Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan Berdekatan
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar sarjana sains
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Batas Atas M -Kompetisi Indeks Dari Digraf Lingkaran
Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan
Berdekatan
Skripsi
Bima Satrya Sebayang
120803026
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr.Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2016
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, sang pencipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul m-kompetisi indeks dari Digraf Lingkaran Hamlitonian
Dengan Beberapa Loop yang diletakkan Berdekatan. Shalawat dan salam penulis
ucapkan kepada Rasulullah ShallAllahu’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat
dan orang-orang yang mengikutinya.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarmya kepada :
1. Ibunda tercinta Nurhalimah Br Tarigan yang selalu memberikan dorongan
dan semangat serta doa yang tak henti-hentinya diberikan kepada penulis sehingga penulis merasa tidak terbebani dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran untuk penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran bermanfaat
selama penyusunan skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat
kepada penulis selam 4 tahun menimba ilmu dikampus ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Uatara yang telah membantu penulis dalam menyelesaiakn urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, dan ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2012 [MANJA 2012] khususnya
kepada 2 teman gokil penulis Abnidar Harun Pohan dan Fakhrul Rozy yang
selalu menjadi tempat penulis bertukar pikiran dalam penyelesaian skripsi ini
serta 2 teman yang berada dinaungan dosen pembimbing yang sama yaitu Nurul Maulida Surbakti dan Raiyani Indah yang selalu berbagi informasi dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
bentuk apapun. Terima kasih kepada teman-teman D’Twizter GenkZ (Randy,
Citra, Monika, Enov, dan Galih) yang selalu membantu penulis untuk memilih
kata-kata yang tepat dalam penyelesaian skripsi ini. Serta semua adik-adik
junior yang selalu memberikan semangat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada kak Ratih, kak Merryanti, kak Mantari yang telah membagikan ilmu
terkait dengan materi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk
penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2016
Penulis
iv
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri atas sebuah lingkaran
Hamiltonian dan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Untuk setiap
digraf s Dn , diperoleh batas atas km (s Dn ) ≤ f (s, n, m) yaitu fungsi yang bergantung pada s, n dan m.
Kata kunci : Digraf Hamiltonian, loop, m-kompetisi indeks.
v
Universitas Sumatera Utara
UPPER BOUND OF M -COMPETITION INDICES OF DIGRAPH
WITH HAMILTONIAN CYCLE WITH SOME LOOPS PUT ADJECENT
ABSTRACT
For positive integers m and n with 1 ≤ m ≤ n, m-competition indices of a primitive digraph D, notated with km (D) is a smallest positive integer such that for
each pairs x dan y, there exist m distinct vertices v1 , v2 , v3 , · · · , vm in D such
k
k
that x → vi and y → vi for each i = 1, 2, · · · , m. This paper discuss an upper bound of m-competition indices from a class of primitive digraph s Dn which
is digraph with n vertices consist of a Hamiltonian cylce and s loops put adjecent. For every digraph s Dn , we have an upper bound with inequality function
km (s Dn ) ≤ f (s, n, m), a function depends on a value of s, n and m.
Key notes : Hamiltonian Digraf, loop, m-competition indices.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
i
ii
iii
iv
vi
vii
viii
BAB 1. PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Tujuan Penelitian
1.4 Manfaat Penelitan
1
4
5
5
BAB 2. DIGRAF PRIMITIF
6
2.1 Definisi Digraf
2.2 Definisi Digraf Primitif
2.3 Digraf s Dn Sebagai Digraf Primitif
2.4 Definisi M -Kompetisi Indeks
2.5 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Primitif
6
10
11
12
14
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
18
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
18
4.1 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian 1 buah loop 20
4.2 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian s buah loop 22
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN
28
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
28
28
BAB 6. DAFTAR PUSTAKA
29
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Judul
Halaman
1.1
Graf Wielandt
2
1.2
Graf Gr,l
3
1.3
Graf Gr
4
1.4
Digraf s Dn
5
2.1
Contoh Digraf D
6
2.2
Digraf 1 D4
9
3.1
(a) Digraf 1 Dn (b) Digraf s Dn
18
4.1
Digraf 1 Dn
20
4.2
Digraf s Dn
22
viii
Universitas Sumatera Utara
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M-KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar sarjana sains
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Batas Atas M -Kompetisi Indeks Dari Digraf Lingkaran
Hamiltonian Dengan Beberapa loop yang Diletakkan
Berdekatan
Skripsi
Bima Satrya Sebayang
120803026
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr.Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF
LINGKARAN HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA
LOOP YANG DILETAKKAN BERDEKATAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2016
BIMA SATRYA SEBAYANG
120803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, sang pencipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah serta kasih sayang-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul m-kompetisi indeks dari Digraf Lingkaran Hamlitonian
Dengan Beberapa Loop yang diletakkan Berdekatan. Shalawat dan salam penulis
ucapkan kepada Rasulullah ShallAllahu’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat
dan orang-orang yang mengikutinya.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarmya kepada :
1. Ibunda tercinta Nurhalimah Br Tarigan yang selalu memberikan dorongan
dan semangat serta doa yang tak henti-hentinya diberikan kepada penulis sehingga penulis merasa tidak terbebani dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat kepada penulis serta dapat meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran untuk penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran bermanfaat
selama penyusunan skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat
kepada penulis selam 4 tahun menimba ilmu dikampus ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Uatara yang telah membantu penulis dalam menyelesaiakn urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, dan ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2012 [MANJA 2012] khususnya
kepada 2 teman gokil penulis Abnidar Harun Pohan dan Fakhrul Rozy yang
selalu menjadi tempat penulis bertukar pikiran dalam penyelesaian skripsi ini
serta 2 teman yang berada dinaungan dosen pembimbing yang sama yaitu Nurul Maulida Surbakti dan Raiyani Indah yang selalu berbagi informasi dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
bentuk apapun. Terima kasih kepada teman-teman D’Twizter GenkZ (Randy,
Citra, Monika, Enov, dan Galih) yang selalu membantu penulis untuk memilih
kata-kata yang tepat dalam penyelesaian skripsi ini. Serta semua adik-adik
junior yang selalu memberikan semangat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada kak Ratih, kak Merryanti, kak Mantari yang telah membagikan ilmu
terkait dengan materi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk
penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2016
Penulis
iv
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS M -KOMPETISI INDEKS DARI DIGRAF LINGKARAN
HAMILTONIAN DENGAN BEBERAPA LOOP YANG DILETAKKAN
BERDEKATAN
ABSTRAK
Untuk bilangan bulat positif m dan n dengan 1 ≤ m ≤ n, m-kompetisi indeks dari
sebuah digraf primitif D, dinotasikan dengan km (D) adalah bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasang x dan y, terdapat m titik berbeda yaitu
k
k
v1 , v2 , v3 , · · · , vm di D sehingga x → vi dan y → vi untuk setiap i = 1, 2, · · · , m.
Tulisan ini membahas mengenai batas atas m-kompetisi indeks dari kelas digraf
primitif s Dn yaitu digraf dengan n buah titik yang terdiri atas sebuah lingkaran
Hamiltonian dan s buah loop yang diletakkan saling berdekatan. Untuk setiap
digraf s Dn , diperoleh batas atas km (s Dn ) ≤ f (s, n, m) yaitu fungsi yang bergantung pada s, n dan m.
Kata kunci : Digraf Hamiltonian, loop, m-kompetisi indeks.
v
Universitas Sumatera Utara
UPPER BOUND OF M -COMPETITION INDICES OF DIGRAPH
WITH HAMILTONIAN CYCLE WITH SOME LOOPS PUT ADJECENT
ABSTRACT
For positive integers m and n with 1 ≤ m ≤ n, m-competition indices of a primitive digraph D, notated with km (D) is a smallest positive integer such that for
each pairs x dan y, there exist m distinct vertices v1 , v2 , v3 , · · · , vm in D such
k
k
that x → vi and y → vi for each i = 1, 2, · · · , m. This paper discuss an upper bound of m-competition indices from a class of primitive digraph s Dn which
is digraph with n vertices consist of a Hamiltonian cylce and s loops put adjecent. For every digraph s Dn , we have an upper bound with inequality function
km (s Dn ) ≤ f (s, n, m), a function depends on a value of s, n and m.
Key notes : Hamiltonian Digraf, loop, m-competition indices.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
i
ii
iii
iv
vi
vii
viii
BAB 1. PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Tujuan Penelitian
1.4 Manfaat Penelitan
1
4
5
5
BAB 2. DIGRAF PRIMITIF
6
2.1 Definisi Digraf
2.2 Definisi Digraf Primitif
2.3 Digraf s Dn Sebagai Digraf Primitif
2.4 Definisi M -Kompetisi Indeks
2.5 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Primitif
6
10
11
12
14
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
18
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
18
4.1 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian 1 buah loop 20
4.2 Batas Atas M -Kompetisi Indeks Digraf Hamiltonian s buah loop 22
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN
28
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
28
28
BAB 6. DAFTAR PUSTAKA
29
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Judul
Halaman
1.1
Graf Wielandt
2
1.2
Graf Gr,l
3
1.3
Graf Gr
4
1.4
Digraf s Dn
5
2.1
Contoh Digraf D
6
2.2
Digraf 1 D4
9
3.1
(a) Digraf 1 Dn (b) Digraf s Dn
18
4.1
Digraf 1 Dn
20
4.2
Digraf s Dn
22
viii
Universitas Sumatera Utara