Kendali optimal pada model periklanan Nerlove Arrow dengan menggunakan prinsip maksimum

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN
NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP
MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Dewita Nur Fahma
NIM: 123114022
PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

OPTIMAL CONTROL ON THE NERLOVE-ARROW
ADVERTISING MODEL WITH MAXIMUM PRINCIPLE
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics

By:
Dewita Nur Fahma
Student Number: 123114022
MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017

ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

v

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Pelangi tidak akan indah jika hanya ada satu warna .

Karya ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya
sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan
memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian,
kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat
selesai.
Bapak Hartono yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam
penulisan skripsi ini.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Teori kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk
mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Teori kendali optimal dapat diterapkan dalam bidang manajemen. Aplikasi kendali optimal pada bidang
manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi
dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini akan dibahas
mengenai model periklanan, yaitu model periklanan Nerlove-Arrow. Tujuan dari
model periklanan Nerlove-Arrow adalah untuk mencari keadaan yang optimal,
yaitu nilai maksimal dari fungsi tujuan. Prinsip maksimum digunakan dalam tugas
akhir ini untuk memperoleh keadaan optimal. Konsep-konsep yang digunakan
dalam memperoleh keadaan optimal adalah persamaan Hamiltonian, dan fungsi adjoin.
Kata kunci: Kendali optimal, Goodwill, Model Periklanan, Persamaan Hamiltonian, Fungsi Adjoin, Prinsip Maksimum.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Optimal control theory is a branch of mathematics developed to find optimal
ways to control dynamical system. Optimal control theory can be applied in management area. Optimal control can be applied in finance, economics, production
and inventory, advertising, etc. This thesis will discuss Nerlove-Arrow advertising
model. The purpose of Nerlove-Arrow advertising model is to find the optimal way,
to maximize value of the objective function. Concepts which are used to find the
optimal ways is Hamiltonian equation and adjoint function.
Keyword: Optimal control, Goodwill, Advertising Model, Hamiltonian equation,
Adjoint Function, Maximum Principle.

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan

rahmat,

taufik,

dan

hidayah-Nya

sehingga

penulis

dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga.
Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Y.G. Hartono, Ph. D, selaku dosen pembimbing skripsi, Dosen Pembimbing
Akademik, dan sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah
meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan
sehingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak
pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA...................................................................... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ......................................................................................... x
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1
C. Batasan Masalah ................................................................................... 2
D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 2
E. Metode Penulisan.................................................................................. 2
F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 2

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL .................................................... 5
A. TEORI KENDALI OPTIMAL .............................................................. 5
B. Contoh-Contoh Kendali Optimal........................................................... 7
C. Notasi dan Konsep .............................................................................. 14
D. Pengantar Prinsip Maksimum ............................................................. 15
D.1. Model Matematika ..................................................................... 15
D.2. Kendala ...................................................................................... 16
D.3. Fungsi Tujuan ............................................................................ 17
D.4. Masalah Kendali Optimal ........................................................... 17
E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum ........................................... 18
E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman .......................................... 18
F. Derivasi Persamaan Adjoin ................................................................. 23
G. Prinsip Maksimum .............................................................................. 25
G.1. Contoh Prinsip Maksimum .......................................................... 26
H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ......... 31
H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran .................................................................................................. 33

I. Nilai Sekarang (Current Value)........................................................... 37

xiii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

J. Titik Akhir Bebas (free-end-point) ...................................................... 40
K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas ...... 41
BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE ARROW ................................... 44
A. Model Matematis ................................................................................ 44
B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum ............................................ 47
BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 52
A. Kesimpulan......................................................................................... 52
B. Saran .................................................................................................. 53
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 54
LAMPIRAN ...................................................................................................... 55

xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan
masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika
penulisan.

A.

Latar Belakang
Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan

keuangan suatu perusahaan. Pemasaran akan berdampak banyak dalam perkembangan
ekonomi suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat
konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila
keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu
perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan.
Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen
tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Oleh karena itu, ada
keyakinan yang timbul dari para ahli ekonomi bahwa biaya yang dikeluarkan untuk
periklanan merupakan investasi.
Masalah menentukan kebijakan periklanan dari waktu ke waktu merupakan aspek
penting dalam bidang pemasaran. Ada beberapa pendekatan yang berhubungan dengan
masalah ini. Di antaranya dengan menggunakan pemrograman matematis dan

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

pemrograman dinamis. Ada pendekatan lain yaitu dengan menggunakan
pendekatan teori kendali optimal. Dalam pendekatan ini, sistem dinamik dimodelkan
sebagai satu atau lebih persamaan diferensial yang kemudian dioptimalkan
menggunakan prinsip maksimum.
Diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan fungsi tujuan, yaitu nilai
sekarang dari keuntungan bersih suatu perusahaan dengan waktu yang terbatas maupun
tak terbatas. Jelas bahwa keuntungan bersih suatu perusahaan tergantung pada
penjualan dan periklanan. Peranan dari teori kendali optimal adalah untuk menemukan
kebijakan periklanan yang memaksimalkan fungsi tujuan perusahaan.

B.

Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan periklanan dengan model Nerlove-Arrow?
2. Bagaimana menyelesaikan model periklanan Nerlove-Arrow menggunakan
prinsip maksimum?

C.

Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan yang akan dibahas adalah
model Nerlove-Arrow.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

2. Model periklanan Nerlove-Arrow akan diselesaikan menggunakan prinsip
maksimum.
3. Model periklanan Nerlove-Arrow hanya akan dibahas pasa kasus linier.

D.

Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan aplikasi kendali

optimal pada bidang model periklanan Nerlove-Arrow dan menyelesaikannya dengan
menggunakan prinsip maksimum.

E.

Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah pembaca

dapat mengetahui aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan serta bagaimana
cara penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip maksimum. Selain itu pembaca
juga dapat memaksimalkan hasil pendapatan bersih suatu perusahaan.

F.

Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang
berkaitan dengan model periklanan Nerlove-Arrow serta penyelesaiannya menggunakan prinsip maksimum.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

G.

Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E.

Manfaat Penulisan

F.

Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL
A. Teori Kendali Optimal
B. Contoh-Contoh Kendali Optimal
C. Prinsip Maksimum
BAB III MODEL NERLOVE-ARROW
A. Model Periklanan Nerlove-Arrow
B. Penyelesaian Model Nerlove-Arrow
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Penutup
DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

A. Teori Kendali Optimal
Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal.
Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari
penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang
manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan
penyimpanan, periklanan, dan lain-lain.
Dimisalkan variabel
sistem pada waktu

merupakan variabel kondisi (state variable) dari suatu

∈ [ , ], dengan

>

menunjukkan jangkauan waktu (time

horizon) pada suatu sistem. Sebagai contoh,

dapat menyatakan banyaknya

penyimpanan suatu barang pada waktu , seberapa populer suatu produk (goodwill)
pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu .
Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem.
Misalkan

adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu . Sebagai contoh,

dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu , besarnya tingkat
periklanan pada waktu , dan lain-lain.
Diberikan variabel kondisi

, variabel kendali

dinamis sebagai berikut:

5

, dan persamaan sistem

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6

di mana ̇

̇

=

,

adalah notasi untuk

kondisi terhadap waktu ,

, ,

/

=

,

.

yang menyatakan laju perubahan variabel

adalah fungsi dari , , , dan

adalah kondisi awal dari

variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi
tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut:
�=∫

Pada persamaan

. ,

,

,

+ [

.

, ].

bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi

biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya
minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain.
.

menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi

pada persamaan

waktu . Variabel kendali

seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan Ω

∈�

∈ [ , ],

,

.

adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu

. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu:
Kendala ketaksamaan campuran

dengan

,

,

adalah fungsi dari , dan juga .

, ∈[ , ]

.

Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi:
ℎ ,

,

∈[ , ]

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7

dengan ℎ adalah fungsi dari

.

dan . Kendala

kondisi murni.

Kendala batas dari kondisi akhir

dengan



seringkali disebut dengan kendala

:
,

.

disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu

.

B. Contoh-Contoh Kedali Optimal
Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan,
dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan
fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.

Contoh 2.2 Model Periklanan
Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan
Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat
pengiklanan suatu produk pada waktu . Variabel kondisinya adalah goodwill,

,

yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu . Diasumsikan bahwa ada koefisien
lupa (forgetting) , yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu
produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8

tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali

. Maka diperoleh persamaan

kondisinya sebagai berikut:
̇

=

dengan



=

,
>

adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk.

Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model
Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:

= Goodwill

Variabel Kondisi

= �ingkat periklanan

Variabel Kendali
̇

Persamaan Kondisi
Fungsi Tujuan

Kendala Kondisi

=



,

Memaksimumkan {� = ∫



-



=

[ (

Kendala Kendali
Kondisi Akhir
Fungsi Eksogen
Parameter

(

) = Laba kotor

= Nilai konstan goodwill
= �ingkat diskon

= Batas atas tingkat periklanan
= Nilai awal goodwill

Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan

)−

] }

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9

Fungsi tujuan � memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J

akan diintegralkan dari waktu

=

ke waktu

→ ∞; karena memiliki batas waktu

atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga (infinite horizon problem). Karenanya,

integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto



, dengan

>

adalah

tingkat diskon (konstan). Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor
(

). Tingkat goodwill

pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan

(faktor proporsionalitas = 1); dengan demikian (

sebanding dengan

adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [ (

)−

]



)−

adalah nilai

sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan
keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali
mana

adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala

kondisi, karena goodwill

tidak pernah bernilai negatif.∎

Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian
kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan
. ,

= , dan

=

. Diberikan

= . untuk

= √ ,

= .

. Buktikan bahwa

,

=

konstan untuk setiap . Hitunglah nilai dari fungsi tujuan �.
Penyelesaian:
Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah
̇

=



,

=

. Kemudian masing-masing kondisi yang telah

diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10

̇

= . −

=

Karena diketahui kondisi awal
dalam persamaan ̇

, maka informasi ini dapat dibawa ke

, sehingga diperoleh:
̇

̇

Selanjutnya,

.

= . −
̇

Untuk membuktikan bahwa

= . −

+

.

.

.

= . − . =

= .

konstan, maka dicari faktor integral

yaitu

sebagai berikut:
=
=

∫�
∫ . 5

=

. 5

Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan
menjadi:

̇

̇

. 5

+

+

.



[

[

.

. 5
. 5

]

. 5

]
. 5

= .
= .
= .

. 5
. 5
. 5

=∫ .
= . (

.

. 5

)+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11

. 5

=
Karena

=

, maka:

=
=
=

Jadi, terbukti

=

. 5

=

=

+

. 5

+

. 5

+
− . 5

.

+
+

konstan untuk semua .

Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan � dapat dihitung menggunakan informasi-

informasi yang sudah didapatkan di atas.

� =∫
=∫
=∫
=∫








[ (

)−

− .

[ √ − . ]

− .

[ √

− .

[ . ]

= . ∫



= . [−

− . ]

− .

.

− .

]



]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12

= . [−
= .

Jadi, didapatkan � =

.

� =

+

.

−∞

− (−

)]

.

Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas

Permasalahan lain misalkan
suatu produk.

menyatakan banyaknya orang yang mengetahui

menyatakan populasi, maka

mengetahui suatu produk. Jika
, diasumsikan bahwa





adalah banyaknya orang yang tidak

menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu
menyatakan laju kenaikan dari

karena proses

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13

periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasiinformasi tersebut!
Penyelesaian:
̇

[ − ]−

memaksimalkan

=


=∫





[ (

Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan
,
Maka,

= √ ,

= . ,

= . ,

=

̇

=

, dan

=

= . [
=
=

Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu sebesar

,

[ − ]−

.

=∫
=∫
=∫








− .
− .

,

=

= . untuk

]− . ∗

=

.

=

orang. Dengan menggunakan

informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan �.


] .

,





)−

=

[ (

)−

[ √
[

.

]

− . ]
]

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14



=

.



=

.

[−

=

.

[−

=

� =

.

+

.

− .
− .

.

]

−∞

.



− (−

.

)]



C. Notasi dan Konsep
Berikut akan diberikan penjelasan mengenai konsep yang akan dipakai dalam
tugas akhir ini. Hal ini bertujuan agar pembaca dapat memahami dengan jelas ketika
membaca tugas akhir ini.

Misalkan

menyatakan

-komponen vektor kolom dan

menyatakan

-

komponen vektor baris, seperti berikut:
=(⋮)=
dengan huruf

,

=

,

,…,

,

di atas sebuah vektor atau matriks menyatakan transpose dari

suatu vektor atau matriks. Jika

dan

suatu skalar, maka turunan dari ̇ =
berikut:

dan

,…,

merupakan fungsi dari waktu dan merupakan


dan ̇ =



didefinisikan sebagai

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

=

̇=

dan ̇ =

̇ , ̇ ,…, ̇

= ̇ , ̇ ,…, ̇



di mana ̇ dan ̇ masing-masing menyatakan turunan dari
=

Ketika

] berukuran

berukuran

×

=∑=



=

⁄ .

=[

.
] berukuran

×

× , perkalian matriks didefinisikan sebagai

dengan

=∑

sebagai komponen-komponennya.
Misalkan

dan

, perkalian dalam (inner product) dapat didefinisikan sebagai:

Lebih jelasnya, jika terdapat matriks
[

,

.

=

dan matriks
=[

.

]=

=

.

menyatakan -dimensi ruang Euclides. Elemen-elemennya berupa

vektor-vektor dengan

-komponen, baik itu vektor baris ataupun vektor kolom.

Dengan begitu pada persamaan
merupakan vektor baris.

. ,



merupakan vektor kolom, sedangkan ∈

D. Pengantar Prinsip Maksimum
D.1. Model Matematika
Dalam aplikasi kendali optimal, hal yang terpenting yaitu membuat model dari
suatu sistem. Model yang baik yaitu model yang jelas, sederhana, dan mudah dipahami.
Selain itu, model yang baik juga harus realistis.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

Diberikan nilai awal

, ∈ [ , ]. Perubahan dari

dan variabel kendali

sistem terhadap waktu akan didefinisikan menggunakan persamaan diferensial, yang
dikenal sebagai persamaan kondisi (state equation) sebagai berikut:
̇

=�

,

di mana vektor variabel kondisi, �

dan �:

×

×



.

,

,



=



, vektor variabel kendali,

.

,

Fungsi � diasumsikan terdiferensial secara kontinu. Selain itu, diasumsikan bahwa

� merupakan sebuah vektor kolom dan � merupakan vektor kolom dengan elemen, ∈ [ , ], disebut dengan trayektori kondisi

elemennya suatu fungsi. Lintasan

, ∈ [ , ], disebut dengan trayektori kendali (control

(state trajectory) dan

trajectory) atau biasa disebut dengan kendali.

D.2. Kendala
Kendala-kendala yang akan dibahas dalam subbab ini adalah kendala yang tidak
menyerupai persamaan

.

dan

. . Namun, kendala seperti persamaan

.

akan

tetap digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan kendali yang memungkinkan
(admissible control) sebagai trayektori kendali dari
berikut

Biasanya, himpunan �

pada waktu .

∈�



, ∈ [ , ].

, ∈ [ , ], yaitu sebagai
.

ditentukan oleh kondisi ekonomi dari variabel kendali

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

D.3. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan adalah ukuran kuantitatif performa sistem dari waktu ke waktu.
Kendali optimal didefinisikan sebagai suatu kendali yang memaksimalkan fungsi
tujuannya. Dalam masalah bisnis atau ekonomi, fungsi tujuan memberikan nilai yang
optimal terhadap keuntungan, penjualan, atau kerugian. Secara matematis, fungsi
tujuan didefinisikan sebagai berikut
�=∫
:

dengan fungsi

×

,

×

,

+ [



dan

, ]
:

terdiferensialkan secara kontinu. Dalam dunia bisnis,
mendeskripsikan fungsi keuntungan, sedangkan
mendeskripsikan nilai sisa (salvage value) dari

×

, ,



.

diasumsikan

bisa digunakan untuk

[ , ] bisa digunakan untuk

pada waktu tujuan .

D.4. Masalah Kendali Optimal
Dalam kendali optimal, masalah yang harus diselesaikan yaitu mencari kendali



yang sesuai sehingga dapat memaksimalkan fungsi tujuan (2.10) terhadap persamaan
kondisi (2.9). Sekarang, masalah kendali optimal dapat dinyatakan kembali dengan
ma� {� = ∫
∈�

{

̇

=

,

terhadap
,
, ,

,

+ [

=

, ]}

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

Kendali



disebut kendali optimal dan



dinotasikan dengan �

atau �∗ .
.

Masalah kendali optimal



=

dengan persamaan kondisi di mana



disebut dengan trayektori optimal

. Nilai optimal dari fungsi tujuan



disebut dengan persamaan Bolza. Apabila


maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui

maka disebut


dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika
dan

linier, sehingga menjadi,

{
dengan

=

,

̇=

ma� {� =

,…,

}

∈�

terhadap
, , ,

.

=

adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemen-

elemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.

E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum
Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih
dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.

E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman
,

Misalkan

:

×



adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari

masalah kendali optimal dengan waktu awal pada kondisi . Dengan begitu,
,

=

ma� ∫
∈�

,

,

+

,

,

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

dengan

,
=

,

Diasumsikan nilai dari fungsi

,

,

,

= .

ada untuk semua

dan pada interval yang

relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi
,

. Pertama, batas integral pada fungsi tujuan � menjadi
+

nilai fungsi

, +

+

pada waktu

terdapat di dalam � � , � [ , +

. Kendali

sampai +

; kedua,

� harus dipilih agar

], dan memaksimalkan integralnya. Agar

mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan
,

langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk
=

,

ma� {∫
∈�

+�

,

,

+∫

=

ma� ∫
∈�

+�

∈�

,

+�

,

+ ma� ∫

,

,

+

sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut

dengan

,

=

ma� ∫
∈�

+�

,

+

,

}

,

,

+�

yang baru.

,

+

,

adalah kenaikan atau penambahan waktu

digunakan untuk membandingkan persamaan

.

+

.

, +

yang sangat kecil. Hal ini

dengan persamaan

.

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

Karena

diaproksimasikan
,

dengan

=

, ,

, sehingga dapat ditulis menjadi

ma� {
∈�

, ,

+ [

lim

+

, +

dapat

.

]} +

disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam
:

dengan order tinggi. Fungsi
‖� ‖→

.

adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan


‖� ‖



= . Diasumsikan bahwa fungsi

dikatakan order dari

jika

merupakan fungsi yang bisa diturunkan

dan kontinu (continously differentiable). Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi
terhadap
[

dengan

, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:



+

dan

]=

, +

,

+[

=

+

,



merupakan turunan parsial dari

̇+

,

diperoleh dari

lim

+

� →

= ̇

sehingga didapatkan:

= ma� {
∈�


,

, ,

, ,

+

+

terhadap

,

.

dan , serta ̇ yang



kemudian mensubstitusikan ̇ pada persamaan
,

+



= lim

� →

]



+

=

,

,

,

+

.

}+

ke dalam persamaan

.

.
.

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

,

Dengan menghilangkan
dengan

Misalkan

didapatkan
= ma� {

dengan batas

∈�



, ,

pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas

+

,



, ,

,

+

maka persamaan di atas berubah menjadi

= ma� {

, ,

∈�

+

,



, ,

}+
,

+

.

.
}

.

,

=

∈�



,

,

+

,

,

=

∈�



,

,

+

,

=

,

∈�

=

,

Perlu diingat bahwa vektor
marginal dari variabel kondisi

,

.
,



+

,

.

dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi

untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan


vektor marginal sepanjang lintasan

dengan vektor baris adjoin

sebagai

berikut:

dengan


=





,





,

|�=� ∗ .

.

dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar

pada waktu .
Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

[ , ,

]=

, ,

+

, ,

[ , , , ]=

, ,

+

, ,

.

.

+

],

.

�,

atau dapat disederhanakan menjadi,

Persamaan

.

.

dapat dituliskan kembali menjadi,
= ma� [

, ,

∈�

�,

yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan (HJB).
Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari
persamaan

.

.

dan

dengan memastikan bahwa, jika



merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta
nilai dari variabel adjoin pada waktu
.

harus memenuhi persamaan
[



,



,

Dengan menghilangkan

untuk semua

[



∈�

,

.

[



adalah


yang bersesuaian, maka kendali optimal
∈�

untuk semua
, ]+



dan



,

,

, ]

[

,

,



, ]+

,

.

pada kedua ruas, maka didapatkan


,



,

,

, ]

.

Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk
menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23

F.

Derivasi Persamaan Adjoin
Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB


kembali bahwa



,

.

memaksimalkan ruas kanan pada persamaan

maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan

,∥

dengan

.

Persamaan



=

∥<

+

.

untuk kecil positif.



[

,

[



,

,







.

,





, , ]+


sama dengan nol jika


.

nol. Ruas kanan dari persamaan



, , ]+

. Pada umumnya, untuk



dan nilai

dapat dituliskan kembali sebagai

dari persamaan

=

.

,

Agar lebih mudah dipahami, persamaan

untuk

. Perlu diingat



.

,

.

, .

menjelaskan bahwa ruas kanan

juga merupakan kendali optimal
maka ruas kanan tidak akan bernilai

akan mencapai nilai maksimumnya (nol) saat

. Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi

yang paling

maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap ,
�[

,



,

Diasumsikan bahwa





, , ]+

,



= .

.

merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara

kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan
.

, dan fakta bahwa


+

� �

+

��

��

=

+



��

=

, didapatkan


+

� �

+

dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose.

��

+



= ,

.

, identitas

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

.

Persamaan

merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau

derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin,
dimulai dari menurunkan


=(
=(





=

��
��

terhadap . Maka,


̇+

� �

= (∑
=

,

,

=

̇

,



+



.

, maka persamaan
��

Pada persamaan

.

)

̇+


� ��

=

,…,

�� �

̇+

̇ ,…,∑

=

��

)

�� ��

̇ )+



�.

Karena ruas kanan persamaan
persamaan

� �

̇ ,∑

� ��

+



,…,

=−

.

.

.



sama dengan dua langkah terakhir pada
menjadi


� �.

telah didefinisikan

dituliskan kembali menjadi
̇=−





=

�,

jadi persamaan

.

.

dapat

� �.

Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial
pada persamaan
sebagai berikut:

.

tehadap . Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah

̇=−

�.

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

Dari definisi

pada persamaan

.

dan kondisi batas pada persamaan

maka didapatkan kondisi batas akhir (terminal boundary condition),
=



,

=

,

=

|�=�

=

Dari definisi Hamiltonian pada persamaan
ditulis sebagai

.

dan

.

{ ̇
=−

,

,

=

Persamaan

.

̇=

=

�[

.

, ].

.

, persamaan kondisi juga dapat

.

�,

dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut
̇=
�,

�,

=
= �[

.

, ],

G. Prinsip Maksimum
Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan
derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut
ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar
optimal:



merupakan suatu kendali

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

untuk semua

∗ ∗
̇∗ =
, , ,


̇
{ = − � [ , , , ],
[ ∗ , ∗ ,
, ]

∈�



[

, ∈ [ , ].

=



=

,

�[

, ,



Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi

.

, ],
, ],
dan adjoin

Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan


[

harus maksimum global dari Hamiltonian
.

Oleh karena itu, persamaan



.

. Selanjutnya,

, ] dengan

, ,

pada

∈�

.

disebut Prinsip Maksimum (maximum principle).

Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan
menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal




kemudian didapatkan

. Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat

dimaksimalkan dengan fungsi kendali


= [



, ],

, ,

kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan
dua nilai batas pada persamaan diferensial,
{

= −̇

̇∗ =




,



,



, , ,

, , , ,

,



=
= �[



,

, ].

Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal
menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai
berikut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

G.1. Contoh Prinsip Maksimum
Diberikan masalah:
{� = ∫ −

}

terhadap kondisi
̇= ,

dan kendali

Diketahui bahwa

= ,

=

∈ Ω = [− , ]

= − , = , dan

= . Karena

= − , hal ini bisa

dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva
.

, untuk

Penyelesaian
Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan
Hamiltonian sebagai berikut:
, , ,

=

, ,

=− +

.

+

, ,

Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam . Fungsi yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah


=

[− , ;

].

Fungsi bang (bang function) digunakan pada masalah kendali optimal linier yang
didefinisikan sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

< ,

jika
[ ,

;

] = {tidak terdefinisi

= ,

jika

> .

jika

Pada contoh ini,



< ,

jika

= {tidak terdefinisi jika

= ,
> .

jika

Untuk mencari nilai , digunakan persamaan adjoin sebagai berikut
̇ =−



̇ =− − +
̇ =
dan

̇ =
=
=



�[




, ]

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat
̇ =
=
=

dan .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

Dengan menggunakan informasi

= +

= , didapatkan
=
=

+

=

=−
Yang berarti bahwa
mendefinisikan

= −

+

= −

untuk semua ∈ [ , ] dan

pada satu titik = , didapat kendali optimal





= − dengan

= − untuk ∈

[ , ]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi ̇ = ,
didapatkan

̇ =− ,

=

Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut
̇

=−
=−
=−

Karena

=

=− +
=
=

+

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

=
Maka penyelesaiannya adalah
tujuannya adalah sebagai berikut

=

untuk

�∗ = ∫



=



=( −
�∗ = − .

Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju
waktu :

∈ [ , ]. Nilai dari fungsi

)]

,

Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1.



, dan

terhadap

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31

H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai prinsip maksimum namun
tanpa kendala ketidaksamaan campuran. Yang membedakannya, pada subbab ini
ditambahkan kendala pada variabel keaadaan dan variabel kendali. Khususnya, untuk
setiap ∈ [ , ],
dengan :

dan

×

memuat

harus memenuhi
, ,

×



constraint).

.

terdiferensial secara kontinu di semua titik dan harus

.

. Kendala

∈ [ , ],

,

disebut dengan kendala ketaksamaan (inequality

Kondisi akhir (terminal state) dibatasi oleh pertidaksamaan dan persamaan:
,

dengan :

×



dan :

×

,

=



.
.

terdiferensial secara kontinu di semua

disebut kendali yang memungkinkan (admissible control) apabila

titik. Kendali

kontinu sepotong-sepotong atau lebih lanjutnya
kendala

.

,

.

, dan

.

×



dan

harus memenuhi

.

Dalam merumuskan prinsip maksimum, didefinisikan fungsi Hamiltonian
:

×

dengan
×

×


×

×

[ , , , ] ∶=

sebagai
, ,

+

, ,

(vektor baris). Didefinisikan pula fungsi Lagrangian �:



sebagai

×

.

×

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32

�[ , , , , ] ∶=



dengan

[ , , , ]+

.

, ,

sebuah vektor baris, yang kompennya disebut dengan pengali Lagrang.

Pengali Lagrang ini memiliki sifat:
,

, ,

Vektor adjoin harus memenuhi

̇ = −�� [ , , , , ]

dengan batas
=


dengan

.

= .

,





dan

,

+

,

.
+

,

,

=

adalah vektor konstan.

Informasi-informasi di atas dapat diringkas ke dalam tabel 2.3 sebagai berikut:
̇∗ =



,



,



,

=

,



,

Memenuhi kendala akhir


,

dan

̇ = −�� [ ∗ ,



, , , ]

= ,

Dengan kondisi transversalitas
=





,



+

Syarat maksimum Hamiltonian
[



,



,

, ]

[

Untuk setiap ∈ [ , ] semua



,
,



+
,

memenuhi

, ]

,

,

,



,

=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33



[

, , ]

,

Dan pengali Lagrange


|

∶= (

= ∗

sedemikian sehingga

+

)|

= ∗

=

Dan kondisi complementary slackness


,

,



,

=

dipenuhi

Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
Maks {� = ∫
terhadap

}
̇= ,

= ,

,
Ingat bahwa kendala

.

.



dapat ditulis sebagai

.

.
.

Penyelesaian
Dari soal di atas dapat dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut:
=
=

+

+

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34

Karena

=

+

,

linier, maka bentuk kendali optimalnya adalah

.

Ingat bahwa kendala



= bang[ , ; + ].

.

merupakan kasus khusus, sehingga untuk mendapatkan

persamaan adjoinya terlebih dahulu dibentuk Lagrangian sebagai berikut:
� =

+

=

+

=

+

=

+

� =

Dari Lagrangian didapatkan persamaan adjoin
̇ = −��
=

̇ =

,

+

+

+



+

+

+ +

+ +

+

+

= .







.

Adapun hal lain yang perlu diingat bahwa kendali optimal harus memenuhi � sebagai
berikut

dan dari persamaan

.



dan
,

,

=

+ +



= ,

harus memenuhi sifat
=

=

= ,



= .

.
.
.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35

.

Dari persamaan
solusi persamaan

dan
.

adalah

.



didapatkan

̇

=

atau



= . Untuk



=

=
=
=∫



= +
=

= , dengan begitu

Diketahui kondisi awal

=
=

Karena

=

>

menyebabkan

dapat disimpulkan
Dari persamaan

Kemudian

.

= .



=

substitusikan

substitusikan

+ +

=



+ +



=

+

> ; dengan begitu dari persamaan
=

.

=
=
=

ke

+

dalam

persamaan

menyelesaikannya sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut
̇ =−

.

dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36

̇ =−

+

=−



Diketahui

+

+
=

+

=
=
=

+

=

Karena ruas kanan dari persamaan

terpenuhi.

=

+

=

=− +


=



=

+

Perhatikan bahwa

= ∫−

+

= ,

+



.





.

selalu positif,
dan



Berikut adalah grafik yang memperlihatkan laju





=

memenuhi

= , jadi persamaan
dan



.

.

.
.

terhadap waktu :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37

Gambar 2.3. Grafik Contoh I.1

I.

Nilai Sekarang (Current-Value)
Dalam masalah ekonomi dan manajemen, satuan dari fungsi tujuan adalah uang.

Nilai uang di masa depan akan mengalami penurunan. Sebagai permisalannya yaitu
uang sebesar Rp 100.000,00 pada tahun 2016 masih dianggap banyak, namun belum
tentu demikian pada tahun 2020.
Diasumsikan suatu tingkat diskon konstan kontinu
disertai dengan tingkat diskon
Karenanya,

. Fungsi tujuan yang

merupakan bentuk khusus dari persamaan

.

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38

, ,

=� ,





{� = ∫ � ,

,

dan

Fungsi tujuannya menjadi

terhadap

. ,

.

,

.

, dan



=�


.

.

]

+ �[

.



.

}

Untuk masalah nilai sekarang, bentuk dari persamaan Hamiltonian standar adalah


∶=

� ,

+

.

, ,

dan bentuk dari persamaan Lagrangian standar adalah
� ∶=

+

dengan variabel adjoin standar

, ,

dan pengali-pengali standar

̇ = −��
=
=

dan

memenuhi

Pangkat





��

,

+
,

+

,

dan

.

memenuhi
.



+





,

,
,

+

,

,



,

= ,

,

.
.
.

= .

digunakan untuk membedakan fungsi nilai sekarang. Sekarang akan

didefinisikan Hamiltonian dari nilai sekarang:
[ , , , ]≔�

,

+

, ,

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39

dan Lagrangian dari nilai sekarang:

Sekarang didefinisikan

�[ , , , , ] ∶=

.

Kemudian persamaan

Karena

∶=

+

dan
.

dan

=

∶=

,

�=

�.

dan

teradap

Untuk menyederanakan persamaan

terhadap

+

̇ .

̇ =

.

digunakan persamaan

+

=

+

=

− �� ,

=

dengan kondisi akhir untuk

pada waktu

,

+

+

+

−��
−��





̇

.

.

,

. Karenanya,

.

, dan



,

,

,

merupakan akibat langsung dari persamaan

dengan menyubstitusikan definisi dari

.

(2.65)

�� yang diperoleh dari persamaan

= ��

ekivalen dengan

diturunkan teradap didapatkan

̇ =

fakta bahwa �� =

(2.64)

pada waktu

memaksimalkan nilai sekarang dari Hamiltonian
.

.

dapat ditulis kembali menjadi

> , memaksimalkan

Selanjutnya, persamaan

.

, , .

.
.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40

=


=
=

[

��


��
,

= ��

=

dan

,

+


+

,

+

+




.
,





,

,



+

(2.67)

+
]

,

,



,



.

Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang dan



=



=

,

= ,





,

Jadi, nilai sekarang pada persamaan
[
J.





,





,



,

.

∗]

akan menjadi
− �[





=
=

= .

]=

Titik Akhir Bebas (free-end point)
Dalam kasus ini, kondisi akhir

tidak dikenai kendala. Karenanya,
∈ .

(2.68)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41

Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-end= ,

point sehingga

Ini juga termasuk kondisi

= �� [



].

=

pada kasus khusus dari �

≡ .

.

K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas
Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak
→ ∞ pada fungsi tujuan

berhingga

.

yang disebut dengan masalah jangka

waktu tak beringga (infinite horizon). Ketika diberikan
.

atau

.

= ∞ pada fungsi tujuan

yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang

tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu,
pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga
yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu . Selanjutnya, diasumsikan




untuk kasus jangka waktu tak berhingga.

Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan

dihitung dengan

→ ∞ pada persamaan nilai sekarang (present value):

lim

→∞

=

⇒ lim

→∞



Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi
lim

→∞

= .
.

Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42

lim

→∞



dan lim

→∞



Dalam masalah ekonomi, fungsi �, , dan



= .

.

secara eksplisit tidak bergantung pada

waktu . Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan
. ,

akhir

.

, dan

.

, di mana � tidak bergantung pada waktu , dan tanpa kondisi

, stasioneritas mengakibatkan
, ,

=

, ,

,

=

,

,

.

.

Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai
.

sekarang Hamiltonian pada

secara eksplisit tidak bergantung pada waktu .

Sistem yang demikian disebut dengan autonomous.
Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan
akan berhenti, yaitu nilai dari

dan

yang mana ̇ =

dan ̇ = . Gagasan yang

demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan
quadraple { ̅ , ̅, ̅ , ̅ } yang memenuhi
̅, ̅ = ,

̅

̅ = �� [ ̅ , ̅, ̅ , ̅ ],
, ̅

̅ , ̅, ̅

̅ , ̅ = , dan

untuk semua
̅,

.

̅, , ̅

memenuhi

(2.73)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43

Lebih jelasnya, jika kondisi awal
̅ untuk semua

= ̅ maka kendali optimalnya adalah

. Jika kendala yang melibatkan

tidak dikenakan,



=

̅ dapat

dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple
{ ̅ , ̅, ̅} yang memenuhi

̅, ̅ = ,

̅=

�[

̅ , ̅, ̅], dan

[ ̅ , ̅, ̅ ] = .

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III
MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW

A.

Model Matematis
Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang.

Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam
mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill.
Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan
dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan
konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan.
Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau
brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaanperusahaan dan adanya produk baru.
Misalkan

adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu .

Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan
laju proporsional , sehingga:

dengan

=

̇=



,

=

.

,

merupakan usaha periklanan pada waktu

yang diukur dalam

dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan,
diasumsikan bahwa tingkat penjualan

tergantung pada goodwill

44

, harga

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45

dan variabel lain

. Variabel lain yang dimaksud seperti kebutuhan konsumen,

besarnya populasi, dan pendapatan konsumen. Maka diperoleh persamaan:
=

, ,

.

.

Kemudian diasumsikan bahwa tingkat biaya total dari proses produksi adalah
, maka akan diperoleh total pendapatan

yaitu perkalian antara harga dengan

tingkat penjualan dikurangi dengan tingkat biaya total proses produksi. Didapatkan
persamaan sebagai berikut:
, ,

=

, ,



.

.

Karena telah didapatkan rumusan pendapatan total, maka biaya periklanan dapat

dirumuskan sebagai

, ,

− . Kemudian, diasumsikan bahwa perusahaan ingin

memaksimalkan pendapatan bersih dengan tingkat diskon

, sehingga didapatkan

persamaan:
ma� {� = ∫

≥ , ≥





[

, ,

− ]

}.

.

Faktor eksponensial menjelaskan bahwa nilai mata uang yang menurun seiring
berjalannya waktu. Karena
dengan memaksimalkan

hanya muncul pada integran, � dapat dimaksimalkan

terlebih dulu terhadap

dengan G tetap. Kemudian

memaksimalkan hasilnya terhadap . Maka diperoleh persamaan:
, ,

=

+



= ,

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46



yang secara implisit memberikan harga optimal

= (

,

). Kemudian



didefinisikan elastisitas permintaan terhadap harga , yaitu � = −



. Elastisitas

permintaan adalah ukuran kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap
perubahan harga. Selanjutnya, persamaan


dengan kata lain, persamaan
�−

.

=

� ′

�−

.

dapat ditulis menjadi:
.

,

tersebut menjelaskan bahwa pendapatan marjinal

/� harus sama dengan biaya marjinal ′

.

Untuk mendapatkan model kendali optimal yang diinginkan, selanjutnya akan

didefinisikan
sebagai:

,



=

, ,

. Maka fungsi pada persamaan

ma� {� = ∫






Untuk mempermudah, diasumsikan

[

,

− ]

.

dapat ditulis

}.

adalah suatu nilai konstan. Dengan

demikian, masalah kendali optimal yang baru saja dirumuskan dapat dinyatakan
kembali menjadi:
ma� � = ∫


{





[

− ]

dengan kendala
̇= − ,
=

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47

B.

Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum
Pada subbab kali ini, akan dibahas mengenai penyelesaian model periklanan

Nerlove-Arow menggunakan prinsip maksimum. Dari persamaan
informasi

=



dan

=

=



didapatkan

untuk membentuk persamaan Hamiltonian

+

=

.



=



+

+





.

.

Setelah itu, dirumuskan persamaan adjoinnya sebagai berikut:
̇ =



=

−[

=

−[

=

̇ =

dengan syarat cukup

Persamaan Hamiltonian
dinamis:
i.
rate).





.

lim

→+∞

+






]

+



]

+

.


= .

.

dapat diinterpretasikan sebagai tingkat keuntungan

merupakan tingkat laba bersih sekarang (current net profit

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48

ii.

̇=



merupakan goodwill baru yang didapat setelah

periklanan ke .

=

Kemudian, didefinisikan
permintaan teradap goodwill. Dari



sebagai elastisitas permintaan dari





bisa didapatkan

yang perlu diingat kembali, yaitu:
i.

Persamaan

ii.

Persamaan

iii.

Persamaaan

.

.

, ,

yaitu
yaitu





, ,�

yaitu ̇ =

.

=

=

+

+










=



, ,

.









. Ada tiga persamaan

=

Ketiga persamaan tersebut akan digunakan untuk memperolehh
yaitu



,

. Pada awal telah didefinisikan
=





+

=



, ,

yang optimal

. Maka,

=

Sedangkan dari definisi

=

didapatkan

didapatkan


=

�[





+

− ′

=



dan dari

− ̇]

.



didapatkan −



= . Maka


.

PLAGIAT MERUPAKAN

Dokumen baru

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

69 1648 16

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

26 427 43

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

27 386 23

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

8 239 24

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

19 349 23

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

28 493 14

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

22 441 50

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

9 279 17

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

13 449 30

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

23 520 23