 1 ), dengan
simbol ” ◦ ” merupakan Max -Min operator komposisi. R (t, t - 1) adalah relasi
fuzzy diantara F(t) dan F(t-1) dan disebut dangan model orde pertama dari
F(t). Jika R( t, t-1 ) = R( t-1, t-2) untuk sebarang waktu t, maka dinyatakan
sebagai Time-Invariant Fuzzy Time - Series.
Universitas Sumatera Utara
2
1.2 Identifikasi Masalah
Pemasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini adalah meramalkan pendaftaran pada tahun yang akan datang, dengan memanfaatkan model orde pertama
dari metode Time Invariant Fuzzy Time Series dan menguji sejumlah nilai himpunan fuzzy yang berbeda untuk mengetahui apakah jumlah nilai fuzzy mempengaruhi kesalahan peramalan.
1.3 Pembatasan Masalah
Untuk menguji kesalahan peramalan, penulis hanya menggunakan dua buah nilai
himpunan fuzzy yang berbeda.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menunjukkan metode yang dapat menyelesaikan suatu masalah peramalan, apabila data historisnya tersedia dalam bentuk
nilai linguistik, serta menunjukkan bahwa himpunan fuzzy dapat diaplikasikan
ke dalam suatu masalah peramalan.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untuk mengetahui ide dan langkahlangkah yang dilakukan metode time-invariant fuzzy time series, dalam menyelesaikan masalah peramalan serta mengetahui kebaikan dan kekurangan metode
ini.
Universitas Sumatera Utara
3
1.6 Tinjauan Pustaka
Imam Rohandi (2006) dalam bukunya Desain Sistem Tenaga Modern,
optimisasi, Logika Fuzzy, dan Algoritma Genetica menyatakan bahwa , Himpunan
fuzzy adalah bentuk umum dari himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan [ 0,1 ]. Oleh karena itu fungsi keanggotaan fuzzy memetakan setiap
elemen dari semesta dalam batas ruang unit interval. Satu perbedaan dasar
dari himpunan non fuzzy selalu memiliki fungsi keanggotaan yang terbatas.
Hal ini memungkinkan fuzzy dapat diatur secara maksimum dalam situasi yang
diberikan.
L.A. Zadeh (1987) dalam buku Fuzzy Sets and Application menyatakan bahwa variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam
bentuk kata atau kalimat dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang
dibuat-buat, sebagai contoh : Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah
linguistik daripada numerik, misalnya : young, not young, very young, quite
young, old, not very old, and not very young daripada 20, 21,...,...,nilai umur
sebenarnya.
Timothy Ross (1997) dalam bukunya Fuzzy Logic for Engineering Appli˜ dan S˜ pada ruang cartesian X × Y.
cations menyatakan bahwa, Relasi fuzzy R
Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan
yang berbeda :
Universitas Sumatera Utara
4
Union
µR∪
˜ S˜ (x, y) = max (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Intersection
µR∩
˜ S˜ (x, y) = min (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Complement
µR˜ (x, y) = 1- µR˜ (x, y)
Containment
˜ ⊂ S˜ ⇒ µ ˜ (x, y) ≤ µ ˜(x, y)
R
R
S
1.7
Metode Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan adalah penelitian literatur dan studi
kasus yaitu:
1. Mengkaji secara teoritis Himpunan Fuzzy dan Fuzzy Time Series.
2. Mengkaji secara toeritis metode time-invariant fuzzy time series beserta
langkah-langkahnya.
3. Menyelesaikan suatu masalah peramalan pendaftaran sebagai suatu aplikasi.
4. Penarikan kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat
keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh
karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari
semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval.
Definisi 2.1.1 .
Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinyatakan dengan x , sehingga X = x . Himpunan Fuzzy A dalam X dinyatakan
dengan fungsi keanggotaan µA˜(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan real pada [ 0,1 ] , dengan nilai µA˜ (x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari
x dalam A. Nilai terdekat dari µA˜ pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar
x dalam A.
Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut:
A˜ = { (x, µA˜) | x ∈ X }
2.2 Notasi fuzzy
Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X
adalah diskrit dan terbatas, dinyatakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
6
A˜ =
{
µA˜(x2 )
µA˜(x1)
+
x1
x2
A˜ =
{
µA˜(x1) µA˜(x2 )
, x2
x1
+ ··· }
=
P
{
µA˜(xi )
}
xi
, ··· }
Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan
fuzzy dinyatakan dengan:
A˜ =
R
µA˜(x)
x
2.3 Normalisasi
Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki setidaknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1 dinyatakan dengan :
µN ORM (x) = µA (x)/max(µA (x)) x ∈ X
2.4 Intensifikasi
Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas dengan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan
elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0,5.
2.5 Operasi Himpunan Fuzzy
˜ B,
˜ C˜ pada semesta, untuk setiap elemen
Dinyatakan tiga buah himpunan A,
x dari semesta. Operasi fungsi untuk himpunan operasi gabungan, irisan, com˜ B,
˜ C˜ pada X yaitu:
plement dinyatakan untuk A,
Universitas Sumatera Utara
7
Union µA∪
˜ B
˜ (x) = µA˜ (x) ∨ µB
˜ (x)
Intersection µA∩
˜ B
˜ (x) = µA˜ (x) ∧ µB
˜ (x)
Complement
µA˜ = 1- µA˜
Sebarang himpunan fuzzy µA˜ didefinisikan pada semesta X adalah subhimpunan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himpunan
null φ adalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X
adalah 1, dinyatakan sebagai berikut:
A˜ ⊆ X ⇒ µA(x)
˜
˜ ≤ µX(x)
Untuk semua x ∈ X, µφ(x)
˜ = 0
=1
Untuk semua x ∈ X, µX(x)
˜
Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy:
˜ = A˜ ∪ B
˜
A˜ ∩ B
˜ = A˜ ∩ B
˜
A˜ ∪ B
Hukum Excluded middle (A ∪ A = X) dan hukum kebalikan (A ∩ A = φ)
tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka:
6 X
A˜ ∪ A˜ =
6 φ
A˜ ∩ A˜ =
Universitas Sumatera Utara
8
2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy):
Komutatif
˜ =B
˜ ∪ A˜
A˜ ∪ B
˜ =B
˜ ∩ A˜
A˜ ∩ B
Assosiatif
˜ ∪ C)
˜ = (A˜ ∪ B)
˜ ∪ C˜
A˜ ∪ (B
˜ ∩ (B
˜ ∩ C)
˜ =(A˜ ∩ B)
˜ ∩ C˜
A
Distributif
˜ ∩ C)
˜ = (A
˜ ∪ B)
˜ ∩ (A
˜ ∪ C)
˜
A˜ ∪ (B
˜ ∩ (B
˜ ∩ C)
˜ =(A˜ ∩ B)
˜ ∪ (A
˜ ∩ C)
˜
A
Idempotent
˜ ∪ A˜ = A˜ dan A˜ ∩ A˜ = A˜
A
Identitas
˜ ∪ φ = A˜ dan A˜ ∩ X = A˜
A
˜ ∩ φ = φ dan A˜ ∪ X = X
A
Transitif
Involution
˜ ⊆ C,
˜ maka A
˜ ⊆ C˜
Jika A˜ ⊆ B
A˜ = A˜
2.7 Relasi Fuzzy
˜ adalah suatu pemetaan ruang cartesian pada [ 0, 1 ], dengan
Relasi fuzzy R
hasil pemetaannya dinyatakan dengan µR˜ (x, y)
Universitas Sumatera Utara
9
2.7.1 Operasi Pada Relasi fuzzy.
˜ dan S˜ pada ruang cartesian X × Y. Maka operasi
Anggap suatu relasi fuzzy R
berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda:
Union
µR∪
˜ S˜ (x, y) = max (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Intersection
µR∩
˜ S˜ (x, y) = min (µR
˜ (x, y), µS˜ (x, y))
Complement
µR˜ (x, y) = 1- µR˜ (x, y)
Containment
˜ ⊂ S˜ ⇒ µ ˜ (x, y) ≤ µ ˜(x, y)
R
R
S
2.7.2 Sifat-Sifat Relasi Fuzzy.
Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan
idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi kelengkapan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded
middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada perbedaan antara relasi dan complementnya, yaitu:
˜=
˜∪R
6 E
R
˜=
˜∩R
6 O
R
Universitas Sumatera Utara
10
2.7.3 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi.
Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian product merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap A˜ suatu
˜ menjadi suatu himpunan fuzzy pada
himpunan fuzzy pada semesta X dan B
˜ adalah relasi
semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan A˜ dan B
˜ yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu:
fuzzy R
˜ =R
˜⊂X×Y
A˜ × B
˜ yaitu:
dengan fungsi keanggotaan dari relasi R,
µR˜ (x, y) = µA×
˜ B
˜ (x, y) = min(µA
˜ (x), µB
˜ (y))
˜ dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama seperCartesian Product A˜ × B
ti perkalian 2 vektor. Maka setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai
suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari
himpunan tersebut.
˜ adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X × Y , S˜ adalah relasi
Anggap R
fuzzy pada Y × Z, dan T˜ adalah relasi fuzzy pada X × Z, maka komposisi max
- min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut:
˜ ◦ S˜
T˜ = R
dengan fungsi keanggotaanya dinyatakan sebagai berikut:
µT˜ (x, z) = max( min( µR˜ (x, y) , µS˜ (y, z) ) )
Universitas Sumatera Utara
11
2.8 Vektor Fuzzy
Suatu vektor a
˜ = (a1 ,a2,· · · ,an ) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang
elemen 0 ≤ ai ≤ 1 ,untuk i = 1, 2, · · · , n. Dengan cara yang sama transpose vektor fuzzy a
˜ yang dinotasikan dengan a
˜t adalah suatu vektor kolom jika a
˜ adalah
suatu vektor baris, yaitu :
a
1
a
2
˜ t = ..
a
.
an
2.9 Model Peramalan
Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu :
1. Model Time Series (Deret Berkala)
Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data
masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret data historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa
depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara
yang lebih singkat dibandingkan model regresi.
2. Model Regresi (Kausal)
Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih
variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang
dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki
keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang bijaksana.
Universitas Sumatera Utara
12
2.10 Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.2
Diasumsikan Y(t) ⊂ ℜ (garis real), t = · · · , 0, 1, 2, · · · menjadi semesta
pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t),
t = · · · , 0, 1, 2,· · · didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat
itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, · · ·
adalah nilai linguistik dari F(t).
2.11 Variabel Linguistik
Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk kata atau kalimat, dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang dibuat-buat,
sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik
daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old,
not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur
sebenarnya.
2.12 Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.3
Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) × R(t, t-1) dengan
simbol × adalah suatu operator maka F (t) disebabkan oleh F (t−1). Relasi yang
ada antara F (t) dan F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t).
Universitas Sumatera Utara
13
2.13 Grup Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.4
Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama
yaitu relasi grup fuzzy logic.
Contoh:
Untuk sisi kanan Ai yang sama, grupnya dinyatakan sbb:
Ai → Aj1
Ai → Aj2
··· ··· ···
)
⇒ Ai → Aj1 , Aj2
2.14 Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.5
Jika F (t) disebabkan oleh F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t)
maka relasinya dinyatakan dengan F (t) = F (t − 1) ◦ R(t, t − 1) simbol ”◦”
merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t − 1) disebut sebagai model orde
pertama dari F (t) .
2.15 Time Invariant Fuzzy Time Series
Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang
relasinya tidak bergantung pada waktu t, dengan memanfaatkan himpunan data
fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya.
Definisi 2.1.6
Anggap F (t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t − 1)
menjadi model pertama dari F (t). Jika R(t, t−1) = R(t−1, t−2) untuk sebarang
waktu t maka F (t) dinyatakan sebagai Time Invariant Fuzzy Time Series.
Universitas Sumatera Utara
14
2.16 Defuzzifikasi
Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan
fuzzy, adapun prosesnya yaitu:
1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0
2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah
interval dimana nilai ini dicapai adalah z.
3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang
berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.
Contoh:
Jika u1 = [ 0, 20 ], u2 = [ 20, 40 ], u3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya
adalah [ 1 1 0,5 ].
Penyelesaian:
Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval
u1 = [ 0, 20 ] dan u2 = [ 20, 40 ] ,maka:
= 20
y = 40−0
2
sehingga z = 0 + y = 20
4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid,
yaitu :
z=
P
ˆA
Px
A
,
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Metode Time Invariant Fuzzy Time Series
Metode Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode yang memiliki 2 aspek penting, yaitu:
(a) Menggunakan variasi data historisnya daripada karakteristik pendaftaran
sebenarnya.
(b) Menghitung relasi R(t, t − 1) yang akan digunakan untuk memprediksi peramalan masa depan.
Langkah-langkah proses peramalan pada metode ini, yaitu:
1. Mendefinisikan semesta pembicaraan ( himpunan semesta U ) dari variasi
data historisnya.
2. Mempartisi U menjadi panjang interval yang sama.
3. Mendefinisikan himpunan fuzzy Ai .
4. Memfuzzykan variasi dari data historis peramalan.
5. Menyatakan relasi fuzzy logic Ai → Aj
6. Menjadikan relasi fuzzy orde pertama, menjadi suatu grup relasi fuzzy logic
jika memiliki sisi kanan yang sama, menghitung relasi Ri untuk setiap fuzzy
ke-i.
Universitas Sumatera Utara
16
7. Meramalkan output peramalannya dan mendeffuzifikasikannya.
8. Menghitung ramalan pendaftarannya.
Untuk memperoleh gambaran yang jelas mengenai metode Time-Invariant Fuzzy
Time Series ini, penulis mengambil contoh kasus peramalan pendaftaran calon
mahasiswa melalui jalur SPMB, pada Departemen Matematika Universitas Sumatera Utara.
Tabel.3.1.1
Banyaknya Calon Mahasiswa Yang Mendaftar Melalui Jalur SPMB
Pada Departemen Matematika Universitas Sumatera Utara
Antara Tahun 1994 s/d 2007
No. Tahun
Jumlah Pendaftaran
1.
1994
533
2.
1995
364
3.
1996
383
4.
1997
369
5.
1998
328
6.
1999
405
7.
2000
390
8.
2001
523
9.
2002
432
10.
2003
412
11.
2004
484
12.
2005
479
13.
2006
466
13.
2007
464
Universitas Sumatera Utara
17
Pada penelitian ini penulis menggunakan 6 dan 7 himpunan fuzzy untuk menguji
kesalahan peramalan . Pemilihan 6 dan 7 himpunan fuzzy merupakan pemilihan
secara sebarang.
3.2 Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6 Himpunan Fuzzy
1. Himpunan semesta U dinyatakan dari variasi pendaftaran tahun-tahun sebelumnya. Data pendaftaran dan variasinya dinyatakan pada tabel dibawah
ini:
Tabel.3.2.1
Data Pendaftaran dan Variasi dari Data Historis
No. Tahun
Jumlah Pendaftaran
Variasi
1.
1994
533
2.
1995
364
-169
3.
1996
383
19
4.
1997
369
-14
5.
1998
328
-41
6.
1999
405
77
7.
2000
390
-15
8.
2001
523
133
9.
2002
432
-91
10.
2003
412
-20
11.
2004
484
72
12.
2005
479
-5
13.
2006
466
-13
13.
2007
464
-2
Universitas Sumatera Utara
18
Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U dapat dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama , maka
anggap U = [ Vmin - V1 , Vmax + V2 ]. Dengan V1 dan V2 bilangan positif
sebarang, maka penulis mengambil V1 = 11 dan V2 = 47 sehingga :
U = [-169 - 11 , 133 + 47 ]= [ -180, 180 ].
2. Dengan menggunakan 6 Himpunan Fuzzy, maka U dipartisi menjadi 6 interval yang sama panjang ui, i = 1, 6, yaitu:
u1 = [ -180, -120 ], u2 = [ -120, -60 ], u3 = [ -60 , 0 ], u4 = [ 0 , 60 ],
u5 = [ 60 , 120 ], u6 = [ 120 , 180 ].
3. Diasumsikan nilai fuzzy berasal dari variabel linguistik variasi data pendaftarannya, yaitu : A1 (semakin menurun), A2 (menurun), A3 (tetap), A4
(meningkat), A5 (semakin meningkat), A6 (sangat meningkat).
Untuk 6 interval yang ada, setiap ui , i = 1, 6 ∈ Aj ,j = 1, 6 dinyatakan
dengan nilai real pada range [0,1]:
A1 = {1/u1 , 0,5/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A2 = {0,5/u1 , 1/u2 , 0,5/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A3 = {0/u1 , 0,5/u2 , 1/u3 , 0,5/u4 , 0/u5 , 0/u6 }
A4 = {0/u1 , 0/u2 , 0,5/u3 , 1/u4 , 0,5/u5 , 0/u6 }
A5 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0,5/u4 , 1/u5 , 0,5/u6 }
A6 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0,5/u5 , 1/u6 }
dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang
diberi simbol ”/” menyatakan derajat keanggotaan terhadap µ(ui ) terhadap Aj ,j = 1, 6.
Universitas Sumatera Utara
19
4. Jika variasi pada tahun t adalah p, dan p ∈ ui dan jika nilai yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh
pada ui , maka p dinyatakan fuzzified pada Aj .
Hasil Variasi dari data pendaftaran yang difuzzified dinyatakan pada tabel
di bawah ini:
Tabel.3.2.2
Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui
No.
Tahun
Variasi Fuzzified Variasi
1.
1994
2.
1995
-169
A1
3.
1996
19
A4
4.
1997
-14
A3
5.
1998
-41
A3
6.
1999
77
A5
7.
2000
-15
A3
8.
2001
133
A6
9.
2002
-91
A2
10.
2003
-20
A3
11.
2004
72
A5
12.
2005
-5
A3
14.
2006
-13
A3
15.
2007
-2
A3
Universitas Sumatera Utara
20
5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy.
Tabel.3.2.3
Relasi Variasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A3 → A6
A4 → A3
A6 → A2
A3 → A3
A2 → A3
A3 → A5
A5 → A3
6. Mengkombinasikan relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy, jika memiliki sisi
kanan yang sama
Tabel.3.2.4
Grup Relasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A2 → A3
A3 → A3 , A5, A6
A4 → A3
A5 → A3
A6 → A2
Menghitung Ri , i = 1, 6 sebagai gabungan relasi logic sehingga :
Universitas Sumatera Utara
21
R1 = AT1 × A4
R2 = AT2 × A3
R3 = AT3 × A3 ∪ AT3 × A5 ∪ AT3 × A6
R4 = AT4 × A3
R5 = AT5 × A3
R6 = AT6 × A2
dengan ∪ merupakan operator gabungan.
7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari
tahun sebelumnya, yaitu :
Jika Ai−1 = Aj dan Ri =Rj , untuk j =1, 6.
Sehingga dari definisi komposisi:
Ai = Aj ◦ Rj
dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output peramalannya yaitu:
F (1996) = A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
F (1997) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (1998) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (1999) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2000) = A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2001) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2002) = A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2003) = A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2004) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2005) = A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2006) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
Universitas Sumatera Utara
22
F (2007) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
F (2008) = A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi, yaitu:
(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0
(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka
titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.
(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,
maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.
P
x
ˆA
(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu : z = P A
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] , z = 30
A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ] , z = 45
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :
Error Peramalan =
Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |
ΣPendaftaran Sebenarnya
× 100 %
Universitas Sumatera Utara
23
Tabel.3.2.5
Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008
No.
Tahun
Pendaftaran
Sebenarnya(a)
Fuzzy Output
Peramalan
Pendaftaran(b)
|a-b|
1.
1996
383
0 0 0, 5 1 0, 5 0
394
11
2.
1997
369
0 0, 5 1 0, 5 0 0
353
16
3.
1998
328
0 0, 5 1 0, 5 1 1
414
86
4.
1999
405
0 0, 5 1 0, 5 1 1
373
32
5.
2000
390
0 0, 5 1 0, 5 0 0
375
15
6.
2001
523
0 0, 5 1 0, 5 1 1
415
108
7.
2002
432
0 0, 5 1 0, 5 0 0
490
58
8.
2003
412
0 0, 5 1 0, 5 0 0
402
10
9.
2004
484
0 0, 5 1 0, 5 1 1
457
27
10.
2005
479
0 0, 5 1 0, 5 0 0
454
25
11.
2006
466
0 0, 5 1 0, 5 1 1
514
48
12.
2007
464
0 0, 5 1 0, 5 1 1
511
47
13.
2008
0 0, 5 1 0, 5 1 1
509
Jumlah
5135
483
Sehingga dari tabel diketahui bahwa:
Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 6 himpunan fuzzy adalah 509 calon dan :
483
×100% = 9,4 %
Error Peramalan =
5135
Universitas Sumatera Utara
24
3.3 Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7 Himpunan Fuzzy
1. Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U dapat
dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama, maka anggap
U = [ Vmin - V1 , Vmax + V2 ]. Dengan V1 dan V2 bilangan positif sebarang,
maka penulis mengambil V1 = 11 dan V2 = 37 sehingga:
U = [-169 - 11 , 133 + 37 ]= [ -180, 170 ].
2. Dengan menggunakan 7 Himpunan Fuzzy, U dipartisi menjadi 7 interval
yang sama panjang, yaitu : ui , i = 1, 7, yaitu :
u1 = [-180, -130 ], u2 = [-130, -80 ], u3 = [ -80 , -30 ], u4 = [ -30 , 20 ],
u5 = [ 20 ,70 ], u6 = [ 70 , 120 ], u7 = [ 120 , 170 ]
3. Diasumsikan nilai fuzzy dari variabel linguistik variasi data pendaftarannya, yaitu : A1 (sangat menurun), A2 (semakin menurun), A3 (menurun), A4 (tetap), A5(meningkat), A6 (semakin meningkat), A7 ( sangat
meningkat ).
Untuk 7 interval yang ada, setiap ui , i = 1, 7 menjadi bagian dari
Aj ,j = 1, 7 dinyatakan dengan nilai real pada range [0,1] :
A1 = {1/u1 , 0,5/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A2 = {0,5/u1 , 1/u2 , 0,5/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A3 = {0/u1 , 0,5/u2 , 1/u3 , 0,5/u4 , 0/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A4 = {0/u1 , 0/u2 , 0,5/u3 , 1/u4 , 0,5/u5 , 0/u6 , 0/u7 }
A5 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0,5/u4 , 1/u5 , 0,5/u6 , 0/u7 }
A6 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0,5/u5 , 1/u6 , 0,5/u7 }
A7 = {0/u1 , 0/u2 , 0/u3 , 0/u4 , 0/u5 , 0,5/u6 , 1/u7 }
Universitas Sumatera Utara
25
dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang
diberi simbol ”/” menyatakan nilai keanggotaan terhadap µ(ui ) terhadap
Aj ,j = 1, 7.
4. Jika variasi pada tahun t adalah p dan p ∈ ui dan jika nilai yang dinyatakan
oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh pada
ui maka p dinyatakan fuzzified pada Aj .
Tabel.3.3.1
Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui.
No.
Tahun
Variasi Fuzzified Variasi
1.
1994
2.
1995
-169
A1
3.
1996
19
A4
4.
1997
-14
A4
5.
1998
-41
A3
6.
1999
77
A6
7.
2000
-15
A4
8.
2001
133
A7
9.
2002
-91
A2
10.
2003
-20
A4
11.
2004
72
A6
12.
2005
-5
A4
13.
2006
-13
A4
14.
2007
-2
A4
Universitas Sumatera Utara
26
5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy, dinyatakan pada tabel
dibawah ini:
Tabel.3.3.2
Relasi Variasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A4 → A7
A4 → A4
A7 → A2
A4 → A3
A2 → A4
A3 → A6
A4 → A6
A6 → A4
6. Mengkombinasikan orde pertama relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy, jika memiliki sisi kanan yang sama, dinyatakan pada tabel dibawah ini:
Tabel.3.3.3
Grup Relasi Fuzzy Logic
A1 → A4
A2 → A4
A3 → A6
A4 → A3, A4, A6, A7
A6 → A4
A7 → A2
Universitas Sumatera Utara
27
menghitung Ri , i = 1, 7 sebagai gabungan relasi logic dalam setiap grup
sehingga :
R1 = AT1 × A4
R2 = AT2 × A4
R3 = AT3 × A6
R4 = AT4 × A3 ∪ AT4 × A4 ∪ AT4 × A6 ∪ AT4 × A7
R6 = AT6 × A4
R7 = AT7 × A2
dengan ∪ merupakan operator gabungan.
7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari
tahun sebelumnya, yaitu :
Jika Ai−1 = Aj dan Ri =Rj , untuk j =1, 7.
Sehingga dari definisi komposisi:
Ai = Aj ◦ Rj ,
dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output peramalannya yaitu:
F (1996) = A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0 ]
F (1997) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (1998) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (1999) = A3 ◦ R3 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ]
F (2000) = A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2001) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2002) = A7 ◦ R7 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ]
F (2003) = A2 ◦ R2 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Universitas Sumatera Utara
28
F (2004) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2005) = A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
F (2006) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2007) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
F (2008) = A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ]
8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi seperti pada peramalan dengan menggunakan 6 himpunan fuzzy, yaitu :
(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0
(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka
titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.
(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,
maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.
P
x
ˆA
(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu : z = P A
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x
ˆ
Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0 ] , z = 45
A2 ◦ R2 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −5
A3 ◦ R3 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] , z = 95
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 1 1 0, 5 1 ] , z = 25
A6 ◦ R6 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −5
A7 ◦ R7 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ] , z = −105
Universitas Sumatera Utara
29
9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :
Error Peramalan =
Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |
ΣPendaftaran Sebenarnya
× 100 %
Dari tabel diketahui bahwa :
Tabel.3.3.4
Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008
No.
Tahun
Pendaftaran
Sebenarnya(a)
Fuzzy Output
Peramalan
Pendaftaran(b)
|a-b|
1.
1996
383
0 0 0, 5 0, 5 1 0, 5 0
409
26
2.
1997
369
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
408
39
3.
1998
328
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
394
66
4.
1999
405
0 0 0 0 0, 5 1 0, 5
423
18
5.
2000
390
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
400
10
6.
2001
523
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
415
108
7.
2002
432
0, 5 1 0, 5 0 0 0 0
418
14
8.
2003
412
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
427
15
9.
2004
484
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
437
47
10.
2005
479
0 0 0, 5 1 0, 5 0 0
479
0
11.
2006
466
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
504
38
12.
2007
464
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
491
27
13.
2008
0 0, 5 1 1 1 0, 5 1
489
Jumlah
5135
408
Sehingga dari tabel diketahui bahwa:
Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 7 himpunan fuzzy adalah 489 calon dan :
408
Error Peramalan = 5135 ×100% = 7,9%
Universitas Sumatera Utara
30
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
1. Pada peramalan pendaftaran dengan 6 himpunan fuzzy, pada tahun 2008
diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar melalui jalur SPMB pada Departemen Matematika, Fakultas MIPA,Universitas Sumatera Utara adalah
sebesar 509 calon mahasiswa, dengan error ramalan 9,4 %.
2. Pada peramalan pendaftaran dengan 7 himpunan fuzzy, pada tahun 2008
diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar pada Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara adalah sebesar 489 calon
mahasiswa, dengan error ramalan 7,9 %.
3. Jumlah Himpunan fuzzy mempengaruhi error peramalan.
4. Kebaikan metode ini, yaitu :
Error dapat diperkecil dan semakin banyak himpunan fuzzy yang digunakan maka error semakin kecil.
5. Kelemahan metode ini, yaitu:
Jika kita telah menentukan nilai linguistik sebelum error diketahui, maka
ketika nilai errornya telah diketahui dan ternyata nilainya besar, dan akan
diperkecil, kita harus menentukan kembali nilai linguistiknya.
Universitas Sumatera Utara
32
4.2 Saran
(a) Sebaiknya dalam menggunakan metode Time-Invariant Fuzzy Time
Series , kita lebih baik menemukan hasil ramalan dengan error terkecil,
barulah mengasumsikan nilai linguistiknya.
(b) Untuk penerapan penelitian selanjutnya penulis mengusulkan melakukan
peramalan mendatang dengan mengasumsikan faktor-faktor yang diramalkan memiliki hubungan sebab akibat, dengan memanfaatkan himpunan fuzzy, atau disebut juga dengan ” Fuzzy Regresi Linier ”.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chen, Shyi-Ming, and Ching, Chia. A New Method To Forecasting Enrollments Using Fuzzy Time Series.International Journal Science and Engineering 2,3
[2] Makridakis,S., Wheelright, C.Steven, dan Mcgee, Victor. 1993.Aplikasi
Peramalan. Edisi ke-4. Terjemahan Untung Sus Andriyanti dan Abdul Basuki.Jakarta : Erlangga.
[3] Rohandi,Imam. 2006. Desain Sistem Tenaga Modern, Optimisasi, Logika
Fuzzy, dan Algoritma Genetica. Yogyakarta : Andi Yogyakarta.
[4] Ross,Timothy. 1997.Fuzzy Logic With Engineering Applications.University
New Mexico: Mc Graw Hill.
[5] Sah, Melike, and Degtiarev, Konstantin.2004.Forecasting Enrollments Model
Based on First - Order Fuzzy Time Series.Enformatika Society
[6] Sri Kusuma,Dewi. 2002.Analisis Desain Sistem Fuzzy menggunakan Tool
Box Matlab. Yogyakarta : Graha Ilmu.
[7] Sri Widodo,Thomas.2005.Sistem Neuro Fuzzy untuk Pengolahan Informasi,
Pemodelan, dan Kendali.Yogyakarta : Graha Ilmu.
[8] Zadeh, L.A. 1987.F uzzy Sets and Applications. Dalam Yager,R.R, Ovchinnikov,S.,Tong,R.M ,Nguyen,H.T. Canada : Wiley and Sons.
Universitas Sumatera Utara
34
LAMPIRAN PERHITUNGAN
Peramalan Pendaftaran Dengan 6 Himpunan Fuzzy
Relasi orde pertama
1
0, 5
0
R1 = AT1 ×A4 =
0
0
0
R2 =
=
AT2 ×A3
0, 5
1
0, 5
0
0
0
× [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] = 0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
R3 = AT3 × A3 ∪ AT3 × A5 ∪ AT3 × A6
dengan:
AT3
AT3
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
× A3=
× A5 =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0 0
0
0
Universitas Sumatera Utara
35
AT3 × A6 =
Maka :
R3 =
R4 =
R5 =
R6 =
0
0, 5
1
0, 5
0
0
×[ 0 0 0 0 0, 5 1 ] =
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
R3 =
0
0
0
AT4 ×A3
AT5 ×A3
AT6 ×A3
0 0
0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0, 5 1 0, 5
∪ 0 0 0
∪
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0, 5 1 0, 5 1
1
0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0, 5 0, 5
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5
0 0
0
0 0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5
1
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
=
=
=
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
Universitas Sumatera Utara
36
Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun sebelumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operator komposisi
A1◦R1 = [ 1 0, 5 0 0 0 0 ] ◦
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
0 0
0
0 0 0 =[
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5
0 0, 5 1 0, 5 1
1
0 0, 5 1 0, 5 1 1 ]
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0.5 = [
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
A2◦R2 = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 ] ◦
A3◦R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] ◦
A4◦R4 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] ◦
A5◦R5 = [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] ◦
0
0
0
0
0
0
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Universitas Sumatera Utara
37
A6◦R6 = [ 0 0 0 0 0, 5 1 ] ◦
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Defuzzifikasi Pada 6 Himpunan Fuzzy
A1 ◦ R1 = [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u4 = [ 0,60 ]
y = 60−0
2 = 30, maka z = 0 + 30 = 30
A2 ◦ R2 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ] y = 0+60
= 30,
2
maka z = -60 + 30 = -30
A3 ◦ R3 = [ 0 0, 5 1 0, 5 1 1 ] ,
Universitas Sumatera Utara
38
Total Luas = 240
Luas I = 30, titik tengah intervalnya : -90
Luas II = 60, titik tengah intervalnya : -30
Luas III = 30, titik tengah intervalnya : 30
Luas IV = 60, titik tengah intervalnya : 90
Luas V = 60, titik tengah intervalnya : 150
P
x
ˆA
dengan menggunakan metode centroid: z = P A
sehingga:
z=
(30)(−90) + (60)(−30)+ (30)(30)+ (60)(90)+ (60)(150)
240
= 45
A4 ◦ R4 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
y = 0+60
= 30, maka z = -60 + 30 = -30
2
A5 ◦ R5 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
= 30, maka z = -60 + 30 = -30
y = 0+60
2
A6 ◦ R6 = [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] , z = −30
Karena nilai maksimumnya berada pada interval u3 = [ -60,0 ]
y = 0+60
2 = 30, maka z = -60 + 30 = -30
Universitas Sumatera Utara
39
Peramalan Pendaftaran Dengan 7 Himpunan Fuzzy
1
0, 5
0
T
R1 = A1 ×A4 = 0 × [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
T
R2 = A2 ×A4 =
R3 = AT3 ×A6 =
0
0
0
0
0
0
0 0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
× [ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ]=
× [ 0 0 0 0 0, 5 1 0, 5 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0, 5 1 0, 5
0 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0 0
0
0
R4 = AT4 × A3 ∪ AT4 × A4 ∪ AT4 × A5 ∪ AT4 × A7
dengan :
T
A4 ×A3 =
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
× [ 0 0, 5 1 0, 5 0 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
Universitas Sumatera Utara
40
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
A4 ×A4 =
T
A4 ×A5 =
T
A4 × A7 =
R4 =
∪
×[ 0 0 0, 5 1 0, 5 0 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
×[ 0 0 0 0 0 0, 5 1 ] =
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0
0
0 0, 5 1 0, 5 0 0 0
∪ 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0, 5 0, 5
0 0
0 0 0 0 0 0, 5 1 ∪
0 0
0 0 0 0 0 0, 5 0, 5 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
1
1
R4 =
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0 0, 5 0, 5
0 0, 5 1
0 0, 5 0, 5
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0
0, 5 0, 5
0, 5 1
0, 5 0, 5
0
0
0
0
Universitas Sumatera Utara
41
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0, 5 1 0, 5 0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0
0 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0, 5
1
0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0 0, 5 1 0, 5 0
0 0, 5 0, 5 0, 5 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 5 0, 5 0, 5
0, 5 1 0, 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
R5 = A5 ×A5 =
T
R6 = A6 ×A4 =
T
R7 = A7 ×A2 =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
× [ 0 0 0 0, 5 1 0, 5 0 ] =
× = [ 0, 5 1 0, 5 0 0 0 0 ] =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun sebelumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operat