Eksentrisitas Digraf Pada Graf Cycel

(1)

SKRIPSI

SRI SUNDARI

050803041

MATEMATIKA KOMPUTASI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SRI SUNDARI

050803041

MATEMATIKA KOMPUTASI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(3)

PERSETUJUAN

Judul : EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF CYCEL DAN GRAF LINTASAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : SRI SUNDARI

Nomor Induk Mahasiswa : 050803041

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Januari 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Dr. Herman Mawengkang Syahril Efendi, S.Si, M.IT NIP 194611281974031001 NIP 196711101996021001

Diketahui/Disetujui oleh

Departeman Matematika FMIPA USU Ketua.

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 19640109 198803 1 004

(4)

PERNYATAAN

EKSENTRISITAS DIGRAPH PADA GRAPH CYCEL

SKRIPSI

Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2009

Sri Sundari 050803041

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang. selaku pembimbing I dan Bapak Syahril Efendi, S.Si, M.IT selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Bapak Drs. James Piter Marbun, M.Kom. dan Bapak Drs. H. Haludin Panjaitan selaku dosen penguji penulis.

3. Bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku dosen wali penulis selama mengikuti perkuliahan.

4. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Sc. selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

5. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU.

6. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU dan pegawai di FMIPA USU.

7. Teman-teman di Departemen Matematika khususnya stambuk 2005, serta sahabat-sahabat penulis: Cinta, Feby, Dika, Lia, Rima, Radhi, Santri, Nenna dan Yuni yang selama ini telah memberikan semangat, dorongan dan saran dalam pengerjaan skripsi ini.

8. Kedua orang tua penulis yang tercinta Bapak Sumawan dan Ibunda Saidah, Almarhumah Nenek tercinta Ngadiyem, Bukde Zulaikha, kakak, abang dan adik-adik tersayang yang selalu berdoa dan memberikan dorongan, pengorbanan moril maupun materil kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.

(6)

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi maupun sistematika penyajian tulisan ini belum layak dikatakan sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun.

Akhirnya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan yang memerlukannya. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT.

(7)

ABSTRAK

Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian, karena model-modelnya sangat berguna untuk aplikasi yang luas, seperti masalah dalam jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, dan lain sebagainya. Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah eksentrisitas digraf pada graf ED(G) yang diperkenalkan pertama kali oleh Fred Buckley. Boland (1999) memperkenalkan eksentrisitas digraf pada digraf ED(D). Teori ini terinspirasi dari penelitian yang dilakukan oleh Buckley. Jarak (distance) d(u,v) antara dua titik u dan v adalah panjang lintasan terpendek dari titik u ke titik v di G. Jika tidak ada lintasan dari u ke v, maka d(u,v) = ∞. Eksentrisitas titik v di graf G, dinotasikan ec(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap titik di G. Titik v adalah titik eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas dari u atau d(v,u) = ec(u). Eksentrisitas digraf pada graf ED(G) didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan G atau V(ED(G)) = V(G) dimana arc menghubungkan titik u ke v, jika v adalah titik eksentrik dari u. Masalah yang di bahas dalam tugas akhir ini adalah menentukan eksentrisitas digraf dari graf cycle dan graf lintasan.

(8)

EKSENTRIC DIGRAPH AT CYCLE GRAPH AND PATH GRAPH ABSTRACT

Graph theory is a topic that a lot of attention, because the model-model is very useful for broad applications, such as problems in communication networks, transportation, computer science, and so forth. One of the interesting topics in graph theory is the eccentricity of the graph digraph ED (G) which was first introduced by Fred Buckley. Boland (1999) introduced the eccentricity of the digraph digraph ED (D). This theory was inspired by research conducted by Buckley. Distance (distance) d (u, v) between two points u and v is the length of the shortest path from point u to point v in G. If there is no path from u to v, then d (u, v) = ∞. Eccentricity of a point v in graph G, denoted ec (v) is the farthest distance (the maximum shortest path) from v to each point in G. Point v is an eccentric point of u if the distance from v to u equal to the eccentricity of u or d (v, u) = ec (u). Eccentricity in the graph digraph ED (G) is defined as a graph which has the same set of points with G or V (ED (G)) = V (G) where the arc joining u to v, if v is an eccentric point of u. The problems discussed in this final task is to determine the eccentricity cycle digraph of the graph and graph path.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ... i

PERNYATAAN ... ii

PENGHARGAAN ... iii

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR TABEL ... ix

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Masalah Penelitian ... 2

1.3 Tujuan Penelitian ... 2

1.4 Batasan Masalah ... 3

1.5 Konstribusi Penelitian ... 3

1.6 Metodologi Penelitian ... 3

1.7 Tinjauan Pustaka ... 3

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sejarah Graf ... 5

2.2 Teori Graf ... 6

2.2.1 Definisi dan notasi ... 7

2.2.2 Macam-macam Graf ... 9

2.3 Graf cycle (sikel) ... 14

2.4 Graf Lintasan (Path) ... 16

2.5 Graf n-Partit ... 17

2.6 Lintasan Terpendek (Short Path) ... 17

2.7 Eksentrisitas Digraf ... 18

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Eksentrisitas Digraf pada Graf Cycel (Sikel) ... 20

3.2 Eksentrisitas Digraf pada Graf Lintasan ... 26

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan ... 32

4.2 Saran ... 32

(10)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Jembatan KÖnigsberg dan Graf yang merepresentasikan

jembatan Königsberg ... 5

Gambar 2.2 Graf dengan lima verteks dan enam edge ... 7

Gambar 2.3 Graf yang memuat loop dan sisi rangkap ... 7

Gambar 2.4 Walk pada graf ... 8

Gambar 2.5 Graph G ... 9

Gambar 2.6 Graf berhingga ... 10

Gambar 2.7 Graf tak berhingga ... 10

Gambar 2.8 Graf berarah dan berbobot ... 11

Gambar 2.9 Graf tidak berarah dan berbobot ... 12

Gambar 2.10 Graf berarah dan tidak berbobot ... 12

Gambar 2.11 Graf tidak berarah dan tidak berbobot ... 13

Gambar 2.12 Grafsederhana ... 13

Gambar 2.13 Graf ganda ... 13

Gambar 2.14 Graf semu ... 14

Gambar 2.15 Graf Sikel ... 14

Gambar 2.16 Graf Sikel ... 15

Gambar 2.17 Graf Lintasan ... 17

Gambar 2.18 Eksentrisitas ... 19

Gambar 2.19 Eksentrisitas Digraf ... 19

Gambar 3.1 Graf C3 dan eksentrisitas digrafnya ... 21

Gambar 3.2 Graf C5, C7 dan eksentrisitas digrafnya ... 22

Gambar 3.3 Graf C4 dan eksentrisitas digrafnya ... 23

Gambar 3.4 Graf C6, C8 dan eksentrisitas digrafnya ... 24

Gambar 3.5 Graf P3, P5, P7 dan eksentrik digrafnya ... 27

Gambar 3.6 Graf P2, P4 dan eksentrisitas digrafnya ... 29

(11)

DAFTAR TABEL

(12)

ABSTRAK

(13)

EKSENTRIC DIGRAPH AT CYCLE GRAPH AND PATH GRAPH ABSTRACT

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736. Ide besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan KÖnisberg.

Secara matematis, Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) dimana: V = himpunan tidak kosong dari simpul- simpul (vertice atau node)

{v1, v2, v3,…, vn} dan

E = himpunan sisi (edge atau arc) yang menghubungkan sepasang simpul {e1, e2, e3,…, en}

Atau dapat ditulis G = (V,E).

Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan persahabatan pada Friendster bisa direpresentasikan dengan graf: vertex-vertexnya adalah para pemakai Friendster dan ada edge antara A dan B jika dan hanya jika A berteman dengan B. Perkembangan algoritma untuk menangani graf akan berdampak besar bagi ilmu komputer.

(15)

Sebuah struktur graf bisa dikembangkan dengan memberikan bobot pada tiap edge. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan banyak konsep berbeda. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi pada jalan tertentu. Ekstensi lain pada graf adalah dengan membuat edgenya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digaf (directed graph).

Digraf (Graf berarah / Directed Graph) D didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,A) dimana V adalah himpunan tak kosong dari elemen–elemen yang disebut titik (vertex) dan A adalah himpunan dari pasangan terurut (u,v), yang mempunyai arah dari u ke v, dari titik–titik u,v di V yang disebut arc. Arc yang

menghubungkan titik u ke titik v dan titik v ke titik u dinamakan arc simetrik. Yang dinotasikan dengan at=uvsur.

Jarak (distance) antara titik u dan v di graf G dinotasikan dengan d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v di G. Jika tidak ada lintasan dari titik u ke v, maka d(u,v) = ∞

Eksentrisitas titik v di graf G dinotasikan e(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap titik di G, dengan kata lain:

e(v) = max {d(v,u) ׀ u Є V(G)}

titik v adalah titik eksentrisik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas dari u atau d(v,u) = e(u).

1.2 Masalah Penelitian

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah eksentrisitas digraf pada graf cycel (sikel) dan graf lintasan (path).

1.3 Tujuan Penelitian

Penulisan penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan eksentrisitas digraf dari graf sikel dan graf lintasan.

(16)

1.4 Batasan Masalah

Pada penelitian ini ditentukan beberapa batasan masalah sebagai berikut: 1. Graf yang dibahas adalah graf sederhana dan graf hingga.

2. Contoh yang diambil untuk menentukan eksentrisitas digraf dari graf cycel (sikel) Cn untuk n ganjil dan n genap hanya 3 contoh, yaitu untuk graf cycel (sikel) Cn untuk n ganjil adalah C3, C5, C7, dan untuk graf sikel Cn untuk n genap adalah C4, C6, C8.

3. Contoh yang diambil untuk menentukan eksentrisitas digraf dari graf lintasan Pn untuk n ganjil dan n genap hanya 3 contoh, yaitu untuk graf lintasan Pn untuk n ganjil adalah P3, P5, P7, dan untuk graf lintasan Pn untuk n genap adalah P2, P4, P6.

1.5 Konstribusi Penelitian

Dengan mengadakan penulisan ini, penulis berharap dapat menambah referensi bagi pembaca dan dapat menentukan maksimal lintasan terpendek atau eksentrisitas digraf dari graf sikel dan graf lintasan.

1.6 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat studi literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah–langkah sebagai berikut:

Langkah-1: Menjelaskan Graf, Digraf, Eksentrisitas Langkah-2: Menjelaskan Eksentrisitas Digraf

Langkah-3: Menentukan eksentrisitas digraf dari graf cycel (sikel) dan graf lintasan (path).

1.7 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung dalam penulisan ini, maka penulis menggunakan beberapa pustaka antara lain:

(17)

1. Munir, Rinaldi. (2004). Matematika Diskrit. Menyatakan bahwa Secara matematis, Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini: V = himpunan tidak kosong dari simpul- simpul

(vertices atau node) = {V1, V2,...,Vn}

E = himpunan sisi (edge atau arc) yang menghubungkan sepasang simpul

= {e1, e2, e3,…, en}

Atau dapat ditulis singkat notasi G = (V,E)

2. Gafur, A. (2007). Eksentrisitas Digraf dari Graf Star, Graf Doble Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelabelan konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit komplit. Diakses tanggal 20 juli 2009. Menyatakan bahwa Digraf (Graf berarah / Directed Graf) D adalah pasangan himpunan (V(D),A(D)) dimana V(D) adalah himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik (vertex) dan A(D) adalah himpunan dari pasangan terurut (u,v), yang mempunyai arah dari u ke v, dari titik-titik u,v di V yang disebut arc. Arc yang menghubungkan titik u ke titik v dan titik v ke titik u dinamakan arc simetrik. Yang dinotasikan dengan at=uvsur.

3. Wicaksono, S.U. (2006) Eksentrisitas digraf dari graf-graf khusus. Diakses tanggal 20 juli 2009. Menyatakan bahwa Eksentrisitas ec(v) pada titik v dalam graf G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di G, dapat dituliskan ec(v) = max {d( v,u) ׀ u Є V(G)}.

(18)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sejarah Graf

Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian Prussia, Jerman), sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai.

(19)

Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut (Gambar 2.1(a)). Masalah jembatan KÖnigsberg adalah apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula. Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak mungkin melalui setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat asal mula keberangkatan, tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian jawabannya, kecuali dengan cara coba-coba. Tahun 1736, seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan) dinyatakannya sebagai titik (noktah) yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge). Setiap titik diberi label huruf A, B, C, dan D. Graf yang dibuat oleh Euler diperlihatkan pada Gambar 2.1(b).

Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembal lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap. Yang dimaksud dengan derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan noktah. Sebagai contoh, simpul C memiliki derajat 3 karena ada 3 buah garis yang bersisian dengannya, simpul B dan D juga berderajat 3, sedangkan simpul A berderajat 5. karena tidak semua simpul berderajat genap, maka tidak mungkin dilakukan perjalanan berupa sirkuit (yang dinamakan dengan sirkuit Euler) pada graf tersebut.

2.2 Teori Graf

Sebelum sampai pada pendefinisian masalah eksentrisitas, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep- konsep dasar dari model graf.

sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dimana V adalah himpunan tak kosong yang anggotanya disebut verteks dan E adalah himpunan yang anggotanya adalah pasangan tak berurut dari verteks V yang disebut edge.

Secara umum graf dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana verteks ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan vi , i = 1, 2, …, P dan edge

(20)

verteks (vi, vj) dan dinotasikan dengan ek. sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.2 yaitu suatu graf yang mempunyai lima verteks dan enam edge.

Gambar 2.2 Graf dengan lima verteks dan enam edge 2.2.1 Definisi dan Notasi

Sisi yang menghubungkan dua titik yang sama,yakni e = vv disebut loop. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edge). Pada gambar 2.3 sisi e3 adalah loop dan sisi e1, e2 adalah sisi

rangkap. Graf yang tidak mempunyai loop dan sisi rangkap disebut graf sederhana. Order n dari graf G adalah banyaknya titik di G, yakni n = │V│. Graf yang order-nya hingga disebut dengan graf hingga.

(21)

Jalan (walk) W dengan panjang n dari titik a ke b pada graf G adalah barisan titik a = v0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, …, vn-1, en, vn = b (n ≥ 0) yang terdiri dari titik dan sisi

di G yang diawali dan diakhiri dengan titik, sedemikian hingga (vi, vi+1) adalah sisi di

G untuk setiap i = 0, 1, 2, …, n-1. Jalan ini menghubungkan titik v0dan vn, dan dapat

juga dinotasikan sebagai v0, v1,…, vn. Jalan dikatakan tertutup jika a = b dan terbuka

jika a ≠ b. Sebagai contoh pada Gambar 2.4, x-w-y-v-u-x adalah jalan tertutup dengan panjang 5 dan u-v-w-x-u-v-y adalah jalan terbuka dengan panjang 6. Jejak (trail) adalah jalan dimana tidak ada sisi yang berulang. Jalan dikatakan lintasan (path) jika semua titiknya berbeda. Lintasan adalah jejak, akan tetapi tidak semua jejak adalah lintasan. Sedangkan lintasan tertutup dinamakan siklus (cycel). Pada gambar 2.4, jalan x-w-v-u-w-y adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan u-x-w-v-y adalah lintasan, dan u-w-y-v-u adalah siklus.

u e1 v

Gambar 2.4 Walk pada graf

Misal pada graf G terdapat 2 titik vi dan vj , dua buah titik pada graf G

dikatakan berdekatan (adjacent) bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Atau dapat ditulis singkat dengan notasi e = (vi , vj) Є E (G).

Diberikan graf G dan {vi , vj} Є v (G) , jika e = (vi , vj) Є E (G). maka dikatakan

e insiden ( incident) dengan titik vi atau e incident dengan titik vj .

Derajat (degree) sebuah titik v pada sebuah graf G yang dituliskan dengan deg (v ) adalah banyak sisi yang insiden pada v , dengan kata lain banyak sisi yang

(22)

memuat v sebagai titik ujung. Derajat minimal pada suatu graf G dinotasikan δ, sedangkan derajat maksimal pada graf G dinotasikan dengan ∆.

Misal terdapat dua buah titik u dan v di dalam graf, dimana u dan v saling berdekatan. Jika sisi e insiden terhadap titik u dan v , maka titik u dan v disebut endpoint dari sisi e.

Gambar 2.5 Graph G

Graph G memuat V (G) = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5} dan

E (G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7}

(i) Pada graf G , titik v2 dan titik v3 merupakan titik yang berdekatan, sedangkan titik

v2 dan titik v4 bukan merupakan titik yang berdekatan.

(ii) Pada graf G , sisi e3 insiden dengan titik v2 dan titik v3 , tetapi tidak terdapat sisi

yang insiden dengan titik v2 dan titik v4 .

(iii) Pada graf G , titik v2 dan titik v3 merupakan endpoint dari sisi e3 .

(iv) Pada graf G , deg (v3 ) = 5, deg (v4 ) = 2, dan deg (v5 ) = 0

2.2.2 Macam-macam graf

Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, arah dan bobotnya, ada tidaknya sisi ganda.

(23)

Berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, graf digolongkan menjadi dua jenis: 1. Graf berhingga (limited graph) yaitu graf yang memilki jumlah simpul

berhingga.

Gambar 2.6 Graf berhingga

2. Graf tak berhingga (unlimited graph) yaitu graf yang jumlah simpulnya tak berhingga. Secara geometris graf tak berhingga digambarkan dengan sisi–sisi yang hanya memiliki satu simpul untuk setiap simpul luarnya. Sekilas nampak seperti graf yang belum selesai digambar.

(24)

Berdasarkan arah dan bobotnya, graf digolongkan menjadi empat jenis, yaitu:

1. Graf berarah dan berbobot: tiap busur mempunyai anak panah dan bobot. Gambar 2.8 menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A menunjukkan arah ke titik B dan titik C, titik B menunjukkan arah ke titik D dan titik C, dan seterusnya. Bobot antar titik A dan titik B pun telah di ketahui.

-Gambar 2.8 Graf berarah dan berbobot

2. Graf tidak berarah dan berbobot: tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot. Gambar 2.9 menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A tidak menunjukkan arah ke titik B atau C, namun bobot antara titik A dan titik B telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain.

B E

A D G

C F

2 2

2 2 1

3 1

3 4

(25)

Gambar 2.9 Graf tidak berarah dan berbobot

3. Graf berarah dan tidak berbobot: tiap busur mempunyai anak panah yang tidak berbobot. Gambar 2.10 menunjukkan graf berarah dan tidak berbobot.

Gambar 2.10 Graf berarah dan tidak berbobot

4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot: tiap busur tidak mempunyai anak panah dan tidak berbobot.

B E

A D G

C F

3 3

2 1

1 1

4 2 2

B E

A D G

(26)

Gambar 2.11 Graf tidak berarah dan tidak berbobot

Berdasarkan jenis sisinya graf digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf sederhana yaitu graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun loop.

Gambar 2.12 Graf sederhana.

2. Graf tidak sederhana yaitu graf yang memiliki sisi ganda maupun loop. Graf ini dibedakan menjadi dua yaitu:

a. Graf ganda yaitu graf yang memiliki sisi ganda. Sisi ganda adalah sekumpulan sisi yang menghubungkan sepasang simpul yang sama.

Gambar 2.13 Graf ganda

B E

A D G

(27)

b. Graf semu yaitu graf yang memiliki sisi loop. Loop adalah sisi yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya sendiri.

Gambar 2.14 Graf semu

2.3 Graf Cycel (sikel)

Cycel (siklus) atau Sirkuit (Circuit) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi di dalam sirkuit tersebut, pada Gambar 2.15 sirkuit memiliki panjang 3, sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit) jika setiap sisi yang dilalui berbeda. Pada Gambar 2.15. 1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana sedangkan 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana karena sisi 1, 2 dilalui dua kali.

2 3

(28)

Graf cycel (sikel) ialah graf yang terdiri dari satu sikel. Graf sikel dengan n titik dinotasikan dengan Cn. Pada graf sikel, jumlah titiknya minimal 3. contoh Graf sikel diberikan pada Gambar 2.16.

(29)

2.4 Graf Lintasan (Path)

Lintasan (path) yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam

graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi yang terbentuk v0, e1, v1,

e2, v2,..., vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2),... , en = (vn-1, vn)

adalah sisi-sisi dari graf G.

Jika graf yang ditinjau adalah graf sederhana, maka kita cukup menuliskan lintasan sebagai barisan simpul-simpul saja v0, v1, v2, ..., vn-1, vn, karena antara dua

buah simpul berturutan di dalam lintasan tersebut hanya ada satu sisi.Sebagai contoh pada Gambar 2.15 lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).

Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan tertutup (closed path), sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path). Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut .

Contoh lintasan sederhana, lintasan tertutup, lintasan terbuka dan panjang lintasan diberikan pada Gambar 2.15 adalah sebagai berikut:

Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan sederhana, juga lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah juga lintasan sederhana, dan lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3 memiliki panjang 3.

Graf lintasan (path) ialah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan dengan n titik, dinotasikan dengan Pn, contoh dari graf lintasan diberikan pada Gambar 2.17.

(30)

P1 :

P2 :

v1 v2

P3 :

v1 v2 v3

Gambar 2.17 Graf lintasan 2.5 Graf n-partit

Graf n – partit di definisikan sebagai graf dimana himpunan titik V(G) dapat di pisah menjadi n himpunan titik, yaitu V1(G), V2(G),...,Vn(G). Sisi-sisi pada graf n-partit

terhubung dari titik-titik pada Vi(G) ke titik-titik pada himpunan titik selain Vi(G) atau

( )

V_i , dimana V_i

( )

G adalah komplemen dari Vi(G). Untuk n = 2, dinamakan graf

bipartit. Jika V₁ =k dan V₂ =l, maka graf bipartit tersebut dinotasikan dengan Bk,l. Sedangkan untuk n = 3, dinamakan dengan graf tripartit, yang dinotasikan dengan Tk,l,m.

2.6 Lintasan Terpendek (Short Path)

Persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan salah satu persoalan optimasi. Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot pada sisi graf dapat menyatakan jarak antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan,dan sebagainya. Asumsi yang kita gunakan disini adalah bahwa semua bobot bernilai posotif. Kata ”terpendek” jangan selalu diartikan secara fisik sebagai panjang minimum, sebab kata ”terpendek” berbeda-beda maknanya bergantung pada tipikal persoalan yang akan diselesaikan. Namun secara umum ”terpendek” berarti meminimasi bobot pada suatu lintasan di dalam graf.

(31)

Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain: a. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu,

b. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul,

c. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain,

d. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu.

Pada dasarnya, jenis persoalan a mirip dengan persoalan c, karena pencarian lintasan terpendek pada jenis persoalan c dapat dihentikan bila simpul tujuan yang dikehendaki sudah ditemukan lintasan terpendeknya.

2.7 Eksentrisitas Digraf

Eksentrisitas ec(v) pada titik v dalam graf G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di G, dapat dituliskan

ec(v) = max = {d(v,u) ׀ u Є V(G}.

Radius r(G) dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan r(G) = min {ec(v) ׀ v Є V} dan diameter dari G dinotasikan diam (G) adalah eksentrisitas maksimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan dim(G) = maks {ec(v) ׀ v Є V}, titik v disebut titik central jika ec(v) = r(G), center dinotasikan cen(G) adalah subgraf pada G yang terbentuk dari titik central. Titik v dikatakan titik eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan titik eksentrik dari u, dapat dituliskan d(v,u) = ec(u).

Eksentrisitas digraf diperkenalkan pertama kalinya oleh Fred Buckley pada tahun 90-an. Eksentrisitas Digraf ED(G) didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G atau V(ED(G)) = V(G), dimana arc menghubungkan titik u ke v jika v adalah titik eksentrik dari u.

Buckley menyimpulkan bahwa hampir setiap graf G, eksentrik digrafnya adalah ED(G) = (G)*, dimana (G)* adalah komplemen dari G yang setiap sisinya diganti dengan arc simetrik.

Contoh eksentrisitas titik, titik eksentrik, radius, diameter, center dan eksentrisitas digraf adalah sebagai berikut:

(32)

Gambar 2.18 Eksentrisitas

Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik

a ec(a) = 3 f

b ec(b) = 2 c,f

c ec(c) = 3 f

d ec(d) = 2 a,f

e ec(e) = 2 a,c

f ec(f) = 3 a,c

Tabel 2.1 Eksentrisitas dan titik eksentrik

Jadi r(G) = 2, diam(G) = 3, cen(G) = b

e d

v a b

e f

c d

(33)

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Eksentrisitas Digraf pada Graf Cycel (Sikel)

Diasumsikan bahwa pada graf sikel jarak antara dua titik berbeda yang adjacent adalah 1.

Misalkan graf sikel Cn mempunyai himpunan titik V C( _n)={ ,v v v₁ ₂, ,..., }₃ v_n

dan himpunan sisi

E C( _n)={ ,e e e₁ ₂, ,..., }₃ e_n Dimana

1 1

1, 2,..., 1 i i

v v i n

+ = −

⎧

= ⎨ ₌

⎩

Eksentrisitas titik e(vi) pada graf sikel Cn adalah sama untuk setiap titiknya,

yaitu e(v1) = e(v2) = ... = e(vn). Hal ini disebabkan karena jarak terjauh (maksimal

lintasan terpendek) dari setiap titiknya adalah sama, yaitu 1 2 n−

untuk n ganjil dan 2 n

untuk n genap. Jadi eksentrisitas titik e(vi) pada graf sikel Cnuntuk setiap i = 1, 2, ..., n

adalah:

jika genap 2

jika ganjil 2 n n e n n ⎧ ⎪⎪ = ⎨ ₋ ⎪ ⎪⎩

(34)

Dengan demikian, untuk n ganjil: 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 dan 1, 2,...,

2 1

titik eksentrik dari dan ,

3 5

dan , ,..., .

2 2 n n i i i n n n i i n

v v i

v v v i

n n

v v i n

− + + + − + − − − ⎧ ₌ ⎪ ⎪ ⎪ + =_⎨ = ⎪ + + ⎪ ₌ ⎪ ⎩

Eksentrisitas digraf pada graf sikel, ED(Cn) , untuk n ganjil, adalah digraf

dengan himpunan titik V(ED(Cn)) = {v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) =

{a1, a2, ..., an}, dimana:

1 2

1 untuk 1, 2,...,

3 5

untuk , ,...,

2 2 n i i i n i i n

v v i

n n

v v i n

− + − − + ⎧ ₌ ⎪⎪ ⎨ ₊ ₊ ⎪ ₌ ⎪⎩ Dan 1 2 1 2 1 untuk 1, 2,...,

1 3

untuk , ,...,

2 2 n i i i n i i n

v v i

n n

v v i n

+ + − − − ⎧ ₌ ⎪⎪ ⎨ ₊ ₊ ⎪ ₌ ⎪⎩

Jadi jumlah arc dalam ED(Cn) untuk n ganjil adalah dua kali jumlah titiknya, yaitu 2n.

Dengan demikian, untuk n ganjil eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn)

adalah digraf sikel Csur_n dengan jarak setiap arcnya 1 2 n−

, dimana arcnya adalah arc simetrik. Contoh eksentrisitas digraf dari graf Cn dengan n ganjil adalah sebagai

berikut:

(35)

(36)

Selanjutnya, dengan cara yang sama seperti pada n ganjil, maka titik eksentrik dari graf Cn dengan n genap adalah sebagai berikut:

1, 2,..., 2 titik eksentrik dari

2 4 , ,..., 2 2 n i i n i n v i v n n

v i n

+ − ⎧ ₌ ⎪⎪ = ⎨ ₊ ₊ ⎪ ₌ ⎪⎩

Eksentrisitas digraf dari graf sikel, ED(Cn), untuk n genap, adalah digraf dengan himpunan titik V(ED(Cn)) = {v1, v2, v3, ..., vn} dan himpunan arc A(ED(Cn)) =

{a1, a2, ..., an}, dimana:

untuk 1, 2,..., 2

2 4

untuk , ,...,

2 2 n i i i n i i n

v v i

n n

v v i n

+ − ⎧ ₌ ⎪⎪ = ⎨ ₊ ₊ ⎪ ₌ ⎪⎩

Jadi jumlah titik arc dalam ED(Cn) untuk n genap adalah n, dimana ai dapat

digambarkan sebagai lintasan dengan dua titik yang berjarak 2 n

Sehingga eksentrisitas digraf dari graf sikel dengan n genap ED(Cn) adalah

gabungan 2

digraf lintasan dengan dua titik, yang dinotasikan dengan 2 2 1 n i P = sur

U

, dimana

setiap arcnya adalah simetrik. Contoh eksentrisitas digraf pada graf Cndengan n genap

adalah sebagai berikut:

(37)

(38)

3.2 Eksentrisitas Digraf pada Graf Lintasan

Diasumsikan bahwa pada graf lintasan jarak antara dua titik berbeda yang adjacent adalah 1.

Misalkan graf lintasan Pn dengan himpunan titik

( ) {

Pn v v v vn

}

V = ₁, ₂, ₃,...,

dan himpunan sisi

( ) {

Pn e e e en

}

E = ₁, ₂, ₃,...,

dimana

1 +

= _i _i

i vv

e untuk setiap i=1,2,...,n

Eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pn untuk n ganjil adalah sebagai berikut: e

( )

v₁ = e

( )

v_n = n- 1

( )

v₂ = e

( )

v_n₋₁ = n−2 M

( )

v_n = e

( )

v_n₊₁ = 2 1 + −n n , Maka

( )

v n i

e _i = − untuk

2 1 ,..., 2 , 1 + = n i dan

( )

v =i−1

e _i untuk i n n ,...,n

2 5 , 2 3 + + =

Jadi dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn

untuk n ganjil adalah:

untuk 2 1 ,..., 2 , 1 + = n i

untuk i n n ,...,n 2 5 , 2 3 + + =

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = 1 i i n v e _i

(39)

Setelah nilai eksentrisitas e(vi) diperoleh, maka kita dapat menentukan titik eksentriknya dengan mudah, yaitu:

untuk 2 1 ,..., 2 , 1 + = n i Titik eksentrik dari

untuk i n n ,...,n 2 3 , 2 1 + + =

Graf Pn dengan n ganjil mempunyai center berupa titik, yaitu titik v, sehingga titik eksentriknya ada 2 yaitu titik v1dan titik vn, dimana jarak antara v ke v1adalah sama

dengan jarak antara v ke vn. Sehingga akan ada arc dari v ke vn dan dari v ke v1 yang

akan kita notasikan secara berturut-turut dengan a dan v.

Eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) dengan n ganjil adalah digraf

dengan himpunan titik V(ED(Pn)) = {v1, v2, v3,…, vn}dan himpunan arc A(ED(Pn)) =

{a1, a2, a3, ..., an},

dimana: untuk 2 1 ,..., 3 , 2 , 1 + = n i

untuk i n n ,...,n 2 5 , 2 3 + + = dan

vi = viv1 untuk

2 1

= n

Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n ganjil adalah n + 1. Dengan demikian,

eksentrisitas digraf pada gaf lintasan ED(Pn) untuk n ganjil adalah digraf tripartit,

dengan himpunan titik V1= {v1, v2,…, vn}, V2= {v1, v2, …, vn}, V3 = {v1, v2,…, vn}.

Contoh eksentrisitas digraf dari graf Pn untuk n ganjil diberikan pada Gambar 3.5.

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

n i ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 v v v v a i n i i

(40)

(41)

Dengan cara yang sama seperti pada n ganjil, maka eksentrisitas titik v pada graf lintasan Pndengan n genap dapat dijelaskan sebagai berikut:

( )

v₁ = e

( )

v_n = n- 1 e

( )

v₂ = e

( )

v_n₋₁ = n−2 M

( )

v_n = e

( )

v_n₊₁ = 2 n n−

Sehingga eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n genap adalah:

untuk 2 ,..., 2 , 1 n

i= ,

untuk i n n ,...,n 2 4 , 2 2 + + = untuk 2 ,..., 2 , 1 n

i= ,

Dengan demikian titik eksentrik dari untuk i n n ,...,n

2 4 , 2 2 + + =

Untuk n genap, eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf

dengan himpunan titik V(ED(Pn)) = {v1, v2, v3,…, vn} dan himpunan arc A(Pn) = {a1,

a2, a3,…, an}, dimana:

untuk 2 ,..., 3 , 2 , 1 n i=

untuk i n n ,...,n 2 4 , 2 2 + + =

Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n genap adalah n. Dengan demikian untuk n

genap, maka eksentrisitas digraf pada gaf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B,

dengan himpunan titik V1 = {v1, v2, …, vn} dan V2 = {v1, v2,…, vn}. Contoh

eksentrisitas digraf dari graf Pn untuk n genap diberikan pada Gambar 3.6.

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = 1 i i n v e _i ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 v v v v a i n i i

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

n i

(42)

(43)

(44)

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang dapat diambil mengenai eksentrisitas digraf pada graf sikel dan graf lintasan adalah:

1. Eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn) dibedakan menjadi dua,

yaitu:

a) Untuk jumlah titik n ganjil, eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf sikel Cnyang setiap arcnya adalah arc

simetrik yang berjarak 1

2 n−

b) Untuk jumlah titik n genap, eksentrisitas digraf pada graf

sikel ED(Cn) adalah gabungan

2 n

digraf lintasan dengan 2

titik 2

2 1 n i

P =

sur

U

, dimana arcnya adalah arc simetrik.

2. Eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) dibedakan menjadi dua,

yaitu:

a) Untuk jumlah titik n ganjil, eksentrisitas digraf pada graf

lintasan ED(Pn) adalah digraf tripartit, dengan himpunan titik

V1= {v1, v2,…, vn}, V2= {v1, v2, …, vn}, V3 = {v1, v2,…, vn}.

b) Untuk jumlah titik n genap, eksentrisitas digraf pada graf

lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B dengan himpunan

(45)

4.2 Saran

Penelitian mengenai eksentrisitas digraf masih dapat dikembangkan pada graf–graf yang lain, misalnya pada graf berbobot, baik yang berarah maupun yang tidak berarah, dan penyelesaian eksentrisitas digrafnya sangat lebih bagus jika diselesaikan dengan menggunakan program.

(46)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Munir, Rinaldi. 2004. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

[2] Gafur, A. 2007. Eksentrisitas Digraf dari Graf Star, Graf Doble Star, Graf

Komplit Bipartit dan Pelabelan konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit komplit. Diakses tanggal 20 juli 2009.

[3] Wicaksono, S.U. (2006). Eksentrisitas digraf dari graf – graf khusus. Diakses

tanggal 20 juli 2009.

[4] Lipschutz, Seymour, Ph.D, dkk, 1998, ”Matematika Diskrit 2”, Terjemahan Tim

Editor Penerbit Salemba Teknik.

[5] Deo, Narsing. 1986. Graph Theory With Aplications to Enginering and Computer

Science. New delhi: Prentice-Hall of India Private Limited.

[6] Wikipedia, 2006, http://www.mipa.unej.ac.id/data/karya/math/widya.pdf, diakses

tanggal 12 Desember 2009.

[7] Wikipedia, 2005, http://eprints.undip.ac.id/2836/1/Bab_I_dan_Bab_II.pdf, diakses

(1)

lintasan Pndengan n genap dapat dijelaskan sebagai berikut: e

( )

v₁ = e

( )

v_n = n- 1

( )

v₂ = e

( )

v_n₋₁ = n−2 M

( )

v_n = e

( )

v_n₊₁ = 2 n n−

Sehingga eksentrisitas titik e(vi) pada graf lintasan Pn untuk n genap adalah: untuk 2 ,..., 2 , 1 n

i= ,

untuk i n n ,...,n 2 4 , 2 2 + + = untuk 2 ,..., 2 , 1 n

i= ,

Dengan demikian titik eksentrik dari untuk i n n ,...,n

2 4 , 2 2 + + =

Untuk n genap, eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf dengan himpunan titik V(ED(Pn)) = {v1, v2, v3,…, vn} dan himpunan arc A(Pn) = {a1, a2, a3,…, an}, dimana:

untuk 2 ,..., 3 , 2 , 1 n i=

untuk i n n ,...,n 2 4 , 2 2 + + =

Jadi banyaknya arc pada ED(Pn) untuk n genap adalah n. Dengan demikian untuk n genap, maka eksentrisitas digraf pada gaf lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B, dengan himpunan titik V1 = {v1, v2, …, vn} dan V2 = {v1, v2,…, vn}. Contoh eksentrisitas digraf dari graf Pn untuk n genap diberikan pada Gambar 3.6.

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = 1 i i n v e _i ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 v v v v a i n i i

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

n i

(2)

(3)

(4)

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang dapat diambil mengenai eksentrisitas digraf pada graf sikel dan graf lintasan adalah:

1. Eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn) dibedakan menjadi dua, yaitu:

a) Untuk jumlah titik n ganjil, eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah digraf sikel Cnyang setiap arcnya adalah arc simetrik yang berjarak 1

2 n−

b) Untuk jumlah titik n genap, eksentrisitas digraf pada graf sikel ED(Cn) adalah gabungan

2 n

digraf lintasan dengan 2

titik

2 2 1

P =

sur

U

, dimana arcnya adalah arc simetrik.

2. Eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) dibedakan menjadi dua,

yaitu:

a) Untuk jumlah titik n ganjil, eksentrisitas digraf pada graf lintasan ED(Pn) adalah digraf tripartit, dengan himpunan titik

V1= {v1, v2,…, vn}, V2= {v1, v2, …, vn}, V3 = {v1, v2,…, vn}. b) Untuk jumlah titik n genap, eksentrisitas digraf pada graf

lintasan ED(Pn) adalah digraf bipartit B dengan himpunan

(5)

(6)

[1] Munir, Rinaldi. 2004. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

[2] Gafur, A. 2007. Eksentrisitas Digraf dari Graf Star, Graf Doble Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelabelan konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit komplit. Diakses tanggal 20 juli 2009.

[3] Wicaksono, S.U. (2006). Eksentrisitas digraf dari graf – graf khusus. Diakses tanggal 20 juli 2009.

[4] Lipschutz, Seymour, Ph.D, dkk, 1998, ”Matematika Diskrit 2”, Terjemahan Tim Editor Penerbit Salemba Teknik.

[5] Deo, Narsing. 1986. Graph Theory With Aplications to Enginering and Computer Science. New delhi: Prentice-Hall of India Private Limited.

[6] Wikipedia, 2006, http://www.mipa.unej.ac.id/data/karya/math/widya.pdf, diakses tanggal 12 Desember 2009.

[7] Wikipedia, 2005, http://eprints.undip.ac.id/2836/1/Bab_I_dan_Bab_II.pdf, diakses tanggal 14 Desember 2009.

Eksentrisitas Digraf Pada Graf Cycel

SKRIPSI

SRI SUNDARI

050803041

MATEMATIKA KOMPUTASI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SRI SUNDARI

050803041

MATEMATIKA KOMPUTASI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

( )

( )

U

( ) {

}

( ) {

}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

v

v

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

v

v

U

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

v

v

v

U

Parts