Fungsi Kernel Pada Metode Regresi Non-Parametrik

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK

SKRIPSI

INDRI HAFSARI
090823018

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

INDRI HAFSARI
090823018

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NONPARAMETRIK
: SKRIPSI
: INDRI HAFSARI
: 090823018
: S1 STATISTIKA EKSTENSI
: MATEMATIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di
Medan, Juli 2011

Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,

pembimbing 1,

Drs. Djakaria Sebayang, M.Si
NIP. 195112271985031002

Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si
NIP. 194604041971071001

diketahui/ disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU

Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP.19620901 198803 1 002

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

FUNGSI KERNEL PADA METODE REGRESI NON-PARAMETRIK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan
ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juli 2011

INDRI HAFSARI
090823018

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat
dan hidayah serta karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik dan
tepat waktu.
Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah merupakan salah satu syarat untuk
menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara.
Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan
skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis.
Selama dalam penyusunan skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan
bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini penulis mau mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing 1 pada penulisan skripsi ini
yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis
dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Drs. Djakaria Sebayang, M.Si selaku pembimbing 2 pada penulisan skripsi ini
yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis
dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen
penguji yang telah memberikan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU.
6. Bapak Drs. Pengarapan Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan Progam
S1Statistika Ekstensi.
7. Kepada Ayahanda M. Jamil dan Ibunda Elfidarna serta adik-adik atas bimbingan
moral dan materil yang telah diberikan.
8. Seluruh staf pengajar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Khususnya Departemen Matematika Jurusan Statistika
Ekstensi.
9. Semua pihak yang terkait dalam penyelesaian skripsi ini.

Universitas Sumatera Utara

Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak
terdapat kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat
membangun, dimana saran dan kritik tersebut dapat dimanfaatkan untuk kemajuan ilmu
pengetahuan pada saat ini dan yang akan datang.

Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan
penulis khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Medan,

Juli 2011

Penulis

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan
sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam
mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut
digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga
digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel
memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan
lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam
penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena
fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi
dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE
sebesar 3.23 x 10-8. Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel.
Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways
of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel
methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is
given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its
form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi
quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This
study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease
of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is
predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the
SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel.
Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftara Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar

Bab I Pendahuluan
1.1 LatarBelakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Tinjauan Pustaka
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Kontribusi Penelitian
1.6 Metode Penelitian

i
ii
iii
v
vi
vii
viii
ix

1
1
2
2
3
3
4

Bab II Landasan Teori
2.1 Regresi Non-Parametrik
2.2 Rgresi Kernel
2.3 Fungsi Kernel
2.4 Pemilihan Bandwith
2.5 Solver

5
5
7
8
12
13

Bab III Pembahasan
3.1 Pembahasan

15
15

Bab IV Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran

26
26
26

Daftar Pustaka

27

Universitas Sumatera Utara

Daftar Tabel

Halaman

Tabel 1. Contoh data
Tabel 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5)
Tabel 3. Nilai kuadrat kesalahan
Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver

15
18
20
23

Universitas Sumatera Utara

Daftar Gambar

Halaman

Gambar 1. Grafik Gaussian
Gambar 2. Grafik Norm
Gambar 3. Grafik Quadratic
Gambar 4. Grafik Multi quadratic
Gambar 5. Grafik Spline
Gambar 6. Grafik Epanechnikov
Gambar 7. Grafik Tri-cube
Gambar 8. Contoh kurva bandwith
Gambar 9. Posisi perangkat solver
Gambar 10. Grafik Gaussian kernel
Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0
Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver
Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver
Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver
Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui

9
9
10
10
11
11
12
13
14
16
18
22
22
23
25

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Statistik nonparametrik merupakan kumpulan metode untuk analisis data yang menawarkan
sebuah pendekatan dengan cara-cara pengambilan keputusan. Ada beberapa metode dalam
mengestimasi regresi nonparametrik salah satunya metode kernel. Metode kernel tersebut
digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi bila sebuah data Y diberikan. Metode ini juga
digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya. Metode kernel
memiliki beberapa fungsi, diantaranya Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi quadratic dan
lain-lain. Pemilihan bandwith dilakukan dengan cara meminimumkan bias dan varians. Dalam
penelitian ini digunakan salah satu dari fungsi tersebut yaitu fungsi kernel Gaussian. Karena
fungsi ini memiliki kemudahan dalam penggunaannya. Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data nonparametrik. Dari hasil penelitian yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi
dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. Dari hasil penelitian didapat SSE
sebesar 3.23 x 10-8. Pengestimasian dalam tulisan ini menggunakan excel.
Kata kunci: Regresi nonparametrik, regresi kernel, solver.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Nonparametric statistics is a collection of methods for data analysis offers an approach to ways
of decision making. There are several methods in estimating the nonparametric regression kernel
methods one of them. Kernel method is used to estimate the regression function when a data Y is
given. This method is also used to estimate the regression function are difficult to predict its
form. Kernel method has several functions, including Gaussian, Norm, Quadratik, Spline, Multi
quadratic and others. The selection of bandwidth is done by minimizing bias and variance. This
study used one of these functions is the Gaussian kernel function. Since this function has the ease
of use. The data used in this study is nonparametric data. From the results of research can do is
predict the results of calculations in other words just a hope. Research results obtained from the
SSE at 3:23 x 10-8. Estimating in this paper using excel.
Keywords: nonparametric regression, kernel regression, Solver.

Universitas Sumatera Utara

BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis regresi merupakan analisis dalam statistika yang sangat banyak digunakan untuk
melihat hubungan antara Y variabel respon dengan X variabel-variabel prediktornya. Untuk
sebuah sampel berukuran n data pengamatan (X1, Y1),…, (Xn, Yn), hubungan antara variabelvariabel tersebut dapat dinyatakan dengan model regresi Y = m(X) + ε. Dimana m adalah fungsi
matematik yang disebut sebagai fungsi regresi yang tidak diketahui dan ε adalah error.
Ada beberapa metode pendekatan regresi nonparametrik diantaranya spline, kernel, knearest neigborhood dan lain-lain. Diantara metode-metode pendekatan tersebut, regresi
nonparametrik dengan pendekatan spline dan kernel merupakan metode yang sering digunakan.
Kedua metode tersebut memiliki keunggulan masing-masing. Pendekatan kernel memiliki
bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah disesuaikan. Sedangkan
pendekatan spline dapat menyesuaikan diri secara efektif terhadap data tersebut, sehingga
didapatkan hasil yang mendekati kebenaran.

Statistika nonparametrik adalah suatu cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedurprosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku.
Misalnya syarat kenormalan suatu data, atau ragam yang sama, dan lain-lain. Tetapi cukup pada
asumsi yang umum. Terdapat dua tipe utama prosedur statistik yang dianggap nonparametrik
yaitu nonparametrik murni dan bebas sebaran.

Berdasarkan uraian diatas, penulis mengambil judul “Fungsi Kernel Pada Metode
Regresi Non-Parametrik”.

Universitas Sumatera Utara

1.2 Perumusan Masalah
Sesuai dengan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya, maka masalah yang akan
dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana model fungsi kernel pada metode regresi
nonparametrik.

1.3 Tinjauan Pustaka
Regresi kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk menaksir nilai ekspektasi bersyarat
suatu variabel random. Nilai ekspektasi ini lazim dinotasikan E(Y|X) [7]. Tujuan regresi kernel
adalah mendapatkan hubungan nonlinier antara X dengan Y. Ekspektasi bersyarat Y terhadap X
dinyatakan sebagai berikut:

E(Y|X) = m(X) atau yˆ = m(x)

(1)

Persamaan m(x) tidak dapat diwujudkan, tetapi yˆ dapat dihitung (Pada regresi linier,
E(Y|X) = X b atau yˆ = X b). Penaksir respon, yaitu yˆ = m(x), dapat dihitung menggunakan
formula sebagai berikut :

mˆ h ( x) =

n

−1

n

∑K
n

i =1
n
−1

h

∑K
i =1

( x − X i )Yi
h

(x − X i )

(2)

Keterangan: K adalah kernel
h adalah bandwidth
x adalah jangkauan
Xi adalah nilai data X
Yi adalah nilai data Y

Universitas Sumatera Utara

Tingkat kemulusan mˆ h ditentukan oleh fungsi kernel K dan lebar jendela h yang disebut
parameter pemulus, tetapi pengaruh kernel K tidak sedominan parameter pemulus h. Nilai h kecil
memberikan grafik yang kurang mulus sedangkan nilai h besar memberikan grafik yang sangat
mulus [2].
Dalam jurnal Suyono, Subanar [1] dan Suparti, Sudargo [2] menguraikan tentang model
regresi Y = m(X) + ε dengan ε bebas random tidak terobservasi yang diasumsikan tidak
berkorelasi dengan mean 0. Dalam regresi nonparametrik fungsi regresi m umumnya hanya
diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi yang berdimensi tak hingga.
Terdapat beberapa macam teknik smoothing antara lain regressogram, barisan estimator
ortogonal dan estimator kernel. Estimator kernel untuk fungsi regresi m diberikan pada persaman
(2).
Kriteria pemilihan fungsi kernel yang baik berdasarkan pada resiko kernel minimum
yang dapat diperoleh dari kernel optimal atau kernel-kernel dengan variansi minimum [3].
Solver yang digunakan untuk membantu dalam hal perhitungan yang terdapat dalam
program Microsoft Excel [4].

1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui peranan model fungsi kernel pada metode regresi
non-parametrik.

1.5 Kontribusi Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperkaya dan menambah wawasan dalam bidang
statistik, khususnya mengenai fungsi kernel pada metode regresi non-parametrik.

Universitas Sumatera Utara

1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
-

Melakukan studi literatur dari buku, jurnal dan artikel tentang fungsi kernel dan metode
regresi non-parametrik.

-

Mendefinisikan fungsi kernel dalam bidang regresi non-parametrik.

-

Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.

Universitas Sumatera Utara

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Regresi Non-Parametrik

Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas sebaran. Statistik nonparametrik tidak
mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi. Statistik nonparametrik dapat digunakan pada
data yang memiliki sebaran normal atau tidak. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk
melakukan analisis pada data nominal atau ordinal.

Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan
mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama
yang berkaitan dengan distribusi normal. Nama lain yang sering digunakan untuk statistik
nonparametrik adalah statistik bebas distribusi.

Analisa regresi adalah Analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun
sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu
fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Analisa regresi merupakan salah satu teknik
statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping
digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan
untuk peramalan.

Dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi
asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik
inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal
ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid

Universitas Sumatera Utara

walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsiasumsi yang sangat umum. Penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi :
a. contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu .
b. regresi (Y|X) bersifat linier.
c. semua nilai Xi saling bebas.
d. data diasumsikan tidak berdistribusi normal.

Contoh regresi non parametrik adalah uji tanda (sign test), uji jenjang bertanda wilcoxon,
metode theil, metode deret fourier, uji chi square dan lain-lain.

Perbandingan statistik nonparametrik dan statistik parametrik. Kekurangan dan kelebihan
setiap pemilihan prosedur pengujian data, apakah itu menggunakan nonparametrik atau
parametrik memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Berikut adalah kelebihan dan
kekurangan masing-masing prosedur :

Kelebihan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah :
1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan.
2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah.
3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan
kemampuan matematik yang minim.
4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal).
Kekurangan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah :
1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil
pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi.
2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang
menjemukan.
Prosedur nonparametrik digunakan sebaiknya :
1. Bila hipotesis yang diuji tidak melibatkan suatu parameter populasi.

Universitas Sumatera Utara

2. Bila data telah diukur menggunakan skala nominal atau ordinal.
3. Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak
terpenuhi.
4. Bila penghitungan harus dilakukan secara manual.
Menurut jenisnya data terdiri dari data kualitatif dan kuantitatif. Data kuantitatif adalah
data yang diukur dalam suatu skala numerik (angka). Data kuantitatif dapat dibedakan
menjadi:
1.

Data interval yaitu data yang diukur dengan jarak diantara dua titik pada skala yang
sudah diketahui.

2.

Data rasio yaitu data yang diukur dengan dengan suatu proporsi.

Data kualitatif adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun dalam
statistik semua data harus dalam bentuk angka, maka data kualitatif umumnya dikuantifikasi agar
dapat diproses. Kuantifikasi dapat dilakukan dengan mengklasifikasi data dalam bentuk kategori.
Data kualitatif dapat dibedaka menjadi:
1. Data nominal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori.
2. Data ordinal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori, namun posisi data
tidak sama derajatnya karena dinyatakan dalam skala peringkat.

2.2 Regresi Kernel
Regresi kernel adalah teknik non-parametrik dalam statistik untuk memperkirakan
ekspektasi bersyarat dari variabel acak. Tujuannya adalah untuk menemukan hubungan nonlinear antara sepasang variabel acak X dan Y, untuk mendapatkan dan menggunakan bobot yang
sesuai.
Dalam setiap regresi nonparametrik, harapan bersyarat dari variabel Y relatif terhadap
variabel X dapat ditulis E(Y|X) = m(X) atau E(Y|X = x) = ∫ y

f ( x, y )
dy . Dimana m adalah
f ( x)

fungsi yang tidak diketahui. untuk mendapatkan dan menggunakan bobot yang sesuai.

Universitas Sumatera Utara

Untuk mengestimasi m sebagai rata-rata tertimbang secara lokal, menggunakan kernel
sebagai fungsi pembobotan. Penaksir Nadaraya-Watson (2):
Ada tiga macam estimasi kernel yaitu:
1. Nadaraya-watson

mˆ h ( x) =

n

−1

n

∑K
n

i =1
n
−1

h

∑K
i =1

( x − X i )Yi
h

(x − X i )

2. Priestley-chao

3. Gasser-Müller kernel

Dimana S i =

(xi −1 + xi )
2

2.3 Fungsi Kernel

Pada [5], [6] menjelaskan fungsi kernel, dinotasikan K(t) merupakan suatu fungsi yang pada
pemanfaatannya diberlakukan pada setiap titik data. Fungsi ini mempunyai tiga sifat, yaitu :
a. K(t) ≥ 0 untuk semua t

Universitas Sumatera Utara

∫ K(t) = 1



b.

−∞

c. K(-t) = K(t) untuk semua t (sifat simetri)

Kriteria pemilihan fungsi kernel yang baik berdasarkan pada resiko kernel minimum
yang dapat diperoleh dari kernel optimal atau kernel-kernel dengan variansi minimum. Berikut
diberikan 7 macam fungsi kernel:
 ( x − X )2
K α ( x, X ) = exp −
2α 2


1. Gaussian






α =5
Gambar 1. Grafik Gaussian
2. Norm

K α , β ( x, X ) = −

x− X

α



α = 2, β = 2,5
Gambar 2. Grafik Norm

Universitas Sumatera Utara

2
(
x− X)
( x, X ) = −

3. Quadratic
K α ,β

α



α = 5, β = 5
Gambar 3. Grafik Quadratic

 ( x − X )2
2

K α ( x, X ) = 
β
+
2

α



4. Muti Quadratic

−γ

α = 0,5, β = 4, γ = 5
Gambar 4. Grafik Multi Quadratic

Universitas Sumatera Utara

5. Spline

 β ,ifx = X

K α ( x, X ) =   ( x − X )2  ( x − X )
 − α  ln α + β ,otherwise

α = , β = 250

1
2
Gambar 5. Grafik Spline

6. Epanechnikov

 3  1− ( x − X2 )2 ,if 
 4  α  
K α ( x, X ) =  
 0,otherwise

x− X 
 ≤1
α 

α =5
Gambar 6. Grafik Epanechnikov

Universitas Sumatera Utara

7. Tri-cube

  1− x − X 3 ,if 
  α  
K α ( x, X ) =  
 0,otherwise


x− X 
 ≤1
α 

α =5
Gambar 7. Grafik Tri-cube

2.4 Pemilihan Bandwidth

Memilih bandwidth yang sesuai (parameter smoothing) adalah bagian penting dari regresi
nonparametrik. Untuk mendapatkan bandwidth yang tepat maka harus ditemukan keseimbangan
antara varians dan bias. Formula untuk bias asimtotik dan varians dari prediksi saat
menggunakan estimasi Nadaraya-Watson (2).
Telah diketahui secara umum, bahwa permasalahan utama pada kernel smoothing bukan
terletak pada pemilihan kernel tetapi pada pemilihan bandwidth. Pemilihan bandwidth optimum
lebih ditekankan pada penyeimbangan antara bias dan varians. Satu perumusan masalah yang
dapat memperlihatkan hubungan antara bias dan varians adalah mean square error – MSE karena
itu dengan meminimumkan MSE maka permasalah antara bias dan varians di atas dapat
diminimumkan juga.
MSE =

1 n
( y − yˆ ) 2

n i =1

(3)

Bandwidth dari kernel adalah parameter bebas yang menunjukkan pengaruh yang kuat
pada perkiraan yang dihasilkan. Untuk menggambarkan efeknya, lihat gambar dibawah ini
disimulasikan dari pengambilan sampel acak yang berdistribusi normal standar.

Universitas Sumatera Utara

Gambar 8. Contoh kurva bandwith
Kurva abu-abu menyatakan kepadatan normal dengan mean 0 dan varians 1. Sebagai
perbandingan, kurva merah undersmoothed (tidak mulus) karena mengandung terlalu banyak
data palsu yang timbul dari menggunakan bandwidth h = 0,05 yang terlalu kecil. Kurva hijau
oversmoothed (terlalu mulus) karena menggunakan bandwidth h = 2 mengaburkan banyak
struktur yang mendasarinya. Kurva hitam dianggap optimal karena mendekati data sebenarnya.
Kriteria optimalitas yang paling umum digunakan untuk pemilihan parameter ini adalah
kesalahan kuadrat rata-rata. Jika bandwidth tidak tetap tetapi bervariasi tergantung pada estimasi
atau sampel, ini menghasilkan metode yang sangat kuat yang dikenal sebagai estimasi kernel
bandwidth yang adaptif.

2.5 Solver

Solver merupakan salah satu perangkat tambahan (add-ins) yang digunakan untuk memecahkan
kasus yang rumit yang terdapat dalam program aplikasi Microsoft Excel. Perangkat solver
memungkinkan dalam menghitung nilai yang dibutuhkan untuk mencapai hasil yang terdapat
pada satu sel atau sederetan sel (range). Dengan kata lain, solver dapat menangani masalah yang
melibatkan banyak sel variabel dan membantu mencari kombinasi variabel untuk meminimalkan
atau memaksimalkan nilai satu sel target. Solver memungkinkan untuk mendefinisikan sendiri
suatu batasan atau kendala yang harus dipenuhi agar pemecahan masalah dianggap benar.

Universitas Sumatera Utara

Solver merupakan perangkat atau vasilitas tambahan (add-ins) yang belum tentu ada pada
program excel setelah menginstal Microsoft office. Perangkat ini dapat diperiksa pada grup
analisis dalam ribbon data seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Gambar 9. Posisi perangkat solver

Universitas Sumatera Utara

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pembahasan

Regresi kernel adalah teknik estimasi sesuai dengan data yang dimiliki. Diberikan suatu data,
ingin dicari fungsi regresi seperti fungsi yang paling sesuai dengan data yang dimiliki di titiktitik data. Mungkin juga ingin menginterpolasi dan memperkiraan sedikit di luar data tersebut.

Ide regresi kernel adalah menempatkan satu set fungsi tertimbang identik yang disebut
kernel lokal untuk setiap titik data pengamatan. Kernel akan menetapkan bobot untuk setiap
lokasi berdasarkan jarak dari titik data.

Jika diberikan data sebagai berikut:
Table 1. Contoh data
1

2

3

4

5

1

1.2

3.2

4

5.1

23

17

12

27

8

Dari data tersebut ingin didapatkan kurva-fitting fungsi untuk data. Ada banyak cara
untuk melakukan kurva regresi dan kernel hanyalah salah satunya.
Dalam regresi kernel, apa yang harus dilakukan adalah untuk meletakkan sebuah kernel
(semacam fungsi benjolan) untuk setiap titik data X. Grafik berikut menunjukkan Gaussian
kernel berada di pusat setiap X.

Universitas Sumatera Utara

Gambar 10. Grafik Gaussian kernel
Dengan menempatkan kernel pada data asli Xi, sekarang dapat memperpanjang nilai data
asli Xi menjadi nilai yang jauh lebih kecil dari x pada langkah kecil tertentu x. Sebagai contoh,
gunakan x = 0,1. Untuk titik data pertama X1 = 1, kita dapat melihat nilai kernel pada setiap
langkah x kecil.
Rumus Fungsi Kernel Gaussian

(4)
Keteranagan: x = jangkauan
X = nilai data X
Y = nilai data Y

α = konstanta

Universitas Sumatera Utara

Penggunaan fungsi kernel Gaussian dikarenakan fungsi ini yang lebih mudah dalam
penggunaanya. Sedangkan fungsi spline, epanechnikov dan tri-cube memerlukan syarat dalam
pengerjaannya setelah itu perhitungan bisa dilanjutkan.

Dalam contoh ini, notasi titik data pengamatan (X, Y), sedangkan estimasi dan titik
domain sampling dinotasikan dengan (x, y). Dalam contoh sederhana ini hanya memiliki 5 titik
data tetapi dapat membuat titik sampling sebanyak yang diinginkan dengan menetapkan
sampling rate x.
Diasumsikan bahwa lebar kernel α = 0,5 , maka kernel dapat dihitung sebagai berikut:

dan seterusnya.

Prosedur yang sama dapat dilakukan untuk semua titik data Xi. Sebagai titik data telah
memiliki jangkauan Xi dari 1 sampai 5.1, dapat memperpanjang domain x antara 0 dan 6. Maka
nilai estimasi Yj sebesar nilai domain Xj yang diberikan oleh rumus regresi kernel juga disebut
Nadaraya-Watson kernel.

mˆ h ( x) =

n

−1

n

∑K
n

i =1
n
−1

h

∑K
i =1

( x − X i )Yi
h

(x − X i )

Para nominator dari rumus regresi kernel adalah array jumlah produk kernel dan berat,
sedangkan penyebutnya adalah jumlah nilai kernel di domain Xj untuk semua titik data Xi.

Universitas Sumatera Utara

Gambar berikut menunjukkan formulasi fungsi excel y diperkirakan menggunakan formula
regresi kernel untuk x = 0

Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0.
Table 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5).
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

k(x.X1)
0.13534
0.19790
0.27804
0.37531
0.48675
0.60653
0.72615
0.83527
0.92312
0.98020
1.00000
0.98020
0.92312
0.83527
0.72615
0.60653
0.48675
0.37531
0.27804
0.19790
0.13534
0.08892
0.05613
0.03405
0.01984
0.01111
0.00598
0.00309

k(x,X2)
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090

k(x,X3)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307

k(x,X4)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475

k(x,X5)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099

est.y
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000

Universitas Sumatera Utara

2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6

0.00153
0.00073
0.00034
0.00015
0.00006
0.00003
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000

0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625
0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013
0.0000005
0.0000002
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000

0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625
0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013
0.0000005
0.0000002

0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355

0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987

1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000

Pada awalnya semua nilai bobot adalah satu, sehingga semua estimasi y juga satu seperti
yang diilustrasikan pada tabel diatas. kemudian menghitung kuadrat kesalahan dari estimasi y
dibandingkan dengan data asli Yi.

Universitas Sumatera Utara

Table 3. Nilai kuadrat kesalahan.
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8

k(x.X1)
0.13534
0.19790
0.27804
0.37531
0.48675
0.60653
0.72615
0.83527
0.92312
0.98020
1.00000
0.98020
0.92312
0.83527
0.72615
0.60653
0.48675
0.37531
0.27804
0.19790
0.13534
0.08892
0.05613
0.03405
0.01984
0.01111
0.00598
0.00309
0.00153
0.00073
0.00034
0.00015
0.00006
0.00003
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000

k(x,X2)
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625
0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013

k(x,X3)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523

k(x,X4)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163

k(x,X5)
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475

est.y
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000

Y

sq.error

23

484

17

256

12

121

Universitas Sumatera Utara

3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6

0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000

0.0000005
0.0000002
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000

0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625
0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013
0.0000005
0.0000002

0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355

0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987

1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000

27

676

8

49

1586

Dalam perhitungan diatas jumlah SSE = 1586. Sekarang siap untuk solusi. Untuk
menemukan solusi akan digunakan MS Excel Solver.
Periksa menu Tools. Jika tidak ada menu pemecah, berarti perlu menginstal Solver
tersebut. Untuk menginstal Solver, pilih menu Tools-Add-Ins ... dan memeriksa Solver Add-in
dan klik tombol OK. Ditunjukkan pada gambar berikut.

Universitas Sumatera Utara

Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver.

Jika Solver sudah tersedia, klik menu Tools-bahwa Solver ... dan akan muncul dialog
parameter pemecah sebagai berikut.

Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver.

Universitas Sumatera Utara

Ingin mencari bobot untuk setiap kernel yang meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat.
Mengatur sel target dari jumlah square error (SSE) sama dengan Min dengan mengubah sel-sel
array. Lalu klik tombol Memecahkan dan klik tombol OK.

Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver.
Ketika mendapatkan array bobot baru sebagai solusi, secara otomatis mengatasi regresi
dengan menghitung nilai-nilai y. Berikut diperlihatkan pada tabel menunjukkan bahwa jumlah
kesalahan nol (

).

Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver
X
1
1.2
Y
23
17
Weight 95.0204691 -55.01797
X
k(x.X1)
k(x,X2)
0
0.13534
0.0561348
0.1
0.19790
0.0889216
0.2
0.27804
0.1353353
0.3
0.37531
0.1978987
0.4
0.48675
0.2780373
0.5
0.60653
0.3753111
0.6
0.72615
0.4867523
0.7
0.83527
0.6065307
0.8
0.92312
0.7261490
0.9
0.98020
0.8352702
1
1.00000
0.9231163
1.1
0.98020
0.9801987
1.2
0.92312
1.0000000
1.3
0.83527
0.9801987

3.2
4
5.1
12
27
8
5.674117 34.8308959 5.61585368
k(x,X3)
k(x,X4)
k(x,X5)
est.y
0.0000000 0.0000000
0.0000000 51.0325324
0.0000000 0.0000000
0.0000000 48.5047234
0.0000000 0.0000000
0.0000000 45.8989354
0.0000000 0.0000000
0.0000000 43.2202139
0.0000002 0.0000000
0.0000000 40.4743685
0.0000005 0.0000000
0.0000000 37.6679416
0.0000013 0.0000000
0.0000000 34.8081596
0.0000037 0.0000000
0.0000000 31.9028686
0.0000099 0.0000000
0.0000000 28.9604520
0.0000254 0.0000000
0.0000000 25.9897320
0.0000625 0.0000000
0.0000000 22.9998556
0.0001477 0.0000000
0.0000000 20.0001701
0.0003355 0.0000002
0.0000000 17.0001058
0.0007318 0.0000005
0.0000000 14.0091280

Y

sq.error

23

2.08E-08

17

1.12E-08

Universitas Sumatera Utara

1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
5.3
5.4

0.72615
0.60653
0.48675
0.37531
0.27804
0.19790
0.13534
0.08892
0.05613
0.03405
0.01984
0.01111
0.00598
0.00309
0.00153
0.00073
0.00034
0.00015
0.00006
0.00003
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000

0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625
0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013
0.0000005
0.0000002
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000

0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411
0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355
0.0001477
0.0000625

0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702
0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987
0.1353353
0.0889216
0.0561348
0.0340475
0.0198411

0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000002
0.0000005
0.0000013
0.0000037
0.0000099
0.0000254
0.0000625
0.0001477
0.0003355
0.0007318
0.0015338
0.0030887
0.0059760
0.0111090
0.0198411
0.0340475
0.0561348
0.0889216
0.1353353
0.1978987
0.2780373
0.3753111
0.4867523
0.6065307
0.7261490
0.8352702
0.9231163
0.9801987
1.0000000
0.9801987
0.9231163
0.8352702

11.0369386
8.0944465
5.1969007
2.3727356
-0.3136616
-2.7100406
-4.4849598
-5.0695961
-3.9306566
-1.3168362
1.6185422
3.9363998
5.5017710
6.5819724
7.4606660
8.3361733
9.3355307
10.5403893
11.9999955
13.7318405
15.7156892
17.8877159
20.1409556
22.3350907
24.3130259
25.9172663
26.9999856
27.4274570
27.0881821
25.9178364
23.9450164
21.3360037
18.3921873
15.4717597
12.8733710
10.7593280
9.1554020
7.9999984
7.1978429
6.6549161
6.2936832

12

2.04E-11

27

2.06E-10

8

2.57E-12

Universitas Sumatera Utara

5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6

0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000

0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000

0.0000254
0.0000099
0.0000037
0.0000013
0.0000005
0.0000002

0.0111090
0.0059760
0.0030887
0.0015338
0.0007318
0.0003355

0.7261490
0.6065307
0.4867523
0.3753111
0.2780373
0.1978987

6.0560525
5.9008914
5.8000696
5.7347627
5.6925467
5.6652930
3.23E-08

Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui

Universitas Sumatera Utara

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:
1. Untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya dapat
digunakan metode kernel. Permasalahan utama pada kernel bukan pada pemilihan
kernel tetapi pada pemilihan bandwith.
2. Dari hasil pembahasan yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata
lain hasil perhitungan hanya berupa harapan.
3. Dalam perhitungan bobot menggunakan alat bantu yang berupa solver yang
tersedia di dalam Microsoft Excel.
4. Dari hasil perhitungan didapat nilai SSE = 1586. Sedangkan untuk bobotnya
adalah 95.0204691, -55.01797, 5.674117, 34.8308959 dan 5.61585368. Dengan
didapatnya nilai bobot maka nilai SSE pun berubah yaitu 3.23E-08.

4.2 Saran

Metode kernel adalah metode yang membutuhkan ketelitian dalam pengerjaannya
sehingga diperoleh kemudahan dan dapat mendalami serta memahami dalam
menganalisnya.

Universitas Sumatera Utara

Daftar Pustaka

[1]

Suyono, Subanar. 1998. Perbandingan regresi parametrik dan regresi nonparametrik.
Universitas Gajah Mada.

[2]

Suparti, Sudargo. 2005. Estimasi fungsi regresi menggunakan metode deret fourier.
Semarang.

[3]

Laome, Lilis. 2010. Perbandingan model regresi nonparametrik dengan regresi spilne
dan kernel. Universitas Haluoleo Kendari.

[4]

Arifin, Johar. 2008. Statistik bisnis terapan dengan Microsoft excel 2007. Jakarta

[5]

http:/// wikipedia/Kernel_%28statistics%29.htm, 15-2-2011

[6]

http://

/Kernel.htm-kardi teknomo, 26-1-2011

[7]

http:///

/Jurnal regresi kernel untuk pemula, 1-2-2011

Universitas Sumatera Utara