BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Sejarah Graf
Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf tahun 1736. Di kota KÖnigsberg sebelah timur Negara
bagian Prussia, Jerman, sekarang bernama kota Kaliningrad, terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak
sungai.
Gambar 2.1 Jembatan dan Graf yang merepresentasikan jembatan KÖnigsberg
Universitas Sumatera Utara
Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut Gambar 2.1a. Masalah jembatan KÖnigsberg adalah apakah
mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula. Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak
mungkin melalui setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat asal mula keberangkatan, tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian
jawabannya, kecuali dengan cara coba-coba. Tahun 1736, seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah itu
dengan pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakannya sebagai titik
noktah yang disebut simpul vertex dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi edge. Setiap titik diberi label huruf A, B, C, dan D. Graf yang dibuat
oleh Euler diperlihatkan pada Gambar 2.1b. Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah orang tidak mungkin melalui
ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembal lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap. Yang dimaksud
dengan derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan noktah. Sebagai contoh, simpul C memiliki derajat 3 karena ada 3 buah garis yang bersisian dengannya, simpul
B dan D juga berderajat 3, sedangkan simpul A berderajat 5. karena tidak semua simpul berderajat genap, maka tidak mungkin dilakukan perjalanan berupa sirkuit
yang dinamakan dengan sirkuit Euler pada graf tersebut. 2.2
Teori Graf
Sebelum sampai pada pendefinisian masalah eksentrisitas, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep- konsep dasar dari model graf.
sebuah graf G adalah pasangan V,E dimana V adalah himpunan tak kosong yang anggotanya disebut verteks dan E adalah himpunan yang anggotanya adalah
pasangan tak berurut dari verteks V yang disebut edge. Secara umum graf dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana verteks
ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan v
i
, i = 1, 2, …, P dan edge digambarkan dengan sebuah garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua
Universitas Sumatera Utara
verteks v
i
, v
j
dan dinotasikan dengan e
k
. sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.2 yaitu suatu graf yang mempunyai lima verteks dan enam edge.
Gambar 2.2 Graf dengan lima verteks dan enam edge 2.2.1 Definisi dan Notasi
Sisi yang menghubungkan dua titik yang sama,yakni e = vv disebut loop. Jika terdapat
lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap
multiple edge. Pada gambar 2.3 sisi e
3
adalah loop dan sisi e
1
, e
2
adalah sisi rangkap. Graf yang tidak mempunyai
loop dan sisi rangkap disebut graf sederhana. Order n dari graf G adalah banyaknya titik di G, yakni n =
│V│. Graf yang order-nya hingga disebut dengan graf hingga.
Gambar 2.3 Graf yang memuat loop dan sisi rangkap
Universitas Sumatera Utara
Jalan walk W dengan panjang n dari titik a ke b pada graf G adalah barisan
titik a = v
, e
1
, v
1
, e
2
, v
2
, e
3
, v
3
, …, v
n-1
, e
n
, v
n
= b n ≥ 0 yang terdiri dari titik dan sisi
di G yang diawali dan diakhiri dengan titik, sedemikian hingga v
i
, v
i+1
adalah sisi di G untuk setiap i = 0, 1, 2, …, n-1. Jalan ini menghubungkan titik v
dan v
n
, dan dapat juga dinotasikan sebagai
v ,
v
1
,…, v
n
. Jalan dikatakan tertutup jika a = b dan terbuka
jika a
≠ b. Sebagai contoh pada Gambar 2.4, x-w-y-v-u-x adalah jalan tertutup dengan panjang 5 dan u-v-w-x-u-v-y adalah jalan terbuka dengan panjang 6. Jejak trail
adalah jalan dimana tidak ada sisi yang berulang. Jalan dikatakan lintasan path jika semua titiknya berbeda. Lintasan adalah jejak, akan tetapi tidak semua jejak adalah
lintasan. Sedangkan lintasan tertutup dinamakan siklus cycel. Pada gambar 2.4, jalan x-w-v-u-w-y adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan u-x-w-v-y adalah lintasan,
dan u-w-y-v-u adalah siklus.
u e
1
v
Gambar 2.4 Walk pada graf
Misal pada graf G terdapat 2 titik v
i
dan v
j
, dua buah titik pada graf G
dikatakan berdekatan adjacent bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah
sisi. Atau dapat ditulis singkat dengan notasi e = v
i ,
v
j
Є E G. Diberikan
graf G dan {v
i
, v
j
} Є v G , jika e = v
i
, v
j
Є E G. maka dikatakan e insiden incident dengan titik v
i
atau e incident dengan titik v
j
. Derajat
degree sebuah titik v pada sebuah graf G yang dituliskan dengan deg v adalah banyak sisi yang insiden pada v , dengan kata lain banyak sisi yang
Universitas Sumatera Utara
memuat v sebagai titik ujung. Derajat minimal pada suatu graf G dinotasikan
δ, sedangkan derajat maksimal pada graf
G dinotasikan dengan ∆.
Misal terdapat dua buah titik u dan v di dalam graf, dimana u dan v saling
berdekatan. Jika sisi e insiden terhadap titik u dan v , maka titik u dan v disebut
endpoint dari sisi e.
Gambar 2.5 Graph G
Graph G memuat V G = {v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
} dan E G = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
, e
7
} i Pada graf
G , titik v
2
dan titik v
3
merupakan titik yang berdekatan, sedangkan titik v
2
dan titik v
4
bukan merupakan titik yang berdekatan. ii Pada graf
G , sisi e
3
insiden dengan titik v
2
dan titik v
3
, tetapi tidak terdapat sisi yang insiden dengan titik
v
2
dan titik v
4
. iii Pada graf
G , titik v
2
dan titik v
3
merupakan endpoint dari sisi e
3
. iv Pada graf
G , deg v
3
= 5, deg v
4
= 2, dan deg v
5
= 0 2.2.2
Macam-macam graf
Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat
dipandang berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, arah dan bobotnya, ada tidaknya sisi ganda.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan jumlah simpul yang dimilikinya, graf digolongkan menjadi dua jenis: 1.
Graf berhingga limited graph yaitu graf yang memilki jumlah simpul
berhingga.
Gambar 2.6 Graf berhingga
2.
Graf tak berhingga unlimited graph yaitu graf yang jumlah simpulnya
tak berhingga. Secara geometris graf tak berhingga digambarkan dengan sisi–sisi yang hanya memiliki satu simpul untuk setiap simpul luarnya.
Sekilas nampak seperti graf yang belum selesai digambar.
Gambar 2.7 Graf tak berhingga.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan arah dan bobotnya, graf digolongkan menjadi empat jenis, yaitu: 1.
Graf berarah dan berbobot: tiap busur mempunyai anak panah dan bobot.
Gambar 2.8 menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A menunjukkan arah ke titik B dan titik
C, titik B menunjukkan arah ke titik D dan titik C, dan seterusnya. Bobot antar titik A dan titik B pun telah di ketahui.
-
Gambar 2.8 Graf berarah dan berbobot
2.
Graf tidak berarah dan berbobot: tiap busur tidak mempunyai anak panah
tetapi mempunyai bobot. Gambar 2.9 menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A tidak
menunjukkan arah ke titik B atau C, namun bobot antara titik A dan titik B telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain.
B E
A D
G
C F
2 2
2 2
2 1
3 1
1 3
4 4
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.9 Graf tidak berarah dan berbobot
3.
Graf berarah dan tidak berbobot: tiap busur mempunyai anak panah yang
tidak berbobot. Gambar 2.10 menunjukkan graf berarah dan tidak berbobot.
Gambar 2.10 Graf berarah dan tidak berbobot
4.
Graf tidak berarah dan tidak berbobot: tiap busur tidak mempunyai anak
panah dan tidak berbobot.
B E
A D
G
C F
4 3
3 2
2 2
1
1 1
4 2
2
B E
A D
G
C F
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.11 Graf tidak berarah dan tidak berbobot
Berdasarkan jenis sisinya graf digolongkan menjadi dua jenis: 1.
Graf sederhana yaitu graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun loop.
Gambar 2.12 Graf sederhana.
2.
Graf tidak sederhana yaitu graf yang memiliki sisi ganda maupun loop.
Graf ini dibedakan menjadi dua yaitu:
a. Graf ganda yaitu graf yang memiliki sisi ganda. Sisi ganda adalah
Kategori