3.7 atau
atau
� + � �
2
− 2� � � + � � � + �
2
� �
2
+ � �
2
− �� − + ��
3
= 0,
dengan � =
tanh �ℎ
, � =
tanh �ℎ
. Persamaan 3.7 merupakan persamaan kuadrat dalam
�dengan penyelesaian dalam bentuk:
�
,
� = � � � + � �
� + � ±
� + � , 3.8
dengan =
�
2
� � + � �
2
− � + � �
2
� �
2
+ � �
2
− �� − +
� + � ��
3
. Persamaan 3.8 merupakan relasi dispersi dari persamaan dasar fluida ideal yang
tak berotasi.Relasi dispersi ini merupakan relasi dispersi Kelvin-Helmholtz Visser, 2004. Relasi ini yang akan dikaji dalam penelitian ini.
3.2. Ketakstabilan Gelombang Internal
Perubahan amplitudo gelombang sangat berpengaruh pada terjadinya ketakstabilan gelombang internal.Perubahan amplitudo dapat diakibatkan oleh
perubahan bilangan
gelombang, frekuensi
gelombang, dan
kecepatan arus.Amplitudo yang meningkat secara terus menerus menyebabkan gelombang
internal tidak stabil.
3.2.1. Ketakstabilan Temporal
Ketaksabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada relasi dispersi Kelvin-Helmholtz pada persamaan 3.8. Bagian imajiner dari
persamaan 3.8 diperoleh bilamana � + �
2
0, sehingga diperoleh �
2
� � + � �
2
− � + � �
2
� �
2
+ � �
2
− �� − +
� + � ��
3
= 0. 3.9
� � � − �
2
− �� +� � � − �
2
+ �� + ��
3
= 0,
Misalkan kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil U
b
= 0 dan tegangan permukaan
�=0, maka persamaan 3.9 menjadi: −� � �
2
�
2
+ �� − � + � = 0. 3.10
Kestabilan temporal dihasilkan dari −� � �
2
�
2
+ �� − � + � 0,
atau �
2
� −
� + � �� �
. Nilai kritis dari kestabilan temporal adalah
�
���
= �
− � + �
�� �
. 3.12
Dengan demikian kestabilan temporal terjadi bilamana |U
a
| U
acrit
.
3.2.2. Ketakstabilan Spasial
Misalkan � = 0 dan U
b =
0, maka persamaan 3.7menjadi � + � �
2
− 2� � � � + �
2
� �
2
− �� − = 0 3.13 Persamaan 3.13 merupakan persamaan taklinear terhadap k yang
penyelesaiannya secara analitik sulit dilakukan, untuk itu diperlukan beberapa asumsi. Misalkan diasumsikan domain fluida dua lapisan masing-masing
memiliki ketebalan yang cukup besar kh
a
0 dan kh
b
0, sehingga S
a
= dan
S
b
= . Berdasarkan asumsi tersebut persamaan 3.13 menjadi
+ �
2
− 2� � � + �
2
�
2
− �� − = 0, atau
�
2
�
2
− � 2 � � + � − + + �
2
= 0. 3.14 Persamaan 3.14 berupa persamaan kuadrat dalam k dengan penyelesaian
dalam bentuk:
�
,
�, � = 2
� � + � − 2
�
2
± 2 � � + � −
2
− 4 �
2
+ �
2
2 �
2
,
3.11
atau
�
,
�, � = 2
� � + � − 2
�
2
± 4
2
�
2
�
2
+ 4 � �� − + �
2
−
2
− 4 �
2
+ �
2
2 �
2
,
atau
�
,
�, � = 2
� � + � − 2
�
2
± 4
2
�
2
−4 �
2
+ �
2
+ 4 � − �� + �
2
−
2
2 �
2
,
atau
�
,
�, � = 2
� � + � − 2
�
2
± −4
�
2
�
2
+ 4 � − �� + �
2
−
2
2 �
2
. 3.15
Ketakstabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada persamaan 3.15.Bagian imajiner dari persamaan 3.15 diperoleh bilamana
2 �
2 2
0,sehingga nilai kritis dari kestabilan spasial berbentuk 4
�
2
�
2
− 4 − �� � − �
2
−
2
= 0 3.16 Persamaan 3.16 merupakan persamaan kuadrat dalam
� dengan penyelesaian dalam bentuk:
�
, ���
= − �
2 �
± 4 − ��
2
+ 44 �
2
�
2
−
2
2 �
2
, atau
�
, ���
= − �
2 �
± 16
2
−
2
�
2
�
2
+ 16 �
2
�
2
−
2
8 �
2
, atau
�
, ���
= − �
2 �
± 4
� � − +
2
8 �
2
,
atau �
, ���
= ±
+
2
− � 2
� . 3.17
Dengan demikian kestabilan spasial terjadi bilamana � �
���
untuk � 0
dan � �
���
untuk � 0.
3.3. PembangkitanGelombang Internal di Selat Makassar
