4
BAB II MATERI PENUNJANG
2.1 Ring dan Ring Polinomial
Definisi 2.1.1 [14]
Suatu ring •
+ ,
, R
adalah himpunan tak kosong R yang dilengkapi dengan 2 operasi biner yang disajikan dengan tanda jumlahan + dan tanda pergandaan
• yang memenuhi aksioma – aksioma di bawah ini :
1. 〈R,+〉merupakan grup komutatif 2. Terhadap operasi pergandaan memenuhi sifat assosiatif
3. Memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu : Untuk setiap x,y,z
∈ R berlaku x
• y+z = x
• y+x
• z dan
x+y •
z = x •
z+y •
z □
Contoh:
Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasi jumlahan dan pergandaan, dinotasikan 〈Z,+,
• 〉 merupakan ring.
Definisi 2.1.2 [14]
F disebut lapangan field jika memenuhi aksioma berikut : 1
• +
, ,
F adalah ring komutatif
4
5
2 F terhadap operasi pergandaan “
• ” mempunyai elemen satuan e dan e
≠ 3
Setiap elemen tak nol dari F mempunyai invers terhadap operasi pergandaan □
Definisi 2.1.3 [14]
Misalkan F lapangan dengan banyaknya elemen berhingga maka F disebut lapangan berhingga finite field.
□
Contoh:
Z
3
adalah lapangan dengan elemen berhingga, yaitu {0, 1, 2}.
Definisi 2.1.4 [14]
Diberikan ring R dan S himpunan bagian dari R, maka S disebut ring bagian sub ring dari ring R jika S merupakan ring terhadap operasi biner yang sama
pada R. □
Definisi 2.1.5 [14]
Misalkan I ⊆
R, R ring, I disebut ideal dari ring R jika memenuhi: 1
I sub ring dari R 2
Untuk setiap x ∈
I, r ∈
R, maka xr ∈
I dan rx ∈
I selanjutnya untuk setiap r
∈ R, Ir = {xr| x
∈ I} dengan Ir
⊆ I disebut Ideal
kanan dan rI= { rx | x ∈
I} dengan rI ⊆
I disebut Ideal kiri.
6
□
Contoh:
Didefinisikan S = {2k k ∈
Z} merupakan Ideal dari Z. Ambil r ∈
Z, maka ideal kiri dari S adalah
rS = {r2k| r ∈
Z }, r2k = 2rk ∈
S, rk ∈
Z dan ideal kanan dari S adalah
Sr = {2kr| r ∈
Z}, 2kr = 2kr ∈
S, kr ∈
Z
Definisi 2.1.6 [5]
Diberikan ring komutatif R dan indeterminate x. R[x] = { a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ ... + a
1
x
1
+ a x
|a
i
∈
R} adalah ring polinomial atas R dengan indeterminate x, dimana n adalah bilangan
bulat non negatif dan a
i
adalah elemen dari R. □
Dalam definisi ini, x tidak menunjukkan sebagai variabel ataupun elemen yang tidak diketahui, tapi untuk menyajikan penempatan yang tepat yang
memisahkan elemen ring a , a
1
, ..., a
n
. Lapangan berhingga F yang memuat q elemen sering dinotasikan
dengan GFq yang disebut Galois field lapangan Galois. q mempunyai bentuk p
n
, yaitu q merupakan suatu bilangan prima p atau hasil pemangkatan dari p. Notasi GFp
n
adalah lapangan dengan karakteristik p. Dalam mengkonstruksi
7
suatu lapangan berhingga dengan p
n
elemen, digunakan suatu polinomial tak tereduksi dengan derajad n dalam GF
p
[x].
Teorema 2.1.7 [11]
Jika F adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka F terdiri dari p
n
elemen untuk suatu bilangan integer positif n.
Bukti : Lihat [11] dan [15] □
Definisi 2.1.8 [11]
Diberikan lapangan berhingga F dan didefinisikan F yaitu himpunan elemen – elemen dari F yang tidak nol, F = F - {0}. Elemen
α∈ F disebut generator
pembangun dari F, atau disebut primitif elemen elemen primitif dari F jika {
α
i
: i ≥
0} = F Yaitu jika
α membangun semua elemen tak nol dalam lapangan F.
□
Definisi 2.1.9 [11]
Order suatu elemen tak nol α
∈ GF
q
adalah bilangan bulat positif terkecil t sedemikian hingga
α
t
= 1, ditulis ord α
= t. □
Teorema 2.1.10 [11]
Setiap lapangan berhingga F = GF
q
mempunyai elemen primitif.
Bukti : Lihat [11] dan [15]□
8
Contoh:
Diberikan lapangan perluasan GF2
3
atas GF
2
dan sebuah polinomial irreducible x
3
+ x + 1. Maka GF2
3
terdiri dari 2
3
= 8 elemen yaitu {0, 1, x, x+1, x
2
, 1+x
2
, x+x
2
, 1+x+x
2
}. Jika α
adalah elemen primitif dari GF2
3
, akan ditunjukkan bahwa
α membangun semua elemen tak nol di dalam GF2
3
. Polinomial irreducible x
3
+ x + 1≡0 mod x
3
+ x + 1, atau x
3
≡ x + 1mod x
3
+ x + 1. Maka :
α
= 1
α
4
= x
2
+ x
α
1
= x
α
5
= x
3
+ x
2
= x
2
+ x + 1
α
2
= x
2
α
6
= x
3
+ x
2
+ x = x
2
+ 1
α
3
= x
3
= x + 1
α
7
= x
3
+ x = 1 Terbukti bahwa
α membangun semua elemen tak nol di dalam GF2
3
dan ord
α = 7 karena
α
7
= 1.
2.2 Kode Siklik dan Kode Golay
Kategori