Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan Berdekatan
DAFTAR PUSTAKA
Akelbek, Mahmud dan Kirkland, Steve. 2008. Coefficient of Egrodicity and The
Scrambling Index. Linear Algebra And Its Application. 430: 1111-1130.
Akelbek, Mahmud dan Kirkland, Steve. 2009. Primitive digraphs with The
Largest Scrambling Index. Linear Algebra And Its Application. 430:
1099-1110.
Chen, Shexi dan Liu, Bolian. 2010. The Scrambling Index Of Symmetric Primitive Matrices. Linear Algebra Application And Its Application. 433: 11101126.
Cho, Hyuk Han., Kim, Suh-Ryung dan Nam, Yunsun. 2000. The m-Step Competition Graf of Digraf. Discrete Applied Mathematics. 105: 115-127.
Kim, Kyung Hwa. 2010. Generalized Competition Index of Primitive digraph.
Linear Algebra Application And Its Application. 433: 72-79.
Shao, Yanling., Gao, Yubin dan Li, Zhongshan. 2012. The M-Competition
Indices Of Symmetric Primitive Digraphs Whitout Loops. A Publication
of The International Linear Algebra Society. Vol 23: 457-472.
West, B Douglas. 2002. Introduction to Graph Theory: Second Edition. University of Illnois, Urbana.
Yesilyurt, Dentz. 2012. Solving Linear Diophantine Equation Linear Congruental Equations. Linnaeus University, Sweden.
Universitas Sumatera Utara
18
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bagian ini dipaparkan langkah-langkah untuk memperoleh batas atas mkompetisi indeks dari digraf primitif dengan n buah titik v1 , v2 , · · · , vn di digraf
D yang terdiri atas lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop diletakkan berdekatan yang disimbolkan dengan s Dn . Adapun
langkah-langkah yang dilakukan adalah
Gambar 3.1. (a) Digraf 1 Dn (b) Digraf s Dn
1. Ditentukan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks untuk
digraf 1 Dn yaitu sebuah digraf terdiri atas lingkaran Hamiltonian v1 →
v2 → v3 → · · · → vn → v1 dan sebuah loop diletakkan di titik v1 yang
diilustrasikan pada gambar 3.1.a. Adapun cara yang dilakukan yaitu,
1.1 Menentukan nilai batas atas m-kompetisi indeks dari 1 D3 hingga 1 Dn
lalu menentukan bentuk rumus umumnya yang berbentuk km (1 Dn ) ≤
f (m, n).
1.2 Membuktikan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks
dari digraf 1 Dn . Yaitu, cukup memperlihatkan bahwa untuk masingmasing pasang titik vi dan vj di 1 Dn terdapat sebuah jalan dengan
panjang f (m, n) yang menghubungkan titik vi ke masing-masing titikvt
dan vj ke masing masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m.
Universitas Sumatera Utara
19
2. Ditentukan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks untuk
digraf s Dn yaitu sebuah digraf terdiri atas lingkaran Hamiltonian v1 → v2 →
v3 → · · · → vn → v1 dan s buah loop diletakkan pada titik v1 , v2 , · · · , dan
vs seperti diilustrasikan pada gambar 3.1.b. Adapun cara yang dilakukan
yaitu,
2.1 Menentukan nilai batas atas m-kompetisi indeks dari 2 Dn hingga s Dn
lalu menentukan bentuk rumus umumnya yang berbentuk km (s Dn ) ≤
f (m, n, s)
2.2 Membuktikan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks
dari digraf s Dn . Yaitu, cukup memperlihatkan bahwa untuk masingmasing pasangan titik vi dan vj di s Dn terdapat sebuah jalan dengan
panjang f (m, n, s) yang menghubungkan titik vi ke masing-masing titik
vt dan vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m.
Universitas Sumatera Utara
20
BAB 4
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA BUAH LOOP
Pada bagian ini akan dipaparkan hasil penelitian dari digraf s Dn yaitu digraf
lingkaran hamiltonian dengan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan.
Hal-hal yang akan dipaparkan adalah batas atas dari m-kompetisi indeks dari digraf 1 Dn dilanjutkan dengan batas atas digraf s Dn dengan n ∈ Z+ dan 1 ≤ s ≤ n
dilengkapi dengan pembuktian untuk masing-masing kasus.
4.1 Batas Atas M-kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian 1 buah loop
Gambar 4.1. Digraf 1 Dn
Didefinisikan sebuah digraf 1 Dn seperti pada gambar 4.1 yaitu digraf dengan sebuah lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan sebuah
loop yang diletakkan pada titik v1 . Untuk mendapatkan batas atas m-kompetisi
indeks dari digraf 1 Dn dan proses untuk mendapatkan buktinya semua dilakukan
secara induksi yaitu mengambil seluruh informasi dari m-kompetisi indeks dari
digraf 1 D3 hingga 1 Dt untuk t = 1, 2, 3, · · · , n.
Teorema 4.1.
maka
Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana n, m adalah bilangan bulat
k m ( 1 Dn ) ≤ m + n − 2
Universitas Sumatera Utara
21
Bukti. Dari definisi digraf 1 Dn , setiap titik pada digraf 1 Dn terletak di dalam
sebuah lingkaran dan panjang semua lingkaran yang ada di 1 Dn adalah 1 dan n
yang mengakibatkan digraf 1 Dn terhubung kuat dan pembagi persekutuan terkecil untuk setiap panjang lingkaran di 1 Dn adalah 1. Sehingga, digraf 1 Dn adalah
digraf primitif.
Selanjutnya, akan dibuktikan km (1 Dn ) ≤ m + n − 2, yaitu cukup diperlihatkan
bahwa untuk setiap titik vi di 1 Dn terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing
titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan panjang m + n − 2.
Semua komposisi jalan Wvi ,vt akan diperlihatkan dalam 2 kasus berdasarkan letak
titik asal vi . Sehingga semua komposisi jalannya adalah sebagai berikut
Kasus 1. Titik vi = v1 .
Jalan yang dimulai dari titik vi = v1 , lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + n − 1 − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik v1 ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang
m + n − 2.
Kasus 2. Titik vi terletak di lintasan v2 → v3 → · · · → vn .
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
dengan panjang n + 1 − i, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − 2 kali,
lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 adalah
sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang m + n − 2.
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap titik vi di 1 Dn dapat menuju ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3 · · · , m dengan panjang m+n−2. Sehingga,
terbukti bahwa km (1 Dn ) ≤ m + n − 2.
Universitas Sumatera Utara
22
4.2 Batas Atas M-kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian s buah loop
Gambar 4.2. Digraf s Dn
Didefinisikan sebuah digraf s Dn seperti pada gambar 4.2 yaitu digraf dengan sebuah lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan s buah
loop yang diletakkan pada titik v1 , v2 , v3 , v4 , · · · , vs . Untuk mendapatkan batas
atas m-kompetisi indeks dari digraf s Dn dan proses untuk mendapatkan buktinya
semua dilakukan secara induksi.
Teorema 4.2. Untuk s sebuah bilangan bulat dimana 1 < s ≤ n.
dan 1 ≤ m ≤ n dimana m, n adalah bilangan bulat maka
km (s Dn ) ≤ n + m − ⌈
Jika n ≥ 3
s+2
⌉
2
Bukti. Dari definisi digraf s Dn , setiap titik pada digraf s Dn terletak di dalam
sebuah lingkaran dan panjang semua lingkaran yang ada di s Dn adalah 1 dan n
yang mengakibatkan digraf s Dn terhubung kuat dan pembagi persekutuan terkecil untuk setiap panjang lingkaran di s Dn adalah 1. Sehingga, digraf s Dn adalah
digraf primitif.
⌉, yaitu cukup diperlihatkan
Selanjutnya, akan dibuktikan km (s Dn ) ≤ n+m−⌈ s+2
2
bahwa untuk setiap pasangan titik (vi , vj ) di s Dn terdapat jalan dari titik vi ke
masing-masing titik vt dan vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan
panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Universitas Sumatera Utara
23
Semua komposisi jalan Wvi ,vt dan Wvj ,vt akan diperlihatkan dalam 3 buah kasus
berdasarkan letak titik asal vi dan vj . Sehingga semua komposisi jalannya adalah
sebagai berikut.
Kasus 1. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan vj terletak di lintasan
vs → vs+1 → · · · → vn .
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
dengan panjang n − i + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − ⌈ s+2
⌉−t
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1 dengan panjang t − 1
adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt dimana 1 ≤ t ≤ m dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉ dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik v1
2
sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1 lalu mengitari loop v1 → v1
sebanyak m + j − ⌈ s+2
⌉ − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1
2
dengan panjang t−1 adalah sebuah jalan dari titik vj ke titik vt dimana 1 ≤ t ≤ m
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) dimana vi dan vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn , terdapat jalan dari
titik vi ke masing-masing titik vt dan vj ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m
⌉.
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
2
Kasus 2. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan vj terletak di lintasan
v1 → v2 → · · · → v s .
Untuk pasangan titik (vi , vj ) dimana i < j dan l(Pvi ,vj ) ≤ l(Pvj ,vi ). Jika m ≤
n − j + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik vj sepanjang lintasan Pvi ,vj dengan panjang j − i, lalu mengitari loop vj → vj sebanyak
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan
n + m + i − t − ⌈ s+2
2
panjang t−j adalah jalan dari titik vi ke titik vt dimana j ≤ t ≤ j+m−1 dan jalan
yang dimulai dari titik vj , lalu mengitari loop vj → vj sebanyak n+m−⌈ s+2
⌉+j−t
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan panjang t − j adalah
⌉.
jalan dari titik vj ke titik vt untuk j ≤ t ≤ m+j −1 dengan panjang n+m−⌈ s+2
2
Universitas Sumatera Utara
24
Jika m > n − j + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik
vj sepanjang lintasan Pvi ,vj dengan panjang j − i, lalu mengitari loop vj → vj
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan
sebanyak n + m + i − t − ⌈ s+2
2
Pvj ,vt dengan panjang t − j untuk j ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vi ,
lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n − i + 1, lalu
mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt
2
sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + j − 1 adalah
jalan dari titik vi ke titik vt dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu mengitari loop vj → vj sebanyak n + m −
⌉+j −t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan panjang
⌈ s+2
2
t − j untuk j ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik
v1 sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1, lalu mengitari loop v1 → v1
sebanyak m + j − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt
2
dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + j − 1 adalah jalan dari titik vj ke
titik vt dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Untuk pasangan titik (vi , vj ) dimana i < j dan l(Pvi ,vj ) > l(Pvj ,vi ). Jika m ≤
n − i + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu mengitari loop vi → vi se⌉ + i − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt
banyak n + m − ⌈ s+2
2
dengan panjang t − i adalah jalan dari titik vi ke titik vt dimana i ≤ t ≤ m + i − 1
dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik vi sepanjang lintasan
⌉+j−t
Pvj ,vi dengan panjang n−j+i, lalu mengitari loop vi → vi sebanyak m−⌈ s+2
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i adalah
⌉.
jalan dari titik vj ke titik vt untuk i ≤ t ≤ m+i−1 dengan panjang n+m−⌈ s+2
2
Jika m > n − i + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu mengitari loop
vi → vi sebanyak n + m − ⌈ s+2
⌉ + i − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang
2
lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i untuk i ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari
titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n−i+1,
⌉, lalu bergerak ke titik vt
lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − ⌈ s+2
2
sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + i − 1 adalah
⌉.
jalan dari titik vi ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik vi sepanjang lintasan Pvj ,vi
Universitas Sumatera Utara
25
dengan panjang n−j +i, lalu mengitari loop vi → vi sebanyak n+m+j −t−⌈ s+2
⌉
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i untuk
i ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang
lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + j − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan
2
panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + i − 1 adalah jalan dari titik vi ke titik vt
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan titik vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn terdapat
jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dan vj ke masing⌉.
masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Kasus 3. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi terletak di lintasan v1 → v2 →
· · · → vs dan titik vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn .
Komposisi jalan pada kasus ini terbagi ke dalam 2 subkasus berdasarkan letak
posisi titik vi . Yaitu,
Subkasus 3.1 Untuk titik vi terletak di lintasan v1 → v2 → · · · → v⌈ s+1 ⌉
2
Jika m ≤ n − ⌈ 2s ⌉, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke
titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvi ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang ⌈ s+1
⌉ − i mengitari loop
2
2
2
⌉ + i − t lalu bergerak ke titik vt sepanjang
v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak m + n − ⌈ s+2
2
2
2
lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt dengan panjang t − ⌈ s+1
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉+m−1
2
2
2
2
adalah jalan yang menghubungkan titik vi ke titik vt dengan panjang m+n−⌈ s+2
⌉
2
dan jalan yang dimulai dari titik vj lalu menuju titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan
2
Pvj ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang n − j + ⌈ s+1
⌉, lalu mengitari loop v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ se2
2
2
2
banyak m + j − ⌈ s+2
⌉ − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt
2
2
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉ + m − 1 adalah jalan yang
dengan panjang t − ⌈ s+1
2
2
2
⌉.
menghubungkan titik vj ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Jika m > n − ⌈ 2s ⌉, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke
titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvi ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang ⌈ s+1
⌉ − i mengitari loop
2
2
2
Universitas Sumatera Utara
26
v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak m + n − ⌈ s+2
⌉ + i − t, lalu bergerak menuju titik vt
2
2
2
sepanjang lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt dengan panjang t − ⌈ s+1
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ n dan
2
2
2
jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
sepanjang n − i + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m − ⌈ s+2
⌉ + i − t,
2
lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk
1 ≤ t ≤ m + ⌈ 2s ⌉ − n adalah jalan yang menghubungkan titik vi ke titik vt dengan
panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu menuju titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvj ,v⌈ s+1 ⌉
2
2
⌉, lalu mengitari loop v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak
dengan panjang n − j + ⌈ s+1
2
2
2
⌉
−
t
kali,
lalu
bergerak
ke
titik
v
sepanjang
lintasan
P
m + j − ⌈ s+2
t
v⌈ s+1 ⌉ ,vt sep2
2
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu
anjang t − ⌈ s+1
2
2
menuju ke titik v1 sepanjang n − j + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + j − ⌈ s+2
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1 dengan pan2
jang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m + ⌈ 2s ⌉ − n adalah jalan yang menghubungkan titik vj
⌉.
ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) pada subkasus 3.1 terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt dan vj ke
masing-masing titik vt , ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉ + m − 1 dengan panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
2
2
Subkasus 3.2 Untuk titik vi terletak di lintasan v⌈ s+3 ⌉ → v⌈ s+5 ⌉ → · · · → vs
2
2
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak menuju titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n + 1 − i, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panm + i − ⌈ s+2
2
jang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang
m + n − ⌈ s+2
⌉ dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak menuju titik v1
2
sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n + 1 − j, lalu mengitari loop v1 → v1
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt
sebanyak m + j − ⌈ s+2
2
dengan panjang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m
dengan panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) pa-
Universitas Sumatera Utara
27
da subkasus 3.2 terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m
dan vj ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang m+n−⌈ s+2
⌉. Sehing2
⌉.
ga, dari kasus 1, kasus 2, dan kasus 3, terbukti bahwa km (s Dn ) ≤ m + n − ⌈ s+2
2
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Penelitian ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf s Dn yaitu digraf lingkaran hamiltonian terdiri dari n titik dan s loop yang
diletakkan berdekatan. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
1. Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana n, m adalah bilangan bulat maka
k m ( 1 Dn ) ≤ m + n − 2
2. Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana m, n adalah bilangan bulat. Untuk sebuah
bilangan bulat positif 1 < s ≤ n maka
km (s Dn ) ≤ n + m − ⌈
s+2
⌉
2
Dari hasil tersebut, diperoleh bahwa digraf 1 Dn adalah digraf yang memiliki
batas atas m-kompetisi indeks yang terbesar.
5.2 Saran
Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mencari batas atas m-kompetisi
indeks dari digraf lingkaran hamiltonian dengan peletakan loop yang sembarang.
Universitas Sumatera Utara
6
BAB 2
DIGRAF PRIMITIF
Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k Dn merupakan sebuah
digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa
definisi digraf dan beberapa unsur-unsur lainnya. Lalu dilanjutkan dengan penjelasan digraf dikatakan primitif, Definisi dari pembagi persekutuan terbesar, dan
pemaparan dari m-kompetisi indeks.
2.1 Definisi Digraf
Digraf D adalah sebuah objek yang terdiri atas sebuah himpunan V (D) berjumlah n buah dan tak kosong yang unsur-unsurnya merupakan semua titik vi untuk
i = 1, 2, 3, · · · , n di digraf D dan sebuah himpunan A(D) yaitu sebuah pasangan berurut V × V yang terdiri atas semua unsur (vi , vj ) dimana vi ∈ V dan
vj ∈ V . Sehingga secara umum, digraf merupakan sebuah objek yang tersusun
atas elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung berarah yang dinamakan busur.
Sebagai contoh, gambar 2.1 akan menjadi ilustrasi pendukung untuk memahami
pengertian dari digraf D. diberikan sebuah digraf D seperti pada gambar 2.1
Gambar 2.1. Contoh digraf D
Universitas Sumatera Utara
7
Maka digraf D terdiri atas himpunan V (D) = {v1 , v2 , v3 , v4 } dan himpunan
A(D) = {(v1 , v1 ), (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v3 , v1 ), (v3 , v4 ), (v4 , v1 )}.
Terdapat beberapa istilah penting yang mendukung dalam penelitian ini,
a. Jika v ∈ V (D) maka himpunan k-step out-neighborhood dari titik v didefink
isikan sebagai N + (Dk : v) = {x ∈ V (G) : v → x} atau semua titik tujuan dari titik v di D dengan panjang jalan k. Seperti pada contoh diatas,
perhatikan titik v1 , N + (D : v1 ) = {v1 , v2 } , N + (D2 : v1 ) = {v1 , v2 , v3 },
N + (D3 : v1 ) = {v1 , v2 , v3 , v4 } .
b. Jalan pada digraf D merupakan sebuah barisan antara busur di D dinotasikan
dengan W tersusun atas barisan (u, v1 ), (v1 , v2 ), · · · , (vn−1 , vn ), (vn , v). biasanya penulisan pada barisan Wuv dapat diilustrasikan dengan u → v1 →
v2 → v3 → · · · → vn → v dan panjang dari jalan Wuv dinotasikan dengan
ord(Wuv ). Seperti pada contoh diatas, beberapa jalan untuk titik asal adalah
v2 dan titik tujuan v1 yaitu (1) Wv2 ,v1 : v2 → v3 → v1 , (2) Wv2 ,v1 : v2 →
v3 → v4 → v1 , (3) Wv2 ,v1 : v2 → v3 → v4 → v1 → v1 → v1 . Perhatikan bahwa banyaknya jalan dengan titik asal v2 dan titik tujuan v1 dapat lebih dari
satu selama ada busur yang menghubungkan setiap titik yang dikehendaki.
Untuk jalan pada poin 1, panjangnya adalah ord(Wv2 ,v1 ) = 2, panjang jalan
pada poin 2 adalah ord(Wv2 ,v1 ) = 3, dan panjang jalan pada poin 3 adalah
ord(Wv2 ,v1 ) = 5
c. Lintasan pada digraf D merupakan sebuah jalan tanpa perulangan titik dinotasikan dengan P . Pada dasarnya jalan di digraf D tidak memperhatikan
adanya perulangan titik pada busurnya, tetapi pada lintasan sebuah barisan
busur tidak memperbolehkan adanya perulangan titik pada titik asal hingga
titik tujuan. Perhatikan contoh jalan pada bagian c, jalan pada poin 1 dan
poin 2 merupakan sebuah lintasan tetapi jalan pada poin 3 bukan merupakan
lintasan.
d. Lingkaran pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup yang tersusun
atas barisan (u, v1 ), (v1 , v2 ), · · · , (vn−1 , vn ), (vn , u). Perhatikan contoh pada
gambar 2.1, Wv1 v1 : v1 → v2 → v3 → v1 merupakan lingkaran pada digraf
D.
Universitas Sumatera Utara
8
e. Lingkaran Hamiltonian pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup
dimana lintasan tersebut melalui semua titik yang ada di D. Pada gambar 2.1,
Wv1 ,v1 : v1 → v2 → v3 → v4 → v1 .
f. Loop pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup dengan panjang 1.
Pada gambar 2.1, Wv1 ,v1 : v1 → v1 merupakan loop.
g. jarak antara 2 buah titik u dan w di D adalah panjang jalan terpendek yang
bisa ditempuh oleh titik awal u ke titik tujuan w yang dinotasikan dengan
d(u, w).
h. Girth pada sebuah digraf D adalah panjang dari sebuah lingkaran terpendek
dari semua lingkaran di D. Maka, sebuah digraf D yang memiliki loop mempunyai girth sebesar 1.
Sebuah digraf dapat direpresentasikan ke dalam sebuah matriks ketetanggan
dengan definisi matriks bujursangkar A = (aij ) dengan besar ordo A merupakan
banyak titik pada digraf D yang setiap entri pada matriks A adalah
aij =
1,
bila (i, j) ∈ A(D)
0,
bila (i, j) ∈
/ A(D)
berdasarkan definisi digraf, tidak ada jaminan bahwa aij = aji untuk semua 1 ≤
i, j ≤ n. Ini mengakibatkan bahwa representasi matriks ketetanggaan di digraf D
bukan merupakan matriks simetris. Perhatikan digraf pada contoh 5, Representasi
matriks ketetanggaan untuk digraf pada gambar 2.1 adalah
1
0
A=
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Sebuah matriks A dikatakan non negatif jika semua entri (aij ) ≥ 0 dan sebuah
matriks A dikatakan positif jika semua entri (aij ) ≥ 1. Matriks A pada gambar
Universitas Sumatera Utara
9
2.1 merupakan matriks non negatif. untuk matriks A5 yaitu,
6
3
A5 =
6
4
4
2
3
2
2
2
2
1
1
1
2
1
merupakan matriks positif, karena tidak ada entri pada matriks A5 yang bernilai 0.
Selanjutnya pengertian dari sebuah digraf yang dikatakan terhubung kuat.
Sebuah digraf D dikatakan terhubung kuat jika dan hanya jika setiap pasang
u, v ∈ V (D), terdapat sebuah lintasan berarah dari titik u ke v dan dari titik v
ke u. Perhatikan contoh gambar 2.2 berikut,
Gambar 2.2 : Digraf 1 D4
Dengan memperhatikan setiap pasang (v1 , v2 ), (v1 , v3 ), (v1 , v4 ), (v2 , v3 ), (v2 , v4 ),
dan (v3 , v4 ), untuk
a. pasangan titik (v1 , v2 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v2 : v1 → v2 dan
Pv2 ,v1 : v2 → v3 → v4 → v1
b. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v3 : v1 → v2 → v3
dan Pv3 ,v1 : v3 → v4 → v1
c. pasangan titik (v1 , v4 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v4 : v1 → v2 → v3 →
v4 dan Pv4 ,v1 : v4 → v1
d. pasangan titik (v2 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2 ,v3 : v2 → v3 dan
Pv3 ,v2 : v3 → v4 → v1 → v2
Universitas Sumatera Utara
10
e. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2 ,v4 : v2 → v3 → v4
dan Pv4 ,v2 : v4 → v1 → v2
f. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv3 ,v4 : v1 → v3 → v4
dan Pv4 ,v3 : v4 → v1 → v2 → v3
Karena setiap pasang (vi , vj ) di digraf Dv1 memenuhi definisi dari terhubung kuat,
maka digraf Dv1 merupakan sebuah digraf yang terhubung kuat.
Teorema 2.1 : Andaikan sebuah digraf D dengan n titik v1 , v2 , · · · , dan vn , setiap
titik di D terletak dalam sebuah lingkaran jika dan hanya jika digraf D terhubung
kuat
Bukti. Diberikan sebuah digraf D dengan n titik v1 , v2 , · · · , dan vn . Perhatikan
karena semua titik vi di D untuk i = 1, 2, · · · , n berada di sebuah lingkaran, maka
dapat dibentuk sebuah jalan dimisalkan dengan Wv1 ,v1 : v1 → v2 → v3 → · · · →
vn → v1 . Didapat bahwa untuk sembarang pasangan vi , vj di D, maka didapat
lingkaran dengan jalan yaitu Wvi ,vi dan Wvj ,vj . Karena Wvi ,vi dan Wvj ,vj ada, maka pasti terdapat sebuah jalan dari vi ke vj dengan memanfaatkan lingkaran Wvi ,vi
dan sebuah jalan dari vj ke vi dengan memanfaatkan lingkaran Wvj ,vj . Sehingga
karena setiap pasang titik vi , vj di D mempunyai jalan dari titik vi ke vj dan dari
titik vj ke vi maka digraf D terhubung kuat.
Akan dibentuk lingkaran dengan setiap titik di D terletak didalamnya. Karena D terhubung kuat, maka setiap pasang titik (u, v) di D, terdapat sebuah jalan
berarah sederhana dari u ke v dan dari v ke u. Sehingga dengan menghubungkan
jalan berarah pada jalan Wu,v dengan Wv,u maka akan terbentuk sebuah lingkaran
Wu,u yang memuat seluruh titik di D. Ini merupakan akhir dari pembuktian pada
teorema ini.
2.2 Definisi digraf Primitif
Sebuah digraf D dikatakan primitif jika terdapat sebuah jalan berarah dengan
panjang tepat k dari setiap titik u ke setiap titik v. Nilai terkecil dari k merupakan eksponen dari digraf D dinotasikan dengan exp(D) (Akelbek dan Kirkland,
2008). Sebagai contoh, perhatikan kembali gambar 2.2. Digraf D pada gambar 2.2
Universitas Sumatera Utara
11
merupakan sebuah digraf primitif karena setiap pasangan titik (vi , vj ) di D mempunyai jalan dengan panjang yang sama dengan panjang jalan terpendek adalah
6. Sebuah digraf D dikatakan primitif jika dan hanya jika D adalah terhubung
kuat dan pembagian persekutuan terkecil untuk setiap lingkaran di D adalah 1
(Shao et al, 2012).
Proposisi 2.2 : (Akelbek dan Kirkland, 2008) Andaikan D merupakan sebuah
digraf primitif dengan n titik dan s merupaka girth pada D. Maka exp(D) ≤
n + s(n − 2).
Proposisi 2.3: Andaikan D merupakan sebuah digraf primitif dengan n titik dan
memiliki loop didalamnya. Maka exp(D) ≤ 2n − 2
Bukti.
Dengan menggunakan proposisi 2.2. Diketahui bahwa loop merupakan
lingkaran terpendek di D sehingga girth pada D adalah 1. Maka dengan mensubtitusikan s = 1 ke pertidaksamaan di proposisi 2 didapat exp(D) ≤ 2n − 2
2.3 Digraf s Dn Sebagai Digraf Primitif
Setelah beberapa pemaparan tentang bagaimana cara sebuah digraf dikatakan
primitif maka akan dibuktikan bahwa digraf s Dn merupakan sebuah digraf primitif. Didefinisikan bahwa digraf s Dn adalah digraf dengan lingkaran Hamiltonian
dimana terdapat s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Sehingga,
Akibat 2.7 Jika k merupakan banyak loop yang diletakkan berdekatan dan n
merupakan banyak titik di s Dn Maka s Dn merupakan digraf primitif.
Bukti. Untuk membuktikan bahwa s Dn merupakan digraf primitif hanya perlu
dibuktikan bahwa s Dn merupakan digraf yang terhubung kuat dan semua panjang
setiap lingkaran pada s Dn saling relatif prima. Berdasarkan teorema 2.1 digraf
s Dn merupakan digraf yang terhubung kuat. Perhatikan bahwa semua lingkaran
yang dimiliki digraf s Dn adalah v1 → v1 , v2 → v2 , v3 → v3 , · · · , vi → vi dan
v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan masing masing panjang adalah 1 dan n.
Karena GCD(n, 1) = 1 untuk setiap n bilangan bulat positif maka telah terbukti
bahwa s Dn merupakan digraf primitif.
Universitas Sumatera Utara
12
2.4 Definisi M -Kompetisi Indeks
Definisi 2.8 : Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n,
didefinisikan m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang
k
x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm sehingga x → vi dan
k
y → vi , dalam artian ada jalan Wxvi dan Wyvi dengan panjang yang sama untuk
setiap i = 1, 2, · · · , m.
Sebelum memasuki contoh, diperkenalkan terlebih dahulu beberapa definisi pembantu dalam pengerjaan m-kompetisi indeks.
Definisi 2.9 : Misalkan D merupakan sebuah digraf primitif. Indeks m-kompetisi
lokal pada sebuah titik x dan y di D adalah panjang jalan terpendek k untuk
sebuah pasangan titik (x, y) sehingga terdapat m titik berbeda v1 , v2 , v3 , · · · , vm
dari x → vt dan y → vt untuk t = 1, 2, 3, · · · , m, dinotasikan dengan
k
k
km (D : x, y) = min{k|x → vt dan y → vt , t ≥ k}
Maka dari definisi 2.9, nilai dari m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D adalah
km (D) = max km (D : x, y)
x,y∈V (D)
sehingga dari definisi 2.8, untuk setiap m = 1, 2, 3, · · · , n didapat
km (D : x, y) ≤ km (D)
Definisi 2.10 : k-step common out-neighborhood titik x dan y adalah semua himpunan titik vt di D terdiri atas n buah titik yang bisa dikunjungi dengan panjang
k
k
jalan k yaitu x → vt dan y → vt untuk t = 1, 2, 3, · · · ,n yang dinotasikan dengan
k
k
N + (Dk : x, y) = {vt ∈ V (D)|x → vt dan y → vt }.
Proposisi 2.11 : (Shao et al, 2012) untuk 1 ≤ m ≤ n, Andaikan D merupakan
digraf primitif dengan n titik , 1 ≤ m ≤ n, dan exp(D) merupakan eksponensial
Universitas Sumatera Utara
13
dari D. Maka,
k(D) = k1 (D) ≤ k2 (D) ≤ k3 (D) ≤ · · · ≤ kn (D) = exp(D)
Akibatnya scrambling index merupakan 1-kompetisi indeks dari sebuah digraf D
dan n-kompetisi indeks merupakan eksponen dari digraf D.
Sebagai contoh perhatikan kembali gambar 2.2. Untuk mendapatkan nilai dari
m-kompetisi indeks dari digraf tersebut terlebih dahulu dicari nilai m-kompetisi
indeks lokalnya dan untuk mendapatkan m-kompetisi indeksnya, diambil nilai
m-kompetisi lokal terbesar. Maka,
a. Untuk 1-kompetisi indeks didapat,
v1
v2
v3
v4
min(km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v1 , v3 ) =
2
3
4
5
2
k1 (v1 , v4 ) =
1
2
3
4
1
k1 (v2 , v3 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v2 , v4 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v3 , v4 ) =
2
3
4
5
2
Sehingga, k(D) = max{3, 2, 1, 3, 3, 2} = 3.
b. Untuk 2-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 ) (v1 , v3 ) (v1 , v4 ) (v2 , v3 ) (v2 , v4 ) (v3 , v4 ) (km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v1 , v3 ) =
3
4
5
4
5
4
3
k1 (v1 , v4 ) =
2
3
4
3
4
4
2
k1 (v2 , v3 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v2 , v4 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v3 , v4 ) =
3
4
5
4
5
4
3
Universitas Sumatera Utara
14
Sehingga, k2 (D) = max{4, 3, 2, 4, 4, 3} = 4
c. Untuk 3-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 .v3 )
(v1 , v3 , v4 )
(v2 , v3 , v4 )
(v1 , v2 , v4 ) (km (vi , vj ))k1 (v1 , v2 ) =
k1 (v1 , v3 ) =
4
5
5
5
4
k1 (v1 , v4 ) =
3
4
4
4
5
k1 (v2 , v3 ) =
5
6
6
6
5
k1 (v2 , v4 ) =
5
6
6
6
5
k1 (v3 , v4 ) =
4
5
5
5
4
Sehingga, k3 (D) = max{5, 4, 3, 5, 5, 4} = 5.
d. Untuk 4-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 .v3 , v4 )
(km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
6
6
k1 (v1 , v3 ) =
5
5
k1 (v1 , v4 ) =
4
4
k1 (v2 , v3 ) =
6
6
k1 (v2 , v4 ) =
6
6
k1 (v3 , v4 ) =
6
5
Sehingga, k4 (D) = max{6, 5, 4, 6, 6, 5} = 6. Ini merupakan akhir dari tinjauan
pustaka pada penelitian ini.
2.5 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Primitif.
Pada umumnya, pembuktian rumus umum m-kompetisi indeks digraf primitif dilakukan dengan membuktikan batas atas dan batas bawah rumusnya. Tetapi,
karena keterbatasan waktu, peniliti hanya membuktikan batas atas dari rumus
umum m-kompetisi indeks dari digraf primitif.
Setiap jalan berarah pada suatu digraf s Dn dapat diuraikan menjadi sebuah lin-
Universitas Sumatera Utara
5
15
tasan berarah, jalan yang mengililingi lingkaran, dan jalan yang mengelilingi loop.
Untuk membuktikan batas atas km (s Dn ) ≤ f (m, n, s) cukup dibuktikan bahwa
untuk setiap pasangan titik (vi , vj ) di s Dn terdapat sebuah jalan dengan panjang
f (m, n, s) dari titik vi ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , vm dan dari titik
vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , vm .
Dengan menggunakan gambar 2.2 sebagai contoh, akan dibuktikan masing-masing
batas atas dari digraf 1 D4 .
1. Untuk k1 (1 D4 ) ≤ 4.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 4 ke titik v1 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1
b. v2 → v3 → v4 → v1
c. v3 → v4 → v1 → v1
d. v4 → v1 → v1 → v1
ada jalan dengan panjang 4 ke titik v1 .
2. Untuk k2 (1 D4 ) ≤ 5.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 dan v2 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 dengan
menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v 1 → v1 → v1 → v1 → v2
b. v2 → v3 → v4 → v1 → v1
v 2 → v3 → v4 → v1 → v2
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1
v 3 → v4 → v1 → v1 → v2
d. v4 → v1 → v1 → v1 → v1
v 4 → v1 → v1 → v1 → v2
ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 dan v2 .
Universitas Sumatera Utara
16
3. Untuk k3 (1 D4 ) ≤ 6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 , v2 dan v3 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4
dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v1 → v 1 → v1 → v 1 → v1 → v 2
v1 → v 1 → v1 → v 1 → v2 → v 3
b. v2 → v3 → v4 → v1 → v1 → v1
v2 → v 3 → v4 → v 1 → v1 → v 2
v2 → v 3 → v4 → v 1 → v2 → v 3
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v1
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v1 → v 2
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v2 → v 3
d. v4 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v4 → v 1 → v1 → v 1 → v1 → v2
v4 → v 1 → v1 → v 1 → v2 → v3
ada jalan dengan panjang 6 ke titik v1 , v2 dan v3 .
4. Untuk k4 (1 D4 ) ≤ 6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 , v2 , v3 dan v4 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4
dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1
v1
v1
v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
b. v2
v2
v2
v2
→ v3
→ v3
→ v3
→ v3
→ v4
→ v4
→ v4
→ v4
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v1 → v1 → v2
Universitas Sumatera Utara
17
v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v2 → v 3
v3 → v4 → v1 → v1 → v2 → v3 → v 4
d. v4
v4
v4
v4
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
ada jalan dengan panjang 6 ke titik v1 , v2 , v3 dan v4 . Ini merupakan akhir dari
bab 2.
Universitas Sumatera Utara
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan sebuah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari sifatsifat, bentuk, dan ciri umum suatu graf . Banyak permasalahan dapat dimodelkan
dan direpresentasikan ke dalam bentuk sebuah graf dan diselesaikan dengan bantuan graf. Sebagai contoh, Jejaring sosial seperti facebook, twitter, instagram dan
lainnya dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf dengan memberikan bobot
pertemanan sebagai sisi dan pengguna sebagai titik. Sehingga secara singkat graf
yang dinotasikan dengan simbol G merupakan sebuah objek yang tersusun atas
elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung yang dinamakan sisi.
Jika setiap sisi pada sebuah graf G sembarang diberikan sebuah arah dengan
tidak mempengaruhi titik-titik di G akan memberikan sebuah defiinisi baru yang
dinamakan digraf yang dinotasikan sebagai D. Penggunaan definisi digraf sudah
banyak digunakan dalam pengembangan teorema-teorema yang berguna. Joel E.
Cohen (1968) memperkenalkan sebuah definisi kompetisi graf untuk penggunaan
pada sistem ekologi yang berhubungan dengan rantai makanan. Beliau mendefinisikan kompetisi graf C(D) adalah sebuah graf yang memiliki titik yang sama
dengan D dan sisi merupakan pasangan (x, y) dimana x, y ∈ D jika dan hanya
jika terdapat sebuah titik z ∈ D dimana (x, z) dan (y, z) merupakan arc di D
(Cho et all, 2000).
Seiring berkembangnya definisi dari kompetisi graf, banyak peneliti termotivasi untuk mengembangkan permasalahan mengenai kompetisi graf. Akelbek dan
Kirkland (2009) memperkenalkan sebuah definisi yang berguna yaitu scrambling
indeks pada sebuah primitif digraf, yaitu sebuah jalan terpendek sebesar k sehingga setiap pasang titik u dan v yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
sebuah titik w di D dimana u −→ w dan v −→ w di D. Chen dan Liu (2010)
meneliti scrambling indeks dari sebuah digraf primitif yang simetris yaitu untuk
Universitas Sumatera Utara
2
u, v ∈ V (D) maka (u, v), (v, u) ∈ E(D) dengan menggunakan definisi yang sama.
Penelitian selanjutnya berkembang menjadi mencari sebuah generalisasi dari
scrambling indeks dinamakan m-kompetisi indeks. Definisi dari m-kompetisi indeks yang simbolkan dengan km (D) yaitu sebuah jalan terpendek dengan panjang
k sehingga setiap pasang titik x dan y yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
m titik yang berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D dimana x −→ vt dan y −→ vt
untuk t = 1, 2, 3, · · · , m (Kim, 2010).
Kim (2010) meneliti m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks digraf tersebut. Jika Wn merupakan
graf Wielandt seperti yang ditunjukkan pada gambar 1
Gambar 1.1. Graf Wielandt Wn
Beliau memaparkan bahwa, untuk 1 ≤ m ≤ n (n ≥ 3), maka m-kompetisi
indeks graf pada gambar 1.1 adalah
km (Wn ) =
1 + ( n+m−2 )(n − 1)
2
1 + ( n+m−3 )n
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
Pada teorema selanjutnya, diberikan batas atas untuk kelas-kelas himpunan digraph primitif yang dipengaruhi panjang lingkaran terpendek girth sebesar s dengan orde n ≥ 3. Andaikan D merupakan digraf primitif dengan orde n ≥ 3 dan
s merupakan girth dari D maka untuk bilangan bulat positif 1 ≤ m ≤ n didapat
Universitas Sumatera Utara
3
m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D
km (D) ≤
n + ( n+m−4 )s
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
n − 1 + ( n+m−3 )s
2
Sehingga memberikan kesimpulan bahwa digraf Wielandt merupakan m-kompetisi
terbesar untuk kelas himpunan digraf primitif yang dipengaruhi oleh panjang
lingkaran terpendek girth.
Shao et al (2012) meneliti m-kompetisi indeks dari digraf primitif yang simetris
tanpa menggunakan loop dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks
dari digraf tersebut. Pada penelitian tersebut, diteliti sebuah graf Sn (r) yang
dinotasikan sebagai semua digraf simetris primitif dengan banyaknya titik adalah
n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari
panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r. Andaikan Gr,l merupakan
graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ l ≤ n − r seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2
Gambar 1.2. Graf Gr,l
maka, m-kompetisi indeks km (Gr,l ) dari graf Gr,l adalah
⌋
l + ⌊ r+m−2
2
km (Gr , l) = l + m − 1
2l + r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤r+l−1
jika
m≥r+l
Andaikan Gr merupakan graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar 3
Universitas Sumatera Utara
4
Gambar 1.3. Graf Gr
untuk 2 ≤ m ≤ n − 1 maka nilai dari m-kompetisi indeks graf Gr adalah
km (Gr ) =
⌊ r+m−1 ⌋
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
2
r − 1
Kesimpulan yang dihasilkan, batas atas dari kelas graf Sn (r) adalah untuk
graf G ∈ Sn (r), 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 2 ≤ m ≤ n − 1. Maka,
km ≤ km (Gn,r ) =
n − r + ⌊ r+m−2 ⌋
2
n + m − r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
Sehingga km (Gn,r ) ∈ Sn (r) merupakan m-kompetisi indeks terbesar untuk kelas
graf primitif dengan banyaknya titik adalah n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih
kecil dari pada r.
Informasi diatas menjadi latar belakang peneliti untuk mengembangkan mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitif yang terdiri atas sebuah lingkaran
hamiltonian dengan beberapa loop didalamnya.
1.2 Perumusan Masalah
Pembahasan digraf primitif sendiri karena definisi dari m-kompetisi indeks mengharuskan digraf tersebut terhubung kuat dan untuk setiap pasangan titik vi dan
vj harus mempunyai outdegree yang sama. Peneliti sebelumnya telah meneliti mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitive yang tanpa loop. Sehingga, penelitian tersebut menjadi dasar peneliti untuk meneliti sebuah digraf yang terdiri atas
Universitas Sumatera Utara
5
sebuah lingkaran Hamiltonian dengan beberapa loop yang saling lepas diletakkan
berdekatan. Secara khusus rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Gambar 1.4. Digraf s Dn
Andaikan digraf s Dn adalah sebuah digraf dengan banyak titik adalah n buah
terdiri atas sebuah lingkaran Hamiltonian yaitu v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop yang diletakkan berdekatan. Apakah f (km (s Dn )) ≤ f (s, m, n)?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk rumus umum dari
batas atas m-kompetisi indeks untuk kelas digraf primitif dengan n ∈ Z+ titik
v1 , v2 , · · · , vn di digraf D yang mempunyai lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 →
· · · → vn → v1 dan beberapa loop sebanyak s yang diletakkan berdekatan untuk
1 ≤ s ≤ n.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai generalisasi scrambling indeks yaitu m-kompetisi indeks serta memberikan bantuan
kepada peneliti dibidang industri, transportasi atau pengetahuan terapan lainnya
yang menggunakan literatur yang berhubungan dengan m-kompetisi indeks.
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri atas sebuah lingkaran
Hamiltonian dan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Untuk setiap
digraf s Dn , diperoleh batas atas km (s Dn ) ≤ f (s, n, m) yaitu fungsi yang bergantung pada s, n dan m.
Kata kunci : Digraf Hamiltonian, loop, m-kompetisi indeks.
v
Universitas Sumatera Utara
UPPER BOUND OF M -COMPETITION INDICES OF DIGRAPH
WITH HAMILTONIAN CYCLE WITH SOME LOOPS PUT ADJECENT
ABSTRACT
For positive integers m and n with 1 ≤ m ≤ n, m-competition indices of a primitive digraph D, notated with km (D) is a smallest positive integer such that for
each pairs x dan y, there exist m distinct vertices v1 , v2 , v3 , · · · , vm in D such
k
k
that x → vi and y → vi for each i = 1, 2, · · · , m. This paper discuss an upper bound of m-competition indices from a class of primitive digraph s Dn which
is digraph with n vertices consist of a Hamiltonian cylce and s loops put adjecent. For every digraph s Dn , we have an upper bound with inequality function
km (s Dn ) ≤ f (s, n, m), a function depends on a value of s, n and m.
Key notes : Hamiltonian Digraf, loop, m-competition indices.
vi
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar sarjana sains
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Batas Atas M -Kompetisi Indeks Dari Digraf Lingkaran
Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan
Berdekatan
Skripsi
Bima Satrya Sebayang
120803026
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr.Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2016
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, sang pencipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul m-kompetisi indeks dari Digraf Lingkaran Hamlitonian
Dengan Beberapa Loop yang diletakkan Berdekatan. Shalawat dan salam penulis
ucapkan kepada Rasulullah ShallAllahu’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat
dan orang-orang yang mengikutinya.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarmya kepada :
1. Ibunda tercinta Nurhalimah Br Tarigan yang selalu memberikan dorongan
dan semangat serta doa yang tak henti-hentinya diberikan kepada penulis sehingga penulis merasa tidak terbebani dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran untuk penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran bermanfaat
selama penyusunan skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat
kepada penulis selam 4 tahun menimba ilmu dikampus ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Uatara yang telah membantu penulis dalam menyelesaiakn urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, dan ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2012 [MANJA 2012] khususnya
kepada 2 teman gokil penulis Abnidar Harun Pohan dan Fakhrul Rozy yang
selalu menjadi tempat penulis bertukar pikiran dalam penyelesaian skripsi ini
serta 2 teman yang berada dinaungan dosen pembimbing yang sama yaitu Nurul Maulida Surbakti dan Raiyani Indah yang selalu berbagi informasi dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
bentuk apapun. Terima kasih kepada teman-teman D’Twizter GenkZ (Randy,
Citra, Monika, Enov, dan Galih) yang selalu membantu penulis untuk memilih
kata-kata yang tepat dalam penyelesaian skripsi ini. Serta semua adik-adik
junior yang selalu memberikan semangat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada kak Ratih, kak Merryanti, kak Mantari yang telah membagikan ilmu
terkait dengan materi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk
penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2016
Penulis
iv
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri ata
Akelbek, Mahmud dan Kirkland, Steve. 2008. Coefficient of Egrodicity and The
Scrambling Index. Linear Algebra And Its Application. 430: 1111-1130.
Akelbek, Mahmud dan Kirkland, Steve. 2009. Primitive digraphs with The
Largest Scrambling Index. Linear Algebra And Its Application. 430:
1099-1110.
Chen, Shexi dan Liu, Bolian. 2010. The Scrambling Index Of Symmetric Primitive Matrices. Linear Algebra Application And Its Application. 433: 11101126.
Cho, Hyuk Han., Kim, Suh-Ryung dan Nam, Yunsun. 2000. The m-Step Competition Graf of Digraf. Discrete Applied Mathematics. 105: 115-127.
Kim, Kyung Hwa. 2010. Generalized Competition Index of Primitive digraph.
Linear Algebra Application And Its Application. 433: 72-79.
Shao, Yanling., Gao, Yubin dan Li, Zhongshan. 2012. The M-Competition
Indices Of Symmetric Primitive Digraphs Whitout Loops. A Publication
of The International Linear Algebra Society. Vol 23: 457-472.
West, B Douglas. 2002. Introduction to Graph Theory: Second Edition. University of Illnois, Urbana.
Yesilyurt, Dentz. 2012. Solving Linear Diophantine Equation Linear Congruental Equations. Linnaeus University, Sweden.
Universitas Sumatera Utara
18
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bagian ini dipaparkan langkah-langkah untuk memperoleh batas atas mkompetisi indeks dari digraf primitif dengan n buah titik v1 , v2 , · · · , vn di digraf
D yang terdiri atas lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop diletakkan berdekatan yang disimbolkan dengan s Dn . Adapun
langkah-langkah yang dilakukan adalah
Gambar 3.1. (a) Digraf 1 Dn (b) Digraf s Dn
1. Ditentukan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks untuk
digraf 1 Dn yaitu sebuah digraf terdiri atas lingkaran Hamiltonian v1 →
v2 → v3 → · · · → vn → v1 dan sebuah loop diletakkan di titik v1 yang
diilustrasikan pada gambar 3.1.a. Adapun cara yang dilakukan yaitu,
1.1 Menentukan nilai batas atas m-kompetisi indeks dari 1 D3 hingga 1 Dn
lalu menentukan bentuk rumus umumnya yang berbentuk km (1 Dn ) ≤
f (m, n).
1.2 Membuktikan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks
dari digraf 1 Dn . Yaitu, cukup memperlihatkan bahwa untuk masingmasing pasang titik vi dan vj di 1 Dn terdapat sebuah jalan dengan
panjang f (m, n) yang menghubungkan titik vi ke masing-masing titikvt
dan vj ke masing masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m.
Universitas Sumatera Utara
19
2. Ditentukan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks untuk
digraf s Dn yaitu sebuah digraf terdiri atas lingkaran Hamiltonian v1 → v2 →
v3 → · · · → vn → v1 dan s buah loop diletakkan pada titik v1 , v2 , · · · , dan
vs seperti diilustrasikan pada gambar 3.1.b. Adapun cara yang dilakukan
yaitu,
2.1 Menentukan nilai batas atas m-kompetisi indeks dari 2 Dn hingga s Dn
lalu menentukan bentuk rumus umumnya yang berbentuk km (s Dn ) ≤
f (m, n, s)
2.2 Membuktikan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks
dari digraf s Dn . Yaitu, cukup memperlihatkan bahwa untuk masingmasing pasangan titik vi dan vj di s Dn terdapat sebuah jalan dengan
panjang f (m, n, s) yang menghubungkan titik vi ke masing-masing titik
vt dan vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m.
Universitas Sumatera Utara
20
BAB 4
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA BUAH LOOP
Pada bagian ini akan dipaparkan hasil penelitian dari digraf s Dn yaitu digraf
lingkaran hamiltonian dengan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan.
Hal-hal yang akan dipaparkan adalah batas atas dari m-kompetisi indeks dari digraf 1 Dn dilanjutkan dengan batas atas digraf s Dn dengan n ∈ Z+ dan 1 ≤ s ≤ n
dilengkapi dengan pembuktian untuk masing-masing kasus.
4.1 Batas Atas M-kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian 1 buah loop
Gambar 4.1. Digraf 1 Dn
Didefinisikan sebuah digraf 1 Dn seperti pada gambar 4.1 yaitu digraf dengan sebuah lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan sebuah
loop yang diletakkan pada titik v1 . Untuk mendapatkan batas atas m-kompetisi
indeks dari digraf 1 Dn dan proses untuk mendapatkan buktinya semua dilakukan
secara induksi yaitu mengambil seluruh informasi dari m-kompetisi indeks dari
digraf 1 D3 hingga 1 Dt untuk t = 1, 2, 3, · · · , n.
Teorema 4.1.
maka
Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana n, m adalah bilangan bulat
k m ( 1 Dn ) ≤ m + n − 2
Universitas Sumatera Utara
21
Bukti. Dari definisi digraf 1 Dn , setiap titik pada digraf 1 Dn terletak di dalam
sebuah lingkaran dan panjang semua lingkaran yang ada di 1 Dn adalah 1 dan n
yang mengakibatkan digraf 1 Dn terhubung kuat dan pembagi persekutuan terkecil untuk setiap panjang lingkaran di 1 Dn adalah 1. Sehingga, digraf 1 Dn adalah
digraf primitif.
Selanjutnya, akan dibuktikan km (1 Dn ) ≤ m + n − 2, yaitu cukup diperlihatkan
bahwa untuk setiap titik vi di 1 Dn terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing
titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan panjang m + n − 2.
Semua komposisi jalan Wvi ,vt akan diperlihatkan dalam 2 kasus berdasarkan letak
titik asal vi . Sehingga semua komposisi jalannya adalah sebagai berikut
Kasus 1. Titik vi = v1 .
Jalan yang dimulai dari titik vi = v1 , lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + n − 1 − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik v1 ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang
m + n − 2.
Kasus 2. Titik vi terletak di lintasan v2 → v3 → · · · → vn .
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
dengan panjang n + 1 − i, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − 2 kali,
lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 adalah
sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang m + n − 2.
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap titik vi di 1 Dn dapat menuju ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3 · · · , m dengan panjang m+n−2. Sehingga,
terbukti bahwa km (1 Dn ) ≤ m + n − 2.
Universitas Sumatera Utara
22
4.2 Batas Atas M-kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian s buah loop
Gambar 4.2. Digraf s Dn
Didefinisikan sebuah digraf s Dn seperti pada gambar 4.2 yaitu digraf dengan sebuah lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan s buah
loop yang diletakkan pada titik v1 , v2 , v3 , v4 , · · · , vs . Untuk mendapatkan batas
atas m-kompetisi indeks dari digraf s Dn dan proses untuk mendapatkan buktinya
semua dilakukan secara induksi.
Teorema 4.2. Untuk s sebuah bilangan bulat dimana 1 < s ≤ n.
dan 1 ≤ m ≤ n dimana m, n adalah bilangan bulat maka
km (s Dn ) ≤ n + m − ⌈
Jika n ≥ 3
s+2
⌉
2
Bukti. Dari definisi digraf s Dn , setiap titik pada digraf s Dn terletak di dalam
sebuah lingkaran dan panjang semua lingkaran yang ada di s Dn adalah 1 dan n
yang mengakibatkan digraf s Dn terhubung kuat dan pembagi persekutuan terkecil untuk setiap panjang lingkaran di s Dn adalah 1. Sehingga, digraf s Dn adalah
digraf primitif.
⌉, yaitu cukup diperlihatkan
Selanjutnya, akan dibuktikan km (s Dn ) ≤ n+m−⌈ s+2
2
bahwa untuk setiap pasangan titik (vi , vj ) di s Dn terdapat jalan dari titik vi ke
masing-masing titik vt dan vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan
panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Universitas Sumatera Utara
23
Semua komposisi jalan Wvi ,vt dan Wvj ,vt akan diperlihatkan dalam 3 buah kasus
berdasarkan letak titik asal vi dan vj . Sehingga semua komposisi jalannya adalah
sebagai berikut.
Kasus 1. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan vj terletak di lintasan
vs → vs+1 → · · · → vn .
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
dengan panjang n − i + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − ⌈ s+2
⌉−t
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1 dengan panjang t − 1
adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt dimana 1 ≤ t ≤ m dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉ dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik v1
2
sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1 lalu mengitari loop v1 → v1
sebanyak m + j − ⌈ s+2
⌉ − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1
2
dengan panjang t−1 adalah sebuah jalan dari titik vj ke titik vt dimana 1 ≤ t ≤ m
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) dimana vi dan vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn , terdapat jalan dari
titik vi ke masing-masing titik vt dan vj ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m
⌉.
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
2
Kasus 2. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan vj terletak di lintasan
v1 → v2 → · · · → v s .
Untuk pasangan titik (vi , vj ) dimana i < j dan l(Pvi ,vj ) ≤ l(Pvj ,vi ). Jika m ≤
n − j + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik vj sepanjang lintasan Pvi ,vj dengan panjang j − i, lalu mengitari loop vj → vj sebanyak
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan
n + m + i − t − ⌈ s+2
2
panjang t−j adalah jalan dari titik vi ke titik vt dimana j ≤ t ≤ j+m−1 dan jalan
yang dimulai dari titik vj , lalu mengitari loop vj → vj sebanyak n+m−⌈ s+2
⌉+j−t
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan panjang t − j adalah
⌉.
jalan dari titik vj ke titik vt untuk j ≤ t ≤ m+j −1 dengan panjang n+m−⌈ s+2
2
Universitas Sumatera Utara
24
Jika m > n − j + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik
vj sepanjang lintasan Pvi ,vj dengan panjang j − i, lalu mengitari loop vj → vj
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan
sebanyak n + m + i − t − ⌈ s+2
2
Pvj ,vt dengan panjang t − j untuk j ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vi ,
lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n − i + 1, lalu
mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt
2
sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + j − 1 adalah
jalan dari titik vi ke titik vt dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu mengitari loop vj → vj sebanyak n + m −
⌉+j −t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvj ,vt dengan panjang
⌈ s+2
2
t − j untuk j ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik
v1 sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1, lalu mengitari loop v1 → v1
sebanyak m + j − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt
2
dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + j − 1 adalah jalan dari titik vj ke
titik vt dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Untuk pasangan titik (vi , vj ) dimana i < j dan l(Pvi ,vj ) > l(Pvj ,vi ). Jika m ≤
n − i + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu mengitari loop vi → vi se⌉ + i − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt
banyak n + m − ⌈ s+2
2
dengan panjang t − i adalah jalan dari titik vi ke titik vt dimana i ≤ t ≤ m + i − 1
dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik vi sepanjang lintasan
⌉+j−t
Pvj ,vi dengan panjang n−j+i, lalu mengitari loop vi → vi sebanyak m−⌈ s+2
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i adalah
⌉.
jalan dari titik vj ke titik vt untuk i ≤ t ≤ m+i−1 dengan panjang n+m−⌈ s+2
2
Jika m > n − i + 1, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu mengitari loop
vi → vi sebanyak n + m − ⌈ s+2
⌉ + i − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang
2
lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i untuk i ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari
titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n−i+1,
⌉, lalu bergerak ke titik vt
lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m + i − t − ⌈ s+2
2
sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + i − 1 adalah
⌉.
jalan dari titik vi ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik vi sepanjang lintasan Pvj ,vi
Universitas Sumatera Utara
25
dengan panjang n−j +i, lalu mengitari loop vi → vi sebanyak n+m+j −t−⌈ s+2
⌉
2
kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvi ,vt dengan panjang t − i untuk
i ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang
lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n − j + 1, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + j − t − ⌈ s+2
⌉ kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan
2
panjang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m − n + i − 1 adalah jalan dari titik vi ke titik vt
dengan panjang n + m − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi dan titik vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn terdapat
jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dan vj ke masing⌉.
masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , m dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Kasus 3. Pasangan titik (vi , vj ) dimana titik vi terletak di lintasan v1 → v2 →
· · · → vs dan titik vj terletak di lintasan vs+1 → vs+2 → · · · → vn .
Komposisi jalan pada kasus ini terbagi ke dalam 2 subkasus berdasarkan letak
posisi titik vi . Yaitu,
Subkasus 3.1 Untuk titik vi terletak di lintasan v1 → v2 → · · · → v⌈ s+1 ⌉
2
Jika m ≤ n − ⌈ 2s ⌉, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke
titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvi ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang ⌈ s+1
⌉ − i mengitari loop
2
2
2
⌉ + i − t lalu bergerak ke titik vt sepanjang
v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak m + n − ⌈ s+2
2
2
2
lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt dengan panjang t − ⌈ s+1
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉+m−1
2
2
2
2
adalah jalan yang menghubungkan titik vi ke titik vt dengan panjang m+n−⌈ s+2
⌉
2
dan jalan yang dimulai dari titik vj lalu menuju titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan
2
Pvj ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang n − j + ⌈ s+1
⌉, lalu mengitari loop v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ se2
2
2
2
banyak m + j − ⌈ s+2
⌉ − t kali, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt
2
2
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉ + m − 1 adalah jalan yang
dengan panjang t − ⌈ s+1
2
2
2
⌉.
menghubungkan titik vj ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Jika m > n − ⌈ 2s ⌉, maka jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke
titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvi ,v⌈ s+1 ⌉ dengan panjang ⌈ s+1
⌉ − i mengitari loop
2
2
2
Universitas Sumatera Utara
26
v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak m + n − ⌈ s+2
⌉ + i − t, lalu bergerak menuju titik vt
2
2
2
sepanjang lintasan Pv⌈ s+1 ⌉ ,vt dengan panjang t − ⌈ s+1
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ n dan
2
2
2
jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak ke titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1
sepanjang n − i + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak m − ⌈ s+2
⌉ + i − t,
2
lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panjang t − 1 untuk
1 ≤ t ≤ m + ⌈ 2s ⌉ − n adalah jalan yang menghubungkan titik vi ke titik vt dengan
panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
Jalan yang dimulai dari titik vj , lalu menuju titik v⌈ s+1 ⌉ sepanjang lintasan Pvj ,v⌈ s+1 ⌉
2
2
⌉, lalu mengitari loop v⌈ s+1 ⌉ → v⌈ s+1 ⌉ sebanyak
dengan panjang n − j + ⌈ s+1
2
2
2
⌉
−
t
kali,
lalu
bergerak
ke
titik
v
sepanjang
lintasan
P
m + j − ⌈ s+2
t
v⌈ s+1 ⌉ ,vt sep2
2
⌉ untuk ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ n dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu
anjang t − ⌈ s+1
2
2
menuju ke titik v1 sepanjang n − j + 1 lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
m + j − ⌈ s+2
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pvt ,v1 dengan pan2
jang t − 1 untuk 1 ≤ t ≤ m + ⌈ 2s ⌉ − n adalah jalan yang menghubungkan titik vj
⌉.
ke titik vt dengan panjang m + n − ⌈ s+2
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) pada subkasus 3.1 terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt dan vj ke
masing-masing titik vt , ⌈ s+1
⌉ ≤ t ≤ ⌈ s+1
⌉ + m − 1 dengan panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
2
2
Subkasus 3.2 Untuk titik vi terletak di lintasan v⌈ s+3 ⌉ → v⌈ s+5 ⌉ → · · · → vs
2
2
Jalan yang dimulai dari titik vi , lalu bergerak menuju titik v1 sepanjang lintasan Pvi ,v1 dengan panjang n + 1 − i, lalu mengitari loop v1 → v1 sebanyak
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt dengan panm + i − ⌈ s+2
2
jang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang
m + n − ⌈ s+2
⌉ dan jalan yang dimulai dari titik vj , lalu bergerak menuju titik v1
2
sepanjang lintasan Pvj ,v1 dengan panjang n + 1 − j, lalu mengitari loop v1 → v1
⌉ − t, lalu bergerak ke titik vt sepanjang lintasan Pv1 ,vt
sebanyak m + j − ⌈ s+2
2
dengan panjang t − 1 adalah sebuah jalan dari titik vi ke titik vt , 1 ≤ t ≤ m
dengan panjang m + n − ⌈ s+2
⌉.
2
Akibatnya, dengan menggunakan jalan tersebut, setiap pasangan titik (vi , vj ) pa-
Universitas Sumatera Utara
27
da subkasus 3.2 terdapat jalan dari titik vi ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m
dan vj ke masing-masing titik vt , 1 ≤ t ≤ m dengan panjang m+n−⌈ s+2
⌉. Sehing2
⌉.
ga, dari kasus 1, kasus 2, dan kasus 3, terbukti bahwa km (s Dn ) ≤ m + n − ⌈ s+2
2
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Penelitian ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf s Dn yaitu digraf lingkaran hamiltonian terdiri dari n titik dan s loop yang
diletakkan berdekatan. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
1. Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana n, m adalah bilangan bulat maka
k m ( 1 Dn ) ≤ m + n − 2
2. Jika n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ n dimana m, n adalah bilangan bulat. Untuk sebuah
bilangan bulat positif 1 < s ≤ n maka
km (s Dn ) ≤ n + m − ⌈
s+2
⌉
2
Dari hasil tersebut, diperoleh bahwa digraf 1 Dn adalah digraf yang memiliki
batas atas m-kompetisi indeks yang terbesar.
5.2 Saran
Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan mencari batas atas m-kompetisi
indeks dari digraf lingkaran hamiltonian dengan peletakan loop yang sembarang.
Universitas Sumatera Utara
6
BAB 2
DIGRAF PRIMITIF
Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k Dn merupakan sebuah
digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa
definisi digraf dan beberapa unsur-unsur lainnya. Lalu dilanjutkan dengan penjelasan digraf dikatakan primitif, Definisi dari pembagi persekutuan terbesar, dan
pemaparan dari m-kompetisi indeks.
2.1 Definisi Digraf
Digraf D adalah sebuah objek yang terdiri atas sebuah himpunan V (D) berjumlah n buah dan tak kosong yang unsur-unsurnya merupakan semua titik vi untuk
i = 1, 2, 3, · · · , n di digraf D dan sebuah himpunan A(D) yaitu sebuah pasangan berurut V × V yang terdiri atas semua unsur (vi , vj ) dimana vi ∈ V dan
vj ∈ V . Sehingga secara umum, digraf merupakan sebuah objek yang tersusun
atas elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung berarah yang dinamakan busur.
Sebagai contoh, gambar 2.1 akan menjadi ilustrasi pendukung untuk memahami
pengertian dari digraf D. diberikan sebuah digraf D seperti pada gambar 2.1
Gambar 2.1. Contoh digraf D
Universitas Sumatera Utara
7
Maka digraf D terdiri atas himpunan V (D) = {v1 , v2 , v3 , v4 } dan himpunan
A(D) = {(v1 , v1 ), (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v3 , v1 ), (v3 , v4 ), (v4 , v1 )}.
Terdapat beberapa istilah penting yang mendukung dalam penelitian ini,
a. Jika v ∈ V (D) maka himpunan k-step out-neighborhood dari titik v didefink
isikan sebagai N + (Dk : v) = {x ∈ V (G) : v → x} atau semua titik tujuan dari titik v di D dengan panjang jalan k. Seperti pada contoh diatas,
perhatikan titik v1 , N + (D : v1 ) = {v1 , v2 } , N + (D2 : v1 ) = {v1 , v2 , v3 },
N + (D3 : v1 ) = {v1 , v2 , v3 , v4 } .
b. Jalan pada digraf D merupakan sebuah barisan antara busur di D dinotasikan
dengan W tersusun atas barisan (u, v1 ), (v1 , v2 ), · · · , (vn−1 , vn ), (vn , v). biasanya penulisan pada barisan Wuv dapat diilustrasikan dengan u → v1 →
v2 → v3 → · · · → vn → v dan panjang dari jalan Wuv dinotasikan dengan
ord(Wuv ). Seperti pada contoh diatas, beberapa jalan untuk titik asal adalah
v2 dan titik tujuan v1 yaitu (1) Wv2 ,v1 : v2 → v3 → v1 , (2) Wv2 ,v1 : v2 →
v3 → v4 → v1 , (3) Wv2 ,v1 : v2 → v3 → v4 → v1 → v1 → v1 . Perhatikan bahwa banyaknya jalan dengan titik asal v2 dan titik tujuan v1 dapat lebih dari
satu selama ada busur yang menghubungkan setiap titik yang dikehendaki.
Untuk jalan pada poin 1, panjangnya adalah ord(Wv2 ,v1 ) = 2, panjang jalan
pada poin 2 adalah ord(Wv2 ,v1 ) = 3, dan panjang jalan pada poin 3 adalah
ord(Wv2 ,v1 ) = 5
c. Lintasan pada digraf D merupakan sebuah jalan tanpa perulangan titik dinotasikan dengan P . Pada dasarnya jalan di digraf D tidak memperhatikan
adanya perulangan titik pada busurnya, tetapi pada lintasan sebuah barisan
busur tidak memperbolehkan adanya perulangan titik pada titik asal hingga
titik tujuan. Perhatikan contoh jalan pada bagian c, jalan pada poin 1 dan
poin 2 merupakan sebuah lintasan tetapi jalan pada poin 3 bukan merupakan
lintasan.
d. Lingkaran pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup yang tersusun
atas barisan (u, v1 ), (v1 , v2 ), · · · , (vn−1 , vn ), (vn , u). Perhatikan contoh pada
gambar 2.1, Wv1 v1 : v1 → v2 → v3 → v1 merupakan lingkaran pada digraf
D.
Universitas Sumatera Utara
8
e. Lingkaran Hamiltonian pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup
dimana lintasan tersebut melalui semua titik yang ada di D. Pada gambar 2.1,
Wv1 ,v1 : v1 → v2 → v3 → v4 → v1 .
f. Loop pada digraf D merupakan sebuah lintasan tertutup dengan panjang 1.
Pada gambar 2.1, Wv1 ,v1 : v1 → v1 merupakan loop.
g. jarak antara 2 buah titik u dan w di D adalah panjang jalan terpendek yang
bisa ditempuh oleh titik awal u ke titik tujuan w yang dinotasikan dengan
d(u, w).
h. Girth pada sebuah digraf D adalah panjang dari sebuah lingkaran terpendek
dari semua lingkaran di D. Maka, sebuah digraf D yang memiliki loop mempunyai girth sebesar 1.
Sebuah digraf dapat direpresentasikan ke dalam sebuah matriks ketetanggan
dengan definisi matriks bujursangkar A = (aij ) dengan besar ordo A merupakan
banyak titik pada digraf D yang setiap entri pada matriks A adalah
aij =
1,
bila (i, j) ∈ A(D)
0,
bila (i, j) ∈
/ A(D)
berdasarkan definisi digraf, tidak ada jaminan bahwa aij = aji untuk semua 1 ≤
i, j ≤ n. Ini mengakibatkan bahwa representasi matriks ketetanggaan di digraf D
bukan merupakan matriks simetris. Perhatikan digraf pada contoh 5, Representasi
matriks ketetanggaan untuk digraf pada gambar 2.1 adalah
1
0
A=
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Sebuah matriks A dikatakan non negatif jika semua entri (aij ) ≥ 0 dan sebuah
matriks A dikatakan positif jika semua entri (aij ) ≥ 1. Matriks A pada gambar
Universitas Sumatera Utara
9
2.1 merupakan matriks non negatif. untuk matriks A5 yaitu,
6
3
A5 =
6
4
4
2
3
2
2
2
2
1
1
1
2
1
merupakan matriks positif, karena tidak ada entri pada matriks A5 yang bernilai 0.
Selanjutnya pengertian dari sebuah digraf yang dikatakan terhubung kuat.
Sebuah digraf D dikatakan terhubung kuat jika dan hanya jika setiap pasang
u, v ∈ V (D), terdapat sebuah lintasan berarah dari titik u ke v dan dari titik v
ke u. Perhatikan contoh gambar 2.2 berikut,
Gambar 2.2 : Digraf 1 D4
Dengan memperhatikan setiap pasang (v1 , v2 ), (v1 , v3 ), (v1 , v4 ), (v2 , v3 ), (v2 , v4 ),
dan (v3 , v4 ), untuk
a. pasangan titik (v1 , v2 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v2 : v1 → v2 dan
Pv2 ,v1 : v2 → v3 → v4 → v1
b. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v3 : v1 → v2 → v3
dan Pv3 ,v1 : v3 → v4 → v1
c. pasangan titik (v1 , v4 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv1 ,v4 : v1 → v2 → v3 →
v4 dan Pv4 ,v1 : v4 → v1
d. pasangan titik (v2 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2 ,v3 : v2 → v3 dan
Pv3 ,v2 : v3 → v4 → v1 → v2
Universitas Sumatera Utara
10
e. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv2 ,v4 : v2 → v3 → v4
dan Pv4 ,v2 : v4 → v1 → v2
f. pasangan titik (v1 , v3 ) terdapat sebuah lintasan yaitu Pv3 ,v4 : v1 → v3 → v4
dan Pv4 ,v3 : v4 → v1 → v2 → v3
Karena setiap pasang (vi , vj ) di digraf Dv1 memenuhi definisi dari terhubung kuat,
maka digraf Dv1 merupakan sebuah digraf yang terhubung kuat.
Teorema 2.1 : Andaikan sebuah digraf D dengan n titik v1 , v2 , · · · , dan vn , setiap
titik di D terletak dalam sebuah lingkaran jika dan hanya jika digraf D terhubung
kuat
Bukti. Diberikan sebuah digraf D dengan n titik v1 , v2 , · · · , dan vn . Perhatikan
karena semua titik vi di D untuk i = 1, 2, · · · , n berada di sebuah lingkaran, maka
dapat dibentuk sebuah jalan dimisalkan dengan Wv1 ,v1 : v1 → v2 → v3 → · · · →
vn → v1 . Didapat bahwa untuk sembarang pasangan vi , vj di D, maka didapat
lingkaran dengan jalan yaitu Wvi ,vi dan Wvj ,vj . Karena Wvi ,vi dan Wvj ,vj ada, maka pasti terdapat sebuah jalan dari vi ke vj dengan memanfaatkan lingkaran Wvi ,vi
dan sebuah jalan dari vj ke vi dengan memanfaatkan lingkaran Wvj ,vj . Sehingga
karena setiap pasang titik vi , vj di D mempunyai jalan dari titik vi ke vj dan dari
titik vj ke vi maka digraf D terhubung kuat.
Akan dibentuk lingkaran dengan setiap titik di D terletak didalamnya. Karena D terhubung kuat, maka setiap pasang titik (u, v) di D, terdapat sebuah jalan
berarah sederhana dari u ke v dan dari v ke u. Sehingga dengan menghubungkan
jalan berarah pada jalan Wu,v dengan Wv,u maka akan terbentuk sebuah lingkaran
Wu,u yang memuat seluruh titik di D. Ini merupakan akhir dari pembuktian pada
teorema ini.
2.2 Definisi digraf Primitif
Sebuah digraf D dikatakan primitif jika terdapat sebuah jalan berarah dengan
panjang tepat k dari setiap titik u ke setiap titik v. Nilai terkecil dari k merupakan eksponen dari digraf D dinotasikan dengan exp(D) (Akelbek dan Kirkland,
2008). Sebagai contoh, perhatikan kembali gambar 2.2. Digraf D pada gambar 2.2
Universitas Sumatera Utara
11
merupakan sebuah digraf primitif karena setiap pasangan titik (vi , vj ) di D mempunyai jalan dengan panjang yang sama dengan panjang jalan terpendek adalah
6. Sebuah digraf D dikatakan primitif jika dan hanya jika D adalah terhubung
kuat dan pembagian persekutuan terkecil untuk setiap lingkaran di D adalah 1
(Shao et al, 2012).
Proposisi 2.2 : (Akelbek dan Kirkland, 2008) Andaikan D merupakan sebuah
digraf primitif dengan n titik dan s merupaka girth pada D. Maka exp(D) ≤
n + s(n − 2).
Proposisi 2.3: Andaikan D merupakan sebuah digraf primitif dengan n titik dan
memiliki loop didalamnya. Maka exp(D) ≤ 2n − 2
Bukti.
Dengan menggunakan proposisi 2.2. Diketahui bahwa loop merupakan
lingkaran terpendek di D sehingga girth pada D adalah 1. Maka dengan mensubtitusikan s = 1 ke pertidaksamaan di proposisi 2 didapat exp(D) ≤ 2n − 2
2.3 Digraf s Dn Sebagai Digraf Primitif
Setelah beberapa pemaparan tentang bagaimana cara sebuah digraf dikatakan
primitif maka akan dibuktikan bahwa digraf s Dn merupakan sebuah digraf primitif. Didefinisikan bahwa digraf s Dn adalah digraf dengan lingkaran Hamiltonian
dimana terdapat s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Sehingga,
Akibat 2.7 Jika k merupakan banyak loop yang diletakkan berdekatan dan n
merupakan banyak titik di s Dn Maka s Dn merupakan digraf primitif.
Bukti. Untuk membuktikan bahwa s Dn merupakan digraf primitif hanya perlu
dibuktikan bahwa s Dn merupakan digraf yang terhubung kuat dan semua panjang
setiap lingkaran pada s Dn saling relatif prima. Berdasarkan teorema 2.1 digraf
s Dn merupakan digraf yang terhubung kuat. Perhatikan bahwa semua lingkaran
yang dimiliki digraf s Dn adalah v1 → v1 , v2 → v2 , v3 → v3 , · · · , vi → vi dan
v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 dengan masing masing panjang adalah 1 dan n.
Karena GCD(n, 1) = 1 untuk setiap n bilangan bulat positif maka telah terbukti
bahwa s Dn merupakan digraf primitif.
Universitas Sumatera Utara
12
2.4 Definisi M -Kompetisi Indeks
Definisi 2.8 : Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n,
didefinisikan m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang
k
x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm sehingga x → vi dan
k
y → vi , dalam artian ada jalan Wxvi dan Wyvi dengan panjang yang sama untuk
setiap i = 1, 2, · · · , m.
Sebelum memasuki contoh, diperkenalkan terlebih dahulu beberapa definisi pembantu dalam pengerjaan m-kompetisi indeks.
Definisi 2.9 : Misalkan D merupakan sebuah digraf primitif. Indeks m-kompetisi
lokal pada sebuah titik x dan y di D adalah panjang jalan terpendek k untuk
sebuah pasangan titik (x, y) sehingga terdapat m titik berbeda v1 , v2 , v3 , · · · , vm
dari x → vt dan y → vt untuk t = 1, 2, 3, · · · , m, dinotasikan dengan
k
k
km (D : x, y) = min{k|x → vt dan y → vt , t ≥ k}
Maka dari definisi 2.9, nilai dari m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D adalah
km (D) = max km (D : x, y)
x,y∈V (D)
sehingga dari definisi 2.8, untuk setiap m = 1, 2, 3, · · · , n didapat
km (D : x, y) ≤ km (D)
Definisi 2.10 : k-step common out-neighborhood titik x dan y adalah semua himpunan titik vt di D terdiri atas n buah titik yang bisa dikunjungi dengan panjang
k
k
jalan k yaitu x → vt dan y → vt untuk t = 1, 2, 3, · · · ,n yang dinotasikan dengan
k
k
N + (Dk : x, y) = {vt ∈ V (D)|x → vt dan y → vt }.
Proposisi 2.11 : (Shao et al, 2012) untuk 1 ≤ m ≤ n, Andaikan D merupakan
digraf primitif dengan n titik , 1 ≤ m ≤ n, dan exp(D) merupakan eksponensial
Universitas Sumatera Utara
13
dari D. Maka,
k(D) = k1 (D) ≤ k2 (D) ≤ k3 (D) ≤ · · · ≤ kn (D) = exp(D)
Akibatnya scrambling index merupakan 1-kompetisi indeks dari sebuah digraf D
dan n-kompetisi indeks merupakan eksponen dari digraf D.
Sebagai contoh perhatikan kembali gambar 2.2. Untuk mendapatkan nilai dari
m-kompetisi indeks dari digraf tersebut terlebih dahulu dicari nilai m-kompetisi
indeks lokalnya dan untuk mendapatkan m-kompetisi indeksnya, diambil nilai
m-kompetisi lokal terbesar. Maka,
a. Untuk 1-kompetisi indeks didapat,
v1
v2
v3
v4
min(km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v1 , v3 ) =
2
3
4
5
2
k1 (v1 , v4 ) =
1
2
3
4
1
k1 (v2 , v3 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v2 , v4 ) =
3
4
5
6
3
k1 (v3 , v4 ) =
2
3
4
5
2
Sehingga, k(D) = max{3, 2, 1, 3, 3, 2} = 3.
b. Untuk 2-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 ) (v1 , v3 ) (v1 , v4 ) (v2 , v3 ) (v2 , v4 ) (v3 , v4 ) (km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v1 , v3 ) =
3
4
5
4
5
4
3
k1 (v1 , v4 ) =
2
3
4
3
4
4
2
k1 (v2 , v3 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v2 , v4 ) =
4
5
6
4
4
5
4
k1 (v3 , v4 ) =
3
4
5
4
5
4
3
Universitas Sumatera Utara
14
Sehingga, k2 (D) = max{4, 3, 2, 4, 4, 3} = 4
c. Untuk 3-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 .v3 )
(v1 , v3 , v4 )
(v2 , v3 , v4 )
(v1 , v2 , v4 ) (km (vi , vj ))k1 (v1 , v2 ) =
k1 (v1 , v3 ) =
4
5
5
5
4
k1 (v1 , v4 ) =
3
4
4
4
5
k1 (v2 , v3 ) =
5
6
6
6
5
k1 (v2 , v4 ) =
5
6
6
6
5
k1 (v3 , v4 ) =
4
5
5
5
4
Sehingga, k3 (D) = max{5, 4, 3, 5, 5, 4} = 5.
d. Untuk 4-kompetisi indeks didapat,
(v1 , v2 .v3 , v4 )
(km (vi , vj ))
k1 (v1 , v2 ) =
6
6
k1 (v1 , v3 ) =
5
5
k1 (v1 , v4 ) =
4
4
k1 (v2 , v3 ) =
6
6
k1 (v2 , v4 ) =
6
6
k1 (v3 , v4 ) =
6
5
Sehingga, k4 (D) = max{6, 5, 4, 6, 6, 5} = 6. Ini merupakan akhir dari tinjauan
pustaka pada penelitian ini.
2.5 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Primitif.
Pada umumnya, pembuktian rumus umum m-kompetisi indeks digraf primitif dilakukan dengan membuktikan batas atas dan batas bawah rumusnya. Tetapi,
karena keterbatasan waktu, peniliti hanya membuktikan batas atas dari rumus
umum m-kompetisi indeks dari digraf primitif.
Setiap jalan berarah pada suatu digraf s Dn dapat diuraikan menjadi sebuah lin-
Universitas Sumatera Utara
5
15
tasan berarah, jalan yang mengililingi lingkaran, dan jalan yang mengelilingi loop.
Untuk membuktikan batas atas km (s Dn ) ≤ f (m, n, s) cukup dibuktikan bahwa
untuk setiap pasangan titik (vi , vj ) di s Dn terdapat sebuah jalan dengan panjang
f (m, n, s) dari titik vi ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , vm dan dari titik
vj ke masing-masing titik vt , t = 1, 2, 3, · · · , vm .
Dengan menggunakan gambar 2.2 sebagai contoh, akan dibuktikan masing-masing
batas atas dari digraf 1 D4 .
1. Untuk k1 (1 D4 ) ≤ 4.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 4 ke titik v1 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1
b. v2 → v3 → v4 → v1
c. v3 → v4 → v1 → v1
d. v4 → v1 → v1 → v1
ada jalan dengan panjang 4 ke titik v1 .
2. Untuk k2 (1 D4 ) ≤ 5.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 dan v2 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 dengan
menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v 1 → v1 → v1 → v1 → v2
b. v2 → v3 → v4 → v1 → v1
v 2 → v3 → v4 → v1 → v2
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1
v 3 → v4 → v1 → v1 → v2
d. v4 → v1 → v1 → v1 → v1
v 4 → v1 → v1 → v1 → v2
ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 dan v2 .
Universitas Sumatera Utara
16
3. Untuk k3 (1 D4 ) ≤ 6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 , v2 dan v3 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4
dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v1 → v 1 → v1 → v 1 → v1 → v 2
v1 → v 1 → v1 → v 1 → v2 → v 3
b. v2 → v3 → v4 → v1 → v1 → v1
v2 → v 3 → v4 → v 1 → v1 → v 2
v2 → v 3 → v4 → v 1 → v2 → v 3
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v1
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v1 → v 2
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v2 → v 3
d. v4 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v4 → v 1 → v1 → v 1 → v1 → v2
v4 → v 1 → v1 → v 1 → v2 → v3
ada jalan dengan panjang 6 ke titik v1 , v2 dan v3 .
4. Untuk k4 (1 D4 ) ≤ 6.
Cukup dengan membuktikan bahwa setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4 ada jalan dengan panjang 5 ke titik v1 , v2 , v3 dan v4 . Sehingga setiap titik v1 , v2 , v3 dan v4
dengan menggunakan jalan yaitu :
a. v1
v1
v1
v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
b. v2
v2
v2
v2
→ v3
→ v3
→ v3
→ v3
→ v4
→ v4
→ v4
→ v4
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
c. v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v1 → v1
v3 → v 4 → v1 → v 1 → v1 → v1 → v2
Universitas Sumatera Utara
17
v3 → v4 → v1 → v1 → v1 → v2 → v 3
v3 → v4 → v1 → v1 → v2 → v3 → v 4
d. v4
v4
v4
v4
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v4
ada jalan dengan panjang 6 ke titik v1 , v2 , v3 dan v4 . Ini merupakan akhir dari
bab 2.
Universitas Sumatera Utara
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan sebuah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari sifatsifat, bentuk, dan ciri umum suatu graf . Banyak permasalahan dapat dimodelkan
dan direpresentasikan ke dalam bentuk sebuah graf dan diselesaikan dengan bantuan graf. Sebagai contoh, Jejaring sosial seperti facebook, twitter, instagram dan
lainnya dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf dengan memberikan bobot
pertemanan sebagai sisi dan pengguna sebagai titik. Sehingga secara singkat graf
yang dinotasikan dengan simbol G merupakan sebuah objek yang tersusun atas
elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung yang dinamakan sisi.
Jika setiap sisi pada sebuah graf G sembarang diberikan sebuah arah dengan
tidak mempengaruhi titik-titik di G akan memberikan sebuah defiinisi baru yang
dinamakan digraf yang dinotasikan sebagai D. Penggunaan definisi digraf sudah
banyak digunakan dalam pengembangan teorema-teorema yang berguna. Joel E.
Cohen (1968) memperkenalkan sebuah definisi kompetisi graf untuk penggunaan
pada sistem ekologi yang berhubungan dengan rantai makanan. Beliau mendefinisikan kompetisi graf C(D) adalah sebuah graf yang memiliki titik yang sama
dengan D dan sisi merupakan pasangan (x, y) dimana x, y ∈ D jika dan hanya
jika terdapat sebuah titik z ∈ D dimana (x, z) dan (y, z) merupakan arc di D
(Cho et all, 2000).
Seiring berkembangnya definisi dari kompetisi graf, banyak peneliti termotivasi untuk mengembangkan permasalahan mengenai kompetisi graf. Akelbek dan
Kirkland (2009) memperkenalkan sebuah definisi yang berguna yaitu scrambling
indeks pada sebuah primitif digraf, yaitu sebuah jalan terpendek sebesar k sehingga setiap pasang titik u dan v yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
sebuah titik w di D dimana u −→ w dan v −→ w di D. Chen dan Liu (2010)
meneliti scrambling indeks dari sebuah digraf primitif yang simetris yaitu untuk
Universitas Sumatera Utara
2
u, v ∈ V (D) maka (u, v), (v, u) ∈ E(D) dengan menggunakan definisi yang sama.
Penelitian selanjutnya berkembang menjadi mencari sebuah generalisasi dari
scrambling indeks dinamakan m-kompetisi indeks. Definisi dari m-kompetisi indeks yang simbolkan dengan km (D) yaitu sebuah jalan terpendek dengan panjang
k sehingga setiap pasang titik x dan y yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
m titik yang berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D dimana x −→ vt dan y −→ vt
untuk t = 1, 2, 3, · · · , m (Kim, 2010).
Kim (2010) meneliti m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks digraf tersebut. Jika Wn merupakan
graf Wielandt seperti yang ditunjukkan pada gambar 1
Gambar 1.1. Graf Wielandt Wn
Beliau memaparkan bahwa, untuk 1 ≤ m ≤ n (n ≥ 3), maka m-kompetisi
indeks graf pada gambar 1.1 adalah
km (Wn ) =
1 + ( n+m−2 )(n − 1)
2
1 + ( n+m−3 )n
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
Pada teorema selanjutnya, diberikan batas atas untuk kelas-kelas himpunan digraph primitif yang dipengaruhi panjang lingkaran terpendek girth sebesar s dengan orde n ≥ 3. Andaikan D merupakan digraf primitif dengan orde n ≥ 3 dan
s merupakan girth dari D maka untuk bilangan bulat positif 1 ≤ m ≤ n didapat
Universitas Sumatera Utara
3
m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D
km (D) ≤
n + ( n+m−4 )s
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
n − 1 + ( n+m−3 )s
2
Sehingga memberikan kesimpulan bahwa digraf Wielandt merupakan m-kompetisi
terbesar untuk kelas himpunan digraf primitif yang dipengaruhi oleh panjang
lingkaran terpendek girth.
Shao et al (2012) meneliti m-kompetisi indeks dari digraf primitif yang simetris
tanpa menggunakan loop dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks
dari digraf tersebut. Pada penelitian tersebut, diteliti sebuah graf Sn (r) yang
dinotasikan sebagai semua digraf simetris primitif dengan banyaknya titik adalah
n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari
panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r. Andaikan Gr,l merupakan
graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ l ≤ n − r seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2
Gambar 1.2. Graf Gr,l
maka, m-kompetisi indeks km (Gr,l ) dari graf Gr,l adalah
⌋
l + ⌊ r+m−2
2
km (Gr , l) = l + m − 1
2l + r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤r+l−1
jika
m≥r+l
Andaikan Gr merupakan graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar 3
Universitas Sumatera Utara
4
Gambar 1.3. Graf Gr
untuk 2 ≤ m ≤ n − 1 maka nilai dari m-kompetisi indeks graf Gr adalah
km (Gr ) =
⌊ r+m−1 ⌋
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
2
r − 1
Kesimpulan yang dihasilkan, batas atas dari kelas graf Sn (r) adalah untuk
graf G ∈ Sn (r), 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 2 ≤ m ≤ n − 1. Maka,
km ≤ km (Gn,r ) =
n − r + ⌊ r+m−2 ⌋
2
n + m − r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
Sehingga km (Gn,r ) ∈ Sn (r) merupakan m-kompetisi indeks terbesar untuk kelas
graf primitif dengan banyaknya titik adalah n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih
kecil dari pada r.
Informasi diatas menjadi latar belakang peneliti untuk mengembangkan mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitif yang terdiri atas sebuah lingkaran
hamiltonian dengan beberapa loop didalamnya.
1.2 Perumusan Masalah
Pembahasan digraf primitif sendiri karena definisi dari m-kompetisi indeks mengharuskan digraf tersebut terhubung kuat dan untuk setiap pasangan titik vi dan
vj harus mempunyai outdegree yang sama. Peneliti sebelumnya telah meneliti mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitive yang tanpa loop. Sehingga, penelitian tersebut menjadi dasar peneliti untuk meneliti sebuah digraf yang terdiri atas
Universitas Sumatera Utara
5
sebuah lingkaran Hamiltonian dengan beberapa loop yang saling lepas diletakkan
berdekatan. Secara khusus rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Gambar 1.4. Digraf s Dn
Andaikan digraf s Dn adalah sebuah digraf dengan banyak titik adalah n buah
terdiri atas sebuah lingkaran Hamiltonian yaitu v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop yang diletakkan berdekatan. Apakah f (km (s Dn )) ≤ f (s, m, n)?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk rumus umum dari
batas atas m-kompetisi indeks untuk kelas digraf primitif dengan n ∈ Z+ titik
v1 , v2 , · · · , vn di digraf D yang mempunyai lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 →
· · · → vn → v1 dan beberapa loop sebanyak s yang diletakkan berdekatan untuk
1 ≤ s ≤ n.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai generalisasi scrambling indeks yaitu m-kompetisi indeks serta memberikan bantuan
kepada peneliti dibidang industri, transportasi atau pengetahuan terapan lainnya
yang menggunakan literatur yang berhubungan dengan m-kompetisi indeks.
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri atas sebuah lingkaran
Hamiltonian dan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Untuk setiap
digraf s Dn , diperoleh batas atas km (s Dn ) ≤ f (s, n, m) yaitu fungsi yang bergantung pada s, n dan m.
Kata kunci : Digraf Hamiltonian, loop, m-kompetisi indeks.
v
Universitas Sumatera Utara
UPPER BOUND OF M -COMPETITION INDICES OF DIGRAPH
WITH HAMILTONIAN CYCLE WITH SOME LOOPS PUT ADJECENT
ABSTRACT
For positive integers m and n with 1 ≤ m ≤ n, m-competition indices of a primitive digraph D, notated with km (D) is a smallest positive integer such that for
each pairs x dan y, there exist m distinct vertices v1 , v2 , v3 , · · · , vm in D such
k
k
that x → vi and y → vi for each i = 1, 2, · · · , m. This paper discuss an upper bound of m-competition indices from a class of primitive digraph s Dn which
is digraph with n vertices consist of a Hamiltonian cylce and s loops put adjecent. For every digraph s Dn , we have an upper bound with inequality function
km (s Dn ) ≤ f (s, n, m), a function depends on a value of s, n and m.
Key notes : Hamiltonian Digraf, loop, m-competition indices.
vi
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar sarjana sains
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Batas Atas M -Kompetisi Indeks Dari Digraf Lingkaran
Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan
Berdekatan
Skripsi
Bima Satrya Sebayang
120803026
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr.Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2016
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, sang pencipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul m-kompetisi indeks dari Digraf Lingkaran Hamlitonian
Dengan Beberapa Loop yang diletakkan Berdekatan. Shalawat dan salam penulis
ucapkan kepada Rasulullah ShallAllahu’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat
dan orang-orang yang mengikutinya.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarmya kepada :
1. Ibunda tercinta Nurhalimah Br Tarigan yang selalu memberikan dorongan
dan semangat serta doa yang tak henti-hentinya diberikan kepada penulis sehingga penulis merasa tidak terbebani dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran untuk penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran bermanfaat
selama penyusunan skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat
kepada penulis selam 4 tahun menimba ilmu dikampus ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Uatara yang telah membantu penulis dalam menyelesaiakn urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, dan ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2012 [MANJA 2012] khususnya
kepada 2 teman gokil penulis Abnidar Harun Pohan dan Fakhrul Rozy yang
selalu menjadi tempat penulis bertukar pikiran dalam penyelesaian skripsi ini
serta 2 teman yang berada dinaungan dosen pembimbing yang sama yaitu Nurul Maulida Surbakti dan Raiyani Indah yang selalu berbagi informasi dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
bentuk apapun. Terima kasih kepada teman-teman D’Twizter GenkZ (Randy,
Citra, Monika, Enov, dan Galih) yang selalu membantu penulis untuk memilih
kata-kata yang tepat dalam penyelesaian skripsi ini. Serta semua adik-adik
junior yang selalu memberikan semangat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada kak Ratih, kak Merryanti, kak Mantari yang telah membagikan ilmu
terkait dengan materi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk
penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2016
Penulis
iv
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri ata