1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan masalah fungsi kontinu nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Dapat mencari solusi alternatif untuk menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear
nonsmooth. 2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan bagi yang
hendak melakukan penelitian serupa.
1.5 Tinjauan Pustaka
Persamaan yang tidak linier dan mempunyai derajat dua atau lebih dari dua dikatakan sebagai fungsi nonlinier. Pada fungsi nonlinier grafiknya tidak berupa garis lurus,
melainkan dapat berupa kurva atau garis zig-zag. Fungsi nonlinier kontinu adalah fungsi nonlinear dimana tidak terdapat celah kosong pada fungsi tersebut.
Bentuk umum dari fungsi nonlinier
Universitas Sumatera Utara
di mana dan
merupakan koefisien.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi nonlinier yang berada pada garis atau bidang patah dimana pada setiap garis maupun bidang adalah kontinu.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi patah namun konveks.
Bentuk umum pertidaksamaan untuk fungsi konveks terdifferensialkan adalah sebagai berikut:
dimana merupakan turunan dari dan
Gambar 1.5.1. Fungsi konveks terdifferensialkan
Universitas Sumatera Utara
Definisi 1.5.1.
David G. Luenberger 1984 menyatakan bahwa sebuah fungsi dikatakan berada
pada himpunan konveks S atau dapat dikatakan konveks jika untuk setiap
dan setiap
α,
Jika untuk setiap α, dan
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Metode Subgradien pertama kali dikembangkan oleh N.Z Shor 1962
yang digunakan dalam memecahkan masalah transportasi program linear berskala besar. Goffin, 2010
Dapat dikatakan bahwa sebuah vektor adalah subgradien dari
pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari
pada . Yi Zhang, 2013
1.6 Metode Penelitian
Pada penelitian ini, metode yang digunakan bersifat literatur, yaitu dengan melakukan penelitian literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku-buku
referensi, maupun bahan-bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan atau internet.
Universitas Sumatera Utara
Adapun langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memaparkan beberapa jenis fungsi nonlinier.
2. Menjelaskan pengertian fungsi smooth dan nonsmooth.
3. Menjelaskan pengertian turunan fungsi nonsmooth.
4. Menyelesaikan fungsi nonsmooth dengan metode Subgradien.
5. Menyelesaikan contoh soal Subgradien yang diperoleh dari referensi.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth,
turunan fungsi smooth, turunan fungsi nonsmooth, dan metode Subgradien pada fungsi nonsmooth.
2.1 Fungsi Nonlinier
Definisi 2.1.1.
Sebuah fungsi dengan nilai real yang didefinisikan pada himpunan bilangan real
adalah aturan yang menyatakan setiap bilangan yang berada dalam ke tepat satu
bilangan real dinyatakan dengan . Himpunan yang beranggotakan seluruh
bilangan di mana didefinisikan disebut Domain atau daerah asal fungsi .
Bilangan yang merupakan fungsi dari disebut nilai pada titik , sedangkan
himpunan semua nilai disebut Range jelajah dari Razali dkk, 2010.
Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi
Domain Range
Universitas Sumatera Utara
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang tidak linier, yakni grafiknya bukan berupa garis lurus melainkan berupa kurva atau garis zig-zag.
Bentuk umum dari fungsi nonlinier
di mana dan
merupakan koefisien.
Beberapa bentuk dari fungsi nonlinier adalah
1. Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua. Gambar fungsi kuadrat bisa berupa lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
di mana dan .
Gambar 2.1.2 . Fungsi kuadrat
Universitas Sumatera Utara
Diberikan beberapa ciri-ciri dari suatu fungsi kuadrat yaitu:
1 1
. .
Jika dan maka bentuk kurvanya lingkaran.
2 2
. .
dan mempunyai tanda yang sama maka bentuk kurvanya elips.
3 3
. .
berlawanan tanda maka bentuk kurvanya hiperbola.
4 4
. .
dan jika salah satu atau maka bentuk kurvanya parabola.
2. Fungsi kubik Fungsi kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat tiga.
Bentuk umum dari fungsi kubik adalah .
di mana .
Sebuah fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok inflextion point, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi
cembung atau sebaliknya. Selain titik belok, fungsi kubik memungkinkan mempunyai sebuah titik ekstrim maksimum atau minimum atau kedua titik
ekstrim maksimum dan minimum. Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik bergantung dari besarnya nilai
di dalam persamaan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk
Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk
3. Fungsi eksponensial Pada fungsi eksponensial kurvanya berada di kuadran I dan II pada sistem
koordinat.
Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial
di mana
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum dari fungsi eksponensial
di mana dan adalah konstanta
Kurva fungsi eksponensial asimtotik terhadap garis Titik potong kurva eksponensial
G G
a a
m m
b b
a a
r r
2 2
. .
1 1
. .
5 5
. .
F F
u u
n n
g g
s s
i i
e e
k k
s s
p p
o o
n n
e e
n n
s s
i i
a a
l l
u u
n n
t t
u u
k k
G G
a a
m m
b b
a a
r r
2 2
. .
1 1
. .
6 6
. .
F F
u u
n n
g g
s s
i i
e e
k k
s s
p p
o o
n n
e e
n n
s s
i i
a a
l l
u u
n n
t t
u u
k k
Universitas Sumatera Utara
4. Fungsi logaritmik Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial yang variabel
bebasnya merupakan bilangan logaritma
.
B B
e e
n n
t t
u u
k k
s s
e e
d d
e e
r r
h h
a a
n n
a a
d d
a a
r r
i i
f f
u u
n n
g g
s s
i i
l l
o o
g g
a a
r r
i i
t t
m m
i i
k k
d d
i i
m m
a a
n n
a a
B B
e e
n n
t t
u u
k k
u u
m m
u u
m m
d d
a a
r r
i i
f f
u u
n n
g g
s s
i i
l l
o o
g g
a a
r r
i i
t t
m m
i i
k k
y y
d d
i i
m m
a a
n n
a a
K K
u u
r r
v v
a a
f f
u u
n n
g g
s s
i i
l l
o o
g g
a a
r r
i i
t t
m m
i i
k k
a a
d d
a a
d d
i i
s s
e e
b b
e e
l l
a a
h h
k k
a a
n n
a a
n n
d d
a a
n n
a a
s s
i i
m m
t t
o o
t t
i i
k k
t t
e e
r r
h h
a a
d d
a a
p p
g g
a a
r r
i i
s s
T T
i i
t t
i i
k k
p p
o o
t t
o o
n n
g g
d d
e e
n n
g g
a a
n n
s s
u u
m m
b b
u u
– –
T T
i i
t t
i i
k k
p p
o o
t t
o o
n n
g g
d d
e e
n n
g g
a a
n n
s s
u u
m m
b b
u u
– –
G G
a a
m m
b b
a a
r r
2 2
. .
1 1
. .
7 7
F F
u u
n n
g g
s s
i i
l l
o o
g g
a a
r r
i i
t t
m m
i i
k k
Universitas Sumatera Utara
2.1.1 Fungsi Smooth
Sebuah fungsi pada dengan
{
⁄
Adalah smooth dan mempunyai turunan 0 pada .
Sebuah fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pada setiap titik
diberikan sebagai berikut:
{
di mana adalah polynomial dari derajat
Bukti:
Dengan menggunakan induksi matematika, untuk semua bilangan asli termasuk 0
⁄
di mana semua adalah kontinu dan dapat didifferensialkan pada
, karena
⁄
Menurut Power Series Representation of The Exponential Function
Universitas Sumatera Utara
∑
Oleh karena untuk semua bilangan positif diikutsertakan,
maka digunakan persamaan fungsi pada fungsi eksponensial.
⁄
Akan dibuktikan rumus untuk turunan ke dengan induksi matematika.
Untuk turunan pertama dari untuk semua dan
adalah polynomial dari derajat 0 adalah benar. Akibatnya turunan dari
adalah 0 untuk
.
⁄
Tahap induksi matematika dari sampai adalah sama. Untuk
diperoleh turunannya adalah
Universitas Sumatera Utara
di mana adalah polynomial dari derajat . Maka
turunan pertama dari adalah 0 untuk semua . Turunan
pada , adalah
⁄
Wikipedia, 2013.
2.1.2 Fungsi Nonsmooth
Definisi 2.1.2.1.
Istilah nonsmooth mengacu pada situasi dimana terjadi smoothness differensiabilitas. Sebuah fungsi yang nonsmooth dapat berupa fungsi
patah namun tetap kontinu. Clarke, 1983.
Contoh 2.1.2.1.
. Fungsi di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
x 1
-1 y
Universitas Sumatera Utara
Fungsi merupakan dua buah garis yang bertemu pada satu
titik, yaitu di titik . Kedua garis memiliki turunan yang berbeda.
Turunan dari sebelah kiri adalah dan turunan dari sebelah kanan
adalah . Martono, 2002
Berdasarkan contoh di atas fungsi nonsmooth dapat diartikan sebagai fungsi yang mempunyai turunan berarah.
2.2 Turunan Fungsi Nonlinier
Kategori