IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Terdapat dua kasus untuk kurva eliptik dalam field biner
yaitu Supersingular dan Non-Supersingular. Aritmetik baru yang
diperoleh dari kurva eliptik field biner ini merupakan proses adisi yang disebut dengan
hukum grup kurva eliptik. Proses adisi tersebut adalah penjumlahan dengan suatu
titik dengan unsur identitas, penjumlahan suatu titik dengan invers titik tersebut,
penjumlahan dua titik yang berbeda, dan doubling.
Aritmetik yang diperoleh dari penjumlahan tersebut adalah
1. Kurva eliptik
Supersingular a.
Terdapatnya identitas ∞, sehingga ∞
. b.
Adanya invers, ,
. c.
Untuk adisi, ,
, diperoleh
dan dengan
. d.
Untuk doubling, ,
, nilai dan nilai
dengan .
2. Kurva eliptik
Non-Supersingular
a. Terdapatnya identitas ∞, sehingga
∞ .
b. Adanya invers,
, .
c. Untuk adisi,
, ,
nilai dan
dengan .
d. Untuk doubling,
, dimana nilai
dan nilai dengan
. Dari hukum grup ini dapat dibentuk
prosedur dalam Maple 12 dan juga dapat digabung dengan ElGamal.
Dalam penggabungan ini, dihasilkan pesan yang sebelum disandikan identik
dengan pesan yang telah disandikan. Ini menunjukkan ElGamal yang semula dalam
grup multiplikatif digeneralisasi menjadi
ElGamal Kurva Eliptik dalam field .
4.2 Saran Dalam karya ilmiah ini, penulis hanya
melakukan pencarian titik pada kurva dan melakukan proses adisi struktur grup kurva
eliptik. Di samping itu juga, penulis hanya mencoba menggabungkan aritmetik ini
dengan ElGamal. Jadi, masih terdapat kekurangan diantaranya membandingkan
keamanan suatu pesan pada ElGamal kurva eliptik Supersingular dengan Non-
Supersingular. Semoga tulisan ini dapat menjadi inspirasi.
DAFTAR PUSTAKA
Aliatiningtyas N. 2002. Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Fraleigh. 1994. Abstract Algebra. United States of America: Addison-Wesley
Publishing Company. Guritman S. 2004. Struktur Aljabar. Bogor:
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Institut Pertanian Bogor. Hankerson, Menezes, Vanstone. 2004. Guide
to Elliptic Curve Cryptography. New York: Springer-Verlag Inc.
Menezes, Oorschot Van, Vanstone. 1996. Handbook of Applied Cyrptography.
Massachusetts Institute of Technology. Rosdiana S. 2009. Konstruksi Algoritme
Aritmetik G
dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan dari Sifat Grup
Siklik [Tesis]. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
LAMPIRAN
1. Algoritme Aritmetika
a.
Prosedur UbahBinKeDes Deskripsi
: Prosedur mengubah Vektor Biner ke Desimal dari Order Rendah ke Order Tinggi
UbahBinKeDes := proc N::list local D1, D2 :: list, Des::integer;
D1:=mapx - 2x,[seqi,i=0..nopsN-1]: D2:=[seqN[j]D1[j],j=1..nopsN]:
Des:=add i, i=D2 ; end proc:
b.
Prosedur UbahDesKeBin Deskripsi
: Prosedur mengubah Desimal ke Vektor Biner dari Order Rendah ke Order Tinggi
UbahDesKeBin := procB::integer,m::integer local K,KVek,Kv::list, i::integer:
K := B mod 2m; Kv:=convertK,base,2:
KVek:=[opKv,seq0i,i=nopsKv+1..m]: end proc:
c.
Prosedur UbahBinKeSet Deskripsi
: Prosedur mengubah Vektor Biner ke dalam himpunan dari Order Rendah ke Order Tinggi
UbahBinKeSet:= proc Cr::list local H::set, i,n::integer:
n := nopsCr: H:={}:
for i from 1 to n do if Cr[i]=1 then
H:=H union {i-1}: end if:
end do: returnH:
end proc:
d.
Prosedur UbahDesKeSet Deskripsi
: Prosedur mengubah bilangan desimal ke dalam bentuk himpunan
UbahDesKeSet:=procn::integer local X::list:
X:=convertn,base,2: UbahBinKeSetX;
end proc:
e.
Prosedur UbahSetKeDes Deskripsi
: Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam bilangan desimal
UbahSetKeDes := proc N::set local D::set, Des::integer;
D:=mapx - 2x,N: Des:=add i, i=D ;
end proc:
f.
Prosedur UbahSetKeBin Deskripsi
: Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam Vektor Biner
UbahSetKeBin := proc N::set, m::integer local D::set, Des::integer;
Des:=UbahSetKeDesN: UbahDesKeBinDes,m;
end proc:
g.
Prosedur AcakSet Deskripsi
: Prosedur untuk membangkitkan himpunan acak dalam
AcakSet:=procm::posint local AcIn::procedure, p::integer:
AcIn := rand2m: p:=AcIn:
UbahDesKeSetp; end proc:
h.
Prosedur AdisiSet Deskripsi
: Prosedur menjumlahkan dua himpunan
AdisiSet:=procS::set,T::set returnS union T minus S intersect T;
end proc: i.
Prosedur ReduSet Deskripsi
: Prosedur menghilangkan nilai 0 pada vektor biner
ReduSet:=procn::integer,m::posint local H,G,K,S::set, i,j,k::integer:
S:=DatB[m]: if n0 or n2m-2 then returnfalse:
elif 0=n and nm then return{n}; else
H:=mapx-x+n-m,S; end if:
returnH: end proc:
j. Prosedur ModSet
Deskripsi
: Prosedur untuk menentukan dimana merupakan set
ModSet:=procT::set,m::posint local G,K,H,R::set, i::integer:
if maxopT2m-2 then error end if; R:={seqi,i=m..2m-2}:
K:= T intersect R: G:=T:
for i while K{} do H:=ReduSetmaxopK,m:
G:=AdisiSetG minus {maxopK},H: K:= G intersect R:
end do: returnG;
end proc:
k.
Prosedur KaliSet Deskripsi
: Prosedur untuk mengalikan set
KaliSet:=procA::set,B::set local H::set, i,j::integer:
H:={}: for i in A do
H:=AdisiSetH,mapj-j+i,B: end do:
returnH: end proc:
l. Prosedur MultiSet
Deskripsi
: Prosedur mengalikan set dengan menggunakan modulo
MultiSet:=procA::set,B::set,m::integer local H::set:
H:=KaliSetA,B: ModSetH,m;
end proc:
m.
Prosedur BagiSet Deskripsi
: Prosedur
membagi set
BagiSet:=procT::set,S::set local K,Q,R::set, i,r,s,t::integer:
R:=T: Q:={}: r:=maxopR: s:=maxopS:
for i while r=s do t:=r-s:
Q:=Q union {t}: K:=KaliSet{t},S:
R:=AdisiSetK,R: r:=maxopR:
end do: return[Q,R];
end proc:
n.
Prosedur InvSet Deskripsi
: Prosedur mencari invers dari set
InvSet:=procT::set,m::integer local QA,QB,RA,RB,R,S,Tmp::set, L::list, i::integer:
S:=DatB[m]: if T={} then returnTidak ada invers end if:
RA:=S union {m}: RB:=T: QA:={}: QB:={0}:
L:=BagiSetRA,RB: RA:=RB:
RB:=op2,L: for i while RB{} do
Tmp:=QA: QA:=QB:
R:=KaliSetQB,op1,L: QB:=AdisiSetTmp,R:
L:=BagiSetRA,RB: RA:=RB:
RB:=op2,L: end do:
returnQB; end proc:
o.
Prosedur DivSet Deskripsi
: Prosedur membagi A oleh B modulo m
DivSet:=procA::set,B::set,m::integer local iB::set:
iB:=InvSetB,m; MultiSetA,iB,m;
end proc:
Rosdiana 2009
2. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik
Kategori