BAB 1 BARISAN DERET - BAB 1 Barisan dan Deret

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. a. U n n 2 1

U 4  2 . 4  1  8  1  9 g. U n n n   1 

U 5  2 . 5  1  10  1  11 U 1  1  1  1  1 . 2  2

b. 3 U n  n

1  1  1 U 3  3  3  1   3 . 4  12

2  2  8 U 4  4  4  1   4 . 5  20

3  3  27 U 5  5  5  1   5 . 6  30

4  4  64 h. U n n 2 5

c.  U n  2 n  1 U 2  2 . 2  5  9

U 3  2 . 3  5  11

U 4  2 . 4  5  13

U 5  2 . 5  5  15

U 3  2 . 3  1  18  1  17

U 4  2 . 4  1  32  1  31 i. U n 

U 5  2 . 5  1  50  1  49 1 1

d. 2

U 2  4  1  15 3  3  3  18

U 5  5  1  24 U 4 

e. U n    2

U    2   2 5 

3 j. U n 

U 3    2   8 n  1

4    2  16 U

U 5    2   32

3 n 9  

n. U n 

1 k. 3 U n  1

2 2 2   1 U 1 5   

o. U n 

1 4  1 3  4 n  3  2 n  1 

l. U n  sin  n    4 

U 1  sin  . 1 .    sin  

U 2  sin  . 2 .    sin   1  4 

U 3  sin  . 3 .    sin  

2. a. 1 , 2 , 3 , .....

 1  U 4  sin  . 4 .    sin   0 Tiga suku berikutnya : 4 , 5 , 6

U 5  sin  . 5 .    sin    2 b. 3 , 5 , 7 , .....

Tiga suku berikutnya : 9 , 11 , 13

2 9  2 11 U n  Pendekatan   U 1  b 

3 3 3 n 2   3  2 

2 16  2 18 9 n 2 1

4 4 4 2 c.  8 , 4 , 0 , .....

2 25  2 27 Tiga suku berikutnya : 4 , 8 , 12 U 1  1  

5 5 5 U 1   8 ,  4 , 0 , 4 , 8 , 12 ,.....

 4  4  4 sama di tingkat 1

U 1   8 , b  4 , m  1 U n  Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +

Pendekataan  n  n  4 n

b m 4 1 Pendekatan 3

U n  Pendekatan   U 1  b 

n 1

d. 15 , 12 , 9 , ..... Tiga suku berikutnya : 64 , 125 , 216

Tiga suku berikutnya : 6 , 3 , 0

U 1  15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0 ,.....

1 , 8 , 27 , 64 , 125 , 216 ,....., U n

b   3  3  3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....., n sama di tingkat 1 3 Maka, U

U 1  15 , b   3 , m  1 h. 2 , 4 , 8 , .....

Pendekataan  n 

Tiga suku berikutnya : 16 , 32 , 64 m !

Awal :

U n  Pendekatan   U 1  b 

Tingkat 1 :  2  2  2

  3 n   15    3 

nn

 n  3 n 18 m ! 1 ! Pendekataan 1  r  2  2

e. 1 , 4 , 9 , .....

Awal :

2 4 8 16 Tiga suku berikutnya : 16 , 25 , 36 Pendekatan n 2 : 2 4 8 16

1 , 4 , 9 , 25 , 36 , ....., U n

(stop) Maka, 2 U

2 2 2 2 2 2 1 2 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....., n

U n  1 . Pendekatan 1

f. 1 , 2 , 4 , .....

Tiga suku berikutnya : i. 7 , 11 , 16 4 , 2 , 1 , .....

1 1 Awal : 1 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 ,... Tiga suku berikutnya :

2 , 4 , 8 Tingkat 2 :

1 1 Tingkat 1 : 1  1  2  3  4 Awal : 4 , 2 , 1 ,

 1  1  1 Tingkat 1 :  1  2 1  2 1 2

r  Pendekataan 1 1 n 2 , m  1

Pendekataan 1  r   2  2

 2 n : 2

1 2 1 Pendekatan 1 9

2 2 8 Pendekatan 2 : 2 4 8 16

 Hasil Operasi 1 :

2 0  2  1 8 8 8 8 Tingkat 1 :

(stop)  1 1 1 U n  8 . Pendekatan 1

Pendekataan 2  2 n   n

3 1 n ! 2  2 . 1 

Langkah 2 :

3   n 2 . 2  2 Hasil Operasi 1 :

2 2  1 j. 1 , 2 , 2 , .....

Pendekatan 2   1 2 n  :  1  1  2 3 2  2

Tiga suku berikutnya : 2 2 , 2 , 4 2 Hasil Operasi 2 :

Awal :

Pendekatan 3 1  0  0  0

Tingkat 1 :  2  2  2

(stop)

2 e. 2 4 ,  2 , 1 ,  1 2  ,.....

Pendekataan 1 n  r  2  2 

4 , 2 , 1 ,  1 ,..... Awal :

Awal :

Pendekatan 2 : 2 2 2 2 4

U n  2 . Pendekatan 1

Pendekataan 1 n  r  1 1 !

Awal :

1 . 2  2 Pendekatan  1 n

k. 8 , 27 , 64 , ..... (stop) Tiga suku berikutnya : 125 , 216 , 343

U n   8 . Pendekatan 1

8 , 27 , 64 , 125 , 216 ,....., U n

2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....., n

3 Jadi, f. U n  

3. a.  2 , 2 ,  2 , 2 ,..... Pembilangan dari setiap bilangan pada U n

n  2  1 barisan itu adalah 1, berarti U Pembilang  1

b. 2 ,  2 , 2 ,  2 ,..... Penyebut dari setiap bilangan pada n  1 barisan itu adalah 1 , 2 , 3 , 4 ,.....,

U n  2   1

U Penyebut  n

c. 1 ,  3 , 9 ,  27 ,.....

Jadi, U n 

Pembilang

Bilangan kiri : 1 ,  1 , 1 ,  1 ,.....

U Penyebut n

1  1 g. 1 1 1 1 1   

   1 ,...,   1 Pembilang

Bilangan kanan : 1 , 3 , 9 , 27 ,.....

Penyebut merupakan perkalian antara

0 1 2 n  1 bilangan kiri dan bilangan kanan.

3 , 3 , 3 ,....., 3 Bilangan kiri : 1 , 3 , 5 , 7 ,....., 2 n  1 U n  Bilangan kiri  Bilangan kanan

Bilangan kanan : n 2 , 4 , 8 , 16 ,....., 2

n  1 n   1  

Penyebut   2 n  1   2

n   1  

3 U Pembilang

1 1 1 Jadi, U n 

U Penyebut  2 n  1   2

d.

1 1 Awal : 1  1 , 

2 ,  4 ,  8 h. 1 , 1 , 2 1 4 , 8 1 16 ,.....

1 1 Tingkat 1 : 1 

2  2  2 U Pembilang  1

Pendekataan 1 n  r  1 1 !  1  n

Penyebut

2 2 U Pembilang 1  n Awal :

2  4  8 U Penyebut 2

 2 : 2 4 8 16 i. , , ,  ,..... 8 27 64 125

1 1 1 1 1 1 1 Pendekatan 1

 2  2  2  2 U Pembilang  1

(stop)

Penyebut n   1 

U n   2 . Pendekatan 1

2  2 U n 

U Pembilang

U Penyebut  n  1 

U kanan dalam akar n 2   2  2 

j. 1 2 , 1 , 2 1 2 3 , 2 1 2 4 ,.....

Bilangan di luar akar : 1 , 2 1 2 , 1 2 1 , 2 ,.....

 1 U n  U kiri  U Bilangan kanan di luar akar 2  2 n  3  2 n

Bilangan di dalam akar : 1 , 2 , 3 , 4 ,.....

U Bilangan di dalam akar  n

5. a. U n  an  b

U n  Bilangan di luar akar  akan ditunjukkan : U n 1  U n   a Bilangan di dalam akar

U n  1  U n   a  n  1   b   an  b 

  an  a  b   an  b 

4. a. 3 , 4 5 , 6

7 n ,..... b.  Jika 1 U

n  ar

Bilangan di luar atas tanda akar : U n 

akan ditunjukkan : 1 U n

 ar n  1  n  1 Bilangan di dalam tanda akar :

U n  1 ar

ar

ar

3 n , 5 , 7 , 9 ,.....   2   n  1   2   1 r  r  2  2  2

2 U n n  2 n 1

b. 2  3 , 3  2 , 3  6 ,.....

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

atau 3  2 , 3  2 , 3  6 ,.....

1. a. U n n 3 1

Bilangan kiri : 3 , 3 , 3 , 3 ,.....

U kiri  3 U

Bilangan kanan : 2 ,  2 , 6 ,  10 U 3  3 . 3  1  8

U kanan   4 n   2    4 

U  3 . 4  1  11

U 5  3 . 5  1  14   4 n 6

U n  U kiri  U Jadi, lima suku pertamanya adalah

kanan

b. U n  194 maka n  ?  3  6  4 n

Bilangan kiri : 5 , 7 , 9 , 11 ,.....

Bilangan di dalam akar : n  195  65

3  2  2  2 Jadi, 194 adalah suku ke–65

U kanan dalam akar n 2   5  2 

2. a. 2 U

n n 2  1

n 2 3 2 U kiri  2 n  3 U 1  2 . 1  1  1

Bilangan di dalam akar : 2 U

Jadi, lima suku pertamanya adalah :

b. U n  199

Bilangan kiri : 1 , 2 , 4 , 8 ,.....

2 n  200 Bilangan kiri awal : 1 2 4 8

(stop) n  100  10 U kiri  1 2 . Pendekatan 1

Jadi, 199 adalah suku ke–10

3. a. n  1 U n n  1

1  1  1  0 Bilangan kanan : 2 , 2 , 2 ,..... U 3

2  2  1  7 U kanan  2

3  3  1  26 Jadi, U n  U kiri  U kanan

U 4  4  1  63  2 . 2

3 U c.  5  1  124 7 , 9 , 13 , 19 , .....

5 Jadi, lima suku pertamanya adalah :

Pendekatan 1  n  n

 n : 1 4 9 16

n 2  1 . 728 Pendekatan 1

n  12  Hasil Operasi 1 : 6 5 4 3 Jadi, 1 . 727 adalah suku ke–12

Tingkat 1 :

4. a. 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , .....  1 1

n   n Awal :

Pendekatan 2 

Tingkat 1 :  3  5  7  9 Langkah 2 Hasil Operasi 1 :

6 5 4 Tingkat 2 : 3  2  2  2

2 2 2 Pendekatan 1 2   n :  1  2  3  4 

Pendekatan 1  n  n 7 7 7 7

Pendekatan 1  n : 1 4 9 16

2 U n  Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +

Pendekatan 3 Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 2  1 2 2 d. 4 2 2 2 2

U n  Pendekatan  1 Pendekatan 2 2 2 2 2 2 2 4

2 , 2 , 2 , 2 n ,.....  2 , 2 , 2 , 2 n ,..... 

b. Pola : X n 

Bilangan kiri : 3 , 3 , 3 ,.....

6  , X 7  , X 8  , X  1 9 1 , X 10  6 7 8 9 10

kiri

Bilangan kanan :  5 , 5 ,  5 ,.....

X 10 X  1  8 1

n  kiri  U kanan

 n 3   

6. 1 , n  1 & n  2

f. ,

n  1 , n  3 Pembilang  1

Bilangan Penyebut : a. Ditanya F 20  ? & F 30  ?

U Penyebut  n  1  n

144 22 17.711 U Pembilang

1 3 2 13 233 23 28.657 U n   U Penyebut

1  X n  1 Jadi, F 20  6 . 765 & F 30  832 . 040

a.

b. akan ditunjukkan : n

X 1 1 1 1 1 F 100  F 101  F 102  2 

F 100  F 101 

 2  F 100  F 101 

1  1 2 7. a. 2 , 4 ,  1 , 2 1 2 ,.....

8. a. U 1  1

U 5   5  1  U 5  1  4 . U 4  4 . 6  24  2 

U 6   6  1  U  5 . U  5 . 24  120

Maka, Enam suku pertamannya adalah :

1 , n  1 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , 120

U b. n 

c.

3 n , 6 , 9 , 9 , 0 ,.....  1 , n  3

U  3  1  U 2  2  6  3   3 U 2  U 1  3   2

9  6   3 U 3  U 2 

 U 5  2 U 3 2 Maka,

  9  9   3 U 4  U 3 

6 , n  2 U 6  2 U 4 1 n 2 Jadi, enam suku pertamanya adalah :

c. 0 , n  1 U 1  2

d. 2 , 18 , 6 , 6 3 ,.....

U 2  18 U n  2 1 , n  2

U 3  6  36 U

 2  18  U  U

4  6 3  108 U 3  2  2  2  2 U 4  1 U 3  2 18  6  U

5  0  3 . 0 U 5  2  2  2  16

U 6  2  2  2  65 . 536 Maka,

U 6  1 U 5  16 

9  9   3 U 4  U 3 

Jadi, enam suku pertamanya adalah :

2 , n  1 0 , 1 , 2 , 4 , 16 , 65 . 536 U n 

18 , n  2

U n  2  U n  1 , n  3 C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a. 1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 ,.....

Pendekatan 1  3 n

Awal :

3 Pendakatan 1 

3 n : 3 6 9 12

Pendekatan 2   6

U n n 3 6

 Barisan pangkat bilangan kedua :

U n  1 . n  2  n  1   3 n  2   ... 

3 n 6 Maka formula ke– n n  2 . 3

 n  2  . 3  n  1   n . 1 d. 3 , 4

Barisan tingkat 4

Pendekatan 1  n 

4  1 . 259 . 712 3  2 . 3 3 n 4 1 4 27 Pendakatan 1 64

6 Awal : 9 5 15 35 70 U

Barisan menjadi :

Hasil Operasi 1 :

12 3 4 3 Barisan pangkat dari 2 mulai suku ke–2

12 2 35 Pendekatan 2 2  n  n Barisan pangkat dari 3 mulai suku ke–2

Hasil Operasi 1 :

35 2 1 4 27 64 Pendekatan 1 n 5  1 Pendakatan 2  

12 n : 12 3 4 3 

2 2 2 2 Awal :  1 4 9 14

Pendekatan 3  2 5 n 

U n  5  n  1   6  5 n  11

c. 3 8 , 9 , 216 , 5 . 184 ,.....

Barisan pangkat bilangan pertama :

 1  5  1  5 2. 1 U

  25 C 0 . 1 .  5  25 C 1 . 1  5    

Suku genap : 2 3 , 2 3 , 1 2 3 ,.....

25 C  0  2 . 1 .  5  ...  25 C 25 . 1  5  

Maka U n 

 25 0  5  25 C 1 . 1

  25 C 2 . 1 .  5  ...  25 C 25 . 1  5  

3 , n  1 , 3 , 5 , 7 ,.....

25 C 1 . 5  2 25 C 3  5  ... 

 2 . 25 C 23  5

 2 . 25 C 25  5 2

23 25 3 , n  2 , 4 , 6 , 8 ,.....

2 25 5 c. 1 , 2 , 2

 Untuk suku ganjil merupakan perkalian

3 dengan suku sebelumnya.

 1 24  25 C 1  25 C 3  ...  25 C 23  25 C 25 

 Untuk suku genap merupkan perkalian

antara  3 dengan suku sebelumnya

Jadi,

3. a.

1 , n  1 Barisan bilangan tersebut merupakan

2 , n  2 perkalian dari dua buah barisan bilangan

Barisan sebelah kiri :

3 U n  1 , n  3 , 5 , 7 ,.....

 3 U n  1 , n  4 , 6 , 8 ,.....  2  2  2

d. 0 , 1 2 2 ,  1 ,  1 2 , 0 ,.....

U kiri   n       

  1 n 1

Jadi,

2 Barisan sebelah kanan :

2 , n  2 , 5 , 8 ,.....

2 U kanan  2

 2  U n  1 , n  3 , 6 , 9 ,..... Jadi, U n  U kiri  U kanan

2  U n  1 , n  4 , 7 , 10 ,.....

b. 1 1

1 A  m . n  A  m  1 , 1  ; m  0 & n   0

Suku ganjil : 1 , 1 , 3

Ditanya : A  2 , 3 ?

Jadi, empat suku pertamanya adalah :

 A  0 , 1  0  1  1 ; m  0 1 , 3 , 17 , 2 577 12 408

 A  1 , 0 A  1  1 , 1 

A  0 , 1 1

 Latihan Kompetensi Siswa 2

A  1 , 1  A  1  1 , A  1 , 1  1  

 A  0A ,  1 , 0 

A  0 , 1  1 1. D. 2

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

 A  2 , 0 A 2  1 , 1 

Jumlah n suku pertama  f n  f n  1

 A  1 , 1  1 ; m  0 & n  0 dengan 2 f n  n  n

 A  2 , 1  A  2  1 , A  2 , 1  1  

U n  Jumlah n suku pertama –

 A  1A ,  2 , 0 

Jumlah  n  1  suku pertama

A  1 , 1 1   f

n  f n  1   f n  1  f n  2 

 A  2 , 2  A  2  1 , A  2 , 2  1  

 A  1A ,  2 , 1 

A  1 , 1 1

 A  2 , 3  A  2  1 , A  2 , 3  1  

 A  1A ,  2 , 2 

A  1 , 1 1

Jadi, A  2 , 3  1 1

2. E.  x  z 

x , y , z membentuk deret aritmetika maka

A ; n  1 y  akan sama dengan x z  y

a n  1 

Jika, A  2 , tuliskan 4 suku pertamanya

a 1 A   1 3. E.  25

2 2 Barisan 500 , 465 , 430 , 395 ,.....

a 2   a 2  1 

a 

 a 

2 2 a 

1 Suku negatif, berarti

Dari barisan diketahui :

1 2  1 3 a  500

2  1  2 2 b  465  500   35

a 

 500   n  1   35 

 500  35 n  35

 535  35 n

 2 2  2 6 12 U n  0

A  1  17 2 

535 n 35  0

a 4   a 3   

a 3  2  12 12 

 17 n 35   535

10 n  n  1 

n  15 

Ambil bilangan bulat terkecil yang lebih

besar dari 15 yaitu 16 2

Maka suku negatif pertama adalah :

U 16  535  35  16 2 2

6. C. 22   25 Deret aritmetika :

U 6  24 . 000  a b 5 24 . 000

 Barisan bilangan bulat positif :

4. D.

a  9 b  18 . 000

U 10  18 . 000 

 4 b  6 . 000

b  Barisan dari jumlah bilangan bulat positif :

a b 5 24 . 000 Merupakan barisan tingkat 2

a  5   1 . 500   24 . 000

Awal :

a  7 . 500  24 . 000 Tingkat 1 :  2  3  4  5 a  24 . 000  7 . 500

Tingkat 2:  1  1  1 a  31 . 500

Pendekatan 1  n  n

2  31 . 500   n  1   1 . 500 

Awal :

1 3 6 10  33 . 000  1 . 500 n

 2 2 2 2 8 Jika, U n  0 maka n  ?

1 Pendekatan 1 2 n : 1 9

1 2 3 2 2 U n  0  1  1  2 1 2 2 33 . 000  1 . 500 n  0

Hasil Operasi 1 :

 1 . 500 n   33 . 000

Pendekatan 2  n      n  33 . 000

1 3  1 . Hasil Operasi 1 : 500

Pendekatan 2  2 n : 1 2 1 3 2 2

n  22

0 0 0 0 7. D. 10

Jika a  5 , U n  23 dan U 8 U 3  10 Maka U n  Pendekatan 1 + Pendekatan 2

(stop)

Ditanya : n  ?

1 2 1 U 8 U 3  10  n  n

2 2  a  7 b   a  2 b   10

5 b  10

b  10  2 Jadi, jumlah n bilangan bulat positif

pertama adalah

2  5   n  1  2  32 n

1 1  2 U n  23

5. E. n  n

3 n 2  23

2 2 Sama seperti pada no. 4

2 n  23  3

Jumlah n bilangan bulat posistif pertama

Diketahui : a  b  c  75 …..(ii) 2 n 20 n  20  10

2 Eliminasi (i) dan (ii)

8. B. 16

a  b  c  75

Tiga bilangan membentuk barisan

 3 b   75

aritmetika, misalkan bilangan tersebut x , y , z

Diketahui : x  y  z  36 dan

b  25 x . y . z  1 . 536

Masukkan b  25 ke (i) Ditanya : Bilangan terbesar ?

Karena x , y , z membentuk barisan

a  2  25  c  0

aritmetika, maka : y  x  z  y

a c  50

x  2 y  z  0 …..(i)

c  50  a …..(iii)

x  y  z  36 …..(ii)

Diketahui :

c a  700

Eliminasi (i) & (ii)

x  2 y  z  0  50  a   a  700 masukkan

x  y  y  36 Persamaan (iii)

3 y   36 2 . 500  100 a  a  a  700  100 a   1 . 800  36 y 

a  18  3 Masukkan a  18 ke persamaan (iii)

y  12 c  50  a

Masukkan y  12 ke persamaan (ii)

c  50  18 x  y  z  36 c  32

x  12  z  36 Jadi, barisan tiga bilangan tersebut adalah

x z  4 18 , 25 , 32

z  24  x …..(iii) x . y . z  1 . 536 …..(iv)

10. B. 12

3 a , 8  a , 4 membentuk barisan aritmetika Masukkan y  12 & persamaan (iii) ke (iv)

x . 12 .  24 x   1 . 536

Diketahui : a  ?

 8  a   3 a  4   8  a  x  24 x   128

8  a  3 a  4  8  a  x  24 x  128  0

8  2 a   4  a x  24 x  128  0 a a 2   4  8

 x  16  x  8   0 a   12

 24  16  24  8 Sudut–sudut segilima membentuk deret  8  16 aritmetika, misalkan X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 Barisan aritmetikanya adalah :

dengan  X

1  66 (sudut terkecil)

16 , 12 , 8 atau 8 , 12 , 16

Ditanya : sudut terbesar  X 5  ?

Jadi, bilanagan terbesarnya adalah 16 Jumlah sudut pada bangun segilima adalah

9. E. 18 , 25 , 32 450 Sudut–sudutnya adalah

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika

tersebut a , b , c X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5

maka b  a  c  b

a  2 b  c  0 …..(i) a  2 b  c  0 …..(i)

a b 2 9

66  3 b , 66  4 b

a  9 6

Jumlah seluruhnya

 66 ,  66  b   66  2 b  

 66  3 b   66  4 b 

b   21 U

1  U 3  U 5  U 7  U 9  U 11  72

Maka sudut terbesar  X

5  66  4 b Ditanya : U 1  U 6  U 11  ?

  66  4 . 21 U

1  U 3  U 5  U 7  U 9  U 11  72

a   a  2 b   a  4 b   a  6 b  

 a  8 b   a  10 b   72

6 a b 30  72

12. B. 25

6  a b 5   72

Barisan aritmetika 84 , 80 1 2 ,.....

a b 5 12 …..(i)

a  84 , b  80  84 U 1  U 6  U 11  a   a  5 b   a  10 b 

2  3 a 15 b  1 

3  3 a 5 b n [masukkan (i)]

U  36

n  84   n  1    3 

1 15. C. 1 39

U n  87  3 n Banyak bilangan asli antara 100 dan 300

2 2 Yang habis dibagi 5 ? Jadi, U n  0 maka n  ? Barisan bilangannya adalah U n  0 105 , 110 , 115 ,....., 295

87  3 n  0

1 1 Merupakan barisan aritmetika dengan

2 2 a  105 dan b  110

1 1 U n  105   n  1  5

 3 n   87

2 2  100  5 n

n  25 Jika, U n  295 maka n  ?

U n  295

13. C. 3 n

100 n 5  295

Barisan aritmetika

5 n 195

n  39

U 5 U 7  6 Ditanya : U n  ?

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

b   13    17    13  17  4

b.

b  3 b  11  8  3 b  3 b  11  8  3

d. a  3 , b   3 , n  8

b  7  10   3 U n  a   n  1  b

d. 51 , 44 , 37 ,.....

U 8   3   8  1    3

b  44  51   7

e. 3 , 3 4 , 3 2 ,.....

1 1 e. a  7 , b  , n  22

f.  5 ,  3 2 ,  2 ,.....

1 1 1 U 22  7   22  1 

b   3    5   3  5  1 3

g.  2 , 5 , 12 ,.....  7  21  14

b  5    2  5  2  7 f. a  100 , b   1 , n  50

h. 3 ,  2 ,  7 ,.....

U  100   50  1    1

b  4  2 , 6  1 , 4  100  49   1  51

U 31   10   31  1 

h. a  0 , b   0 , 5 , n  101

 3. a.   2  17 ,  13 ,  9 ,.....

3  2 a   17 , b  4

2. a. a  1 , b  2 , n  11

U 12   17   12  1  4 U n  1   n  1  b

U 11  1   11  1  2 b. 8 , 11 , 14 ,.....  1  10 . 2  21 a b 8 ,  3

b. a  3 , b  2 , n  14

U 12  8   21  1  3

U 14  3   11  1  3

U 17   2   17  1  5 U

a b 3   12

a   5 , b  4 a  3  2   12 U n  a   n  1  b a   12  6

U 20   5   20  1   4

Jadi, a   6 dan b   2  71

e. 51 , 44 , 37 ,.....

5. Barisan aritmetika :

a  51 , b   7 2 n  1 , 3  n  1  , 3 n  2  ,.....

U n  a   n  1  b Ditanya n  ? U 17  51   17  1    7 Karena merupakan barisan aritmetika, maka

  61 U 2  U 1  U 3  U 2

3  n  1   2 n  1   3 n  2    3 n  1  

f.  5 , 3 1 2 , 12 ,.....

a b  , 8 n  2 3

Jadi, n  1

U 99   5   99  1  8

2 6. jadi suku pertama dari barisan aritmetika   5 833

yaitu : a  b , a , a  b

Diketahui :  a  b   a   a  b   21

3 a 21

4. a. U 10  21 dan U 5  11

U 10  21  a b 9 21 Diketahui :

U 15 11  a  4 b  11  a  b   a   a  b   197

Jadi, a  3 dan b  2

b  25

b.

U 8   17 dan U 3  13

Jika b  5 maka barisannya U 8  17   a b 7   17 2 , 7 , 12 (menaik)

U 3 13  a  2 b  13

Jika b   5 maka barisannya

5 b   30 12 , 7 , 2 (menurun)

b   6 Hasil kali ketiga suku pertama tersebut

a b 7   17  2  7  12  168

a  7   6   17

a   17  42

7. Diketahui barisan aritmetika dengan

a  2 , n  50 , U 12  U 7  30

a  25

Jadi, a  25 dan b   6 Ditanya : b  ?

c. U 4   12 dan U 12   28 U 12 U 7  30 U 4  12   a b   12  a  11 b   a  6 b   30

U 12  28   a  11 b   28 5 b 30

 8 b  16

Jadi, b  6

3 n 33

n  11

8. a. Bilangan antara 1 . 000 dan 1 . 600 yang

Banyak suku  11

habis dibagi 3 antara lain

c. 12 , 15 , 18 ,....., 36

Merupakan barisan aritmetika dengan

36  12   n  1  3

Jika, U n  1 . 599 maka

1 . 599  1 . 002   n  1  3 Banyak suku  9

3 d.  n  1   597

a  2 x , a  2 x ,....., a  38 x

n  1 199

a  38 x   a 

2 x   n  1   a  2 x   a  2 x  

n  200

a  38 x   a  2 x   n  1   4 x 

Banyak bilangan bulat positif antara

1 . 000 dan 1 . 600 yang habis dibagi 3 a  38 x  a  2 x  4 xn  4 x sebanyak 200 buah

4 xn  a  2 x  4 x  a  38 x

b. Bilangan antara 0 dan 150 yang habis

4 xn  44 x

dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi 5,

n  44 x

adalah bilangan kelipatan x 3 yang bukan 4

n  11

kelipatan 15

Banyak suku  11

Bilangan keliptan 3: 3 , 6 , 9 , ....., 147

U n 1  1   n 1  1  b 10. tiga suku pertama barisan aritmetika

147  3   n 1  1  3 a  b , a , a  b

Dengan jumlah tiga suku pertama  6

3 n 1  147

n 1  49 3 a 6

Bilangan keliptan 15 : 15 , 30 ,....., 135

U n 2  a   n 2  1  b Jumlah kubik tiga suku pertama  197

135  15   n 1 15

 a  b   a   a  b   197

15 n 2  135

2  b   2   2  b   197

Banyak bilangan antara 0 dan 150 yang

 2  3 . 2 b  3 . 2 b  b   197

habis dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi

2 5 adalah 2 8  6 b  8  8  6 b  197  2 n

12 b  24  197  2 49  9  40 buah 12 b  173

55  5   n  1  5

55  5 n Maka tiga suku pertamanya n  11

a  b , a , a  b adalah Banyak suku  11

b. 4 , 1 ,  2 ,.....,  26 2 

U n  a   n  1  b  26  4   n  1    3

 26  7  3 n

13. Untuk setiap barisan aritmetika

Eliminasi (i) ke (ii)

a. akan ditunjukkan

2  a  bn  b 

 a   a  b   a  2 b   a  3 b   a  4 b 

 5 a 10 b

b. akan ditunjukkan

 5 . 2 10 . 1 U p  U q  U r  3 a   p  q  r  3  b  10  10  20

Bukti U p  U q  U r

13. a ,c b , , merupakan suku-suku barisan

aritmetika , maka

c. akan ditunjukkan

2 2 2 2  a c 

a  b  c  a     c Bukti

U 3 n  U n   a   3 n  1  b    a   n  1  b 2  2 2 a ac c 2

 a     c  a  3 nb  b  a  nb  b 4 2 4

 2 a  4 nb  2 b 5

 2  a  2 nb  b 

2 2 ac 5 2

 5 ac 5 2 c n  a  2  

14. Panjang sisi sebuah trapezium membentuk Diketahui :

12. a n  suku ke- n dari barisan aritmetika

barisan aritmetika.

a 1  a 2  a 3  9  0 dan

a 3  a 4  a 5  15

Ditanya : a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  ?

a   a  b   a  2 b   9  0 184 2

3 a b 3  9  0 Diketahui : L 

cm , a 1  10 cm ,

3 a b 3  9 16

3  a b   9 t  cm

a b  3 …..(i)

a 3  a 4  a 5  15 L 

a  2 b   a  3 b   a  4 b   15 184  a

3 3 a b 9  15 

3  a b 3   15

a b 3 5 …..(ii) a b 3 5 …..(ii)

2 a 1 b 3  

6 3 b ac 2

 2 . 10 b 3  

a 1  10

a 2  a 1  b  10  1  11 b ac

a 3  a 1  2 b  10  2 . 1  12 b  a  c   2 ac

a 4  a 1  3 b  10  3 . 1  13 b ac 2 Keliling  10  1  12  13 a  c

 46 cm

2. Jika, a , b , c merupakan tiga suku pertama

15. a. U 10 U 20  70 deret aritmetika

berarti U 2  U 1  U 3  U  2

a  9 b   a  19 b   70

b  a  c  b b 10  70

b. U 15 U 7   1

a  14 b   a  6 b    1

8 b   1 a. akan dibuktikan bahwa , ,

bc ca  ab

merupakan barisan aritmetika, berarti

8 akan dibuktikan bahwa barisan tersebut

memenuhi b 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. Tiga suku pertama barisan aritmetika

1 1 1 1 1 1 1 adalah , ,

a b c ca bc ab ca

a. akan dibuktikan

bc b. b  c akan dibuktikan barisan b  c , c  a , 

ab a  b a  b juga merupakan barisan aritmetika

a a  b  c  a   b  c   a  b   c  a 

c b  c  b  b   a  c 2 b   a  c

 a  c 2. D. 24

b   2 Panjang sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika.

Sisi miring  40

3 Sisi siku-siku terpendek   40  24

3. Jika, a , b , c barisan aritmetika akan

2 dibuktikan 2 

a  c   4  b  ac 

3. B. 32 cm

Bukti Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku Jika a , b , c barisan aritmetika maka

membentuk barisan aritmetika, yaitu

c  b  b  a misalkan 3 k , 4 k , 5 k

2 b  a  c Jika sisi siku-siku terpendek  24 cm

2 2 2 kuadratkan

4 b  a  c  2 ac

2 2 2 Sisi siku-siku yang lain   24  32 cm

4 b  a  c  2 ac  4 ac

2 2 4 2 b 4 ac  a  c  2 ac

 b  ac    a  c 

2 2 4 4. B.

20 cm Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku

membentuk barisan aritmetika, yaitu

4. a.

a  c  2 b 0

misalkan 3 k , 4 k , 5 k .

1 1 1 Jika , , adalah barisan aritmetika

Sisi siku-siku terpanjang  16 cm

a b c Akan dibuktikan :

ln  a  c   ln  a  2 b  c   ln  a 2  2 ac  c 2 

Sisi miring 

Jika , , barisan aritmetika maka

a b c x bx  8  0 punya akar x 1 dan x 2

1 1 2 a  c 2 2 ac Dengan x 1  x 2 dan x 1  0 dan x 2  0   

a c b ac b a  c Jika x 1 , x 2 , 3 x 1 membentuk barisan

ln  a  c   ln a  2 b  c   ln   a  c  a  c  2 b  

aritmetika

 ln   a  c   a  c  2 

 2 ac   

Ditanya : b  ?

x 1 , x 2 , 3 x 1 membentuk barisan aritmetika,

ac 

 ln 

 a  c  

maka

 ln a 2  c 2  2 ac  4 ac 2 x   x  2 4 1

 ln a 2  c  2  2 ac 

x 2  2x 1 …..(i)

Persamaan kuadrat x bx  8  0 Terbukti

 2 ln

2  2 ac  c 2

x 1  2 x 1  8 (masukkan persamaan (i))

Latihan Kompetensi Siswa 3

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. E. 68 Masukkan x 1  2 ke persamaan (i)

x 2  2x 1

Suku tengah U t 

 68 x 2  4

Jika, x 1  x 2   b Masukkan a  p  q  1 dan b   1 ke

2 4   b Up p  q  a   p  q  1  b

b  6

  p  q  1   P  q  1    1

b   6   p  q  1   p  q  1   0

6. D. 4

8. A. 5 atau 20

Bilangan antara 12 dan 18 disisipkan x Akar persamaan kuadrat

bilangan sehingga terbentuk barisan

x   k  10  x  k  0 adalah  dan 

aritmetika dengan beda y dengan

log  , log  60     , log  membentuk barisan

jumlah

Ditanya : x y  ?

aritmetika Ditanya : k  ?

1 b 18  12

Karena log  , log      , log 

6 membentuk barisan aritmetika, maka y 

log       log   log   log     

…..(i)

Barisannya : 12 , 12  y , 12  2 y ,....., 12  xy , 18 log

 log

   Jumlah barisan  60          

12   12 y  ...  12 xy   18 60 

 12  18   12 x  . y  60  2       

30   12 x  3 x   60  2      2   3   0

15 x  60  30  2   5   0 …..(i)

6 6 Persamaan kuadarat x   k  10  x  k  0

    k  10

masukkan ke persamaan (i)  6 2

  k

k  10   5 k  0 x y  2  2  4 k 2  20 k  100  5 k  0

k 2 k 25  100  0

7. D. 0 

k  20  k  5   0

p  1   q  1   b  q  p

Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku

 membentuk barisan aritmetika, misalkan sisi-

sisinya 3 k , 4 k , 5 k q  p

Diketahui : keliling 72

Ditanya : luas = ?

Keliling  72

3 k  4 k  5 k  72   1 k 12  72

a   p  1    1  q

Maka panjang sisi siku-sikunya adalah

3 k  3  6  18 dan 4 k  4  6  24

Luas 

10. D. 36

12. D. 14 . 400

Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku Tiga bilangan a  b , a , a  b membentuk membentuk barisan aritmetika, misalkan

barisan aritmetika

 a  b   a   a  b   75

3 a 75 Ditanya : keliling = ?

Diketahui : Luas 2  54 cm

a  25 Luas  54

a  b   a  b   700

 a  2 ab  b   a  2 ab  b   700

k  9 3  a  b  . a a  b   25  7  . 25 25  7 

Panjang sisi-sisinya  18 . 25 . 32

13. C. 226 Kelompok bilangan genap positif :

Keliling  9  12  15  36 cm

11. D. a  0 , b  0

2 Kelompok 1 dengan 1 anggota,….., Persamaan kuadrat x  ax  b  0 Kelompok 4 dengan 4 anggota

memiliki akar-akar x 1 dan x 2 Suku-suku awal kelompok jika x , x  x , x merupakan barisan

2 , 4 , 8 , 14 membentuk barisan

aritmetika, maka  2  4  6 tingkat 2

1   x 2 Pendekatan 1  n  n

x 1 x 2  0 …..(i)

2 4 8 14 Karena x 1 dan x 2 adalah akar persamaan

Awal :

 n : 1 4 9 16

Pendekatan 1 2

kuadrat maka x 1  x 2   a …..(ii)

1 0  1  1 Eliminasi (i) dan (ii)

Hasil Operasi 1 :

x x  0  1  1  1 1 2

x 1  x 2   a Pendekataan 2 

Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 1  n :  1  2  3  4

Karena persamaan kuadrat punya 2 akar

 yang berlainan (dilihat dari x 1 x 2  0 2 2 2 2

maka x 1   x 2 ), jadi

Pendekatan 3  2 Suku awal kelompok ke- n

b 4 ac  0

= Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +

Pendekatan 3

0 b 4  0 Suku awal kelompok ke- 15 b 4 0  2 15  15  2  212

b  0  maka b  0 Suku akhir kelompok ke- 15

Sehingga, a  0 dan b  0  212  14 b  212  14 . 2

Suku tengah kelompok ke- 15 B. Evaluasi pemahaman dan Penguasaan

Materi.

1. a. sisipkan tujuh bilangan antara 13 dan 15

U 2  8 , U 4  14 , U n  23 4

Ditanya : n  ?

15 b. sisipkan sembilan bilangan antara

–15 dan –5

3  n  2   15 b ' 

9  1 10 n  2 5

a   15

  a  2 b   a  4 b   a  6 b   a  8 b 

15. B. 20

1  U 2  U 3  24 dan U 3 U 1  10  4 a 20 b

Ditanya : U 4  ?

U 1  U 2  U 3  24

a   a  b   a  2 b  24 2. 5 , 8 , 11 , 14 ,.....

3 a b 3  24 Diantara dua bilangan disisipkan 7 bilangan

3  a b   24 8  5 3

a b  8 7  1 8

b 8  a …..(i)

U 100  a   100  1  b '

8  a   a  10 40  297  337 

a  16  2 a  0 8 8

 a  3  a  2   0

a 3.   3 atau a  2 a  5 , U n  23 U 8 U 3  10

b 8  a Ditanya :  8  2  6 a. n  ?

Tidak mungkin, karena barisan adalah

8 U 3  10 U 4  a  3 b  a  7 b   a  2 b   10

bilangan positif

 2 3 . 6 5 b 10  2  18  20

U n  23

a   n  1  b 23

5 n   1  2  23

ambil a  7

2  n  1   18 Persamaan (i) : b  16  2 a

b. U  ?

U 2 a  7

a  U n Ut 

5  23 U 4  a  2 b  11

2  U 2  U 4   U 1  U 3   7  11   5  11 

4. Barisan aritmetika 7 , 11 , 15 , 19 ,.....

disisipkan dua suku

6. b  6 , U 2   2 , k  2

2  1 3 a b   2

 Beda yang baru 

 U 20  a  19 b '

3 3 U 10  a  9 b '

 U 30  a  29 b '

4 U 25  a  24 b '

7. Lima bilangan membentuk barisan

3 3 aritmetika yaitu :

5. Empat bilangan a  b , a , a  b , a  2 b

Jumlah lima bilangan  75 membentuk barisan aritmetika

 a  2 b   a  b   a   a  b   a  2 b   75

 a  b   a   a  b   a  2 b   32

2  2 a b   32 Bilangan terkecil  Bilangan terbesar  161

2 a b  16  a  2 b   a  2 b   161

b  16  2 a …..(i)

2 a 2 b 4  161

  a  b  2  a 2  a  b  2    a  2 b  2  276

15 b 4  161

16  2 a    a 2  a   16  2 a  2  

225 2 b 4  161

2  16  2 a    276

b 2 4   64

3 a  16   a    a  16  

b  16

a

b  16

9 a 2  192 a  1024  276

320 a  1536  276  0 Ditanya :  a  2 b   a  2 b   ?

20 a 2

20 2 a 2  320 a  1260  0  a 

2 b   a  b 2 2 2 2   15  2 . 4   15  2 . 4 

2 : a 20 

16 a  63  0  2 23  2 7

 a a 9   7   0  529  49  480

a  9 atau a  7 ,

8. Persamaan suku banyak

9  54 b '  155  15 b '

3 x 2  12 x  39 x  28  0 b 69  ' 146

akar-akarnya membentuk barisan aritmetika,

misalkan akar-akarnya    ,  ,   

b '

3 Persamaan 2 x  12 x  39 x  28  0 Persamaan (i) b ' m  30  b '

a  1 , b   12 , c  39 , d   28 30  b '

 x     10. Jika 1 , log x , log y ,  15 log z

1 membentuk barisan aritmetika, tentukan

3 4 2  4   28 hubungan x , y , z  ?

 2 4   28  64 U

1  U 3  2U 2

2  36 1  log y  2 log x  

log y y  2 log x  1 …..(i)

log z x  15 log z  2 log y   9 3 Masukkan persamaan (i) maka

 2 log x  1 

Akar-akarnya adalah y 4  3 , 4 , 4  3 yaitu : log x  15 log z  2

log y x  15 log z  4 log x  2 Beda  4  1  3

log x x  4 log x  2  15 log z

9. x Diantara bilangan 1 dan 31 disisipkan m log x  x  y 2 log log  15 log z suku sehingga membentuk barisan

xy

aritmetika, berarti a  1

b x ' m b '  30 Hubungan :  3 log x  2  15 log z

b ' m  30  b ' …..(i) U 7  5

C. Evaluasi kemampuan Analisis

U m  1 9 1.

a , b , c merupakan barisan aritmetika

a. akan dibuktikan bahwa

a   m  2  b ' 9 2 2 a 2  b  c  , b c  a  , c a  b 

1 1  6 b 5 Juga merupakan barisan aritmetika 

1  mb '  2 b ' 9 Bukti :

5 Jika a , b , c barisan aritmetika 

1   30  b '   2 b ' 9

a  c Maka a  c  2 b atau

 b …..(i)

31  3 b ' 9

Akan ditunjukkan

9  1  6 b '   5 31  3 b ' 

Bukti :

2. 2 2 jika 2 a , b , c adalah barisan aritmetika

a. akan dibuktikan

2 2 2  2 a b  a c  ac  bc 1 1 1

juga barisan

 a b  bc  a c  ac b  c c  a a  b

 a  c  b   a  c  ac

aritmetika

2 Buktikan

   a  c   2 ac  b  2 b . ac 2 2 2

Jika a , b , c adalah barisan aritmetika,  2

  2 b  2 ac  b  2 abc

 3 4 b  2 abc  2 abc

maka a  c  2b atau b 

 2  a  c  . b atau b 

b. akan dibuktikan

akan dibuktikan :

1 Jadi, akan dibuktikan 1 

Bukti

2  a  c  c a  2  a  c 2   2 a  2 a 2  c 2   c   2 

1 1  2  2  a  c   2 c   2 a  2 a

 2 2  a  c   c a  1 2  a  c  2 2 

2 a 2  a 2  c 2   2 a 2  c 2   4 ac  2 c 2  a 2  c 2 

2 2  a  c   a  c   2  a  c  a  c  

2 a 2  a  c   2 a  c   4 a c  2 c 2  a  c 

2 a 2  a  c   2 c 2  a  c   2  a  c  2 ac 

2 2  a c   a  c   2  a  c  2 a c a  c

b. akan dibuktikan

2 2  a  c   a  c   2  a  c  a  c  

adalah barisan

 aritmetika berarti akan ditunjukkan

Terbukti

a  a  b   c b  c 

b  c  a  b 

231 81 z 

2 a 2  ab  cb  c 69 z

log x 

log x

ab  b  ca  bc 28 27 196

2 a 2  c  ab  cb 69 z

693 z

  ac  bc 28 2 196

2  483 693  z

log x

ab  1 2 a  1 2 1 c  2 . 2 ac  bc 1 . 176 z

log  x

2  a  c  2 ac 

 6 log x  2  3 log x 

ab z  bc 

4. log 2 , log  2  1  , log 2  3

 barisan

a  c   1 a  c  a  c 

2 aritmetika

Ditanya : nilai x   ?

 2  3   2 log  2  1 

log x 2  log

 2  2  3    log  2  1 

log 2

3. Diketahui :

18 21 28  x  y , x  z , y  z  x  y  z 

7 6 14 4 x

  y  x , z  x 14 , z  y 4

Akan dibuktkan

2 x 5 atau 2   1 Merupakan barisan aritmetika

7 27 x

x 2  log 5

Akan ditunjukkan tidak mungkin

 23 y

3 2  3 log x  2 log x Jadi, nilai x yang mungkin adalah log  5

zz

3 3 Diketahui :  b  c  , c  a  , a  b y  4 9

3 z  3 log x  3 log z  3 log x

14 y  4 3 log x  3 log x

barisan aritmetika

9 akan ditunjukkan :

14 y

3 3 log x  3 3 log x

juga barisan aritmetika

2 2 Jika, 2 

b  c  , c  a  , a  b  barisan

46  y log x

aritmetika

7 maka  b  c  2  a  b  2  2  c  a  2

  b  c   a  b   2  2  b  c  a  b   2 c  a  2  2 log  x

 23 y

 a  c  2  2  b  c  a  b   2 c  a  2 ;  a  c   c  a  2 

Akan dibuktikan  2  b  c  a  b   2 a  c  2  a  c  2

23 y 231 x

 3 log x 

log 2 x  log z  3

b  c  a  b   

barisan aritmetika

23 4 3 231 14 9  9 z log x  z log x 14 1 1 Akan dibuktikan 2  

1 1  a  b   b  c  . log x

231 14 z

. log x

4 14 b  c a  b  b  c  a  b 

; (masukkan (i))

2  1   2 n  1    115 a  c

 a  c  a  c 

2  2  2 n  116

2 n 2 116

116 . 2 n  115  2  2 n 

232 n  230  230 n 2 n 230

Latihan Kompetensi Siswa 4

n  115

5. D. 400

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

U 7  13 , U 10  19

1. B. 47 S 2

n  4 n  13 n

Ditanya : S 20  ?

1 // U 7 13  a b 6 13

2 U 10 19  a  9 b  19 

n  8  13   . 8

n 8 17 a b 6 13

U  8 . 8  17 a  6 . 2 8 13

S n n 4  6 S 20   2 . 1   20  1  2 

 6. C. 

n  1  b 29

3. E.

S n  225

2 Ditanya : n  ?

  n  1  b n 2 1

S  225

2  a  U n   225

n 2  n  2  1    225

 2 n  225

4. B. 115

1  3  5  ...   2 n  1  115

S n Pembilang 115 n  225

n  15

S n Penyebut 116

U n  2 . 15  1

S 107 

U 15  2 . 15  1

7. D. n  n  1  log a

log a  log a  log a  ...  log a  ..... ?

10. C. 768

 Bilangan asli antara 1–100 yang habis Deret tersebut merupakan deret aritmetika

dibagi 4

dengan a  log a 4 , 8 , 12 ,....., 96

b 2  log a  log a

a  4 , b  4 , U n  96

 log  log a U n  a   n  1  b

96  4   n  1  4

log a  log a    log a . a 

 Bilangan asli antara 1–100 yang habis

  log a    n  1  log a dibagi 4 dan 6 :

n  n  1  log a a  12 , b  12 , U n  96

8. C. 4 . 860 buah

96  12   n  1  12

U n  80  20 n  a  U 1 n 12  96

S 8   12  96 

S 18   100   80  20 . 18  

2  Jumlah bilangan asli antara 1–100 yang

habis dibagi 4 tetapi tidak habis  dibagi 6

Bilangan bulat antara 250 dan 1000

a  4 , b  2 , S n  180 yang habis di bagi 7 :

Ditanya : n  ?

a  25 , b  7 , U n  994

994  252   n  1  7 180   2 . 4   n  1  2 

7  n  1   994  252

7  n  1   742 180   8  2 n  2   2

n  1  106

180   2 n  6 

n  107

180 2  n  3 n 180 2  n  3 n

  20  2 n  2 

 n  15  n  12   0 2 n   15 atau n  12 n

  2 n  18 

Tidak mungkin

 2 n k  1 

12. C.

14. C. 84

2 n Baruisan aritmetika awal 3 , 18 , 33 , ..... Deret aritmetika disisipkan 4 bilangan n  1 n  2 n  3 

2 k   n 1 

   k  1     

15. B.  35

U 35   11 , S 20  230

k  2  n  1  k  1  

Ditanya : S 10  ?

U 3  11   a b 2   11 …..(i) k

2  n  1   k  1  

S 20  230 

 2 a   20  1  b   230

10  2 a b 19   230

2 a b 19  23 ….(ii) k

 Eliminasi (1) ke (ii) 

a U 1  6 . 1  4  10

a  2 . 3   11

a   11 6

S 10   2 .   17   10  1  . 3 

2  1 3 16. C. 100

S n   2 a   n  b 

12 U 15  20

 a  5 b   ( a  8 b   a  11 b   a  14 b  2  20

4 a b 38  20

  2 . 10   n  1  . 2 

2  2 a b 19   20

2 a b 19  10 (i)

S 20  20  2 a   20  1  b 

 S 8  58

 10  2 a  19 b 

 2 a   8  1  b   58

 10 . 10 (masukkan (i))

4  2 a b 7   58

8 a b 28  58 …..(ii)

17. C. n 20  9 Eliminasi (i) ke (ii)

4 a b 6  17  14 56 a b 84  238

8 a b 28  58  3 24 a  84 b  174 Ditanya : U 2 n  ?

32 a  64

 64 n

n  2 5  2  4  2 n    5  2 n  2 1   4 2 

 20 n  2  8 n    5  4 2  4 n  1   4  2 n 

  20 n 2  8 n   20 n 2  20 n  5  8 n  4 

 n 20  9

20. D. n  x  y 

18. B. 3

S 7  133

2 a   7  1  b   133

2 a  b  x …..(i)

2 U n  U n 1  y

2 a b 6   133  a   n  1  b    a   n  2  b   y

2 a   2 n  3  b  y …..(ii)

7  a b 3   133

a b 3 19 .....(i)

Dari persamaan (i) ke (ii)

S 6  120

2 a   6  1  b   120  4 a   2 n  2  b

3  2 a b 5   120

2 a b 5  40 …..(ii)

S n   2 a   n  1  b  (masukkan (iii))

Eliminasi (i) ke (ii)

a  3   2  19

a  19  6 21. D. 280

a  25 a  4 , U 5  108

U 12  a  11 b

19. B. 2

  4  108   208 cm

 S  17

2 a   4  1  b   17

22. E. nol

2  2 a b 3   17 S n adalah jumlah n suku pertama suatu

4 a b 6  17 …..(i)

deret aritmetika

25. D. 150

Barisan bilangan positif genap 

2 , 4 , 6 , 8 , ....., 2  n

S n  3 S n  2  2 S n  2 S n  1  S n  1 S n 

a  2 , b  2 , S n  306

 U n  3  U n  2  U n  2  U n  1 Ditanya : S n  S n  5  ?

  U n  3  U n  2   U n  2  U n  1 

S n  306

2 . 2 n   1  2   306

23. C. 2 a  b  2 n  1 

 2 n 2   306

S n 2  S

n 2 n  306  0

  S n  2  S n  1   S n  1  S n 

 n  18  n  17   0

 U n  2  U n  1 n   18 atau n  17

  a   n  1  b   a  nb 

Tidak mungkin

S n  S n  5  S 17  S 17  5

 2 a   n  1  n  b  S 17  S 12

U t  25 , b  4 , U 5  21

Ditanya : S n  ?

U 5  21 Materi.

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

a b 4 21 1. a. 2  4  6  ...  U 10

a  5 S 10   2 . 2   10  1  2 

 8    4  0  ...  U 20 U n 2 U t  a a   8 , b   4    8  4

b.

 2 . 25  5 S 20 20   2   8  20  1   4 

U n  a   n  1  b  10   16  76   600

45  5   n  1  4 c. 0  x  2 x  ...  U 11

4  n  1   45  5 a , 0 b  x

S 11   2 . 0   11  1  x 

S 11   5  45 

d. 15  12  9  ...  U 15 1 1  1

S 15   2 . 15   15  1    3 

e. 1

18  14  13  ...  U

a  18 , b  15  18   2 

f. 1  1  3 2 2 3  ... U  21 

S 21   2 .   12  1  

2. a. f  x x 2 3

b  f  2  f 1

g.   1 

 ...  U 6   2 . 2  2   2 . 1  3 

1  2 1  2 S 50   2   1  50  1  2 

1  2 b.

f  x  18  3 x

a  f  1

b  f  2  f 1

1  2 c. f  t t 4  3 

a  f  1

1  2 b  f  2  f 1

S 50   2 . 7   50  1  4 

50 d. a  10 , U n  31 , S n  164

2 Ditanya : b dan n  ?

 t  3 2 t  1 

d.

a  f  1

b  f  2  f 1

S 50   2 . 9   50  1  6 

n  8  U 8  31

a b 7 31

3. a. a  5 , U

56 10 7 18 31  b 

7 b 21

Ditanya : b dan S 18  ?

n  18 570

e. a   4 , b  6 , S

Ditanya : n  ?

n U  56 S n   2 a   n  1  b   18 570 2

a b 17  56 n

 2   4  n  1  6   570

5 b 17  56

b. a   0 , 5 , U 12   33 , 5   8  6 n  6   570

Ditanya : b dan S 12  ?

 6 n  14   570

U   33 , 5

 2 b  b  4 ac

11 b   33 n 1 , 2 

S 12   a  U 12 

c. a  16 , b   2 , n  30 6

Ditanya : U 30 dan S 30  ?

U 30  a  29 b

S 30   16    42  

atau n 2 

6 Tidak mungkin

Maka n  15

4. a  2 , U 5  U 10  200

Ditanya : U 20 dan S 20  ?

U 5 U 10  200

a  4 b  a  9 b   200

2  4 b  2  9 b   200

S n     

4  18 b  8 b  36 b  200  0

36 2 b b 26  196  0 6. a. Bilangan bulat positif antara 200–600

18 2 b b 13  98  0 yang habis dibagi 4

 b  2  18 b  49   0 204 , 208 ,....., 596

49 a  204 , b  4 , U n  596

b  2 atau b  

18 U n  596

a   n  1  b 596

Tidak mungkin, karena barisan adalah bilangan positif

204 n   1  4  596

20 200 n 4  596

S 20   a  U 20 

2 n  396  99

S n   204  596   39 . 600

5. a.  2 

b.  Bilangan bulat positif yang habis dibagi 2    13 

3 antara 1.000–1.600

a  1 . 002 , b  3 , U n 1 . 599

U n  1 . 599

a   n  1  b 1 . 599

1 . 002 n   1  3  1 . 599 n   1  

3 3 3 3 n  999  1 . 599 

3 n 600 n 

S n   a  U n   100  2 . 601   260 . 100

c. 13 Bilangan bulat positif antara 200–600  13   19   

600 yang habis dibagi 4 :

b. 1  3  5  ... e 21 e e e Pada jawaban 6. a. didapat S n  39 . 600

a  , b    , U Bilangan bulat positi antara 200–600

e e e e e yang habis dibagi 4 dan 3 :

21 204 , 216 , 228 ,....., 588 U n 

e a  204 , b  12 , U n  588

21 U  588

e 204 n   1  12  588

1 2  21  n  1  

12 n  192  588

e e e n  396  33

2 n  2 S n  n S b n   204  588   13 . 068

b. 2 S

Bukti :

Jumlah bilangan positif antara 200–600

yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis

n dibagi 3 adalah :

2 an  2 n 1  bn 2 an  n  1  bn

d.

Bilangan positif antara 1.000 dan 1.600 yang habis dibagi 3 dan 2

a  1 . 002 , b  6 , U n 1 . 596

c.

n  1 . 596

akan ditunjukkan

1 . 002 n   1  6  1 . 596

 3   2 an   2 n  1  bn   an  bn 

Bilangan positif antara 1.000–1.600 yang

 3  2 an  an   2 n  1   bn 

habis dibagi 2, 3, dan 4 adalah bilangan

a  1 . 008 , b  12 , U m  1 . 596

U  1 . 596

 an  

 bn

1 . 008 n   1  12  1 . 596

12 n  996  1 . 596

n  600  50   2 a   3 n  1  b 

8. U n  m , U m  n , m  n

Ditanya : S n m  ?

Jumlah bilangan positif antara 1.000–

1.600 yang habis dibagi 4 adalah :

U n m 

U m n 

  n  1   m  1   b  m  n

7. a. akan ditunjukkan

b  Bukti :

a   n  1    1  m

  n  1  b  nb

 nb  b  nb

 2  n  m  1   n  m  1    1 

n  2 a  2 an  2 a 

m  2 a  2 am  2 a 

 2  n  m  1   n  m  1  

2 an

2 am m

11. Diketahui : S n  Rp . 8 . 800 . 00 ,  S 2

a  Rp . 250 . 000 , 

9. Diketahui :  2 S m m

b  Rp . 20 . 000 ,  U n

Akan dibuktikan

8 . 800 . 000   2  250 . 000   n  1  20 . 000 

Bukti :

2 8 . 800 . 000   500 . 000  20 . 000 n S  20 . 000 

8 . 800 . 000  240 . 000 n  10 . 000 n

n 2 2  2 a   m  1  b  m 10 . 000  240 . 000 n  8 . 800 . 000  0

n 2 2  n   m   24 n  880  0

 n  44  n   2     2  20 0

n   44 atau n   20

mn

mn

2 ma   n  1  mb  2 na   m  1  nb

Tidak mungkin

ma  nmb  mb  na  mnb  nb

Jadi, hutang akan lunas dalam 20 bulan

2 2 2 ma 2 na  mb  nb

12.  Penurunan kuat arus

2 m 2 n  a  m  n  b

Pengukuran kelima

 U 5  a  4 b  25 %  4   3 % 

a  1 b …..(i)

 2 1 (masukkan (i)) Besar penurunan kuat arus pada

2 b   m  1  b pengukuran kelima

Jadi, beasr kuar arus pada pengukuran 2 2 n   2 m  1 

1 kelima  960  124 , 8  835 , 2 mA 2 2 m  1

13. Tarif 1 km pertama  Rp 6 . 000 , 

2 . 500 ,  Diketahui : b  2 a Tarif km berikutnya  Rp

km

Tarif 15 km  Tarif 1 km pertama +

Akan dibuktikan :

Tarif km berikutnya  14 S n

 Rp 6 . 000 ,    Rp 2 . 500   14

 m  Rp 6 . 000 ,   Rp 35 . 000 , 

 Rp 41 . 000 , 

14. Diketahui : n  20 a 1  b 1 14 

a  15 2 a 2  b 2 29

b  20  15  5

29  a 2  b 1   14  2 a 2  b 2 

Ditanya : S 20  ?

29 a 2  29 b 1  28 a 2  14 b 2

20 S 20 

a 2  14 b 2  29 b 1 …..(i)

 10  30  95   1 . 250 bangku

 Jika n  3

a 1   a 1  b 1   a 1  2 b 1  3 . 3  8

a 2   a 2  b 2   a 2  2 b 2  7 . 3  15

15. Selama delapan tahun, populasi jenis

tumbuhan bertambah dari 75.230 menjadi

3 a 1  3 b 1 17 125.280

3 a 2  3 b 2 36 Penambahan selama 8 tahun  S 8

S  50 .

 36  a 1  b 1   17  a 2  b 

2 . 0   8  1  b   50 . 050

36 a 1  36 b 1  17 a  17 b

4 . 7 b  50 . 050

18 a 2  36 b 1  17 a 2  17 b 2

b 28  50 . 050

a 2  17 b 2  36 b 1 …..(iii)

Masukkan (iii) ke (ii)

28 17 b 2  36 b 1  14 b 2  29 b 1 Jadi, rata–rata pertumbuhan populasi

adalah 1.788 pohon pertahunnya.

b 2  b 1 ….(iv) atau

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

b 1  b 2 …..(v)

1. Terdapat dua jumlah deret S 1 n dan S 2 n

3 n  8 Masukkan (iv) ke (ii)

Jika 

a  14 b  29 b

 Jika 11 n  1    29  b 1  b 1

a 2 7 . 1  15 a 2  b 1 atau b 1  a 2 …..(vi)

a 11 a  1 1   1 

Masukkan (v) ke (ii)

a 2 22 a 2 2 a

2  14 b 2  29 b 1

2 a 1  a 2 atau a 1  a 2 …..(i)

2 a 2  14 b 2  29 b 7 2

 Jika n  2

a 1   a 1  b 1  3 . 2  8    14  b 2  b 2

a 2   a 2  b 2  7 . 2  15

2 a 1  b 1 14 a 2  b 2 atau b 2  a 2 …..(viii) 

Masukkan 2 a 1  a 2 …..(i)

; masukkan (i),

2 a 1  b 1 14 

(vi) dan (vii)

2 a 2  b 2 29

217 b 1  93 b 2 

2 2 11 a 2

a 2  .....(ii)

a     2 7 n 1 11 a 2

1 3  Jika n  a 3

2  2  11  n  1   22

a 2  1  11  n  1   22 

3 a 2  3 b 2 4 . 3  27

11  6  n  1 

3  a 1  b 1  22

22  14  n  1 

3  a 2  b 2  39

11  6 n  6 

39 a 1  39 b 1  22 a  22 b

22  14 n  14

39 a 1  22 a 2  22 b 2  39 b 1 

2. Diketahui : dua deret aritmetika, dengan

 a  22 b  39

jumlah deret masing–masing S

2 2  1 31  S n

1 n dan

7 n  1 dengan 1 

1 . 209 b 1  682 b 2 Ditanya :

…..(iii) U 2 n

 Jika n  1 Masukkan (iii) ke (ii)

b 6 1 . b atau 262

b 1 …..(iv)

a 1  a 2 atau a 2  a …..(i)

31 1 8 Masukkan (iv) ke (ii)

 Jika n  2

2 a 2  b 2 35  733 . 243  582 . 366 

2 a 1  b 1 3    74 3 . 379  

Jadi, 

2 a 2  b 2 7 1 . 315 . 609

b 1 …..(v) Menurut

7  2 a 1  b 1   3 2 a 2  b 2 

14 a 1  7 b 1  6 a 2  3 b 2 Masukkan (iv) ke (ii)

14 a 1  6 a 2  3 b 2  7 b 1 a 2 

 6  a 2  3 b 2  7 b 1   733 . 243  582 . 366   31 

b  2  

b 2 …..(vi)

93 b  217 b 463 . 388

U 2 n a 2   n  2  b 2 Deret aritmetika dengan

31 a  n  1 250 . 046 a 2 k 1 . 315 . 609

a 2   n  1   1 . 315 . 609 a

2 Substitusi persamaan (i)

339 . 512   n  1  250 . 046

 2 kU 1  b   1  4 k  3   

 1 . 315 . 609   n  1   463 . 388 

250 . 046 n  89 . 466

2 kU  b    4 k   2  

 463 . 388 n  852 . 221

 1 2 k  2 kU  b . k  2 k  1  

1   2 1  U 2 k 

Diketahui :  1 ,  2 ,.....  n barisan aritmetika

 a n 1  a n

dengan beda  b akan dibuktikan

 sec  1  sec  2   sec   sec    ... 

4. Diketahui : U , U ,..... U k adalah deret

aritmetika yang bukan nol tan  n  tan 

2 2 2 2 2  sec  n  1  sec   

 sec  1  sec  2   sec  2  sec  3   ... 

2 k  1 Bukti

 sec  n  1  sec  n 

U 2 k  U 1   2 k  1  b  sec  1 . sec   1  b   U 2 k  U 1  sec  1  b  sec  1  2 b   ... 

 b  …..(i)

2 k  1 sec   1   n  2  b   sec   1   n  1  b 

1  U 2  U 3  U 4  ...  U 2 k  1  U 2 k

  U 1  U 2  U 1  U 2   U 3  U 4   ... 

cos  1 cos 2

 U 2 k  1  U 2 k  U 2 k  1  U 2 k    U 1  U 1  b   U 1   U 1  b    ...   U 1   2 k  2  b  U 1   2 k  1  b   U 1  2 k  2  b   U 1   2 k  1  b 

  2 U 1  b     b  2 U 1  5 b    b  ... 

 2 U 1   4 k  3  b    b Latihan Kompetensi Siswa 5

  2 U 1  b   2 U 1  5 b   ...  

 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 

2 1. E. n  1  U n

  2 U 1  b   2 U 1  5 b   ...  

  b  Yang merupakan barisan geometri adalah 

U n  2 . 3 karena bentuk tersebut bisa

  2 U 1  2 U 1  ...  2 U 1   

 diubah ke bentuk 

  b  5 b  ...   4 k  3  b  

n  ar sebagai berikut : n  ar sebagai berikut :

selalu tetap, maka barisan tersebut adalah

 a  barisan aritmetika dengan beda  log

4. E. 2

 a  2  , a  1  , a  7  ,..... adalah barisan

2 Geometri Aritmetika dengan pembanding  log b Ditanya : rasio r  ?

2. D.

2 2 a 2 log a a , log

b , log b 2 ,..... adalah barisan ?

b  U  U 1  log  log a

 log a  log b  log a a  2 a  1

 2  log b 

a  2  a  7   a  1 

 2  log b Jadi, rasio  2

Karena beda antara dua suku selalu tetap maka barisan tersebut adalah barisan

5. C. 18

2 Barisan 6 , x , y , z , 54 adalah barisan aritmetika dengan beda   log b

geometri

xz

Ditanya :

3. E.

aritmetika dengan beda log

a 2 a 3 U a  6

log a , log , log 2 ,....

adalah barisan ?

 ar

U 2  U 1  log  log a 4

b 54  6 r

2  4 log a  log b  log a r  9

4 4  2 log  a log b r  9 3

2 a  a log

b x  U  ar  6 . 3

a a 2 2 U 3  U 2  log 2  log

y  U 3  ar  6  3  18

a a a z  U 4  ar  6  3  18 3

 log .  log

b a b xz 6 3 . 18 3

2 2 Jadi,

a a  a log  log  log

 a log

8. D. 6

2  a , U 3  a , U 7  a Diketahui : l , p , q , r , x adalah geometri

6. D.

27 42 Diketahui : U

Ditanya : k  ?

p : q dan q 

U 7 ar  5  r

U 2 ar

Ditanya : x  ?

42 a  U 1 .a

7  3 3 q 3 q 4  a     jadi r  

2 a U 1  9 q 4 p 4 p 3 5 42  3 a

r a

5 45 U 1 a

2 2 r  a  12

1 U  a   

r   a

 a

 12 9  2 a

7. A. 2  12 18  12  18  6 a a  a  a Diketahui : x , y , z barisan geometri

Maka k  6

Ditanya : x  z

log y

log y

9. B. 405