= dan
= .
2.67
=
−
�
�
, +
�
, +
�
, =
[
−
�
�
, +
− �
, +
− �
, ] = �
�
, +
�
, +
�
, . Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang dan
=
− −
= ,
= ,
=
− −
= ,
= . Jadi, nilai sekarang pada persamaan
. akan menjadi
[
∗ ∗
,
∗ ∗
,
∗
,
∗
] − �[
∗ ∗
] = 2.68
J. Titik Akhir Bebas free-end point
Dalam kasus ini, kondisi akhir tidak dikenai kendala. Karenanya,
∈ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-end- point sehingga
= , = �
�
[
∗
]. .
Ini juga termasuk kondisi = pada kasus khusus dari �
≡ .
K. Jangka Waktu Tak Berhingga Infinite Horizon dan Stasioneritas
Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak berhingga
→ ∞ pada fungsi tujuan . yang disebut dengan masalah jangka
waktu tak beringga infinite horizon. Ketika diberikan = ∞ pada fungsi tujuan
. atau
. yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang
tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu, pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga
yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu . Selanjutnya, diasumsikan �
≡ untuk kasus jangka waktu tak berhingga. Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan
dihitung dengan → ∞ pada persamaan nilai sekarang present value:
lim
→∞
= ⇒ lim
→∞ −
= . .
Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi lim
→∞
. Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut
lim
→∞ −
dan lim
→∞ −
∗
= . .
Dalam masalah ekonomi, fungsi �, , dan secara eksplisit tidak bergantung pada
waktu . Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan . , .
, dan .
, di mana � tidak bergantung pada waktu , dan tanpa kondisi
akhir , stasioneritas mengakibatkan
, , = , ,
. , , =
, . Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai
sekarang Hamiltonian pada .
secara eksplisit tidak bergantung pada waktu . Sistem yang demikian disebut dengan autonomous.
Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan akan berhenti, yaitu nilai dari dan yang mana
̇ = dan ̇ = . Gagasan yang demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan
quadraple { ̅, ̅, ̅, ̅} yang memenuhi
̅, ̅ = ,
2.73 ̅ = �
�
[ ̅, , ̅ ̅, ̅],
̅ , ̅
̅, ̅ = , dan ̅, ̅, ̅
̅, , ̅ untuk semua memenuhi
̅, .
Lebih jelasnya, jika kondisi awal = ̅ maka kendali optimalnya adalah
∗
= ̅ untuk semua . Jika kendala yang melibatkan tidak dikenakan, ̅ dapat
dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple { ̅, ,
̅ ̅} yang memenuhi ̅, ̅ = , ̅ =
�
[ ̅, , ̅ ̅], dan [ ̅, ,
̅ ̅] = . .
44
BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW
A. Model Matematis
Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang. Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam
mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill. Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan
dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan.
Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaan-
perusahaan dan adanya produk baru. Misalkan
adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu . Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan
laju proporsional , sehingga: ̇ = − ,
=
,
.
dengan =
merupakan usaha periklanan pada waktu yang diukur dalam dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan,
diasumsikan bahwa tingkat penjualan tergantung pada goodwill
, harga ,
