Dari definisi pada persamaan .
dan kondisi batas pada persamaan .
, maka didapatkan kondisi batas akhir terminal boundary condition,
=
�
= ,
= ,
= ,
|
�=�
=
�
[ , ].
. Dari definisi Hamiltonian pada persamaan
. , persamaan kondisi juga dapat
ditulis sebagai ̇ = =
�
, .
Persamaan .
dan .
dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut {
̇ =
�
, =
̇ = −
�
, =
�
[ , ],
.
G. Prinsip Maksimum
Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut
ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar
∗
merupakan suatu kendali optimal:
{ ̇
∗
=
∗
,
∗
, ,
∗
= , ̇ = −
�
[
∗
,
∗
, , ], =
�
[ , ],
[
∗
,
∗
, , ]
[
∗
, , , ],
.
untuk semua ∈ � , ∈ [ , ].
Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi
∗
dan adjoin pada
Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan .
. Selanjutnya,
∗
harus maksimum global dari Hamiltonian [
∗
, , , ] dengan ∈ � .
Oleh karena itu, persamaan .
disebut Prinsip Maksimum maximum principle. Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan
menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal
∗
kemudian didapatkan
∗
. Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat dimaksimalkan dengan fungsi kendali
∗
= [
∗
, , , ],
kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan dua nilai batas pada persamaan diferensial,
{ ̇
∗
=
∗
,
∗
, , , ,
∗
= , = −
�
̇
∗
,
∗
, , , , =
�
[
∗
, ]. Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal
menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai berikut.
G.1. Contoh Prinsip Maksimum
Diberikan masalah: {� = ∫ −
}
terhadap kondisi ̇ = ,
= dan kendali
∈ Ω = [− , ] Diketahui bahwa
= , = − , = , dan = . Karena = − , hal ini bisa dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva
, untuk .
Penyelesaian
Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan Hamiltonian sebagai berikut:
, , , = , , +
, , = − + .
Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam . Fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah
∗
= [− , ;
]. Fungsi bang bang function digunakan pada masalah kendali optimal linier yang
didefinisikan sebagai berikut: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[ , ; ] = { tidak terdefinisi
jika ,
jika = ,
jika .
Pada contoh ini,
∗
= { −
tidak terdefinisi jika
, jika
= , jika
.
Untuk mencari nilai , digunakan persamaan adjoin sebagai berikut ̇ = −
�
̇ = − − +
�
̇ = −
�
̇ = dan
=
�
[ , ]
= Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat dan .
̇ = =
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= + Dengan menggunakan informasi
= , didapatkan =
= + = +
= − = −
Yang berarti bahwa = −
untuk semua ∈ [ , ] dan
∗
= − dengan mendefinisikan pada satu titik
= , didapat kendali optimal
∗
= − untuk ∈ [ , ]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi ̇ = ,
= didapatkan
̇ = − , =
Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut ̇ = −
= − = −
= − + Karena
= =
= + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= =
Maka penyelesaiannya adalah = − untuk ∈ [ , ]. Nilai dari fungsi
tujuannya adalah sebagai berikut �
∗
= ∫ −
= − ]
�
∗
= − . Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju
,
∗
, dan terhadap
waktu :
Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
