Hukum Grup Kurva Eliptik Aritmetika Kurva

Contoh : 1. Penjumlahan 2. Perkalian Suatu unsur biner di atas merepresentasikan polinomial basis yang di sebelah kanannya. Sehingga terlihat dengan mudah, setara dengan unsur biner yang dimulai dari … sebanyak dalam penjumlahan di atas, unsurnya dimulai dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah. Begitu pula dengan binernya. Misalkan, setara dengan . Rosdiana 2009 Aritmetik ini dijadikan acuan dalam perhitungan kurva eliptik atas . Teorema 2.4.2 merupakan grup siklik multiplikatif berorder . Rosdiana 2009 2.5 Pengenalan Kurva Eliptik Definisi 2.5.1 Suatu kurva eliptik atas field didefinisikan sebagai kurva dengan persamaan 1 dimana , , , , dan Δ merupakan diskriminan dari yang di definisikan sebagai berikut: ∆ 2 Persamaan 1 disebut dengan persamaan Weierstrass dan kurva eliptik dinotasikan . , | ∞ Hankerson et al. 2004

2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass

Definisi 2.6.1 Terkait dengan kriptografi, kurva eliptik dikenakan atas field berhingga dimana p prima. Berikut ini diberikan tiga kelompok besar kurva eliptik dibedakan atas field dasar . 1. Jika dan , maka persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana , dan diskriminan kurva Δ . 2. Jika , maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana , dan diskriminan kurva Δ . b. Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana , , dan diskriminan kurva Δ . 3. Jika , maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana , dan diskriminan kurva Δ . b. Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana , , dan diskriminan kurva Δ . Hankerson et al. 2004

2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik

Misalkan E adalah kurva eliptik yang didefinisikan atas . Pada E diambil dua titik yang berbeda , , , . Maka garis memotong kurva di titik ketiga , kemudian diperoleh titik , . Titik ini merupakan hasil dari pencerminan titik R’ terhadap sumbu x. Proses ini disebut dengan proses adisi titik penjumlahan titik. Adisi titik dari P dan Q dinotasikan , Gambar 1 Adisi Jika sejajar dengan sumbu-y, maka titik yang ketiga didefinisikan sebagai titik di tak-hingga dengan notasi ∞, sehingga ∞ Jika , maka kondisi ini disebut adisi titik yang sama dan atau disebut juga pendobelan doubling. Dinotasikan , Jadi, operasi adisi titik pada himpunan semua titik pada kurva dan titik di tak-hingga mempunyai struktur grup, disebut dengan grup kurva eliptik. Dalam hal ini, ∞ adalah unsur identitas. Untuk setiap pada , negatif dari yang dinotasikan dengan – yang merupakan hasil pencerminan dari pada terhadap sumbu-x. Gambar 2 Doubling Operasi grup kurva eliptik cukup mudah diilustrasikan secara geometri ketika didefinisikan atas bilangan real seperti gambar di atas. Akan tetapi, jika didefinisikan terhadap field berhingga dimana adalah karakteristik prima, maka secara geometrik, akan tersamarkan dan sulit dibayangkan. Oleh sebab itu, yang hanya bisa dilakukan adalah dengan pendekatan aksiomatik aljabar. Sedangkan metodenya disebut dengan aritmetik kurva eliptik. Dalam aritmetik pada , terdapat beberapa karakteristik prima yaitu biner , terner dan karakteristik dan yang dinotasikan dengan . Sedangkan untuk biner dan terner, akan dibedakan lagi dengan Supersingular dan Non-Supersingular, dimana yang menjadi pembeda adalah persamaan kurva eliptiknya . Hankerson et al. 2004

2.8 Pengenalan Algoritme ElGamal atas

Algoritme ElGamal merupakan salah satu jenis kriptografi kunci publik. Algoritme ini aritmetikanya berbasis integer grup siklik pada grup multiplikatif . Ada tiga algoritme untuk penyandian kunci Publik ElGamal. Algoritme 1 untuk pembangkitan kunci, Algoritme 2 untuk Enkripsi Kunci Publik, dan Algoritme 3 untuk Dekripsi. Misalkan A mengirimkan pesan kepada B. Pesan tersebut ingin disandikan. Maka yang akan dilakukan adalah

1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci

B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Dengan prima acak yang besar, kemudian dilakukan pembangkitan generator dari grup dengan integer- integer modulo p. b. Memilih suatu integer acak a, dengan positif. c. Menghitung mod . d. Kunci publik B adalah , , dan kunci pribadi B adalah a. e. Memberikan kunci publik ke A. Dalam algoritme pembangkitan kunci pada penyandian kunci publik ElGamal, dijelaskan membangkitkan suatu bilangan prima p yang besar dan generator dari grup . Ini bertujuan bahwa dengan mendapatkan bilangan yang memenuhi kriteria keamanan, maka p tersebut dapat digunakan untuk grup dari integer-integer suatu prima p jika prima, maka mempunyai generator dan dikatakan siklik. Semakin besar , maka keamanannya semakin tinggi.

2. Algoritme 2 Enkripsi

A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah a. Memperoleh kunci publik , , dan merepresentasikan pesan sebagai suatu integer m pada interval [0, . b. Memilih integer acak k, dimana positif. c. Menghitung mod dan mod . d. Mengirim siferteks , ke B. Pada proses ini, dengan p dan didefinisikan : , sehingga fungsi enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c. 3. Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung mod . Dengan catatan . b. Menemukan kembali m dengan menghitung mod . Pada proses dekripsi, dengan dan didefinisikan : , sehingga fungsi dekripsi didefinisikan oleh mod . Menezes et al. 1996 Berikut ini diberikan suatu ilustrasi penyandian yang dihitung dengan menggunakan software Maple 12 dengan PC processor Intel Pentium Dual Core 1,73 GHz, Ram 512 MB. Contoh ElGamal A mengirim pesan kepada B. Pesan tersebut adalah 91819250104. Langkah pertama, B membuat kunci publik dan kunci pribadi. Setelah melalui Algoritme 1 Pembangkitan Kunci, diperoleh kunci publik , , 9574006709478958 762709029785327385064807, 5, 468663437 0436292147431903521064446370856 dan kunci pribadi 665638090635425982769 337333168305062441. Kemudian, kunci publik tersebut dikirim ke A. Setelah A memperoleh kunci publik , , dari B, kemudian A memilih integer positif acak k dan menghitung mod 52940576363150816401527749- 6545355441362, dan mod = 598- 510960553455680182318130888811111301. A mengirim pesan yang telah disandikan tadi siferteks kepada B dengan bentuk , = 529405763631508164015277496- 545355441362, 5985109605534556801823- 18130888811111301. Setelah B menerima siferteks tadi, maka B mendekripsikan siferteks tadi untuk menemukan kembali pesan m dengan menggunakan kunci pribadi, mod , dimana pesan yang telah didekripsikan tadi sama dengan pesan yang sebelum dienkripsikan. III PEMBAHASAN Field dengan karakteristik prima merupakan suatu kasus khusus, dimana tidak ada pengurangan pada operasi aljabarnya. Seperti yang telah dipaparkan pada bab 2, di bawah ini akan dibahas struktur grup kurva eliptik Supersingular dengan , dan Non-Supersingular sehingga titik 0,0 berada di luar kurva yang merepresentasikan titik ∞.

3.1 Aritmetika Kurva

Eliptik Supersingular . Misalkan adalah field dengan karakteristik prima Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah : dengan , , dan ∆ ∆ . Didefinisikan persamaan kurva eliptik Supersingular , | ∞ . 1. Misalkan terdapat titik , sembarang. Karena syarat dan dengan , maka titik , dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan ∞ , . Akibatnya, ∞ , , 2. Dengan titik , yang direpresentasikan dengan titik di tak-hingga maka untuk setiap , , terdapat invers dari yang dinotasikan dengan – , berlaku, , ∞. dimana ∞ ∞. 3. Untuk setiap , dimana , , , dan maka titik yang akan dicari adalah , . Terdapat tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan 1.1 1.2 1.3 Jika dilihat dari definisi secara geometri, maka , dan , adalah segaris. Jika gradiennya dimisalkan dengan maka diperoleh persamaan 1.4 Kemudian apabila dari persamaan 1.1 dan 1.3 kita jumlahkan dan dimodulokan dengan dua, akan diperoleh Apabila pada ruas kiri kita tambahkan nilai , maka persamaan di atas menjadi Kemudian kedua ruas disederhanakan dan dibagi dengan diperoleh 1.5 Setelah memperoleh persamaan 1.5 dengan dari persamaan 1.4, maka untuk persamaan 1.2, 1.3 akan diperoleh dengan cara yang sama, sehingga didapatkan 1.6 Untuk memperoleh dan , akan dijumlahkan persamaan 1.5, 1.6 sehingga kita peroleh Apabila kita bagi kedua ruas dengan maka didapatkan dan dari dihasilkan . Jadi, dihasilkan , dengan dan dengan . 4. Untuk setiap , dan , titik yang ingin ditentukan adalah , . Apabila diperhatikan secara geometri, titik P dan R berada pada kurva E. Oleh sebab itu, terdapat dua persamaan dan . 1.7 Jika ditarik garis lurus P dan R’ titik sebelum dicerminkan terhadap sumbu-x, terlihat merupakan sebuah garis singgung. Dimisalkan gradiennya , maka 1.8 Kemudian, dengan turunan implisit dengan memisalkan , , dapat kita peroleh nilai yaitu , , 1.9 Sama halnya dengan penurunan kasus pada persamaan 1.5, diperoleh persamaan Sehingga . Untuk diperoleh dari persamaan 1.8 yaitu dengan . Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik Supersingular sebagai berikut 1. Titik di luar kurva yang digunakan adalah ∞ , . 2. , dan – , apabila dijumlahkan menghasilkan titik ∞. 3. , dimana , , , dan maka, , dimana dan dengan . 4. , dan , berlaku , dimana dan dengan . Di bawah operasi di atas, maka kurva eliptik supersingular merupakan grup dengan unsur identitas ∞ , dan invers dari adalah – , .

3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular.