Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan Berdekatan
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan sebuah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari sifatsifat, bentuk, dan ciri umum suatu graf . Banyak permasalahan dapat dimodelkan
dan direpresentasikan ke dalam bentuk sebuah graf dan diselesaikan dengan bantuan graf. Sebagai contoh, Jejaring sosial seperti facebook, twitter, instagram dan
lainnya dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf dengan memberikan bobot
pertemanan sebagai sisi dan pengguna sebagai titik. Sehingga secara singkat graf
yang dinotasikan dengan simbol G merupakan sebuah objek yang tersusun atas
elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung yang dinamakan sisi.
Jika setiap sisi pada sebuah graf G sembarang diberikan sebuah arah dengan
tidak mempengaruhi titik-titik di G akan memberikan sebuah defiinisi baru yang
dinamakan digraf yang dinotasikan sebagai D. Penggunaan definisi digraf sudah
banyak digunakan dalam pengembangan teorema-teorema yang berguna. Joel E.
Cohen (1968) memperkenalkan sebuah definisi kompetisi graf untuk penggunaan
pada sistem ekologi yang berhubungan dengan rantai makanan. Beliau mendefinisikan kompetisi graf C(D) adalah sebuah graf yang memiliki titik yang sama
dengan D dan sisi merupakan pasangan (x, y) dimana x, y ∈ D jika dan hanya
jika terdapat sebuah titik z ∈ D dimana (x, z) dan (y, z) merupakan arc di D
(Cho et all, 2000).
Seiring berkembangnya definisi dari kompetisi graf, banyak peneliti termotivasi untuk mengembangkan permasalahan mengenai kompetisi graf. Akelbek dan
Kirkland (2009) memperkenalkan sebuah definisi yang berguna yaitu scrambling
indeks pada sebuah primitif digraf, yaitu sebuah jalan terpendek sebesar k sehingga setiap pasang titik u dan v yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
sebuah titik w di D dimana u −→ w dan v −→ w di D. Chen dan Liu (2010)
meneliti scrambling indeks dari sebuah digraf primitif yang simetris yaitu untuk
Universitas Sumatera Utara
2
u, v ∈ V (D) maka (u, v), (v, u) ∈ E(D) dengan menggunakan definisi yang sama.
Penelitian selanjutnya berkembang menjadi mencari sebuah generalisasi dari
scrambling indeks dinamakan m-kompetisi indeks. Definisi dari m-kompetisi indeks yang simbolkan dengan km (D) yaitu sebuah jalan terpendek dengan panjang
k sehingga setiap pasang titik x dan y yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
m titik yang berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D dimana x −→ vt dan y −→ vt
untuk t = 1, 2, 3, · · · , m (Kim, 2010).
Kim (2010) meneliti m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks digraf tersebut. Jika Wn merupakan
graf Wielandt seperti yang ditunjukkan pada gambar 1
Gambar 1.1. Graf Wielandt Wn
Beliau memaparkan bahwa, untuk 1 ≤ m ≤ n (n ≥ 3), maka m-kompetisi
indeks graf pada gambar 1.1 adalah
km (Wn ) =
1 + ( n+m−2 )(n − 1)
2
1 + ( n+m−3 )n
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
Pada teorema selanjutnya, diberikan batas atas untuk kelas-kelas himpunan digraph primitif yang dipengaruhi panjang lingkaran terpendek girth sebesar s dengan orde n ≥ 3. Andaikan D merupakan digraf primitif dengan orde n ≥ 3 dan
s merupakan girth dari D maka untuk bilangan bulat positif 1 ≤ m ≤ n didapat
Universitas Sumatera Utara
3
m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D
km (D) ≤
n + ( n+m−4 )s
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
n − 1 + ( n+m−3 )s
2
Sehingga memberikan kesimpulan bahwa digraf Wielandt merupakan m-kompetisi
terbesar untuk kelas himpunan digraf primitif yang dipengaruhi oleh panjang
lingkaran terpendek girth.
Shao et al (2012) meneliti m-kompetisi indeks dari digraf primitif yang simetris
tanpa menggunakan loop dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks
dari digraf tersebut. Pada penelitian tersebut, diteliti sebuah graf Sn (r) yang
dinotasikan sebagai semua digraf simetris primitif dengan banyaknya titik adalah
n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari
panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r. Andaikan Gr,l merupakan
graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ l ≤ n − r seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2
Gambar 1.2. Graf Gr,l
maka, m-kompetisi indeks km (Gr,l ) dari graf Gr,l adalah
l + ⌊ r+m−2
⌋
2
km (Gr , l) = l + m − 1
2l + r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤r+l−1
jika
m≥r+l
Andaikan Gr merupakan graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar 3
Universitas Sumatera Utara
4
Gambar 1.3. Graf Gr
untuk 2 ≤ m ≤ n − 1 maka nilai dari m-kompetisi indeks graf Gr adalah
km (Gr ) =
⌊ r+m−1 ⌋
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
2
r − 1
Kesimpulan yang dihasilkan, batas atas dari kelas graf Sn (r) adalah untuk
graf G ∈ Sn (r), 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 2 ≤ m ≤ n − 1. Maka,
km ≤ km (Gn,r ) =
n − r + ⌊ r+m−2 ⌋
2
n + m − r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
Sehingga km (Gn,r ) ∈ Sn (r) merupakan m-kompetisi indeks terbesar untuk kelas
graf primitif dengan banyaknya titik adalah n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih
kecil dari pada r.
Informasi diatas menjadi latar belakang peneliti untuk mengembangkan mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitif yang terdiri atas sebuah lingkaran
hamiltonian dengan beberapa loop didalamnya.
1.2 Perumusan Masalah
Pembahasan digraf primitif sendiri karena definisi dari m-kompetisi indeks mengharuskan digraf tersebut terhubung kuat dan untuk setiap pasangan titik vi dan
vj harus mempunyai outdegree yang sama. Peneliti sebelumnya telah meneliti mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitive yang tanpa loop. Sehingga, penelitian tersebut menjadi dasar peneliti untuk meneliti sebuah digraf yang terdiri atas
Universitas Sumatera Utara
5
sebuah lingkaran Hamiltonian dengan beberapa loop yang saling lepas diletakkan
berdekatan. Secara khusus rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Gambar 1.4. Digraf s Dn
Andaikan digraf s Dn adalah sebuah digraf dengan banyak titik adalah n buah
terdiri atas sebuah lingkaran Hamiltonian yaitu v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop yang diletakkan berdekatan. Apakah f (km (s Dn )) ≤ f (s, m, n)?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk rumus umum dari
batas atas m-kompetisi indeks untuk kelas digraf primitif dengan n ∈ Z+ titik
v1 , v2 , · · · , vn di digraf D yang mempunyai lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 →
· · · → vn → v1 dan beberapa loop sebanyak s yang diletakkan berdekatan untuk
1 ≤ s ≤ n.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai generalisasi scrambling indeks yaitu m-kompetisi indeks serta memberikan bantuan
kepada peneliti dibidang industri, transportasi atau pengetahuan terapan lainnya
yang menggunakan literatur yang berhubungan dengan m-kompetisi indeks.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan sebuah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari sifatsifat, bentuk, dan ciri umum suatu graf . Banyak permasalahan dapat dimodelkan
dan direpresentasikan ke dalam bentuk sebuah graf dan diselesaikan dengan bantuan graf. Sebagai contoh, Jejaring sosial seperti facebook, twitter, instagram dan
lainnya dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf dengan memberikan bobot
pertemanan sebagai sisi dan pengguna sebagai titik. Sehingga secara singkat graf
yang dinotasikan dengan simbol G merupakan sebuah objek yang tersusun atas
elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan
oleh sebuah penghubung yang dinamakan sisi.
Jika setiap sisi pada sebuah graf G sembarang diberikan sebuah arah dengan
tidak mempengaruhi titik-titik di G akan memberikan sebuah defiinisi baru yang
dinamakan digraf yang dinotasikan sebagai D. Penggunaan definisi digraf sudah
banyak digunakan dalam pengembangan teorema-teorema yang berguna. Joel E.
Cohen (1968) memperkenalkan sebuah definisi kompetisi graf untuk penggunaan
pada sistem ekologi yang berhubungan dengan rantai makanan. Beliau mendefinisikan kompetisi graf C(D) adalah sebuah graf yang memiliki titik yang sama
dengan D dan sisi merupakan pasangan (x, y) dimana x, y ∈ D jika dan hanya
jika terdapat sebuah titik z ∈ D dimana (x, z) dan (y, z) merupakan arc di D
(Cho et all, 2000).
Seiring berkembangnya definisi dari kompetisi graf, banyak peneliti termotivasi untuk mengembangkan permasalahan mengenai kompetisi graf. Akelbek dan
Kirkland (2009) memperkenalkan sebuah definisi yang berguna yaitu scrambling
indeks pada sebuah primitif digraf, yaitu sebuah jalan terpendek sebesar k sehingga setiap pasang titik u dan v yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
sebuah titik w di D dimana u −→ w dan v −→ w di D. Chen dan Liu (2010)
meneliti scrambling indeks dari sebuah digraf primitif yang simetris yaitu untuk
Universitas Sumatera Utara
2
u, v ∈ V (D) maka (u, v), (v, u) ∈ E(D) dengan menggunakan definisi yang sama.
Penelitian selanjutnya berkembang menjadi mencari sebuah generalisasi dari
scrambling indeks dinamakan m-kompetisi indeks. Definisi dari m-kompetisi indeks yang simbolkan dengan km (D) yaitu sebuah jalan terpendek dengan panjang
k sehingga setiap pasang titik x dan y yang berada di digraf primitif D terdapat
k
k
m titik yang berbeda yaitu v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D dimana x −→ vt dan y −→ vt
untuk t = 1, 2, 3, · · · , m (Kim, 2010).
Kim (2010) meneliti m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks digraf tersebut. Jika Wn merupakan
graf Wielandt seperti yang ditunjukkan pada gambar 1
Gambar 1.1. Graf Wielandt Wn
Beliau memaparkan bahwa, untuk 1 ≤ m ≤ n (n ≥ 3), maka m-kompetisi
indeks graf pada gambar 1.1 adalah
km (Wn ) =
1 + ( n+m−2 )(n − 1)
2
1 + ( n+m−3 )n
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
Pada teorema selanjutnya, diberikan batas atas untuk kelas-kelas himpunan digraph primitif yang dipengaruhi panjang lingkaran terpendek girth sebesar s dengan orde n ≥ 3. Andaikan D merupakan digraf primitif dengan orde n ≥ 3 dan
s merupakan girth dari D maka untuk bilangan bulat positif 1 ≤ m ≤ n didapat
Universitas Sumatera Utara
3
m-kompetisi indeks km (D) dari digraf D
km (D) ≤
n + ( n+m−4 )s
2
jika
m + n genap
jika
m + n ganjil
n − 1 + ( n+m−3 )s
2
Sehingga memberikan kesimpulan bahwa digraf Wielandt merupakan m-kompetisi
terbesar untuk kelas himpunan digraf primitif yang dipengaruhi oleh panjang
lingkaran terpendek girth.
Shao et al (2012) meneliti m-kompetisi indeks dari digraf primitif yang simetris
tanpa menggunakan loop dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks
dari digraf tersebut. Pada penelitian tersebut, diteliti sebuah graf Sn (r) yang
dinotasikan sebagai semua digraf simetris primitif dengan banyaknya titik adalah
n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari
panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r. Andaikan Gr,l merupakan
graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ l ≤ n − r seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2
Gambar 1.2. Graf Gr,l
maka, m-kompetisi indeks km (Gr,l ) dari graf Gr,l adalah
l + ⌊ r+m−2
⌋
2
km (Gr , l) = l + m − 1
2l + r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤r+l−1
jika
m≥r+l
Andaikan Gr merupakan graf dari kelas Sn (r) dengan dengan 3 ≤ r ≤ n − 1 dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar 3
Universitas Sumatera Utara
4
Gambar 1.3. Graf Gr
untuk 2 ≤ m ≤ n − 1 maka nilai dari m-kompetisi indeks graf Gr adalah
km (Gr ) =
⌊ r+m−1 ⌋
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
2
r − 1
Kesimpulan yang dihasilkan, batas atas dari kelas graf Sn (r) adalah untuk
graf G ∈ Sn (r), 3 ≤ r ≤ n − 1 dan 2 ≤ m ≤ n − 1. Maka,
km ≤ km (Gn,r ) =
n − r + ⌊ r+m−2 ⌋
2
n + m − r − 1
jika
2≤m≤r−1
jika
r ≤m≤n−1
Sehingga km (Gn,r ) ∈ Sn (r) merupakan m-kompetisi indeks terbesar untuk kelas
graf primitif dengan banyaknya titik adalah n yang memiliki lingkaran ganjil dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih
kecil dari pada r.
Informasi diatas menjadi latar belakang peneliti untuk mengembangkan mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitif yang terdiri atas sebuah lingkaran
hamiltonian dengan beberapa loop didalamnya.
1.2 Perumusan Masalah
Pembahasan digraf primitif sendiri karena definisi dari m-kompetisi indeks mengharuskan digraf tersebut terhubung kuat dan untuk setiap pasangan titik vi dan
vj harus mempunyai outdegree yang sama. Peneliti sebelumnya telah meneliti mkompetisi indeks dari sebuah digraf primitive yang tanpa loop. Sehingga, penelitian tersebut menjadi dasar peneliti untuk meneliti sebuah digraf yang terdiri atas
Universitas Sumatera Utara
5
sebuah lingkaran Hamiltonian dengan beberapa loop yang saling lepas diletakkan
berdekatan. Secara khusus rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Gambar 1.4. Digraf s Dn
Andaikan digraf s Dn adalah sebuah digraf dengan banyak titik adalah n buah
terdiri atas sebuah lingkaran Hamiltonian yaitu v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop yang diletakkan berdekatan. Apakah f (km (s Dn )) ≤ f (s, m, n)?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk rumus umum dari
batas atas m-kompetisi indeks untuk kelas digraf primitif dengan n ∈ Z+ titik
v1 , v2 , · · · , vn di digraf D yang mempunyai lingkaran hamiltonian v1 → v2 → v3 →
· · · → vn → v1 dan beberapa loop sebanyak s yang diletakkan berdekatan untuk
1 ≤ s ≤ n.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai generalisasi scrambling indeks yaitu m-kompetisi indeks serta memberikan bantuan
kepada peneliti dibidang industri, transportasi atau pengetahuan terapan lainnya
yang menggunakan literatur yang berhubungan dengan m-kompetisi indeks.
Universitas Sumatera Utara