3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular.
3.2.1 Pembangkitan Kurva Eliptik
Ka,b,c
INPUT : Memasukkan
nilai m
OUTPUT : nilai kurva , ,
Mulai 1.
Pilih acak , , .
2. Lakukan sampai i proses jika
∞ dengan cara
a. Mengacak
b. Selesai
3. Kemudian lakukan juga sampai i proses
jika diperoleh ∞ dengan cara
a. Mengacak
b. Selesai
4.
Tampilkan , , 3.2.2 Menentukan
Titik P
x,y
INPUT : Nilai
kurva , ,
OUTPUT : Titik ,
Mulai 1.
Hitung 2.
Lakukan sampai i proses jika diperoleh ∞ dengan cara
a. Menentukan kembali
b. Selesai.
3. Tampilkan nilai ,
yang memenuhi
dengan ∞.
3.2.3 Adisi Titik
, ,
INPUT : P
, , Q
, dengan
, , OUTPUT : Titik
, Mulai
1. Jika
∞ atau ∞, maka
a. b.
2. Jika
dan , maka
a. b.
3. Jika
. Maka a.
b. c.
4. Jika tidak
, maka : a.
b. c.
5. Tampilkan
,
3.2.4 Menentukan Invers Negatif Titik
INPUT : Titik P
, dengan kurva eliptik
, , OUPUT :
P ,
c Mulai
1. Dengan
c 2.
Tampilakan ,
. 3.2.5 Menentukan
Kelipatan sebanyak
INPUT : Titik P
, dan
merupakan integer positif acak dengan
, , OUPUT :
Mulai 1.
Pilih suatu integer acak dan diubah menjadi basis 2
2. Misalkan
3. Jika hanya terdapat satu titik P, maka
a. Nilai
yaitu nilai P b.
Selesai 4.
Untuk langkah kedua, lakukan sampai i kali apabila terdapat beberapa titik yang
sama dengan cara a.
Nilai yaitu nilai
. Jadi apabila terdapat dua titik yang
sama dan masing-masing bisa dipasangkan, titik tersebut digandakan
sampai i sehingga ditemukan satu titik.
b. Jika operasi ke i kali yang nilai biner
terdapat satu titik yang tidak ada pasangan untuk digandakan,
maka lakukan 1.
Titik yang digandakan sebelumnya dijumlahkan dengan satu titik yang
tidak mempunyai pasangan sehingga
proses a 2.
Selesai c.
Selesai 5.
Tampilkan titik
3.3 Aritmetika Kurva Eliptik Non-
Supersingular .
Misalkan adalah field dengan
karakteristik prima Non-Supersingular
dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah
: dengan
, dan
∆ .
Didefinisikan persamaan kurva eliptik Non-Supersingular
, |
∞ .
1. Misalkan terdapat titik
, sembarang. Karena syarat
, maka titik
, dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk
merepresentasikan ∞
, . Akibatnya, ∞
, ,
. 2.
Dengan titik , yang direpresentasikan
dengan titik di tak-hingga maka untuk setiap
, , terdapat
invers dari yang dinotasikan dengan –
, berlaku,
, ∞.
dimana ∞ ∞.
3. Untuk setiap ,
dimana ,
, ,
dan maka titik yang akan dicari adalah
, .
Apabila ditelaah pada tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan
2.1 2.2
2.3 Jika dilihat dari definisi secara
geometri, maka P, Q dan
, adalah segaris. Jika gradiennya
dimisalkan dengan λ maka diperoleh
persamaan 2.4
Kemudian dari penjumlahan persamaan 2.1 dan 2.3 yang kemudian
dimodulokan dengan dua diperoleh
⁄
2.5 Dengan cara yang sama dari
persamaan 2.2, 2.3, dan 2.4 diperoleh 2.6
Dengan nilai gradien seperti pada 2.4, sehingga penjumlahan dari 2.5
dan 2.6 menghasilkan
dan dari persamaan 2.4 diperoleh
Dengan demikian, diperoleh ,
dimana dan
dengan
.
4. Untuk setiap
, dan
, titik yang ingin ditentukan adalah
, .
Dilihat secara geometri, titik dan ,
segaris. Titik dan ,
merupakan garis singgung kurva pada titik . Maka berlaku
persamaan 2.7
2.8 Dimisalkan gradiennya dengan
2.9 Kemudian, dengan turunan implisit
dengan memisalkan ,
, dapat kita peroleh nilai yaitu
3.0 karena dalam biner, maka 2.8 menjadi
, ,
3.1 Seperti pada penurunan persamaan
2.5, dari persamaan 2.7, 2.8, dan 2.9 diperoleh
dengan menerapkan persamaan 3.1 maka diperoleh
Selanjutnya, dengan membagi kedua ruas dengan
dan diterapkan juga persamaan 2.9 diperoleh
Untuk mendapatkan nilai digunakan persamaan 2.9, maka
diperoleh
dengan persamaan 3.1 persamaan di atas menjadi
Akhirnya diperoleh ,
dimana dan
dengan .
Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik
Non-Supersingular sebagai berikut
a. Titik di luar kurva yang digunakan adalah
∞ , .
b. ,
dan –
, apabila dijumlahkan
menghasilkan titik ∞.
c. ,
sembarang. Misalkan ,
, ,
dan
maka,
, dimana
dan adalah
dan dengan
. d.
Untuk setiap ,
dan , berlaku
, dimana
dan dengan
. Di bawah operasi di atas, maka kurva
eliptik Non-Supersingular merupakan
grup dengan unsur identitas ∞
, dan invers dari adalah
– ,
.
3.4 Algoritme Aritmetika Kurva Eliptik Non-Supersingular
Kategori