II LANDASAN TEORI
2.1
Grup Definisi 2.1.1
Diberikan sebarang himpunan tak kosong dan operasi biner pada .
Himpunan disebut grup terhadap operasi
biner jika memenuhi a.
Operasi bersifat asosiatif. ,
, , G b.
Terdapat unsur identitas untuk
pada G sehingga berlaku ,
c. Untuk setiap
terdapat unsur invers, yaitu
sehingga berlaku .
Fraleigh 1994
Definisi 2.1.2 Suatu grup G,
disebut grup komutatif jika operasi binernya bersifat
komutatif, yaitu ,
, G
Fraleigh 1994
Definisi 2.1.3
Suatu grup G dikatakan grup berhingga finite group jika banyak unsurnya
berhingga dan banyaknya unsur G tersebut disebut order G, ditulis oG atau |G|.
Fraleigh 1994 2.2 Grup Siklik
Definisi 2.2.1 Misalkan G grup dan
G dan n bilangan bulat positif, maka
a. … , sebanyak n kali
b. …
, sebanyak n kali. c.
. Aliatiningtyas 2002
Teorema 2.2.2
Jika G suatu grup dan a G,
maka untuk setiap bilangan bulat m dan n berlaku hukum eksponen :
a. b.
c. Guritman 2004
Definisi 2.2.3 Misalkan G grup dan sebuah
elemen . Jika
| maka G
disebut grup siklik cyclic group dan disebut elemen pembangun yang dinotasikan
. Jika G berhingga dan berorder m, maka terdapat m kuasa dari a yang masing-masing
berbeda, yaitu , , , …
Jika G adalah grup adisi operasi
penjumlahan, maka dapat dituliskan |
dan jika berorder m, maka dapat ditunjukkan , , , … ,
Guritman 2004
2.3 Ring
Definisi 2.3.1 Suatu grup dengan operasi +
disebut operasi penjumlahan dan operasi ·
disebut operasi perkalian yang dinotasikan R,+,
·, disebut ring jika memenuhi aksioma- aksioma berikut
a. R,+ grup komutatif.
b. Operasi perkalian bersifat asosiatif.
c. Hukum distributif kiri berlaku
, , ,
d. Hukum distributif kanan berlaku
, , ,
e. Unsur identitas terhadap “+” dinotasikan
dengan 0 dan disebut unsur nol. Selanjutnya,
a. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,
, ,
maka R disebut ring komutatif.
b. Jika ada unsur identitas di bawah operasi
perkalian unsur ini disebut unsur kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan
disingkat dengan unkes, ,
, ·
· maka R disebut ring
dengan unsur kesatuan unkes. Aliatiningtyas 2002
2.4 Lapangan Field
Definisi 2.4.1 Suatu ring yang komutatif, ada
unkes dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers perkalian disebut
lapangan field. Aliatiningtyas 2002
Salah satu contoh field adalah yang
merupakan himpunan semua polinomial- polinomial berderajat paling banyak
yang dinyatakan sebagai |
. Operasi dalam
meliputi operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Operasi
penjumlahan berbentuk penjumlahan antar pasangan elemen, kemudian hasilnya
dimodulokan dengan dua atau yang lebih dikenal dengan peng-xor-an dinotasikan
. Sedangkan untuk operasi perkalian
didefinisikan seperti halnya perkalian umum, tetapi dalam penjumlahannya tetap dilakukan
peng-xor-an dan dinotasikan dengan .
Contoh : 1.
Penjumlahan
2. Perkalian
Suatu unsur biner di atas merepresentasikan polinomial basis yang di
sebelah kanannya. Sehingga terlihat dengan mudah,
setara dengan unsur biner yang dimulai dari
… sebanyak dalam
penjumlahan di atas, unsurnya dimulai dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah. Begitu
pula dengan binernya. Misalkan, setara dengan
. Rosdiana 2009
Aritmetik ini dijadikan acuan dalam perhitungan kurva eliptik atas
.
Teorema 2.4.2
merupakan grup siklik multiplikatif berorder
. Rosdiana 2009
2.5 Pengenalan Kurva Eliptik Definisi 2.5.1
Suatu kurva eliptik atas field didefinisikan sebagai kurva dengan
persamaan 1
dimana , , , ,
dan Δ
merupakan diskriminan dari yang di
definisikan sebagai berikut: ∆
2 Persamaan 1 disebut dengan persamaan
Weierstrass dan kurva eliptik dinotasikan .
, |
∞ Hankerson et al. 2004
2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass
Definisi 2.6.1 Terkait dengan kriptografi,
kurva eliptik dikenakan atas field berhingga
dimana p prima. Berikut ini diberikan tiga kelompok
besar kurva eliptik dibedakan atas field dasar .
1. Jika
dan , maka persamaan
kurva eliptiknya adalah :
dimana ,
dan diskriminan kurva
Δ .
2. Jika
, maka terdapat dua kasus a.
Non-Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana ,
dan diskriminan kurva
Δ .
b.
Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , ,
dan diskriminan kurva
Δ .
3. Jika
, maka terdapat dua kasus a.
Non-Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana ,
dan diskriminan kurva
Δ .
b.
Supersingular
Persamaan kurva eliptiknya adalah :
dimana , ,
dan diskriminan kurva
Δ .
Hankerson et al. 2004
2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik
