Penerapan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah periklanan

ABSTRACT

OCTAVINA TRISTIANI. Application of Pontryagin’s maximum principle in advertising problem. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO.

Advertising is a kind of commercial communication and non-personal promotion about ideas, goods or services paid by one or more sponsors. To make an advertising, a company must pay some additional cost. Thus, it generates new problems, because in general a company will attempt to maximize the present value of profit with some constraints. To maximize the present value, the company should make a right advertising policy.

This paper discusses advertising capital models with two types of advertising, namely advertising directed toward existing customers and that toward new customers. Advertising toward existing customers aims to prevent existing customers from forgetting the product and switch to other brands. On the other hand, advertising toward new customers aims to provide more information about the underlying product in order to convince new customers to start to consume the products. The constraint in this model is the goodwill or image of the company itself, which can be controlled by allocation cost to perform advertising directed toward existing and new customers.

The problem is formulated in optimum control framework and undertaken by applying Pontryagin’s maximum principle. In this work, the stability analyses of the solution is provided, accompanied by its numerical solution, and derived from a set of ordinary differential equations. If allocation cost to make advertising toward existing customers is zero, then goodwill will be low so that the yields obtained cannot cover the advertising cost. Therefore, to obtain the maximum present value of profit, only advertising toward new customers is applied, when the goodwill is low. Whereas, if there are some positive allocation cost to make advertising toward new customers, then the goodwill will be high, so that both types of advertising can be applied.

ABSTRAK

OCTAVINA TRISTIANI. Penerapan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah periklanan. Dibawah bimbingan TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.

Iklan merupakan komunikasi komersial dan promosi non-personal tentang gagasan, barang atau jasa yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Untuk membuat sebuah iklan, perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan. Hal ini membuat permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya sebuah perusahaan akan berorientasi bagaimana memaksimumkan keuntungan dengan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu kebijakan perusahaan yang tepat sehingga dapat memaksimumkan keuntungan.

Karya tulis ini membahas model periklanan kapital dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya. Kendala yang terdapat dalam model ini adalah citra perusahaan itu sendiri, kendala tersebut bisa dikontrol dengan besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan baru maupun besarnya biaya pembuatan iklan untuk pelanggan lama.

Permasalahan yang ditampilkan akan diformulasikan dalam bentuk kontrol optimum dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan dari titik tetap. Jika biaya yang dialokasikan dalam membuat periklanan yang ditujukan untuk pelanggan lama sama dengan nol, maka citra perusahaan akan rendah sehingga imbal hasil yang diperoleh tidak dapat menutupi biaya yang dikeluarkan perusahaan dalam membuat iklan. Oleh karena itu untuk memperoleh keuntungan maksimum ketika citra perusahaan rendah, hanya iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru saja yang akan dibuat. Sedangkan jika biaya yang dialokasikan dalam membuat periklanan yang ditujukan untuk pelanggan lama bernilai positif maka citra perusahaan akan tinggi, sehingga baik iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama maupun pelanggan baru dapat dibuat.

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Menurut AMA (American Marketing Association), pemasaran merupakan proses perancangan dan pelaksanaan konsepsi, penentuan harga, promosi, dan distribusi gagasan barang atau jasa untuk menciptakan pertukaran yang memuaskan konsumen. Salah satu cabang dari pemasaran adalah periklanan. Setiap hari baik dalam media cetak maupun media elektronik dijumpai berbagai macam bentuk periklanan. Periklanan sendiri merupakan komunikasi komersial dan promosi non-personal tentang gagasan, barang atau jasa yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Iklan bertujuan untuk memberitahu pasar tentang suatu produk dan membangun citra (goodwill) sebuah perusahaan. Iklan sangat berguna bagi perusahaan dan konsumen. Bagi perusahaan iklan berguna sebagai sarana promosi untuk produknya baik untuk memperkenalkan suatu produk baru maupun menginformasikan perubahan harga yang terjadi kepada para pelanggan, sedangkan bagi pelanggan iklan dapat meningkatkan kesejahteraan dengan jalan memperbaiki alokasi barang yang akan dikonsumsi.

Untuk membuat sebuah iklan, perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan. Hal ini membuat permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya sebuah perusahaan akan berorientasi bagaimana memaksimumkan keuntungan dengan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu kebijakan perusahaan yang tepat sehingga dapat memaksimumkan keuntungan.

Model periklanan dinamik (dynamic advertising model) merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Studi literatur pertama tentang model periklanan dinamik diberikan oleh Sethi (1977a) dan lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi (1994). Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital (advertising capital model) yang dibahas oleh Nerlove dan Arrow (1962) dan model respons penjualan iklan (sales-advertising

response model ) yang dibahas oleh Vidale dan Wolfe (1957). Model periklanan kapital memandang iklan sebagai sebuah investasi pada citra perusahaan, sedangkan model respons penjualan iklan menekankan hubungan antara iklan dan perubahan dalam volume penjualan.

Karya tulis ini membahas model periklanan kapital dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya.

Permasalahan yang ditampilkan akan diformulasikan dalam bentuk kontrol optimum. Calon solusi optimal diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin

yang menggunakan current-value Hamilton sehingga memudahkan penyelesaiannya. Agar calon solusi optimal itu dapat menjadi solusi optimal, diperlukan syarat Legendre-Clebsch

untuk memeriksa apakah syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Selanjutnya akan dianalisis juga kestabilan dari titik tetap. Dari keadaan tersebut dapat ditetapkan sebuah kebijakan sebagai bentuk aplikasi dari solusi permasalahan maksimisasi keuntungan.

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Menentukan model periklanan yang akan

digunakan untuk memaksimumkan keuntungan perusahaan dengan mempelajari model kebijakan periklanan optimal.

2. Menetapkan citra perusahaan yang optimal dengan mencari syarat perlu dan syarat cukupnya.

3. Menentukan kesetimbangan model jangka panjang dengan menganalisis kestabilan titik tetap.

BAB II

LANDASAN TEORI

Beberapa landasan teori yang akan dibahas

pada bab ini meliputi kemonotonan dan kecekungan fungsi, kalkulus variasi dan kontrol optimum, konsep kestabilan titik tetap, serta teorema amplop yang disarikan dari berbagai sumber pustaka.

2.1 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi Definisi 1 (Kemonotonan Fungsi)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang

I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dikatakan bahwa

i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1<x2⇒ f x( )1 < f x( ).2

ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1<x2⇒ f x( )1 > f x( ).2

iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

[Purcell & Varberg, 1999] Definisi 2 (Kecekungan Fungsi)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I=( , )a b . Fungsi f dikatakan

i. Cekung ke atas jika f ' naik pada I. ii. Cekung ke bawah jika f' turun pada I. [Purcell & Varberg, 1999] Teorema 1 (Kemonotonan Fungsi)

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.

i. Jika f x'( )>0 untuk semua titik-dalam

x dari I, maka f naik pada I.

ii. Jika f x'( )<0 untuk semua titik-dalam

x dari I, maka f turun pada I. [Purcell & Varberg, 1999] Teorema 2 (Kecekungan Fungsi)

Andaikan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka ( , )a b .

i. Jika f"( )x >0 untuk semua x dalam ( , )a b , maka f cekung ke atas pada ( , )a b .

ii. Jika f"( )x <0 untuk semua x dalam ( , )a b , maka f cekung ke bawah pada ( , )a b .

[Purcell & Varberg, 1999] 2.2 Kalkulus Variasi dan Kontrol Optimum Kalkulus Variasi

Kalkulus variasi adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengoptimuman fungsional. Fungsional sendiri didefinisikan sebagai suatu aturan yang mengaitkan setiap fungsi dengan suatu bilangan real. Fungsional yang umum dipakai dalam kalkulus variasi adalah:

( ) b ( , , ) . a

J x =

∫

f x x t dt&

(2.1) Argumen dari fungsional merupakan sebuah fungsi. Untuk memperoleh fungsional J x( ) yang maksimum, diperlukan nilai ( )x t yang memberikan nilai ekstrim pada fungsional

( ).

J x Fungsi ( )x t yang memberikan nilai ekstrim, diperoleh dengan konsep increment. Increment atau kenaikan dari argumen fungsional disebut variasi.

Variasi dari fungsional ( )J x adalah

( ) ( ) ( )

J x J x δx J x

∆ = + − . Diasumsikan δ =x h

sebarang fungsi, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor diperoleh

( )

J x+h

0 ( , , )

T

f x h x h t dt =

_∫

+ _&+ &

0 ( , , ) 0 ( )

T T

x x

f x x t dt hf hf dt

=

_∫

& +

_∫

+ &

2 2 2

0

1

( 2 )

2 T

xx xx xx

h f hhf h f dt O h

+

∫

+ & &+& && +

2 2

( ) ( ) ( )

J x δJ h δ J h O h

= + + +

sehingga

( ) ( ) ( )

J h J x h J x

∆ = + −

2 2

( ) ( )

J h J h O h

δ δ

dengan δJ h( )

merupakan variasi pertama,

2

( )

J h

δ merupakan variasi kedua, dan

2 0

O h → untuk h→ 0. Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar ( )J x

maksimum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup.

[Tu, 1993]

Persamaan Euler

Misalkan C a b[ , ] adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisikan pada sebuah interval tertutup [ , ]a b dan C a bi[ , ] adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisikan dan mempunyai turunan ke i yang kontinu

(1≤ ≤i n). Jika a=0, b=T, dan i=2 _maka

2

[ , ] [0, ]. i

C a b =C T Sehingga bentuk fungsional menjadi

0

( ) T ( , , )

J x =

∫

f x x t dt& , (2.2) dengan titik ujung [0, (0)]A x dan [ , ( )]B T x T

adalah tetap di mana f x x t( , , )& ∈C2[0, ]T ,

2

( ) [0, ]

x t ∈C T , x dx dt ≡

& dan x adalah fungsi bernilai skalar. Masalah yang muncul adalah memilih fungsi ( )x t

dalam

2

[0, ]

C T yang

memiliki titik awal di A dan titik akhir di B

yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional ( )J x .

Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah ( ) 0

J x

δ = . Misalkan

0

( ) T ( ) ( )

J x g t h t dt

δ =

_∫

,

dengan g t( )∈C[0, ]T dan ( )h t sebarang fungsi yang memenuhi (0)h = =0 h T( ).

[Tu, 1993] Lema 1

Misalkan ( )g t sebarang fungsi kontinu pada [0, ]T _dan S merupakan himpunan dari sebarang fungsi ( )h t yang kontinu dan terdiferensialkan pada [0, ]T sehingga

(0) ( ) 0

h =h T = _dengan T _{ditentukan. Jika} 0 ( ) ( ) 0

T

g t h t dt=

∫

untuk semua h t( )∈S, maka ( ) 0

g t = _{untuk semua} t∈[0, ]T .

Bukti:

Andaikan ∃ ∈t0 [0, ]T sehingga ( )g t ≠0.

Misalkan g t( )0 >0. Karena ( )g t kontinu maka

[ , ]a b [0, ]T

∃ ⊂ , sehingga g t( )>0 berlaku untuk semua t∈[ , ]a b .

Berikutnya misalkan ( )h t = −(t a b t)( − ) untuk t∈[ , ]a b dan ( )h t =0, ∀ ∉t [ , ]a b . Maka

( )

h t memenuhi syarat pada lema 1, yaitu (0) 0 ( )

h = =h T .

Dengan demikian b ( ) ( ) 0 ag t h t dt≠

∫

, yang

berakibat

0 ( ) ( ) 0

T

g t h t dt≠

∫

, karena nilai

( ) ( ) 0

g t h t > . Jadi haruslah ( )g t =0.

[Tu, 1993]

Teorema 3 Misalkan

0

( ) T ( , , )

J x =

∫

f x x t dt&

terdefinisi pada [0, ]T , dan memenuhi syarat batas x(0)=x0 dan x T( )=xT. Syarat perlu

agar J x( ) mempunyai nilai ekstrim adalah ( )

x t memenuhi persamaan berikut : 0

x x

d

f f

dt

− & = .

Bukti:

Syarat perlu agar J x( ) _{maksimum adalah} ( ) 0

J x

δ = , yaitu

0[ ( , , ) ( , , ) ] 0

T

x x

J f x x t h f x x t h dt

δ =

∫

& + & & & =

dengan

( , , ) , ( , , )

. x

x

f x x t f

x f x x t f

x ∂ =

∂ ∂ =

∂

&

& & &

(2.3) Fungsi h t( ) _{merupakan fungsi kontinu dan} terturunkan yang bersifat (0)h = =0 h t( ). Dengan menggunakan integral parsial maka :

0 0 0[ ]

T

T T

x x x

d

hf dt hf f hdt

dt

= −

∫

& & &

∫

&

0

0 T[d f hdt_x] .

dt

= −

_∫

&

Jadi persamaan (2.3) dapat dituliskan kembali dengan

0[ ] 0

T

x x

d

J f f hdt

dt

∂ =

_∫

&− & =

maka menurut Lema 1 diperoleh 0

x x

d

f f

dt

− =

& &

yang disebut dengan persamaan Euler.

Persamaan Euler merupakan bentuk persamaan diferensial orde dua. Solusinya melibatkan dua konstanta sebarang. Konstanta-konstanta ini ditentukan secara khusus dengan menggunakan syarat batas.

Syarat batas dengan T dan kedua titik ujung peubah ( )x t yang sudah ditetapkan merupakan pengantar ke syarat batas yang lebih umum. Contoh syarat batas yang lebih umum adalah titik awal A t[0=0, (0)x =x0] dan titik

[ , ( )]

B T x T sebagai titik akhir dengan T dan ( )

x T keduanya tidak ditentukan. Variasi fungsional J x( ) untuk syarat batas ini adalah

0 ( , , ) 0 ( , , )

T T T

J +δ f t x h x h dt f t x x dt ∆ =

∫

+ _&+ & −

∫

_&

0[ ( , , ) ( , , )]

T

f t x h x h f t x x dt =

_∫

+ _&+ & − _&

0 ( , , ) .

T T

f t x h x h dt

δ +

+

_∫

+ _&+ & _(2.4)

Menurut [Tu, 1993], variasi fungsional ini menghasilkan syarat perlu

0

( ) T[ x x]

d

J x f f dt

dt

δ =

_∫

&− &

+[f_x&δx− xf& _x&]_{t T=} = 0 . (2.5) Bukti:

Agar persamaan (2.5) berlaku maka persamaan Euler harus terpenuhi dan suku terakhir persamaan (2.5) harus memenuhi:

[f_x&δx−xf& _{x t T&}]₌ =0. (2.6)

Persamaan (2.6) disebut sebagai kondisi transversalitas (transversality condition).

[Tu, 1993]

Kontrol Optimum

Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950 oleh Pontryagin (1962) yang disebut dengan prinsip maksimum (maximum principle).

Pada masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu. Saat waktu t, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state) tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variable) x t₁( ),x t₂( ), ...,x t_n( ),

atau dalam bentuk vektor ( )x t ∈ℜn. Dengan nilai t yang berbeda, vektor ( )x t menempati posisi yang berbeda di ruang ℜn _sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di ℜn.

Dalam tulisan ini, citra (goodwill) perusahaan adalah peubah keadaan (state variable) x t( ) yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol u t( ) yaitu periklanan yang mempengaruhi proses (dalam hal ini biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru dan pelanggan lama).

Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial:

( ( ), ( ), ).

x&= f x t u t t

(2.7) Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu

0

t yaitu x t( )0 = ∈ℜx0 . Jika dipilih peubah

kontrol ( )u t ∈ℜ yang terdefinisi untuk t>t₀, maka diperoleh persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu xt. Karena x0

diberikan, maka (2.7) mempunyai solusi tunggal.

Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap u yang dilambangkan dengan x_u( ).t

Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol ( )u t

dan responnya state ( )x t dihubungkan dengan fungsi

0 0

( ) T [ ( ), ( ), ] , t

J u =

∫

f x t u t t dt (2.8) dengan f₀ fungsi yang diberikan. T tidak harus

fixed (ditentukan) dan ( )x T mempunyai kondisi tertentu.

Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga

J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan suatu fungsional dengan kendala:

( ( ), ( ), ),

x&= f x t u t t

sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah x&dengan u pada fungsional J, maka

permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum.

[Tu, 1993]

Syarat Perlu

Syarat perlu merupakan akibat logis suatu pernyataan. Syarat perlu dalam kontrol optimum adalah prinsip maksimum Pontryagin.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Misalkan terdapat masalah memilih suatu vektor kontrol u t( )=[u t u t₁( ), ₂( ), ...,u t_r( )] dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian. Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik

[ ( ), ( ), ],

x&= f x t u t t

dari keadaan awal [x₀,t₀] ke keadaan akhir [ ( ), ]x T T sehingga memaksimumkan

0 0

( ) [ ( ), ] T [ ( ), ( ), ]

J u =S x T T +

∫

f x t u t t dt

dengan ( )x t variable keadaan (state variable) dan S x T T[ ( ), ] yang didefinisikan sebagai fungsi scrap.

[Tu, 1993]

Teorema 4 (Pontryagin)

Misalkan u t∗( ) _{sebagai kontrol} admissible

yang membawa state awal [ ( ),x t₀ t₀] kepada target state terminal [ ( ), ]x T T , dengan x T( ) dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan

( )

x t∗ merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u t∗( ). Supaya kontrol u t∗( ) merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi vektor p t∗( )≠0 dan konstanta

0

p demikian sehingga

1. p t∗( ) dan x t∗( ) merupakan solusi dari sistem kanonik

( ) H[ ( ), ( ), ( ), ],

x t x t u t p t t

p

∗ ₌∂ ∗ ∗ ∗

∂

&

( ) H[ ( ), ( ), ( ), ],

p t x t u t p t t

x

∗ _{= −}∂ ∗ ∗ ∗ ∂

&

dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh

0[

[ , , , ] ( ), ( ), ] . [ ( ), ( ), ]

H x u p t = f x t u t t +p f x t u t t

dengan p₀ ≡1.

2. H x t u t p t t[ ∗( ), ∗( ), ∗( ), ]≥H x t u t p t t[ ( ), ( ), ( ), ]

3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti : [Lihat lampiran 1] Catatan:

1. H x t u t p t t[ ∗( ), ∗( ), ∗( ), ]≥H x t u t p t t[ ( ), ( ), ( ), ] disebut dengan prinsip maksimum

Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh 0

u

H = dan H_uu <0. Jika u∈U dan U

himpunan tertutup, maka H_u =0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H

diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan U.

2. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah

u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah

max

i

u untuk masalah

memaksimumkan dan min

i

u untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah

min

i u

untuk masalah memaksimumkan dan max

i u

untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u_i adalah kontinu bagian dan loncat dari satu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang.

3. H x t u t p t t[ ∗( ), ∗( ), ∗( ), ]≥H x t u t p t t[ ( ), ( ), ( ), ] juga mencakup syarat cukup.

4. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai

x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J

sedangkan p& mengindikasikan tingkat kenaikan (appresiasi untuk p& >0) atau penurunan (depresiasi untuk p&<0) dalam nilai dari tiap unit modal.

5. dH H

dt t

∂ =

∂

6. p& = −H_x, H_u =0, x&=H_p memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan.

0 ] 0

[Sx p]δx_{t t}t T [H St δt_{t t}t T 0

= =

= =

− + + = (2.9)

Apabila fungsi scrab S =0, maka persamaan (2.9) menjadi

0 0

( ) ( )t T_{t t} ( ) t T_{t t} 0

p t δx t =₌ +H t δt =₌ = (2.10) Khususnya pada waktu awal t₀ dan x t( )₀ telah ditentukan, sedangkan T dan ( )x T

belum ditentukan, maka syarat batas menjadi

( ) ( ) ( ) 0

p T δx T H T δT

− + = (2.11)

[Tu, 1993]

Current-Value Hamilton

Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integrand f₀

sering memuat faktor diskon e−rt. Dengan demikian, fungsi integrand f₀ secara umum dapat dituliskan menjadi

0( , , ) ( , , ) .

rt

f t G u =V t G u e−

Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai

0

max ( , , )

T

rt

W = ∫V t G u e− dt

terhadap kendala G& = f t G u( , , ) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk ( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , ).

rt

H t G u p =V t G u e− +p t f t G u

Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton terhadap

G

dan t, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan

current-value Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-value Hamilton, diperlukan konsep current-value fungsi adjoin. Misalkan

( )

q t menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan q t( )= p t e( ) rt, yang berimplikasi p t( )=q t e( ) −rt. Sehingga fungsi

current-value Hamilton yang dinotasikan dengan H_c, dapat dituliskan menjadi

( , , ) ( ) ( , , )

rt c

H ≡He =V t G u +q t f t G u

Perhatikan bahwa H_c, sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon.

Juga, perhatikan bahwa H ≡ H e_c −rt. Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin

terhadap H_c harus disesuaikan. Karena u yang

memaksimumkan H juga akan

memaksimumkan H_c, maka max _c, [0, ]

u H ∀ ∈t T

Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah ( )G t H

p ∂ =

∂

& _{. Karena}

0( , , ) , c

H H

f t G u

p q

∂ _{= =} ∂

∂ ∂

maka persamaan state disesuaikan menjadi

.

( ) Hc

G t q ∂ = _∂

&

Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah dalam bentuk p t( ) H

G ∂ = −

∂

& . Pertama-tama,

transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru,

( )

q t , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri,

( ) ( ) rt ( ) rt

p t& =q t e& − −rq t e−

Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk

rt c

H H

e

G G

−

∂ ∂

−_∂ = − _∂

Dengan menyamakan kedua persamaan diatas, persamaan adjoin menjadi

( ) Hc ( ).

q t rq t

G ∂ = − _∂ +

&

Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas ( )p T =0, syarat batas yang sesuai adalah q T e( ) −rT =0 dan untuk syarat batas

[ ]

H _{t T=} =0, syarat batas yang sesuai adalah rt 0

c _{t T}

H e− ₌

⎡ ⎤

⎣ ⎦ = .

[Tu, 1993]

Syarat Cukup

Syarat cukup merupakan syarat yang secara logis mengakibatkan suatu pernyataan. Syarat cukup dalam kontrol optimum adalah syarat

Legendre-Clebsch.

Syarat Legendre-Clebsch

Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut:

( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) _p

E x x p t& = f x x t& − f x p t − x&−p f

dengan p t x( , ) adalah fungsi kemiringan atau

slope dari ekstremum yang melalui titik ( , )t x . Jika f x x t( , , )& diperluas dengan formula Taylor akan diperoleh bentuk:

2

( )

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )

2!

p xx

x p

f x x t& = f x p t + x&−p f + &− f_&& t x q

dengan

(1 )

q=θx&+ −θ p_, 0<θ <1.

Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu:

2

( )

( , , , ) ( , , )

2! xx

x p

E x x p t = &− f_{& &} t x q

dengan

(1 )

q=θx&+ −θ p_, 0<θ <1.

Supaya x t( ) mencapai minimum (atau maksimum), cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch, yaitu E≥0 ( 0)≤ yang berarti

0 ( 0)

xx

f_&& ≥ ≤ atau dalam bentuk yang lebih

umum, matriks [f_xx&&] merupakan semi-definit positif (atau negatif).

[Tu, 1993] Syarat Batas dan Syarat Transversalitas

Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif

0

( ) 0

max [ ( )] [ ( ), ] T [ ( ), ( ), ] u t∈u J u t S x T T f x t u t t dt

= +

_∫

(2.12) Terhadap kendala

0 0

( ) ( ( ), ( ), ), ( ) , ( ) n

x t = f x t u t t x t = x x t ∈ ℜ

(2.13) Maka syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh

]

[ _x ] [ _t 0

t T t T

S −pδx ₌ + H S+ δt ₌ = (2.14) a. Masalah Unit Waktu Terbatas

Syarat batas untuk masalah unit waktu terbatas secara umum terbagi menjadi dua yaitu syarat batas untuk masalah waktu terminal (akhir) T tetap dan syarat batas untuk masalah waktu terminal T bebas.

i. Waktu Terminal T Tetap

Dengan waktu terminal T tetap, maka

0 T

δ = , dan persamaan (2.14) menjadi

[S_x−p]δ_{x t T=} =0 (2.15)

Terdapat 3 kasus untuk masalah ini yaitu :

Kasus 1 : State terminal akhir tetap, ( ) T

x T =x .

Untuk kasus ini jelas bahwa δx T( )=0

dan persamaan (2.14) tidak memberikan informasi apa-apa. Malah informasi tersebut tidak diperlukan karena konstanta integrasi akan diberikan oleh ( )x T =xT dan

oleh x t( )0 =x0 .

Kasus 2 : State terminal bebas.

Untuk kasus ini, jelas bahwa δx T( )≠ 0

sehingga diperoleh ( )p T =S_x. Apabila tanpa S x T[ ( ),T], yaitu S x T[ ( ),T]= 0, maka syarat batas adalah p T( )= 0.

Kasus 3 : State terminal berada pada

manifold M x T[ ( ),T]=0.

Apabila state terminal berada pada

manifold M x T[ ( ),T]=0 dengan M

merupakan vektor, maka syarat batas menjadi

[Rx−p]δx t T= =0 (2.16)

dengan

[ ( ), ] [ ( ), ] [ ( ), ]

R x T T ≡ S x T T +µM x T T

(2.17) dengan merupakan pengali Lagrange. Jadi syarat batas atau syarat transversalitas

menjadi ( )p T =R_x. ii. Waktu Terminal T Bebas

Syarat batas menjadi

]

[Rx−p]δx_{t T=} +[H S+ t δt_{t T=} =0 (2.18) Terdapat 3 kasus untuk masalah ini, yaitu: Kasus 1 : State terminal ( )x T =x_T tetap Jelas bahwa δx T( )= 0, sehingga

diperoleh

H T( )+S_{t t T=} =0 (2.19)

Apabila tanpa fungsi scrap, maka

( ) 0.

H T =

Kasus 2 : State terminal x T( ) bebas, yaitu

( ) 0

x T

δ ≠ . Maka syarat batas menjadi ( ) _x[ ( ), ]

p T =S x T T dan H T( )+S_{t t T=} =0

(2.20)

Apabila fungsi scrap tidak ada, maka

( ) 0 ( )

p T = =H T .

Kasus 3 : State terminal bebas, tapi memenuhi M x T[ ( ),T]=0.

Maka syarat batas menjadi

( )p T =R H Tx, ( )+Rtt T= =0,M x T T[ ( ), ]=0.

(2.21)

b. Masalah Unit Waktu Tak Terbatas

Pada kasus dimana x T( ) tak negatif [ ( )x T_i ≥0] dengan i dan T besar (dalam hal ini T → ∞), syarat batas yang harus dipenuhi adalah:

* *

( ), ( ) 0

i i

x T p T ≥

dan

* *

( ) ( ) 0

i i

p T x T =

dengan fungsi scrap didefinisikan dengan:

1

( ) min( , 0)

n

i i

S x ≡

∑

c x

di mana

{

, 0

0,i _ii 0

S c x

x x

∂ <

= _≥

∂

sehingga syarat batas p T_i( )=S_x

disederhanakan menjadi: ( ) 0, ( ) 0

i i

p T ≥ x T ≥

dan

( ) ( ) 0

i i

p T x T =

Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah ekonomi, terdapat juga beberapa kesulitan dalam penggunaannya.

Syarat Arrow-Kurz untuk waktu takhingga

*

[ ( )p∞ x ( )∞ =0] ini dapat digunakan untuk kasus tertentu dengan syarat batas *

0

p x∂ ≥ . Untuk t yang berukuran besar akan berlaku:

* *

( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] 0

p t x t∂ ≡ p t x t −x t ≥

*

( )[ ( )] ( )[ ( )] 0

p t x t p t x t

≡ − ≥

*

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0

x→∞p t x t −t→∞p t x t ≥ Sehingga syarat batas yang dapat digunakan:

*

lim ( ) ( ) 0

t→∞p t x t = lim ( ) ( ) 0 t→∞p t x t >

[Tu, 1993]

2.3 Kestabilan Titik Tetap Sistem Dinamik

Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut :

( ) dx

x f x

dt = =& ; [ ,1 2,..., ]

T n

x= x x x

dengan f x( ) merupakan fungsi dari x. [Kreyszig, 1993] Sistem Persamaan Diferensial Mandiri

Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde 1 sebagai berikut:

( , ) ( , )

dx

x f x y

dt dy

y g x y

dt = = = =

& &

(2.22)

f dan g fungsi kontinu bernilai real dari x

dan y, dengan laju perubahan x& dan y& dinyatakan dengan fungsi x dan y sendiri serta tidak berubah terhadap waktu, maka sistem (2.22) merupakan sistem persamaan diferensial mandiri.

[Verhulst, 1990] Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai

( ) ( )

x a t x&+ =g t

dengan ( )a t dan ( )g t adalah fungsi dari waktu

t. Bila ( )a t adalah suatu matriks berukuran

n n× dengan koefisien konstan dan ( )g t

dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut

0

, (0)

dx

x Ax b x x

dt = =& + = (2.23)

[Farlow, 1994] Titik Tetap

Diberikan SPD dx x f x( )

dt = =& , .

n

x∈ ℜ Titik

*

x _{disebut titik tetap jika} *

( ) 0

f x = . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.

[Kreyszig, 1993] Titik Tetap Stabil

Misalkan *

x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x t( ) _{adalah kondisi yang} memenuhi kondisi awal x(0)=x₀ dengan

* 0

x ≠x . Titik *

x _{dikatakan titik tetap stabil jika}

untuk sebarang radius ε >0, terdapat r >0 sehingga jika posisi awal x₀ memenuhi

* 0

|x −x |<r, maka solusi x t( ) _memenuhi

*

| ( )x t −x |<εuntuk t >0.

[Verhulst, 1990]

Titik Tetap Tidak Stabil

Misalkan x* adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x t( ) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0)=x₀ dengan *

0

x ≠x . Titik

*

x dikatakan titik tetap tidak stabil jika untuk sebarang radius ε >0, terdapat r>0 sehingga jika posisi awal x₀ memenuhi *

0

|x −x |<r, maka solusi x t( ) memenuhi | ( )x t −x*|>ε untuk paling sedikit satu t > 0.

[Verhulst, 1990]

Pelinearan

Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut

( ), n.

x&= f x x∈ℜ (2.24) Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap x*, maka persamaan (2.24) dapat ditulis sebagai berikut

( ).

x&=Ax+ϕ x (2.25) Persamaan tersebut merupakan SPD tak linear dengan A adalah matriks Jacobi,

*

*

( ) ( )

x x A=Df x =Df x ₌

1 1

1

1

n

n n

n

f f

x x

f f

x x

∂ ∂

⎡ ⎤

⎢_{∂ ∂} ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=

⎢_{∂ ∂} ⎥

⎢ ⎥

⎢_{∂ ∂} ⎥

⎣ ⎦

L

M O M

L

11 1

1

n

n nn

a a

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

L M O M

L

dan ϕ( )x suku berorde tinggi yang bersifat

0

lim ( ) 0

x→ ϕ x = . Selanjutnya Ax pada persamaan

(2.25) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2.24) yang didapatkan dalam bentuk

x&=Ax (2.26) [Tu, 1994] Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah matriks n n× , maka suatu vektor taknol x di dalam _ℜn

disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A berlaku

.

Ax=λx (2.27) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n× , maka persamaan (2.27) dapat dituliskan sebagai berikut

(A−λI x) =0 (2.28) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.27) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

det(A−λI)=0 (2.29) persamaan (2.29) disebut persamaan karakteristik.

[Anton, 1995] Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan terdapat SPDL x&=Ax dengan

a b

A

c d

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ memiliki persamaan karakteristik

det (A−λI)=0

2

0 λ −τλ δ+ =

dengan τ =tr A( )= +a d dan detA ad bc

δ = = −

maka diperoleh nilai eigen dari A adalah

(

2

)

1,2

1

4 . 2

λ = τ± τ − δ (2.30) Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh pada persamaan (2.30), sehingga terdapat tiga kasus yang bergantung pada nilai 2

(τ −4 )δ , yaitu Kasus I (τ2−4 )δ >0

Nilai eigen yang diperoleh real dan berbeda

1 2

(λ λ≠ ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut

1 2

1 1 2 2

( ) t t

x t =c v eλ +c v eλ (2.31) dengan λ1, λ2 adalah nilai-nilai eigen dari

matriks A. Vektor v1 dan v2 adalah vektor-

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai- nilai eigen tersebut.

Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai tiga sifat, yaitu

i. Jika nilai eigen negatif (λ <1 0 dan 2 0)

λ < dengan τ<0 dan δ >0, maka dari persamaan (2.31) diperoleh

lim ( ) 0

t→∞x t = , sehingga titik tetapnya bersifat simpul stabil.

Gambar 1 Simpul stabil.

ii. Jika nilai eigen positif (λ1>0 dan 2 0)

λ > dengan τ>0 dan δ >0, maka dari persamaan (2.31) diperoleh

lim ( )

t→∞x t = ∞, sehingga titik tetapnya

bersifat simpul takstabil.

Gambar 2 Simpul takstabil.

iii. Jika nilai eigen λ1<0 dan λ2>0 atau

sebaliknya, dengan τ<0 dan δ <0 maka persamaan (2.31) diperoleh lim ( ) 0

t→∞x t =

untuk λ1<0 dan lim ( )

t→∞x t = ∞ untuk

2 0

λ > atau sebaliknya, ( )x t akan menuju nol sepanjang vektor v1 dan menuju

takhingga sepanjang vektor v2 atau

sebaliknya sehingga membentuk asimtot pada bidang v1 dan v2. Titik tetap ini

adalah titik sadel.

Gambar 3 Titik sadel.

Kasus II (τ2−4 )δ =0

Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen real ganda (λ λ1= 2=λ) dengan solusi yang

dapat dituliskan kembali sebagai berikut

1 1 2 1 2

( ) t ( ) t

x t =c v eλ +c tv +v eλ (2.32) Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu

i Jika nilai eigen negatif (λ1<0 dan 2 0)

λ < maka dari persamaan (2.32) diperoleh lim ( ) 0

t→∞x t = , sehingga titik

tetapnya bersifat stabil.

ii Jika nilai eigen positif (λ1>0 dan 2 0)

λ > maka dari persamaan (2.32) diperoleh lim ( )

t→∞x t = ∞, sehingga titik tetapnya bersifat takstabil.

Kasus III 2

(τ −4 )δ <0

Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang diperoleh adalah λ1,2 = ±α iβ. Sistem yang memiliki

nilai eigen tersebut dapat dilambangkan dengan

x α β

β α

⎡ ⎤

= ⎢₋ ⎥

⎣ ⎦

&

atau dalam bentuk skalar

x x y

y x y

α β

β α

= +

= − +

&

(2.33) Dalam bentuk koordinat polar ( , )rθ ,

cos( )

x=r θ dan y=rsin( )θ , sehingga diperoleh 2 2 2

r =x +y dan tan( ) y

x

θ = .

Selanjutnya dengan menurunkan r terhadap waktu t, diperoleh

2rr&=2xx&+2yy& jika setiap ruas dikalikan 1

2 maka diperoleh

rr&=xx+yy (2.34)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

dengan mensubtitusi persamaan (2.33) ke dalam persamaan (2.34), maka akan didapatkan

2 2

( ) ( )

( )

rr x x y y x y

rr x x x y y x y y

rr x x y y

rr x y

α β β α

α β β α

α α

α

= + + − +

= + − +

= +

= +

& & & &

Jadi diperoleh solusi

0

( ) t

r t =r eα (2.35) Jika tan( ) y

x

θ = diturunkan terhadap t, maka akan menghasilkan

2

2

2 2

sec ( ) sec ( )

xy yx x

x xy yx

θ θ θ θ

− =

= −

& & &

& _{& &}

(2.36) Dengan mensubtitusi persamaan (2.33) dan

2 2 2

sec ( )

x θ =r pada persamaan (2.36), akan diperoleh

2

2 2 2

( ) ( )

( )

r x x y y x y

r x y

θ β α α β

θ β

= − + − +

= − +

& &

2 2

rθ βr

θ β

= − = −

& &

Jadi diperoleh solusi

0

( )t t

θ = − +β θ (2.37) Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang bergantung pada nilai α dan β seperti pada persamaan (2.35) dan (2.37), yaitu

i. α<0

Jika α<0, maka ( )r t pada persamaan (2.35) berkurang pada saat t bertambah. Jika β >0 maka θ( )t pada persamaan (2.37) akan berkurang pada saat t

bertambah besar, sehinga arah gerak orbitnya akan bergerak searah jarum jam menuju titik tetap. Jika β <0, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju titik tetap. Dalam hal ini titik tetapnya bersifat spiral stabil.

Gambar 4 Spiral stabil.

ii. α=0

Jika α=0, maka r t( ) pada persamaan (2.35) tidak berubah sepanjang waktu t. Jika β >0 maka ( )θ t pada persamaan (2.37) akan membesar dan jika β <0 maka θ( )t pada persamaan (2.37) akan mengecil. Karena ( )r t tetap, maka gerak orbit membentuk suatu lingkaran dengan titik tetapnya sebagai pusat. Titik tetap tersebut disebut center.

Gambar 5 Center.

iii. α>0

Jika α>0, maka ( )r t pada persamaan (2.35) akan semakin besar pada saat t

bertambah. Jika β >0 maka ( )θ t pada persamaan (2.37) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehingga arah gerak orbit akan bergerak searah jarum jam menjauhi titik tetap. Jika β <0, maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Titik tetap yang terjadi bersifat spiral takstabil.

Gambar 6 Spiral takstabil.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0

[Strogatz, 1994] Diagram Fase

Suatu persamaan diferensial x&= f x( ) tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan menggambarkan perubahan kecepatan

x& _terhadap x (lihat Gambar 7).

Jika x& >0, maka kurva berada diatas sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri ke kanan. Jika x&<0, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal,

0

x& = yaitu x tidak berubah, merupakan titik

ekuilibrium atau titik tetap.

Jika f '( )x <0 yaitu f x( ) adalah fungsi

turun, maka ekuilibrium stabil. Jika f '( )x >0

yaitu f x( ) adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.

Gambar 7 Diagram fase.

[Tu, 1994]

2.4 Teorema Amplop

Envelope Theorem (dalil amplop) adalah suatu dalil yang digunakan untuk memecahkan permasalahan maksimisasi di dalam ekonomi mikro.

Suatu masalah maksimisasi sembarang di mana fungsi objektif f bergantung pada beberapa parameter a:

( ) max ( , ) x

M a = f x a

di mana fungsi M a( ) _{merupakan nilai}

maksimum dari fungsi objektif f sebagai suatu fungsi dari parameter a. Anggap ( )x a adalah nilai dari x yang yang dibatasi oleh parameter

a, sehingga M a( )=f x a a( ( ), ). Dalil amplop mengatakan bagaimana M a( ) berubah ketika

parameter a berubah,yaitu : *

*

( )

( ) ( , )

x x a

dM a f x a

da a ₌

∂ =

∂

dengan turunan M terhadap a _{ditentukan oleh}

turunan parsial dari ( , )f x a terhadap a, dengan nilai x _{tetap, kemudian mengevaluasi pilihan}

optimal *

x . Batas vertikal di sebelah kanan dari turunan parsial menandakan bahwa akan dievaluasi pada *

( )

x =x a .

[Nicholson, 1991]

BAB III

MODEL UMUM PERIKLANAN

3.1 Model Umum

Masalah pokok yang harus diperhatikan pada kegiatan pemasaran adalah periklanan. Dalam kegiatannya, ketika sebuah perusahaan membuat iklan maka yang diharapkan adalah bagaimana memaksimumkan keuntungan yang diperoleh lewat daya beli masyarakat dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu model matematik yang dapat membantu perusahaan dalam membuat sebuah kebijakan untuk memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan adalah model periklanan dinamik (dynamic advertising models). Model periklanan dinamik dimodelkan oleh Sethi (1977a) yang

lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi (1994). Model periklanan dinamik merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Masalah utama dalam model ini adalah bagaimana menentukan biaya iklan optimum agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum dengan mempertimbangkan citra dan harga sebagai kendala.

Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualan iklan (sales-advertising response model). Model periklanan kapital, dibahas oleh Nerlove dan

[Strogatz, 1994] Diagram Fase

Suatu persamaan diferensial x&= f x( ) tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan menggambarkan perubahan kecepatan

x& _terhadap x (lihat Gambar 7).

Jika x& >0, maka kurva berada diatas sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri ke kanan. Jika x&<0, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal,

0

x& = yaitu x tidak berubah, merupakan titik

ekuilibrium atau titik tetap.

Jika f '( )x <0 yaitu f x( ) adalah fungsi

turun, maka ekuilibrium stabil. Jika f '( )x >0

yaitu f x( ) adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.

Gambar 7 Diagram fase.

[Tu, 1994]

2.4 Teorema Amplop

Envelope Theorem (dalil amplop) adalah suatu dalil yang digunakan untuk memecahkan permasalahan maksimisasi di dalam ekonomi mikro.

Suatu masalah maksimisasi sembarang di mana fungsi objektif f bergantung pada beberapa parameter a:

( ) max ( , ) x

M a = f x a

di mana fungsi M a( ) _{merupakan nilai}

maksimum dari fungsi objektif f sebagai suatu fungsi dari parameter a. Anggap ( )x a adalah nilai dari x yang yang dibatasi oleh parameter

a, sehingga M a( )=f x a a( ( ), ). Dalil amplop mengatakan bagaimana M a( ) berubah ketika

parameter a berubah,yaitu : *

*

( )

( ) ( , )

x x a

dM a f x a

da a ₌

∂ =

∂

dengan turunan M terhadap a _{ditentukan oleh}

turunan parsial dari ( , )f x a terhadap a, dengan nilai x _{tetap, kemudian mengevaluasi pilihan}

optimal *

x . Batas vertikal di sebelah kanan dari turunan parsial menandakan bahwa akan dievaluasi pada *

( )

x =x a .

[Nicholson, 1991]

BAB III

MODEL UMUM PERIKLANAN

3.1 Model Umum

Masalah pokok yang harus diperhatikan pada kegiatan pemasaran adalah periklanan. Dalam kegiatannya, ketika sebuah perusahaan membuat iklan maka yang diharapkan adalah bagaimana memaksimumkan keuntungan yang diperoleh lewat daya beli masyarakat dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Untuk itu diperlukan suatu model matematik yang dapat membantu perusahaan dalam membuat sebuah kebijakan untuk memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan adalah model periklanan dinamik (dynamic advertising models). Model periklanan dinamik dimodelkan oleh Sethi (1977a) yang

lima belas tahun kemudian diperbaharui oleh Feichtinger, Hartl, dan Sethi (1994). Model periklanan dinamik merupakan aplikasi dari prinsip maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Masalah utama dalam model ini adalah bagaimana menentukan biaya iklan optimum agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum dengan mempertimbangkan citra dan harga sebagai kendala.

Dua model dari periklanan dinamik adalah model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualan iklan (sales-advertising response model). Model periklanan kapital, dibahas oleh Nerlove dan

Arrow (1962), merupakan model yang memandang iklan sebagai sebuah investasi pada citra (goodwill) perusahaan, sedangkan model respons penjualan iklan, dibahas oleh Vidale dan Wolfe (1957), merupakan model yang menekankan hubungan antara iklan dan perubahan volume penjualan.

Karya tulis ini akan membahas model periklanan kapital yang dikembangkan dengan dua jenis iklan yaitu iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama dan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru. Iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama bertujuan untuk mencegah pelanggan tersebut melupakan produknya dan berpindah ke merek lain, sedangkan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru bertujuan untuk menyediakan informasi lebih banyak tentang garis besar sebuah produk sehingga dapat meyakinkan pelanggan baru agar mengkonsumsi produknya.

Variabel yang digunakan meliputi G, Q,

π, R G( ), C A N( , ), N Q( ), A Q G( , ), a, v, ( )N

η , dan δ( )A . G adalah goodwill atau citra yang dimiliki oleh sebuah perusahaan. Q

adalah shadow price atau perkiraan harga dari suatu produk yang akan diiklankan. Keuntungan

π _{merupakan selisih dari total pendapatan}

suatu perusahaan yang bergantung pada citra ( )

R G dan total pengeluaran perusahaan dalam membuat sebuah iklan ( ,C A N), dengan

( , ) ( ) ( , )

C A N =aN Q +vA G Q di mana N Q( ) adalah biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru yang bergantung pada

shadow price Q. A Q G( , ) _{adalah biaya} pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan lama yang bergantung pada shadow price Q dan citra perusahaan G. Serta

a

_dan

v adalah variabel yang menunjukkan banyaknya produk yang diiklankan. Keuntungan

π dapat ditulis sebagai :

π =R G( )−aN−vA. _(3.1) Dengan memperhatikan permasalahan ini sebagai permasalahan kontrol optimum yang kontinu sepanjang waktu, maka waktu t yang dipilih ada pada selang [0, )∞ dengan kendala tingkat perubahan citra perusahaan G& sama dengan ukuran keefektifan sebuah iklan dalam menarik pelanggan baru η( )N dikurangi

dengan penyusutan citra perusahaan G karena penurunan pelanggan lama ( )δ A .

Pada karya tulis ini yang akan diperhatikan adalah nilai sekarang atau present value dari suatu arus kas yang terus-menerus (dalam hal ini pendapatan yang bergantung pada citra sebuah perusahaan), maka present value dari keuntungan perusahaan adalah πe−rt, di mana

r adalah tingkat suku bunga.

Bentuk masalah memaksimumkan keuntungan perusahaan menjadi:

0 ,

max rt[ ( ) ]

N A e R G aN vA dt

∞ − _{− −}

∫

(3.2)

dengan kendala:

( ) ( ) ,

G& =η N −δ A G (3.3)

0,

A≥ (3.4)

0.

N ≥ (3.5) 3.2 Asumsi

Berdasarkan formulasi masalah itu diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Pendapatan yang bergantung pada citra perusahaan merupakan fungsi naik dan cekung ke bawah.

' 0,

R > R"<0 _(3.6)

Gambar 8 Grafik hubungan G dan R G( ).

Berarti bahwa semakin baik citra suatu perusahaan maka pendapatan perusahaan akan semakin meningkat.

2. Keefektifan suatu iklan dalam menarik pelanggan baru merupakan fungsi naik dan cekung ke bawah.

' 0,

η > _"η <0 _(3.7)

Gambar 9 Grafik hubungan N dan η( )N .

Berarti bahwa semakin besar biaya pembuatan iklan yang ditujukan untuk pelanggan baru maka keefektifan iklan

2 4 6 8 G

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

RHGL

5 10 15 20 N

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

hHNL

Setelah mensubstitusikan nilai

1

v a

Q

β β

γ β

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} dari persamaan (4.32) ke dalam detJ _(4.37)

diperoleh

detJ

1 1

2 2

[ 1]

1

v

G v

Q

a Q G

α

β _β

β _β α α

β β γ

γ β

− ₋

⎡ _{+ −} ⎤

⎡ _{⎤ ⎢ ⎥}

⎡ ⎤

⎢ _{⎥ ⎢ ⎥}

= _{− ⎢ ⎥}

⎢ ⎣ ⎦ − ⎥⎢ ⎥

⎣ _{⎦ ⎢ ⎥}

⎣ ⎦

1 1

1

2 1

2 [ 1] 1

v

G

v v a

a

v a

G

β α

β _{β β}

β β

β β

α α

β β γ

γ γ β β

γ β

− −

−

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ _{⎡ ⎤} ⎤_{⎢ + − ⎥}

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎡ ⎤ ⎥_{⎢ ⎥}

=_⎢ −_{⎢ ⎥} ⎢_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥} ⎥ _{⎢ ⎥⎥}

− ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢_⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥_⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎡ ⎤_⎢ ⎡ ⎤ _⎥

⎣ ⎦ ⎢_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥} ⎥

⎢⎢_⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥_⎦ ⎥

⎣ ⎦

1

1 1

1

2[1 ] 2 2

[ 1]

1

v

G

v v a

a _{v a}

G α

β β

β

β β

β

β β

α α

β β γ

γ γ β β

γ β

−

− −

−

−

⎡ ⎤

⎢ + − ⎥

⎡ _{⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤}⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

=_⎢ −_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥}

−

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞_⎢ ⎛ ⎞ _⎥

⎢ ⎥

⎣ _{⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

⎢_{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎥

⎣ ⎦

1 1

2 2 2

2

[ 1]

1

v

G

v v

a a _{v a}

G α

β β

β β

β β

α α

β β β γ

γ γ β

γ β

−

− −

−

⎡ ⎤

⎢ + − ⎥

⎡ _{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

= −_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}

⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ − ⎦ ⎡ ⎤⎥_⎢ ⎡ ⎤ _⎥

⎣ _{⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}

⎢_{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ⎥

⎣ ⎦

2 2 2

2

[ 1]

1

v

G v v

a v

G

α

β β

α α

β γ

γ γ β

β γ

−

⎡ ⎤

⎢ + − ⎥

⎡ _{⎤ ⎢ ⎥}

=_⎢ − _{⎥ ⎢ ⎥}

−

⎣ ⎦_⎢ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ⎥

⎣ ⎦

2 1 2

2

[ 1]

1 1

v

G

a v

G

α

β β

α α

β γ

β

β γ

−

⎡ ⎤

⎢ + − ⎥

⎡ _{⎤ ⎢ ⎥}

= −_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥}

−

⎣ ⎦_⎢ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ⎥

⎣ ⎦

2 1 2

2

[ 1]

1 1

v

G

a v

G

α

β β

α α γ β

β γ

−

⎡ ⎤

⎢ + − ⎥

⎡ _{⎤ ⎢} ⎥

= ⎢ _{− ⎥ ⎢ ⎥}

⎣ ⎦_⎢ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ⎥

⎣ ⎦

(4.38)

Lampiran 7. Penentuan nilai eigen pada daerah A=0 dengan Mathematica 6 Diketahui

1 [ 1]

G Q

r

α

α −

= +

1

( 1)

G

r a

β αβ

α β −

⎡ ⎤

= ⎢ ₊ ⎥

⎣ ⎦

Nilai eigen dari titik tetap T: ( , )G Q dapat menggunakan program di bawah ini:

(

)

1 2 1

2 1

(( 1 )( 1 )) ( 1) 0,

1

Solve r G Q

a

β _β

β

α β β β

λ λ α α λ

β

− −

− −

⎡ ⎛ ⎛_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎞⎞ ⎤

⎢ _{− − + − −}⎜ ₋ ⎜_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎟⎟₌₌ ⎥

⎢ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎟⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎥

⎣ ⎦

Menghasilkan

2 1

1

( 4 )

2y x x yz

λ = − − −

2 2

1

( 4 )

2y x x yz

λ = − + −

di mana

1 1 ₁

1 1

2 2

1 (1 ) (1 ) 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

x r r

a r a r

β

β β _β

αβ αβ

β β

αβ αβ

αβ αβ

αβ _β αβ

β

− −

− −

− −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ +

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎞ _{⎜ ⎝ ⎠ ⎟} ⎛ ⎞

= − _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟}

⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1

1 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

β

β β _β

αβ αβ

αβ αβ

β

− −

− −

⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎟

⎜ ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎟

⎜ ⎟

+ +

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 ₁

1 1

2 2

1 (1 ) (1 ) 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

y

a r a r

β

β β _β

αβ αβ

β β

αβ αβ

αβ αβ

αβ _β αβ

β

− −

− −

− −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ +

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎞ _{⎜ ⎝ ⎠ ⎟} ⎛ ⎞

=_{⎜ ⎟} − _{⎜ ⎟}

⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1

1 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

β

β β _β

αβ αβ

αβ αβ

β

− −

− −

⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎟

⎜ ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎟

⎜ ⎟

+ +

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 ₁

1 1

2 2

1 (1 ) (1 ) 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

z r

a r a r

β

β β β

αβ αβ

β β

αβ αβ

αβ αβ

αβ αβ

β

− −

− −

− −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ +

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎞ _{⎜ ⎝ ⎠ ⎟} ⎛ ⎞

= −_{⎜ ⎟} − _{⎜ ⎟}

⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1

1 ₁ 1 ₁

1 1 1 1

2 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 )

a a

a r a r a r a r

a r

β β

β β _β β β _β

αβ αβ αβ αβ

β αβ

αβ αβ αβ αβ

αβ β

β β

− −

− −

− − − −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎟ ⎜ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟ ⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ + + +

⎜ ⎝ ⎠ _⎝⎜⎝ ⎠ _⎠⎟ ⎟ _{⎛ ⎞} ⎜ ⎝ ⎠ ⎜_⎝⎝ ⎠ ⎟_⎠ ⎟

⎜ ⎟ _{+ ⎜ ⎟} ⎜ ⎟

⎜ ⎟ _⎝ + _⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 ₁

1 1

2

1 (1 ) (1 ) 1 1

(1 ) (1 )

a

a r a r

r

a r a a r

β

β β _β

αβ αβ

α

β β β

αβ β αβ

αβ αβ

αβ β αβ

β αβ

β

− −

− −

− − −

⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ + ⎛ ⎞

⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟

+ _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟}

⎜ ⎟

+ ⎝ ⎠ +

⎝ ⎠ _{⎜ ⎟} ⎜_⎝⎝ ⎠ ⎟_⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

1 ₁ 1 ₁

1 1 1 1

1 1

2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 )

a a

a r a r a r a r

a a r

β β

β

β β β β β β

αβ αβ αβ αβ

α β β

αβ β

αβ αβ αβ αβ

β αβ

α β

β β

−

− −

− − − −

− −

⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟ ⎜ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎟

⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟ ⎜ _{⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟} ⎟

+ + ⎛ ⎞ + +

⎜ ⎝ ⎠ _⎝⎜⎝ ⎠ ⎟_⎠ ⎟ _{⎛ ⎞ ⎜⎛ ⎞ ⎟} ⎜ ⎝ ⎠ ⎜_⎝⎝ ⎠ ⎟_⎠ ⎟

⎜ ⎟ _{+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜⎝ + ⎠ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β −

Lampiran 8. Kurva titik kesetimbangan sebagai fungsi dari tingkat suku bunga r

menggunakan software Mathematica 6.0

: 0.9;a: 3; : 0.5; : 1;v : 3;

β = = α = = γ =

1 1

2

[ v a v 0, ]

Solve rG G G

β β

α _γ

γ β

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + ==

2 3 4

2 2 2 2 2 2 4 4

2 2 1

1[ _] 2 4

2

a v a v a v v

G r rv rv

r v

β β β β β β β

α

γ

α

γ α

γ

γ

γ

γ

γ

β

β

β

− ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ _⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ _⎜ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟_{⎜ ⎟ ⎟} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎝ ⎠} ⎜ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟}

⎝ ⎠ _{⎝ ⎝} ⎝ ⎠ _⎠ ⎝ ⎠ _⎠

= − − − − +

2 3 4

2 2 2 2 2 2 4 4

2 2 1

2[ _] 2 4

2

a v a v a v v

G r rv rv

r v

β β β β β β β

α

γ

α

γ α

γ

γ

γ

γ

γ

β

β

β

− ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ _⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ _⎜ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟_{⎜ ⎟ ⎟} ⎜ ⎟ _{⎜ ⎝ ⎠ ⎜} ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎟} ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟}

⎝ ⎠ _{⎝ ⎝} ⎝ ⎠ _⎠ ⎝ ⎠ _⎠

= − − + − +

2 1 2 2

( 1) 1[ ]

1 det 1[ _]

1

1[ ]

v

G r J r

a v

G r

α

β β

α α γ β

β γ

−

⎛_{⎛ ⎞} ⎞

⎜_{⎜ ⎟}+ − ⎟

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠ ⎟

= ⎜ _{− ⎟⎜ ⎟}

⎝ ⎠_⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎟

⎝ ⎠

2

4det 1[ ]

r − J r

2

[{det 1[ ], 4 det 1[ ], 1[ ], 2[ ]},{ , 0.06, 0.071}, { 0.6, 2.4},

{ , }, {{ , Re },{ , },{ , },{ , }}]

Plot J r r J r G r G r r PlotRange

AxesLabel r G PlotStyle Dashed d DotDashed Green Thick Magenta Dotted Blue

− → −

→ →

Lampiran 9. Gambar bidang solusi dan diagram fase menggunakan software Mathematica 6.0

Gambar bidang solusi

™ Untuk A>0

1 ( [ ] 1[ ])

Q == +r

δ

A Q−R g

[( [ ] 1[ ]) 0, ]

Solve r+

δ

A Q−R g == Q

0.11111( 100. 150. )

2[ _] : g

Q G

g

− +

=

1 [ _] [ ]

G ==η M −δ A g

[ [ _] [ ] 0, ]

Solve

η

M −

δ

A g == Q

3[ _] 2.64776

Q g =

™

Untuk A=0

1

4[ _] ( 1)

g Q g

r α

α −

= ₊ 1

5[ _] a

Q g g

β β β

− =

: 0.9;a: 3; : 0.5; : 0.03; : 1;r v : 3;

β = = α = = = γ =

[{ 2[ ], 3[ ], 4[ ], 5[ ]},{ , 0, 32}, {0, 6.5}, { , },

{{ , , Re },{ , },{ , , Re },{ , , }}]

Plot Q g Q g Q g Q g g PlotRange AxesLabel G Q

PlotStyle DotDashed Thick d Thick Green Dotted Thick d Dashed Thick Green

→ →

→

[{ 2[ ], 3[ ], 4[ ], 5[ ]},{ , 0, 4}, {0, 4.25}, { , },

{{ , , Re },{ , },{ , , Re },{ , , }}]

Plot Q g Q g Q g Q g g PlotRange AxesLabel G Q

PlotStyle DotDashed Thick d Thick Green Dotted Thick d Dashed Thick Green

→ →

→

Gambar diagram fase

Diagram fase didapatkan dengan menggunakan program CurvesGraphics 6.

™ Untuk A>0

1

1

,{ ,28,32},{ ,0,4},{0,200}

Q v

a Q

PhasePlot G Q

v

r Q G

G β

β

α β

γ α γ

−

−

⎡_{⎛ ⎞} ⎤

⎢⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎥

⎢_{⎜ ⎟} ⎥

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

−

+ −

1

1

,{ ,0,4},{ ,0,4},{0,200}

Q v

a Q

PhasePlot G Q

v

r Q G

G β

β

α β

γ α γ

−

−

⎡_{⎛ ⎞} ⎤

⎢⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎥

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎢_{⎜ ⎟} ⎥

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

−

+ −

™

Untuk A=0

1 1

,{ ,0,0.07},{ ,2.3,2.38},{0,200} ( 1)

Q _G

PhasePlot a G Q

r Q G

β β

α β

α

−

−

⎡_{⎛ ⎞} ⎤

⎢_{⎜ ⎛ ⎞ ⎟} ⎥

⎢⎜ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎟ ⎥

⎢_{⎜ ⎝ ⎠ ⎟} ⎥

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎜ ⎟

⎢_{⎝ ⎠} ⎥

⎣ ⎦

−

+ −

Lampiran 10. Menentukan titik tetap dan nilai eigen menggunakan software Mathematica 6 Parameter yang diberikan

In :

β

: 0.9; : 3;= a =

α

: 0.5; : 1; : 3; : 0.03;= v =

γ

= r =

Diketahui In :

1 1

v a

Q

β β

γ β

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Out : 2.64776

In :

2 3 4

2 2 2 2 2 2 4 4

1 2 2

1

2 4

2

a v a v v a v

G rv rv

r v

β β β β β β β

γ α γ α γ α

β γ β γ γ β γ

− _{⎛ ⎡ ⎤} ⎞

⎡ ⎤ _⎜ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤ ⎟}

= _{⎢ ⎥} −_{⎢ ⎥} ⎢ _{⎢ ⎥} − _{⎢ ⎥} ⎥− − _{⎢ ⎥ ⎢ ⎥} + _{⎢ ⎥ ⎟}

⎜ _{⎢ ⎥}

⎣ ⎦ _⎝ ⎣ ⎦ _⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎠

Out : 0.574454

In :

2 3 4

2 2 2 2 2 2 4 4

2 2 2

1

2 4

2

a v a v v a v

G rv rv

r v

β β β β β β β

γ α γ α γ α

β γ β γ γ β γ

− _{⎛ ⎡ ⎤} ⎞

⎡ ⎤ _⎜ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤ ⎟}

= _{⎢ ⎥} −_{⎢ ⎥} ⎢ _{⎢ ⎥} − _{⎢ ⎥} ⎥+ − _{⎢ ⎥ ⎢ ⎥} + _{⎢ ⎥ ⎟}

⎜ _{⎢ ⎥}

⎣ ⎦ _⎝ ⎣ ⎦ _⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎠

Out : 30.655

In :

1 3

[ 1]

G Q

r

α

α −

= +

Out : 2.34824

In : ₃ 1

( 1)

G

r a

β αβ

α β −

⎡ ⎤

= ⎢ ₊ ⎥

⎣ ⎦

Out : 0.0427346 ™ Untuk titik tetap (G Q1, 1)

In :

(

)

2 1 1

2 1

1

2 2

1

( ) ( ) ( 1) 0,

1

v v

Solve r Q G

a Q G

β

β _β

α β

β β

λ λ α α λ

β γ γ

−

− ₋

−

⎡ ⎛⎛ _{⎞⎛ ⎞}⎞ ⎤

⎡ ⎤

⎢ _{− − −}⎜⎜ ₊ ⎟_{⎜− − − ⎟}⎟₌₌ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎜⎜⎜ − ⎣ ⎦ ⎟⎝ ⎠⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝⎝ ⎠ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

Out : {{

λ

→0.015 0.455016 },{− i

λ

→0.015 0.455016 }}+ i

Berarti titik tetapnya merupakan spiral takstabil.

™ Untuk titik tetap (G Q2, 1) In :

(

)

2 1 1

2 1

2

2 2

2

( ) ( ) ( 1) 0,

1

v v

Solve r Q G

a Q G

β

β _β

α β

β β

λ λ α α λ

β γ γ

−

− ₋

−

⎡ ⎛⎛ _{⎞⎛ ⎞}⎞ ⎤

⎡ ⎤

⎢ _{− − −}⎜⎜ ₊ ⎟_{⎜− − − ⎟}⎟₌₌ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎜⎜⎜ − ⎣ ⎦ ⎟⎝ ⎠⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝⎝ ⎠ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

Out : {{

λ

→ −0.0125079},{

λ

→0.0425079}} Berarti titik tetapnya merupakan titik sadel.

™ Untuk titik tetap (G Q3, 3)

In :

(

)

2 1 1

2 1

3 3

(( 1 )( 1 )) ( 1) 0,

1

Solve r G Q

a β β

β

α β β β

λ λ α α λ

β

− −

− −

⎡ ⎛ ⎛ _{⎡ ⎤} ⎞⎞ ⎤

⎢ _{− − + − − −}⎜ ₋ ⎜ ⎟⎟₌₌ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎜⎜ ⎜ − ⎣ ⎦ ⎟⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎥

⎣ ⎦

Out : {{

λ

→ −2.36517},{

λ

→2.39517}} Berarti titik tetapnya merupakan titik sadel.