Solusi Analitis PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS

Skema volume hingga dari persamaan 4.1.1 adalah � + = � − ∆ ∆ + − − 4.1.2 dengan � ≈ � , adalah pendekatan dari fungsi kepadatan lalu lintas dan + ≈ � + , adalah fluks Lax–Friedrich yang digunakan dalam perhitungan volume hingga. Selanjutnya, akan dicari fluks dari persamaan 4.1.2 yaitu + = � + + � − ∆ ∆ � + − � = � + ax − � + � ax + � ax − � � ax − ∆ ∆ � + − � , 4.1.3 dan − = � + � − − ∆ ∆ � − � − = � ax − � � ax + � − ax − � − � ax − ∆ ∆ � − � − . 4.1.4 Jadi, metode volume hingga untuk persamaan masalah arus lalu lintas didapat dengan cara menyubstitusikan persamaan 4.1.3 dan 4.1.4 ke dalam persamaan 4.1.2: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + = � − ∆ ∆ [ � + ax − � + � ax + � ax − � � ax − ∆ ∆ � + − � − � ax − � � ax + � − ax − � − � ax − ∆ ∆ � − � − ], atau � + = � − [ ∆ ∆ � + ax − � + � ax + � ax − � � ax − ∆ ∆ ∆ ∆ � + − � − ∆ ∆ � ax − � � ax + � − ax − � − � ax − ∆ ∆ ∆ ∆ � − � − ], atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + = � − ∆ ∆ � + ax − � + � ax + � ax − � � ax + ∆ � + − � + ∆ ∆ � ax − � � ax + � − ax − � − � ax + ∆ � − � − , atau � + = � − ∆ ∆ � + ax − � + � ax − ∆ ∆ � ax − � � ax + � + − � + ∆ ∆ � ax − � � ax + ∆ ∆ � − ax − � − � ax − � − � − , atau � + = � − ∆ ∆ � + ax + ∆ ∆ � + ax � + � ax − ∆ ∆ � ax + ∆ ∆ � ax � � ax + � + − � + ∆ ∆ � ax − ∆ ∆ � ax � � ax + ∆ ∆ � − ax − ∆ ∆ � − ax � − � ax − � + � − , atau � + = � − ∆ ∆ � + ax + ∆ ∆ � + ax � + � ax + � + − � + ∆ ∆ � − ax − ∆ ∆ � − ax � − � ax − � + � − , atau � + = − ∆ ∆ � + ax + ∆ ∆ � + ax � + � ax + � + + ∆ ∆ � − ax − ∆ ∆ � − ax � − � ax + � − . 4.1.5

B. Sistem Relaksasi Jin–Xin

Persamaan 4.1.1 dapat dimodifikasi menjadi � + = 4.2.1 dengan tambahan satu persamaan lain. Persamaan 4.2.1 mempunyai sistem relaksasi Jin –Xin, yaitu { � + = , + � = − � − � , 4.2.2 dengan � bilangan positif yang cukup kecil yang merupakan parameter dari relaksasi, adalah variabel yang sengaja dibuat untuk perhitungan dari sistem PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI relaksasi, dan bilangan positif konstan yang merupakan karakteristik kecepatan dari sistem relaksasi dengan syarat − ′ � . Untuk � → , maka = mengakibatkan sistem relaksasi 4.2.2 dapat diaproksimasi menjadi � + � = . 4.2.3 Misalkan domain ruang didiskretisasikan sebanyak berhingga sel, dengan ∆ = + − − , dimana + = ∆ + ∆ dan domain waktu didiskretisasikan sebanyak berhingga langkah waktu, dengan ∆ = + − untuk = , , , …. Selanjutnya, dengan pendekatan dapat dibentuk + = + , dan didefinisikan menjadi = + + − ∆ . 4.2.4 Pendiskretan hukum konservasi persamaan 4.2.2 terhadap domain ruang dan langkah waktu dengan menggunakan metode garis adalah { � + ∆ + − − = , + ∆ � + − � − = − � − , 4.2.5 dengan, = ∆ ∫ � + − = ∆ ∫ � + − + ℎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI