52
BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS
Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.
5.1 Barisan
Barisan merupakan sebuah fungsi dengan domain berupa himpunan bilangan asli N. Sebuah barisan kompleks dapat dipandang sebagai suatu daftar
bilangan bilangan yang ditulis dalam suatu urutan tertentu
,... ,...,
,
2 1
n
z z
z
, dimana bilangan
n
z
disebut suku ke-n. Barisan biasa dinotasikan dengan
,...} ,
{
2 1
z z
atau
} {
n
z
. Contoh 1:
1 n
ni
; 1
n ni
z
n
.
Konvergensi Barisan Definisi :
Barisan
} {
n
z
dikatakan mempunyai limit A, ditulis A
z
n n
lim jika
untuk setiap
terdapat bilangan bulat positif N sedemikian sehingga
A
z
n
apabila
N n
Jika
n n
z
lim ada, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika tidak, maka
dikatakan divergen. Jika barisan kompleks
} {
n
z
dengan
n n
n
iv x
z
konvergen ke suatu bilangan kompleks A, maka dua barisan real
} {
n
x
dan
} {
n
y
masing-masing konvergen ke Re A dan Im A dan sebaliknya.
Sifat : Jika
} {
n
z
dan
} {
n
w
barisan yang konvergen, maka i.
n n
n n
n n
n
w z
w z
lim
lim lim
.
53 ii.
n n
n n
n n
n
w z
w z
lim
. lim
lim .
iii. ,
lim lim
lim
n n
n n
n n
n
w z
w z
asal
lim
n n
w .
Sifat : Jika
n n
z
lim ada, maka limitnya tunggal.
Soal :
1. Apa yang dimaksud dengan barisan, barisan konvergen, barisan divergen?
Berikan contoh. 2.
Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen
tentukan limitnya,
a. i
n i
n z
n
3
b.
n n
i a
1 1
c.
n i
n
Deret
Misalkan
} {
n
z
adalah barisan bilangan kompleks. Suatu deret tak hingga untuk selanjutnya disebut deret, dinotasikan dengan
1
n n
z
. Didefinisikan barisan
} {
n
S
,
dengan
n k
k n
n
z z
z z
S
1 2
1
...
. Selanjutnya
n
S
disebut jumlah parsial dari deret tersebut.
Definisi:
Deret
1
n n
z
dikatakan konvergen ke s , jika barisan jumlah parsial
} {
n
S
konvergen ke s , yaitu
s S
n n
lim
. Jika
} {
n
S
divergen maka deret
1
n n
z
dikatakan divergen.
54
Teorema 1 : Jika
1
n n
z
konvergen maka lim
n n
z .
Bukti
Misalkan
1
n n
z
konvergen ke s, maka
s S
n n
lim
. Perhatikan bahwa
1
n n
n
S S
z
sehingga .
lim lim
lim lim
1 1
s s
S S
S S
z
n n
n n
n n
n n
n
Konvers teorema di atas tidak berlaku, jika lim
n n
z , tidak dapat disimpulkan
bahwa
1
n n
z
konvergen.
Contoh : lim
n i
n
tetapi deret
1
n
n i
divergen.
Akan ditunjukkan bahwa deret
1
n
n i
divergen. Perhatikan bahwa
2 4
16 ...
16 8
8 8
8 4
4 2
16 ...
9 ...
5 4
3 2
2 3
8 8
8 8
4 4
2 8
7 6
5 4
3 2
2 2
4 4
2 4
3 2
, 2
,
16 8
4 2
1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i S
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
S i
i i
i i
i i
i i
i S
i i
S i
S
Dengan cara sama secara umum diperoleh 2
2
ni i
S
n
.
Karena
n
S
2
jika
n
, hal ini berarti bahwa
} {
n
S
divergen.
Uji divergensi:
55 Jika
lim
n n
z atau
n n
z
lim tidak ada maka
1
n n
z
divergen.
Contoh :
Tunjukkan bahwa
1 2
2
5 3
n
i n
i n
divergen
Penyelesaian. Perhatikan bahwa 3
1 3
1 lim
5 3
lim lim
5 2
2
n i
n i
n n
n n
i n
i n
z .
Jadi menurut uji divergensi deret
1 2
2
5 3
n
i n
i n
divergen.
Teorema 2:
Jika
1
n n
z
dan
1
n n
w
konvergen, maka
1
n n
kz
k bilangan kompleks,
1 n
n n
w z
, dan
1 n
n n
w z
juga konvergen dan berlaku :
i.
1 1
n n
n n
z k
kz
.
ii.
1 1
1 n
n n
n n
n n
w z
w z
.
iii.
1 1
1 n
n n
n n
n n
w z
w z
. Soal :
1. a. Apakah yang dimaksud dengan deret ?
b. Jelaskan apa artinya
i z
n n
2 10
1
. c. Apa yang dimaksud dengan deret konvergen? Deret divergen? Berikan
masing-masing contohnya. 2.
Buktikan teorema 2.
56 3.
Tinjau deret
1 n
i n
n
a. Tentukan jumlah parsial ke-1,2,3,dan 4. Perkirakan rumus untuk S
n
. b. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan perkiraan jawaban a.
c. Tunjukkan bahwa deret tersebut konvergen, dan temukan jumlahnya.
5.2 Uji Konvergensi Deret
Kategori