Sistem Relaksasi Jin–Xin

+ ∆ + − − − ∆ − � + − � + � − = − � − � , + − ∆ + ∆ + − − − ∆ − � + − � + � − = − � − � . 4.2.14 Jadi, skema sistem relaksasi Jin –Xin pada sistem persamaan 4.2.7 adalah � + = � − ∆ ∆ + − − + ∆ ∆ � + − � + � − , atau � + = � − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − + ∆ ∆ � + − ∆ ∆ � + ∆ ∆ � − , atau � + = − ∆ ∆ � − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − + ∆ ∆ � + + ∆ ∆ � − , 4.2.15 dan + = − ∆ ∆ + − − + ∆ ∆ − � + − � + � − − � − � , atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI + = − ∆ ∆ + − ∆ ∆ − + ∆ ∆ − � + − ∆ ∆ − � + ∆ ∆ − � − − � + � � , atau + = − � − ∆ ∆ + − ∆ ∆ − + ∆ ∆ − � + − ∆ ∆ − � + ∆ ∆ − � − + � � . 4.2.16 Dalam skripsi ini, penentuan epsilon masih open problem. Penulis membatasi = − .

C. Eror Solusi Numeris

Untuk sembarang fungsi a a i i yang didekati oleh i dalam domain ruang dan waktu mengahasilkan eror absolut yang didefinisikan sebagai eror absolute = ∫ Ω | a a i i − i | dengan Ω adalah domain ruang yang diketahui. Tidak semua model yang kontinu dapat selesaikan dengan mudah secara analitis ataupun numeris sehingga perlu didiskretisasi terhadap domain ruang atau waktu. Dalam perhitungan secara diskret, eror absolut pada kasus ini didefinisikan sebagai eror absolute = ∑|� a a i i − � i | dengan � a a i i dan � dalam bentuk vektor. Disini adalah length � a a i i yaitu banyaknya komponen pada � a a i i . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris

Dipandang model deterministik arus lalu lintas secara kontinu dalam domain ruang − dan domain waktu � + � � = dengan nilai awal kepadatannya adalah � , = { jika , jika lainnya. Nilai batas kepadatannya yaitu � − , = dan � , = untuk setiap . Kecepatan kendaraan didefinisikan sebagai � = ax − � � ax . Diasumsikan � ax = and ax = .

1. Simulasi Solusi Analitis

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi dari solusi analitis yang didapat dari skema persamaan 3.11.14. Pada simulasi ini diambil ∆ = . dan ∆ = . ∆ dan i a = . Gambar 4.2 menunjukkan solusi analitis untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 4.2 Solusi analitis kepadatan lalu lintas dengan ∆ = . dan ∆ = . ∆ setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.

2. Simulasi Solusi Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untuk solusi model arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs yang didapat dari skema persamaan 4.1.5. Pada simulasi ini diambil ∆ = . dan ∆ = . ∆ dengan i a = yang ditunjukkan oleh Gambar 4.3 untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan disebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.4 menunjukkan eror dari metode volume hingga Lax-Friedrichs yang dibandingkan dengan solusi analitisnya. Hasil Eror yang dihasilkan oleh metode volume hingga Lax- Friedrichs paling besar mencapai 0.4. Gambar 4.3 Solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas dengan ∆ = . dan ∆ = . ∆ setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau. Gambar 4.4 Eror dari solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3. Simulasi Solusi Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untul solusi model arus lalu lintas dengan menggunakan sistem relaksasi Jin-Xin yang didapat dari skema persamaan 4.2.15 dan 4.2.15. Pada simulasi ini diambil � = − , ∆ = . dan ∆ = . ∆ dengan i a = yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5 untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.6 menunjukkan eror dari sistem relaksasi Jin-Xin yang dibandingkan dengan solusi analitiknya. Hasil eror yang dihasilkan sistem relaksasi Jin-Xin paling besar mencapai 0.1. Gambar 4.5 Solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas dengan ∆ = . dan ∆ = . ∆ setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 4.6 Eror dari solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas. Kombinasi solusi analitis dan numerisnya ditunjukkan oleh Gambar 4.7. Dari hasil simulasi tersebut, dapat dilihat bahwa sistem relaksasi Jin-Xin merupakan metode yang lebih akurat untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas yang berbentuk persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga Lax- Friedrichs menghasilkan solusi yang grafiknya agak jauh dari grafik solusi analatisnya dan eror yang dihasilkan relatif cukup besar hingga mencapai 0.4, sedangkan sistem relaksasi Jin-Xin menghasilkan solusi yang grafiknya cukup dekat dari grafik solusi analitiknya dan eror yang dihasilkan lebih kecil daripada metode volume hingga Lax-Friedrichs yaitu hanya sebesar 0.1.